12.1 分式 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 八年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，覆盖分式概念、性质、约分通分等核心知识点，从基础巩固到综合应用再到拓展探究，梯度清晰，适配新授课知识内化与能力进阶，培养抽象能力、运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|分式概念、有意义/值为零条件、基本性质、约分通分|选择填空为主，直接对应单一知识点，如分式判断、最简公分母确定，夯实基础| |B组能力提升|分式值为零综合判断、最简分式、分式变形与代入求值|解答题结合多知识点，如连比问题设k法、分式值为正整数的整数解，培养运算与推理能力| |C组拓展探究|分式与方程综合、裂项相消法|阅读理解与探究题，如由方程求分式值、裂项规律应用，发展创新意识与数学思维|

冀教版八年级数学（上） 第十二章 分式和分式方程 12.1 分式 12.1 分式 课时作业 冀教版·八年级数学（上册） 第十二章 分式和分式方程 一、课时学习目标 1. 理解分式的概念，能区分整式与分式，知道有理式的分类。 2. 掌握分式有意义、无意义以及分式的值为零的条件，会求相应字母的取值范围。 3. 理解分式的基本性质，会用基本性质进行分式的变形。 4. 会对分式进行约分，理解最简分式；会对几个分式进行通分，会确定最简公分母。 二、知识梳理 知识点 1 分式的概念 一般地，如果 A、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 叫做分子，B 叫做分母。整式和分式统称为有理式。 例如 、、 都是分式；而 、、 中分母都不含字母，它们是整式，不是分式。 易错提醒：①判断是不是分式，只看分母中有没有字母，与分子无关；②π 是一个常数（不是字母），所以 是整式；③分式与分数不同，分式的分母中一定含有字母。 知识点 2 分式有意义、无意义与值为零的条件 （1）分式 有意义的条件是 B ≠ 0； （2）分式 无意义的条件是 B = 0； （3）分式 的值为零的条件是 A = 0 且 B ≠ 0（两个条件缺一不可）。 例如：分式 的值为零时，由 -1 = 0 得 x = 1 或 x = -1，又因为 x - 1 ≠ 0，即 x ≠ 1，所以 x = -1。 知识点 3 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为： = ， = （其中 M 是不等于零的整式）。 易错提醒：①“同乘（除以）”的必须是同一个不等于零的整式；②分子、分母是多项式时，要把它们看成一个整体，先添括号再变形，如 = 。 知识点 4 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身这三个符号，同时改变其中两个，分式的值不变： = = -， = 。 知识点 5 约分与最简分式 （1）把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 （2）分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的结果必须是最简分式或整式。 （3）约分的步骤：①分子、分母能因式分解的先分解；②找出分子与分母的公因式；③约去公因式。 例如： = = ； = = 。 知识点 6 通分与最简公分母 （1）把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 （2）最简公分母的确定方法：取各分母所有系数的最小公倍数、所有字母（或因式）的最高次幂的积。分母是多项式时先因式分解。 例如： 与 的最简公分母是 ； 与 的最简公分母是 (x + 1)(x - 1)。 三、典例精析 例 1 在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【解答】整式有 ①③④，因为它们的分母 3、5、π 中都不含字母；分式有 ②⑤⑥，因为它们的分母 x - 1、x、+1 中都含有字母。 【方法归纳】只需检查分母中是否含有字母。π 是常数，所以 是整式。 例 2 x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）；（2）；（3）。 【解答】（1）由 2x + 1 ≠ 0 得 x ≠ ； （2）由 - 4 ≠ 0 得 x ≠ 2 且 x ≠ -2； （3）因为 ≥ 0，所以 + 1 ≥ 1 > 0 恒成立，故 x 取任意实数分式都有意义。 【方法归纳】求分式有意义的条件，就是解“分母 ≠ 0”；分母是多项式时，先因式分解再逐个因式不为零。 例 3 当 x 为何值时，分式 的值为零？ 【解答】由分子为零得 - 9 = 0，即 x = 3 或 x = -3； 由分母不为零得 + 3x ≠ 0，即 x(x + 3) ≠ 0，所以 x ≠ 0 且 x ≠ -3。 综上，x = 3。 【方法归纳】“分式值为零”必须两步都做：先由分子为零求出候选值，再用分母不为零检验、舍去不合适的值。 例 4 不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的各项系数都化为整数： （1）；（2）。 【解答】（1）分子、分母同乘 10，得 ； （2）分子、分母同乘 4，得 。 【方法归纳】依据是分式的基本性质，所乘的数取各项分母（或小数位数）的最小公倍数，且分子、分母的每一项都要乘。 例 5 约分： （1）；（2）；（3）。 【解答】（1）原式 = - = ； （2）原式 = = ； （3）原式 = = 。 【方法归纳】约分的关键是因式分解；遇到 4 - 2a 与 a - 2 这类互为相反数的因式，可提出“-”号后再约分。 例 6 通分：，，。 【解答】最简公分母为 。 = ， = ， = 。 【方法归纳】先定最简公分母，再确定每个分式的分子、分母各应乘什么，不要漏乘分子。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式 有意义的条件是（ ） A. x ≠ -2 B. x ≠ 3 C. x ≠ 0 D. x ≠ -2 且 x ≠ 3 3. 当 x 取下列哪个值时，分式 的值为零（ ） A. x = 2 B. x = -2 C. x = ±2 D. x = 0 4. 化简 的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列约分中，正确的是（ ） A. = B. = x + 1 C. = D. = 6. 分式 ，， 的最简公分母是（ ） A. B. C. D. （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. 当 x = ＿＿＿＿ 时，分式 无意义；当 x = ＿＿＿＿ 时，这个分式的值为零。 8. 分式 有意义的条件是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 9. 约分： = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 10. 分式 与 的最简公分母是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 11. 若 = ，则 = ＿＿＿＿。 12. 不改变分式的值，把 的分子、分母的各项系数都化为整数，结果是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 求下列分式中字母的取值范围（使分式有意义）： （1）；（2）；（3）；（4）。 14. 约分： （1）；（2）；（3）；（4）。 15. 通分： （1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。 B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 若分式 的值为零，则 x 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 1 或 -1 D. 2 17. 下列分式中，一定是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 18. 若把分式 中的 x、y 都扩大为原来的 3 倍，则所得分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的 3 倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的 9 倍 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 若分式 的值为零，则 x = ＿＿＿＿。 20. 已知 = 3，则 = ＿＿＿＿。 21. 使分式 的值为正整数的整数 x 共有 ＿＿＿＿ 个。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 已知 = = （x、y、z 均不为 0）。 （1）设 = = = k，用 k 表示 x、y、z； （2）求 的值； （3）求 的值。 23. 如图，一个长方形的面积为 S，它的一边长为 a + b。 （1）用含 S、a、b 的式子表示这个长方形的另一边长； （2）当 S = - 时，求这个长方形的另一边长（结果化为最简）； （3）在（2）的条件下，若 a = 5，b = 2，求这个长方形的周长。 C 组 拓展探究 24. 阅读理解：若 x ≠ 0，把分式 的分子的每一项都除以 x，可以得到 = x - 3 + 。 根据这一方法解答： （1）当 - 3x + 1 = 0（x ≠ 0）时，求 x + 的值； （2）在（1）的条件下，求 + 的值（提示：把 x + 的值平方，平方的结果等于 + 2 + ）； （3）在（1）的条件下，求 的值。 25. 探究与思考：观察下列分式的变形过程，并回答问题： = - ， = - （1）猜想： = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）请用分式的基本性质验证你的猜想； （3）利用上面的规律计算： + + + … + 。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. C。解析：判断分式只看分母是否含字母。A、D 的分母是常数，B 的分母 π 是常数，只有 C 的分母 x - 1 含字母，故选 C。 2. B。解析：分式有意义的条件是分母不为零，即 x - 3 ≠ 0，所以 x ≠ 3。 3. A。解析：由 - 4 = 0 得 x = ±2；又分母 x + 2 ≠ 0，即 x ≠ -2，所以 x = 2，故选 A。 4. A。解析： = = 。 5. B。解析：A、D 中分子、分母是和的形式，不能直接约去相同的项；C 中 + 不能分解为 (x + y) 的形式。B 中 = = x + 1（x ≠ 1），正确。 6. A。解析：系数取 2、1、4 的最小公倍数 4，字母取 x 的最高次幂 x 与 y 的最高次幂 ，所以最简公分母为 。 7. x = -3 时无意义；x = 0 时值为零。解析：分母 x + 3 = 0 得 x = -3；分子 x = 0 且此时分母 3 ≠ 0，符合条件。 8. x ≠ 2 且 x ≠ -2。解析：由 - 4 ≠ 0，即 (x + 2)(x - 2) ≠ 0。 9. 。解析：原式 = = 。 10. x(x + 1)(x - 1)。解析： - x = x(x - 1)， - 1 = (x + 1)(x - 1)，取所有因式的最高次幂之积。 11. 。解析：设 x = 2k，y = 3k（k ≠ 0），则 = = = 。 12. 。解析：分子、分母同乘 10（依据分式的基本性质），每一项都要乘。 13. （1）x ≠ 2；（2）x 取任意实数（因为 + 1 > 0 恒成立）；（3）x ≠ 3 且 x ≠ -3；（4）x ≠ 1 且 x ≠ -4。 解析：分母是多项式时先因式分解，再令每一个因式都不为零；第（2）小题要说明分母恒为正，这是常见的考查点。 14. （1）；（2）；（3）；（4）。 解析：（1） = = ；（2） = ；（3） = ；（4） = 。 15. （1）最简公分母为 ： = ， = ； （2）最简公分母为 (x + 2)(x - 2)： = ， 本身分母已是 (x + 2)(x - 2)，不变； （3）因为 - 1 = (a + 1)(a - 1)， + a = a(a + 1)，最简公分母为 a(a + 1)(a - 1)： = ， = 。 B 组 能力提升 16. A。解析：由 - 1 = 0 得 x = 1 或 x = -1；分母 (x + 1)(x - 2) ≠ 0 要求 x ≠ -1 且 x ≠ 2，所以舍去 x = -1，得 x = 1。 17. C。解析：A 中分子可分解为 (x + 1)(x - 1)，与分母有公因式；B 中可约去 2x；D 中分子可分解为 x(x + 2)，与分母有公因式 x。只有 C 的分子与分母没有公因式，是最简分式。 18. B。解析：把 x、y 都换成 3x、3y，得 = = 3 × ，所以分式的值扩大为原来的 3 倍。 19. -3。解析：由分子 |x| - 3 = 0 得 x = 3 或 x = -3；又分母 x - 3 ≠ 0 要求 x ≠ 3，所以舍去 x = 3，得 x = -3。此题提醒我们：求出分子为零的所有值后，一定要用分母不为零逐一检验。 20. 6。解析：先约分， = = 2 × = 2 × 3 = 6。这里用整体代换比先求出 a 更简便。 21. 4 个。解析：要使 为正整数，需 x - 1 是 6 的正约数，即 x - 1 = 1、2、3、6，得 x = 2、3、4、7，共 4 个。 22. （1）由 = = = k 得 x = 2k，y = 3k，z = 4k（k ≠ 0）； （2） = = = ； （3） = = = 。 解析：设“比值 k”是处理连比问题的通法，代入后 k 可以约去，所以结果与 k 无关。 23. （1）另一边长为 ； （2）当 S = - 时，另一边长为 = = a - b； （3）当 a = 5，b = 2 时，两边长分别为 a + b = 7，a - b = 3，周长为 2 × (7 + 3) = 20。 C 组 拓展探究 24. （1）由 - 3x + 1 = 0 且 x ≠ 0，两边都除以 x 得 x - 3 + = 0，所以 x + = 3； （2）把 x + = 3 两边平方，得 + 2 + = 9，所以 + = 9 - 2 = 7； （3）因为 x ≠ 0，把 的分子、分母同时除以 ，分母变为 + = 7，分子变为 1，所以原式 = 。 解析：本题的核心技巧是“同除以 x（或 x²）”，它的依据正是分式的基本性质。这类“整体代换”的方法在后续学习中会经常用到。 25. （1） = - ； （2）验证： - = - = ，猜想成立； （3）原式 = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) = 1 - = 。 解析：这种把一个分式拆成两个分式之差、相加时中间项相互抵消的方法叫做“裂项相消”，它是分式变形的一个重要应用。 六、课时小结 1. 判断分式：只看分母中是否含有字母，π 是常数不是字母。 2. 三个条件：有意义 ⇔ 分母 ≠ 0；无意义 ⇔ 分母 = 0；值为零 ⇔ 分子 = 0 且分母 ≠ 0。 3. 基本性质：分子分母同乘（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变——它是约分、通分与符号变形的共同依据。 4. 约分与通分：先因式分解，约分要约到最简分式；通分要先确定最简公分母，且分子要跟着一起乘。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $