1.1 正数和负数 课时作业 2026-2027学年冀教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以A/B/C三层设计实现知识梯度进阶，从概念辨析到综合应用，强化数感与符号意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|正负数判断、0的意义、相反意义的量|选择填空直接考查定义，如正负数个数统计、0的属性判断| |B组能力提升|符号意义理解、有理数分类|结合实际情境转换符号，如“-a的正负性”分析，发展推理意识| |C组拓展探究|综合应用与误差分析|跨情境问题解决，如巡逻车位置数轴表示、苹果质量误差判断，培养应用意识|

冀教版七年级数学（上） 第一章 有理数 1.1 正数和负数 1.1 正数和负数 课时作业 冀教版·七年级数学（上册） 第一章 有理数 一、课时学习目标 1. 结合温度、海拔、盈亏等生活实例，理解正数与负数的意义，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正数、负数表示具有相反意义的量，理解 0 既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界。 3. 了解有理数的概念，能按照不同标准对有理数进行分类，会把给定的数填入相应的集合中。 4. 在用正负数刻画实际问题的过程中，体会数学与生活的密切联系，发展数感与符号意识。 二、知识梳理 知识点 1 正数与负数 （1）正数：像 3、5.8、、100 这样大于 0 的数叫做正数。为了突出符号，可以在正数前面加上“+”号（读作“正号”），如 +3 读作“正 3”，通常“+”号可以省略不写。 （2）负数：像 -3、-5.8、、-100 这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数（“-”读作“负号”），负数都小于 0。负数前面的“-”号不能省略。 （3）0 的意义：0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界，同时它还常常表示一个基准（如 0 ℃、海平面的海拔为 0 m、标准水位等），因此 0 并不只表示“没有”。 易错提醒：判断一个数是正数还是负数，不能只看它前面有没有“-”号，而要看它化简后的实际大小。例如当 a 是负数时，-a 反而是正数；当 a 是正数时，-a 才是负数。 知识点 2 具有相反意义的量 在现实生活中，常常遇到一些意义相反的量，例如：收入与支出、上升与下降、盈利与亏损、零上与零下、向东与向西、增加与减少、超过与不足等。 为了简明地表示这些量，我们通常先规定其中一种意义的量为正，用正数表示；那么与它意义相反的量就为负，用负数表示。 例如：把零上 8 ℃ 记作 +8 ℃，那么零下 5 ℃ 就记作 -5 ℃。 （如图，甲地气温为 +10 ℃，乙地气温为 -5 ℃，丙地气温为 0 ℃） 判断两个量是否“具有相反意义”，要同时满足两个条件：①两个量的意义相反；②两个量是同一类量。如“向东走 5 m”与“向北走 5 m”方向不同但并不相反，就不是具有相反意义的量。 知识点 3 正数、负数的实际应用 （1）温度：以 0 ℃ 为基准，零上记为正，零下记为负。 （2）海拔：以海平面为基准（海拔 0 m），高于海平面记为正，低于海平面记为负。 （3）盈亏：以不盈不亏为基准，盈利记为正，亏损记为负。 （4）增减：以原数量为基准，增加记为正，减少记为负。 （5）误差：如零件直径标注为 (30 ± 0.05) mm，表示合格零件的直径最大为 30.05 mm，最小为 29.95 mm。其中 +0.05 表示比标准直径多 0.05 mm，-0.05 表示比标准直径少 0.05 mm。 知识点 4 有理数及其分类 （1）整数：正整数、0、负整数统称为整数，如 5、0、-7。 （2）分数：正分数、负分数统称为分数，如 、、0.6、-1.25。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是分数。 （3）有理数：整数和分数统称为有理数。 （4）有理数的两种分类方法： ①按定义分：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 ②按性质符号分：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 易错提醒：①分类时不能重复、不能遗漏，0 是整数，但它既不是正数也不是负数；②像 π 这样的无限不循环小数不能写成分数的形式，它不是有理数。 三、典例精析 例 1 在 -8、+3.5、0、、2025、-0.03、 这些数中，正数有哪些？负数有哪些？ 【思路点拨】大于 0 的数是正数，小于 0 的数（即在正数前加“-”号的数）是负数，0 既不是正数也不是负数。 【解答】正数有：+3.5、2025、；负数有：-8、、-0.03；0 既不是正数也不是负数。 【方法归纳】判断正负只看数值与 0 的大小关系，与这个数是整数还是分数无关。 例 2 如果把公司盈利 5000 元记作 +5000 元，那么下列各数分别表示什么意义？ （1）-3000 元；（2）+800 元；（3）0 元。 【解答】（1）-3000 元表示公司亏损 3000 元；（2）+800 元表示公司盈利 800 元；（3）0 元表示公司不盈不亏。 【方法归纳】先确定“谁为正”，再由“意义相反”确定负数的实际含义，最后不要漏掉 0 所表示的“基准状态”。 例 3 下列各组量中，是具有相反意义的量的是（ ） A. 向东走 30 m 与向南走 30 m B. 收入 500 元与支出 200 元 C. 增加 3 kg 与增加 5 kg D. 时间 5 min 与路程 5 km 【解答】选 B。A 中“东”与“南”方向不相反；C 中两个量意义相同，都是增加；D 中两个量不是同一类量。只有 B 中“收入”与“支出”意义相反且是同一类量。 例 4 把下列各数填入相应的集合中： -6，+2.5，0，，7，-1.4，，-15，0.75，-2025 （1）正数集合：{ …} （2）负数集合：{ …} （3）整数集合：{ …} （4）分数集合：{ …} 【解答】（1）正数集合：{+2.5、7、、0.75 …}；（2）负数集合：{-6、、-1.4、-15、-2025 …}； （3）整数集合：{-6、0、7、-15、-2025 …}；（4）分数集合：{+2.5、、-1.4、、0.75 …}。 【方法归纳】0 只能填入整数集合，不能填入正数或负数集合；小数属于分数。集合中的省略号表示“还有其他符合条件的数”，不能漏写。 例 5 某种零件的标准长度是 25 mm，检验时规定误差不超过 ±0.4 mm 为合格。现抽查 5 个零件，与标准长度的差（单位：mm）分别为：+0.3、-0.5、0、+0.45、-0.2。哪些零件是合格的？ 【解答】误差在 -0.4 mm 与 +0.4 mm 之间（含 ±0.4）的零件合格。+0.3、0、-0.2 都在这个范围内，所以第 1、3、5 个零件合格；-0.5 与 +0.45 超出了范围，第 2、4 个零件不合格。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 在 -5、0、+3.5、、1.2、-100 这 6 个数中，负数的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 下列关于 0 的说法中，正确的是（ ） A. 0 是正数 B. 0 是负数 C. 0 既不是正数也不是负数 D. 0 既是正数也是负数 3. 如果向东走 8 m 记作 +8 m，那么 -5 m 表示（ ） A. 向东走 5 m B. 向西走 5 m C. 向北走 5 m D. 向南走 5 m 4. 下列各组量中，具有相反意义的一组是（ ） A. 上升 10 m 与前进 10 m B. 支出 20 元与节约 20 元 C. 水位升高 2 m 与水位下降 3 m D. 盈利 100 元与收入 100 元 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正数和负数统称为有理数 B. 0 是最小的整数 C. 整数和分数统称为有理数 D. -0.5 不是有理数 6. 某市某天的最高气温是 6 ℃，最低气温是零下 2 ℃，若把零上温度记为正，则这天的最低气温应记作（ ） A. 2 ℃ B. -2 ℃ C. +2 ℃ D. -6 ℃ （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. 如果收入 200 元记作 +200 元，那么支出 150 元记作 ＿＿＿＿＿＿＿＿元。 8. 珠穆朗玛峰的海拔约为 8849 m，记作 +8849 m；吐鲁番盆地的海拔约为低于海平面 155 m，应记作 ＿＿＿＿＿＿＿＿ m。 9. 在 -3、0、、-0.7、5、-8 这 6 个数中，正数有 ＿＿＿＿ 个，负数有 ＿＿＿＿ 个，整数有 ＿＿＿＿ 个。 10. 一个数既不是正数，也不是负数，那么这个数是 ＿＿＿＿＿＿。 11. 一种零件的直径标注为 (20 ± 0.03) mm，则合格零件直径最大是 ＿＿＿＿＿＿ mm，最小是 ＿＿＿＿＿＿ mm。 12. 写出所有比 -4 大的负整数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 把下列各数分别填入相应的集合中（只填数，用逗号隔开）： -7，+4，0，，2.4，-1，，-3.5，100， （1）正有理数集合：{ …} （2）负有理数集合：{ …} （3）整数集合： { …} （4）分数集合： { …} 14. 某水库的标准水位记作 0 m，高于标准水位记为正，低于标准水位记为负。下面是某周内连续 5 天的水位记录（单位：m）： 周一 +0.8，周二 -0.3，周三 0，周四 +1.2，周五 -0.6 （1）哪一天的水位最高？哪一天的水位最低？ （2）周三的记录 0 m 表示什么意义？ （3）用一句话说明 -0.6 m 的实际意义。 15. 某食品包装袋上标有“净含量：500 ± 5 克”的字样。 （1）“+5 克”和“-5 克”分别表示什么意义？ （2）合格产品的净含量最多是多少克？最少是多少克？ （3）现抽查 4 袋食品，净含量与 500 克的差分别为 +3 克、-6 克、0 克、+5 克，哪几袋是合格的？ B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 下列说法中，正确的是（ ） A. 带“-”号的数一定是负数 B. 不带“-”号的数一定是正数 C. 若 a 是负数，则 -a 一定是正数 D. 0 既可以看成正数，也可以看成负数 17. 某地一天中 4 个时刻的气温记录为：-3 ℃、0 ℃、5 ℃、-7 ℃，其中表示温度最低的是（ ） A. -3 ℃ B. 0 ℃ C. 5 ℃ D. -7 ℃ 18. 下列各数中，既不是正数也不是分数的是（ ） A. -2.5 B. 0 C. D. 1.8 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 如果把水位上升 3 m 记作 +3 m，那么水位不升不降应记作 ＿＿＿＿ m，水位下降 2.5 m 应记作 ＿＿＿＿＿＿ m。 20. 若 a 是一个正数，则 -a 是 ＿＿＿＿ 数；若 b 是一个负数，则 -b 是 ＿＿＿＿ 数。（填“正”或“负”） 21. 某公司 2024 年的营业额比 2023 年增加了 12%，记作 +12%；若 2025 年的营业额比 2024 年减少了 5%，应记作 ＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 七年级（1）班进行体能测试，以 60 分为及格线。若把高于 60 分的部分记为正，低于 60 分的部分记为负，6 名同学的记录如下（单位：分）： 小明 +15，小红 -8，小刚 0，小丽 +22，小强 -13，小峰 +6 （1）请写出这 6 名同学的实际成绩； （2）哪些同学的成绩没有达到及格线？ （3）成绩最高的同学比成绩最低的同学高多少分？ 23. 阅读并回答问题：我国古代数学著作《九章算术》中最早使用了负数，书中用“正”表示进（收入），用“负”表示出（支出）。现在某商店 5 天的收支记录如下（单位：元，收入为正）： +320，-150，0，-240，+560 （1）第 3 天的记录 0 表示什么？ （2）收入最多的是第几天？支出最多的是第几天？ （3）若把支出记为正，收入记为负，请重新写出这 5 天的记录。 C 组 拓展探究 24. 一辆巡逻车沿一条南北方向的公路巡逻，规定向北为正，向南为负，某天从岗亭出发后的行驶记录如下（单位：km）： 第 1 次 +5，第 2 次 -3，第 3 次 +7，第 4 次 -10，第 5 次 +2 （1）第 4 次行驶的方向是什么？行驶了多少千米？ （2）哪一次行驶的路程最长？ （3）借助数轴（以岗亭为 0 点，向北为正方向，1 个单位长度表示 1 km），在图上依次标出巡逻车每次行驶后所在的位置，并说明第几次行驶结束后巡逻车离岗亭最远。 25. 探究与思考：某超市对一批苹果进行抽检，以每袋 5 kg 为标准，超过的千克数记为正，不足的千克数记为负，10 袋苹果的记录如下（单位：kg）： +0.2，-0.1，0，+0.3，-0.4，+0.1，0，-0.2，+0.5，-0.3 （1）哪几袋苹果的质量恰好是 5 kg？ （2）最重的一袋与最轻的一袋分别是多少千克？ （3）若规定与标准质量相差不超过 0.3 kg 为“优等”，这 10 袋中有几袋是“优等”？ 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. C。解析：负数是小于 0 的数。题中 -5、、-100 是负数，共 3 个；0 既不是正数也不是负数，+3.5、1.2 是正数。故选 C。 2. C。解析：0 是正数与负数的分界，它既不是正数也不是负数，故选 C。要注意 0 不是“没有”，它常常表示一个基准。 3. B。解析：向东为正，则与它意义相反的向西为负，所以 -5 m 表示向西走 5 m，故选 B。 4. C。解析：A 中“上升”与“前进”不是同一类量；B 中“支出”与“节约”意义不相反；D 中“盈利”与“收入”意义相同。只有 C 中“升高”与“下降”意义相反且都是水位的变化，故选 C。（注意：具有相反意义的量不要求数值相同。） 5. C。解析：A 错，正数、负数和 0 才统称有理数（0 被漏掉了）；B 错，整数包括负整数，没有最小的整数；D 错，-0.5 可以化为 ，是分数，属于有理数。故选 C。 6. B。解析：零上记为正，则零下记为负，零下 2 ℃ 记作 -2 ℃，故选 B。 7. -150。解析：收入与支出是具有相反意义的量，收入记为正，支出就记为负。 8. -155。解析：以海平面为基准，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 9. 正数 2 个，负数 3 个，整数 4 个。解析：正数为 、5；负数为 -3、-0.7、-8；整数为 -3、0、5、-8（注意 0 是整数）。 10. 0。解析：0 是正数与负数的分界，它既不是正数也不是负数。 11. 最大 20.03 mm，最小 19.97 mm。解析：+0.03 表示比 20 mm 多 0.03 mm，即 20 + 0.03 = 20.03（mm）；-0.03 表示比 20 mm 少 0.03 mm，即 20 - 0.03 = 19.97（mm）。 12. -3、-2、-1。解析：负整数是小于 0 的整数，比 -4 大的负整数只有 -3、-2、-1，注意 0 不是负整数。 13. （1）正有理数集合：{+4，2.4，，100 …}；（2）负有理数集合：{-7，，-1，-3.5， …}； （3）整数集合：{-7，+4，0，-1，100， …}；（4）分数集合：{，2.4，，-3.5 …}。 解析：本题的易错点有两个：一是 0 只属于整数集合，既不是正数也不是负数；二是 虽然写成分数的形式，但它化简后等于 -3，是负整数，应填入负有理数集合和整数集合，不能填入分数集合。有限小数 2.4、-3.5 都可以化成分数，属于分数。 14. （1）周四水位最高（+1.2 m），周五水位最低（-0.6 m）；（2）周三的记录 0 m 表示这一天水位恰好是标准水位，不高也不低；（3）-0.6 m 表示周五的水位比标准水位低 0.6 m。 解析：正数越大表示水位越高，负数中“-0.6”比“-0.3”低。注意 0 在这里不表示“没有水”，而表示“与标准水位齐平”。 15. （1）+5 克表示比标准净含量 500 克多 5 克，-5 克表示比标准净含量 500 克少 5 克；（2）最多 500 + 5 = 505（克），最少 500 - 5 = 495（克）；（3）+3 克、0 克、+5 克对应的 3 袋合格，即第 1、3、4 袋合格，第 2 袋（-6 克）超出允许范围，不合格。 B 组 能力提升 16. C。解析：A 错，如 -a 中若 a 是负数，则 -a 是正数；B 错，0 不带“-”号，但它不是正数；D 错，0 既不是正数也不是负数。C 正确：负数的相反意义的量是正数。 17. D。解析：负数表示零下温度，且负数中“-7”表示比 0 ℃ 低 7 ℃，比“-3”更低，所以最低气温是 -7 ℃，故选 D。 18. B。解析：A、D 中 -2.5、1.8 是小数（属于分数），C 中 是正分数。0 既不是正数，也不是分数，它是整数，故选 B。 19. 0；-2.5。解析：不升不降就是与基准齐平，记作 0 m；下降与上升意义相反，记作负数。 20. 负；正。解析：若 a 是正数，如 a = 3，则 -a = -3 是负数；若 b 是负数，如 b = -4，则 -b = 4 是正数。这说明“带负号的数不一定是负数”。 21. -5%。解析：增加记为正，减少与增加意义相反，记为负，所以减少 5% 记作 -5%。 22. （1）小明 60 + 15 = 75（分），小红 60 - 8 = 52（分），小刚 60 分，小丽 60 + 22 = 82（分），小强 60 - 13 = 47（分），小峰 60 + 6 = 66（分）； （2）小红（52 分）和小强（47 分）没有达到及格线（小刚恰好 60 分，属于及格）；（3）成绩最高的是小丽 82 分，最低的是小强 47 分，82 - 47 = 35（分），高 35 分。 解析：“记为正”的部分与 60 分相加，“记为负”的部分从 60 分中减去；记录为 0 表示恰好达到及格线，不能算作不及格。 23. （1）第 3 天的记录 0 表示这一天既没有收入也没有支出（收支相抵）；（2）收入最多的是第 5 天（+560 元），支出最多的是第 4 天（-240 元）； （3）若把支出记为正、收入记为负，5 天的记录依次为：-320，+150，0，+240，-560。 解析：第（3）问的关键是“规定的正方向改变后，所有数的符号都要随之改变”，而 0 表示的“不收不支”与规定无关，仍记作 0。 C 组 拓展探究 24. （1）第 4 次的记录是 -10，负号表示向南，所以第 4 次向南行驶了 10 km；（2）比较各次行驶的路程（即不看方向的千米数）：5、3、7、10、2，第 4 次行驶的路程最长； （3）以岗亭为原点，向北为正方向。每次行驶后的位置依次为：第 1 次后在 +5，第 2 次后在 +2，第 3 次后在 +9，第 4 次后在 -1，第 5 次后在 +1。在数轴上标出这 5 个点后可以看出，第 3 次行驶结束后巡逻车离岗亭最远，此时在岗亭以北 9 km 处。 解析：本题中要注意区分两个概念：位置与路程。“+5、-3”等表示的是每一次行驶的方向和路程，而“离岗亭多远”指的是行驶后所在位置到原点的距离。借助数轴一步一步移动（向北就向右移，向南就向左移），可以直观地找到答案。 25. （1）记录为 0 的第 3 袋和第 7 袋苹果质量恰好是 5 kg；（2）最重的一袋记录为 +0.5，质量是 5 + 0.5 = 5.5（kg）；最轻的一袋记录为 -0.4，质量是 5 - 0.4 = 4.6（kg）； （3）与标准质量相差不超过 0.3 kg，即记录在 -0.3 与 +0.3 之间（含 -0.3 和 +0.3）的袋数：+0.2、-0.1、0、+0.3、+0.1、0、-0.2、-0.3 共 8 袋是“优等”（-0.4 与 +0.5 两袋不是）。 解析：本题中的正负号只表示“比标准多”或“比标准少”，比较“相差多少”时只看数字部分的大小，与符号无关，这实际上就是后面将要学习的“绝对值”的思想。 六、课时小结 1. 判断正负数：看它与 0 的大小关系，不能只看符号；0 既不是正数也不是负数。 2. 表示相反意义的量：先规定正方向（哪一种意义为正），再用负数表示相反意义的量，0 表示基准状态。 3. 有理数分类：整数和分数统称有理数；分类时要做到不重不漏，特别注意 0 的归属和像 这样可以化简的数。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $