比在行程、工程问题中的拓展应用 （奥数培优讲义）-2026‑2027学年苏教版数学六年级上册（新教材）

本小学数学讲义聚焦比与正反比例在行程、工程问题中的拓展应用，系统梳理正反比例判定规则，构建行程问题中时间相同路程比=速度比、速度相同路程比=时间比、路程相同时间比=速度反比，以及工程问题中工作总量相同时间比=效率反比、工作时间相同工作量比=效率比的核心公式，辅以通用解题四步法和高频易错点解析，形成从基础到应用的学习支架。 资料以“知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场”分层设计，通过正反比例模型将复杂问题转化为比的关系，培养学生推理意识与运算能力。例题精讲与跟踪训练结合，课中助力教师高效授课，课后学生可通过分层练习巩固模型应用，查漏补缺，提升解决压轴题的能力。

《比在行程、工程问题中的拓展应用》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 行程问题与工程问题是六年级数学最核心、最易失分的应用题重难点，也是小升初奥数必考压轴题型。课本基础题型多采用单一公式计算，解题思路死板、运算繁琐。而比与正反比例拓展思维，是解决复杂行程、工程问题的最优捷径。通过将速度、时间、路程、效率、工作量转化为比的关系，可跳过复杂方程、简化运算、快速找准数量对应关系。本专题立足人教版教材零超纲拔高，系统梳理行程、工程两大题型的比例核心规律、正反比模型、解题通用套路，通过例题精讲、跟踪训练、分层练习、奥数赛场逐级突破，帮助同学们彻底摆脱硬算误区，掌握比例秒杀思维，轻松攻克各类压轴应用题。 知识梳理 1、核心前提：正反比例判定规则 （1）正比例关系 ① 定义：两个相关联的量，比值一定，成正比例； ② 规律：同增同减、变化倍数相同； ③ 应用场景：时间一定、速度一定、效率一定的恒定场景。 （2）反比例关系 ① 定义：两个相关联的量，乘积一定，成反比例； ② 规律：一增一减、反向变化，倍数互为倒数； ③ 应用场景：路程一定、工作总量一定的恒定场景。 2、比在行程问题中的核心公式（必考） （1）时间相同 → 路程比 = 速度比（正比） ① 适用：两车同时出发、同时相遇，行驶时间相等； ② 公式：； ③ 规律：速度越快，相同时间内行驶路程越长，路程份数与速度份数完全一致。 （2）速度相同 → 路程比 = 时间比（正比） ① 适用：同一辆车匀速行驶，速度恒定； ② 公式：； ③ 规律：行驶时间越长，总路程越远，路程份数与时间份数一致。 （3）路程相同 → 时间比 = 速度反比（反比） ① 适用：往返路程、同一段路途、两地固定距离； ② 公式：； ③ 规律：速度越快，耗时越短，时间比是速度比的倒数。 3、比在工程问题中的核心公式（必考） （1）工作总量相同 → 时间比 = 效率反比（反比） ① 适用：完成同一项工程、总量固定不变； ② 公式：（代表工作效率）； ③ 规律：工作效率越高，完成工程用时越短。 （2）工作时间相同 → 工作量比 = 效率比（正比） ① 适用：多人合作、同时开工、同时完工； ② 公式：（代表工作量）； ③ 规律：相同时间内，效率越高，完成工作量越多。 4、通用解题四步法 ① 定不变：判断题目中是路程、时间、速度、总量、效率哪个量恒定； ② 判比例：确定是正比例还是反比例，写出对应比的关系； ③ 找对应：将实际差值、总量对应份数差、总份数； ④ 求结果：求出1份对应量，倒推所有未知量。 5、高频易错点汇总 ① 正反比混淆：恒定总量用反比，恒定时间、速度用正比，极易颠倒； ② 比的顺序错乱：前后项对应关系错位，导致全程结果相反； ③ 场景判断错误：相遇问题默认时间相同，路程比等于速度比； ④ 工程问题漏归一：未将工作总量看作单位“1”，比例关系混乱； ⑤ 份数对应错误：差值对应总份数而非份数差，计算失误。 例题讲解 【例题1】行程正比模型（相遇问题） 甲乙两车同时从AB两地相向出发，速度比为，两车在途中同时相遇，已知甲车全程行驶90千米，求AB两地总路程。 【跟踪训练1】 甲乙两车速度比，同时从两地相向开出，相遇时乙车比甲车多行驶30千米，求相遇时两车各行驶多少千米？ 【例题2】行程反比模型（同路程往返） 一辆汽车从甲地开往乙地，去时速度与返回速度比为，去时比返回多用12分钟，求返回用时多少分钟？ 【跟踪训练2】 甲乙两人走同一段路，速度比为，甲比乙多用8分钟走完全程，求甲、乙走完全程各用时多少分钟？ 【例题3】工程正反比综合模型 甲乙两队工作效率比为，两队同时合作完成一项工程，完工时甲完成60份工作量，求这项工程总工作量是多少？ 【跟踪训练3】 甲乙两人加工零件，效率比，同时开工同时完工，乙比甲多加工20个零件，两人一共加工多少个零件？ 提升练习 1、行程正比基础：甲乙两车速度比，同时相向出发相遇，总路程250千米，相遇时甲乙各行驶多少千米？ 2、行程反比基础：走同一段路程，甲乙速度比，甲乙用时最简比是多少？若甲用时12分钟，乙用时多少分钟？ 3、工程正比基础：甲乙工效比，合作完成工程，甲共完成90份工作量，总工作量多少？ 4、工程反比应用：完成同一项工作，甲乙用时比，甲乙工作效率最简比是多少？ 5、行程综合基础：甲乙两车同时出发匀速行驶，时间比，速度相同，行驶路程比是多少？若甲行60千米，乙行多少千米？ 模拟赛场 1、奥数行程相遇压轴：甲乙两车速度比，同时从两地相向开出，相遇时距中点36千米，求两地总路程。 2、奥数行程往返难题：汽车往返甲乙两地，去时速度与返回速度比，往返总用时64分钟，求去时、返回各用时多少分钟？ 3、奥数工程效率压轴：甲乙单独完成一项工程的时间比，甲乙合作完成，完工时甲比乙多完成24个工作量，工程总量是多少？ 4、奥数变速行程综合：甲乙两车速度比，同时从A开往B，甲到达终点立即返回，在返程与乙相遇，全程共180千米，求相遇时乙行驶路程。 5、奥数工程多人培优：甲、乙工效比，两人合作12天完成工程，若单独做，甲需要多少天完成？ 6、奥数终极综合压轴：甲乙两车速度比，甲先行一段时间后，甲乙同时行驶并相遇，总路程450千米，全程甲乙行驶时间比，求甲乙各自行驶路程。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《比在行程、工程问题中的拓展应用》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 行程问题与工程问题是六年级数学最核心、最易失分的应用题重难点，也是小升初奥数必考压轴题型。课本基础题型多采用单一公式计算，解题思路死板、运算繁琐。而比与正反比例拓展思维，是解决复杂行程、工程问题的最优捷径。通过将速度、时间、路程、效率、工作量转化为比的关系，可跳过复杂方程、简化运算、快速找准数量对应关系。本专题立足人教版教材零超纲拔高，系统梳理行程、工程两大题型的比例核心规律、正反比模型、解题通用套路，通过例题精讲、跟踪训练、分层练习、奥数赛场逐级突破，帮助同学们彻底摆脱硬算误区，掌握比例秒杀思维，轻松攻克各类压轴应用题。 知识梳理 1、核心前提：正反比例判定规则 （1）正比例关系 ① 定义：两个相关联的量，比值一定，成正比例； ② 规律：同增同减、变化倍数相同； ③ 应用场景：时间一定、速度一定、效率一定的恒定场景。 （2）反比例关系 ① 定义：两个相关联的量，乘积一定，成反比例； ② 规律：一增一减、反向变化，倍数互为倒数； ③ 应用场景：路程一定、工作总量一定的恒定场景。 2、比在行程问题中的核心公式（必考） （1）时间相同 → 路程比 = 速度比（正比） ① 适用：两车同时出发、同时相遇，行驶时间相等； ② 公式：； ③ 规律：速度越快，相同时间内行驶路程越长，路程份数与速度份数完全一致。 （2）速度相同 → 路程比 = 时间比（正比） ① 适用：同一辆车匀速行驶，速度恒定； ② 公式：； ③ 规律：行驶时间越长，总路程越远，路程份数与时间份数一致。 （3）路程相同 → 时间比 = 速度反比（反比） ① 适用：往返路程、同一段路途、两地固定距离； ② 公式：； ③ 规律：速度越快，耗时越短，时间比是速度比的倒数。 3、比在工程问题中的核心公式（必考） （1）工作总量相同 → 时间比 = 效率反比（反比） ① 适用：完成同一项工程、总量固定不变； ② 公式：（代表工作效率）； ③ 规律：工作效率越高，完成工程用时越短。 （2）工作时间相同 → 工作量比 = 效率比（正比） ① 适用：多人合作、同时开工、同时完工； ② 公式：（代表工作量）； ③ 规律：相同时间内，效率越高，完成工作量越多。 4、通用解题四步法 ① 定不变：判断题目中是路程、时间、速度、总量、效率哪个量恒定； ② 判比例：确定是正比例还是反比例，写出对应比的关系； ③ 找对应：将实际差值、总量对应份数差、总份数； ④ 求结果：求出1份对应量，倒推所有未知量。 5、高频易错点汇总 ① 正反比混淆：恒定总量用反比，恒定时间、速度用正比，极易颠倒； ② 比的顺序错乱：前后项对应关系错位，导致全程结果相反； ③ 场景判断错误：相遇问题默认时间相同，路程比等于速度比； ④ 工程问题漏归一：未将工作总量看作单位“1”，比例关系混乱； ⑤ 份数对应错误：差值对应总份数而非份数差，计算失误。 例题讲解 【例题1】行程正比模型（相遇问题） 甲乙两车同时从AB两地相向出发，速度比为，两车在途中同时相遇，已知甲车全程行驶90千米，求AB两地总路程。 【答案】210千米 【分析】两车同时出发、同时相遇，行驶时间相同，路程比与速度比成正比，即路程比为，结合甲的路程求出单份长度，再算总路程。 【详解】 时间相同，路程比=速度比，甲:乙路程比 甲对应3份，3份=90千米，1份：（千米） 总份数：（份） 总路程：（千米） 答：AB两地总路程为210千米。 【跟踪训练1】 甲乙两车速度比，同时从两地相向开出，相遇时乙车比甲车多行驶30千米，求相遇时两车各行驶多少千米？ 【答案】甲车150千米，乙车180千米 【分析】相遇时间相同，路程比等于速度比，通过路程份数差对应实际差值，归一求解。 【详解】 路程比甲:乙，份数差：（份） 1份对应30千米 甲路程：（千米） 乙路程：（千米） 答：相遇时甲车行驶150千米，乙车行驶180千米。 【例题2】行程反比模型（同路程往返） 一辆汽车从甲地开往乙地，去时速度与返回速度比为，去时比返回多用12分钟，求返回用时多少分钟？ 【答案】48分钟 【分析】往返路程相同，时间比是速度比的反比，先求出时间比，结合时间差对应份数求解。 【详解】 路程一定，时间比=速度反比，去:回时间比 时间份数差：（份），1份对应12分钟 返回时间：（分钟） 答：返回用时48分钟。 【跟踪训练2】 甲乙两人走同一段路，速度比为，甲比乙多用8分钟走完全程，求甲、乙走完全程各用时多少分钟？ 【答案】甲36分钟，乙28分钟 【分析】路程恒定，时间与速度成反比，根据时间份数差求出单份时间，分别计算两人用时。 【详解】 时间比甲:乙，份数差：（份） 2份对应8分钟，1份：（分钟） 甲用时：（分钟） 乙用时：（分钟） 答：甲用时36分钟，乙用时28分钟。 【例题3】工程正反比综合模型 甲乙两队工作效率比为，两队同时合作完成一项工程，完工时甲完成60份工作量，求这项工程总工作量是多少？ 【答案】150 【分析】合作时间相同，工作量比等于效率比，求出甲乙工作量，相加得总工作量。 【详解】 时间相同，工作量比=效率比，甲:乙工作量比 2份对应60，1份： 乙工作量： 总工作量： 答：工程总工作量为150。 【跟踪训练3】 甲乙两人加工零件，效率比，同时开工同时完工，乙比甲多加工20个零件，两人一共加工多少个零件？ 【答案】180个 【分析】工作时间一致，工作量比等于效率比，通过工作量差值求总数量。 【详解】 工作量比甲:乙，份数差：（份） 1份对应20个 总份数： 总数量：（个） 答：两人一共加工180个零件。 提升练习 1、行程正比基础：甲乙两车速度比，同时相向出发相遇，总路程250千米，相遇时甲乙各行驶多少千米？ 【答案】甲100千米，乙150千米 【分析】相遇时间相同，路程比=速度比，按比分配总路程即可。 【详解】路程比，总份数5份，1份50千米。甲：千米，乙：千米。 2、行程反比基础：走同一段路程，甲乙速度比，甲乙用时最简比是多少？若甲用时12分钟，乙用时多少分钟？ 【答案】时间比，乙6分钟 【分析】路程一定，时间比为速度反比，化简比后按份计算。 【详解】速度比，时间比，2份=12分钟，1份=6分钟，乙用时6分钟。 3、工程正比基础：甲乙工效比，合作完成工程，甲共完成90份工作量，总工作量多少？ 【答案】150 【分析】合作时间相同，工作量比=工效比，归一求总量。 【详解】工作量比，3份=90，1份=30，总。 4、工程反比应用：完成同一项工作，甲乙用时比，甲乙工作效率最简比是多少？ 【答案】 【分析】工作总量一定，效率与时间成反比。 【详解】总量恒定，效率比=时间反比，即。 5、行程综合基础：甲乙两车同时出发匀速行驶，时间比，速度相同，行驶路程比是多少？若甲行60千米，乙行多少千米？ 【答案】路程比，乙80千米 【分析】速度一定，路程与时间成正比。 【详解】速度相同，路程比=时间比，3份=60，1份=20，乙：千米。 模拟赛场 1、奥数行程相遇压轴：甲乙两车速度比，同时从两地相向开出，相遇时距中点36千米，求两地总路程。 【答案】264千米 【分析】相遇时间相同，路程比=速度比，利用中点差量对应份数差，是小升初高频压轴。 【详解】路程比，总11份，中点为5.5份，路程差份。1.5份=36千米，1份=24千米。总路程：千米。 2、奥数行程往返难题：汽车往返甲乙两地，去时速度与返回速度比，往返总用时64分钟，求去时、返回各用时多少分钟？ 【答案】去时40分钟，返回24分钟 【分析】路程恒定，时间反比，结合总时间按比分配求解。 【详解】时间比去:回，总8份，8份=64分钟，1份=8分钟。去时：分钟，返回：分钟。 3、奥数工程效率压轴：甲乙单独完成一项工程的时间比，甲乙合作完成，完工时甲比乙多完成24个工作量，工程总量是多少？ 【答案】168 【分析】总量一定，时间反比得效率比，合作时间相同，工作量比=效率比，结合差值求总量。 【详解】时间比，效率比，工作量比，差1份=24。总7份，总量：。 4、奥数变速行程综合：甲乙两车速度比，同时从A开往B，甲到达终点立即返回，在返程与乙相遇，全程共180千米，求相遇时乙行驶路程。 【答案】160千米 【分析】全程时间相同，总路程和为2个全程，路程比=速度比，按比分配总路程和。 【详解】总路程和：千米，路程比，总9份，1份40千米。乙路程：千米。 5、奥数工程多人培优：甲、乙工效比，两人合作12天完成工程，若单独做，甲需要多少天完成？ 【答案】19.2天 【分析】合作工作量按效率比分配，先求甲总工作量，再结合合作时间求单独工时。 【详解】工作量比，甲完成总量的，甲12天完成，单独完成：天。 6、奥数终极综合压轴：甲乙两车速度比，甲先行一段时间后，甲乙同时行驶并相遇，总路程450千米，全程甲乙行驶时间比，求甲乙各自行驶路程。 【答案】甲180千米，乙270千米 【分析】路程=速度×时间，利用速度比、时间比求路程连比，按比分配总路程。 【详解】路程比=速度比×时间比，甲:乙。总3份，1份150千米。甲：千米，乙：千米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $