比的三大不变量模型（和、差、单量不变）（奥数培优讲义）-2026‑2027学年苏教版数学六年级上册（新教材）

《比的三大不变量模型（和/差/单量不变）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 比的不变量模型是苏教版六年级上册最难、也是小升初必考压轴核心题型。课本基础比的应用仅考查静态固定比分配，而奥数高频考查数量动态变化题型：两个量增减、互给后，比发生改变，但题目中隐藏着不变的量。本专题系统精讲小学奥数三大终极不变量模型：和不变模型、差不变模型、单量不变模型。绝大多数同学解题时只会硬算、不会找突破口，面对比变化题型无从下手、容易混淆模型。本讲义立足教材零超纲拔高，总结通用解题套路，通过例题精讲、跟踪训练、分层练习，帮助同学们精准识别三类不变量题型，掌握“抓不变、统份数、找对应、求每份”的万能解题思维，彻底攻克六年级比的压轴难题。 知识梳理 1、不变量题型通用解题原理 （1）题型核心逻辑 ① 题干特征：两个数量发生增加、减少、互相赠予的变化，前后两组比不相同； ② 解题突破口：变化中必有一个量始终不变，锁定不变量，将其份数统一为最小公倍数； ③ 核心思想：份数统一后，变化的份数对应实际变化的数量，归一求出1份数量，进而求解所有量。 （2）通用解题四步法 ① 找不变：判断是和不变、差不变还是单量不变； ② 统份数：以不变量为标准，利用最小公倍数统一前后比的份数； ③ 找对应：算出变量变化的份数，对应题目给出的实际变化量； ④ 求结果：求出1份对应数量，倒推原量、现量或总量。 2、模型一：和不变模型（总量不变） （1）适用场景 ① 两个量内部互相给予、调动，你给我、我给你，无外部增减； ② 核心特征：两个量的总和始终不变，仅内部数量重新分配。 （2）解题要点 ① 分别求出变化前、变化后的总份数； ② 统一总份数（最小公倍数）； ③ 单个量增减的份数=统一前后的份数差； ④ 变化实际数量÷变化份数=1份数量。 3、模型二：差不变模型（差值不变） （1）适用场景 ① 两个量同时增加、同时减少相同的数量； ② 经典场景：年龄问题、同时消费、同时增减题型； ③ 核心特征：两量的数量差值永远不变。 （2）解题要点 ① 分别求出变化前、变化后的份数差； ② 统一差值份数（最小公倍数）； ③ 对比单个量的份数变化，对应实际增减数量； ④ 归一求解每份数量。 4、模型三：单量不变模型（部分量不变） （1）适用场景 ① 两个量中，只有一个量发生增减变化，另一个量始终不变； ② 常见场景：转入转出学生、加糖加水、单量增减题型； ③ 核心特征：不变的单个量是解题唯一标准。 （2）解题要点 ① 锁定全程无变化的单一量； ② 统一该不变单量的份数； ③ 变量的份数变化对应实际变化数量； ④ 求出每份数量，求解全部问题。 5、三大模型快速区分口诀 ① 互相调动、内部交换 → 和不变； ② 同增同减、年龄问题 → 差不变； ③ 一变一不变、单独增减 → 单量不变。 6、高频易错点汇总 ① 模型混淆：分不清和不变、差不变、单量不变适用场景，解题第一步判断错误； ② 份数未统一：未用最小公倍数统一不变量份数，直接计算导致结果错误； ③ 对应错乱：找错“变化份数”与“实际变化量”的对应关系； ④ 结果求错：求出每份数后，误求现量，忽略题目求原量的要求。 例题讲解 【例题1】和不变模型（内部互给） 甲乙两人零花钱之比为，乙给甲20元后，甲乙零花钱之比变为，原来甲乙各有多少元？ 【跟踪训练1】 甲乙两筐苹果数量比是，从乙筐拿10个苹果放入甲筐，两筐数量比变为，原来两筐一共有多少个苹果？ 【例题2】差不变模型（同减变化） 今年父子年龄比为，两人同时减去10岁后，年龄比变为，今年父子各多少岁？ 【跟踪训练2】 甲乙存款比为，两人同时取出300元后，存款比变为，原来甲存款多少元？ 【例题3】单量不变模型（一量不变） 某班男女生人数比为，转入10名男生后，男女生人数比变为，原来全班多少人？ 【跟踪训练3】 一杯糖水，糖和水的比是，加入5克糖后，糖和水的比变为，原来糖水多少克？ 提升练习 1、和不变基础：甲乙书本数比，甲借给乙15本后，比变为，甲原来有多少本？ 2、差不变基础：甲乙价格比，同时降价40元后，比变为，原价乙多少元？ 3、单量不变基础：阅览室男女比，离开8名男生后，比变为，原来男生多少人？ 4、和不变综合：甲乙仓库粮食比，乙调运30吨给甲，比变为，仓库总粮食多少吨？ 5、单量不变综合：一堆棋子黑白比，加入20颗黑棋后，比变为，现有棋子多少颗？ 模拟赛场 1、奥数和不变压轴：甲乙两人积分比，甲送给乙21分后，积分比变为，甲原来积分多少？ 2、奥数差不变难题：兄弟两人零花钱比，两人各花掉40元后，钱数比为，兄弟原来各多少钱？ 3、奥数单量不变拔高：学校合唱团男女比，转出6名男生后，男女比变为，合唱团原有多少人？ 4、奥数混合模型：甲乙两桶油质量比，倒出8千克互换后比变为，两桶油总质量多少？ 5、奥数年龄差不变压轴：今年母女年龄比，5年后母女年龄比，今年母亲多少岁？ 6、奥数终极综合压轴：甲乙人数比，调出15人从甲到乙后，再调入10人到甲，最终比，求原总人数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《比的三大不变量模型（和/差/单量不变）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 比的不变量模型是苏教版六年级上册最难、也是小升初必考压轴核心题型。课本基础比的应用仅考查静态固定比分配，而奥数高频考查数量动态变化题型：两个量增减、互给后，比发生改变，但题目中隐藏着不变的量。本专题系统精讲小学奥数三大终极不变量模型：和不变模型、差不变模型、单量不变模型。绝大多数同学解题时只会硬算、不会找突破口，面对比变化题型无从下手、容易混淆模型。本讲义立足教材零超纲拔高，总结通用解题套路，通过例题精讲、跟踪训练、分层练习，帮助同学们精准识别三类不变量题型，掌握“抓不变、统份数、找对应、求每份”的万能解题思维，彻底攻克六年级比的压轴难题。 知识梳理 1、不变量题型通用解题原理 （1）题型核心逻辑 ① 题干特征：两个数量发生增加、减少、互相赠予的变化，前后两组比不相同； ② 解题突破口：变化中必有一个量始终不变，锁定不变量，将其份数统一为最小公倍数； ③ 核心思想：份数统一后，变化的份数对应实际变化的数量，归一求出1份数量，进而求解所有量。 （2）通用解题四步法 ① 找不变：判断是和不变、差不变还是单量不变； ② 统份数：以不变量为标准，利用最小公倍数统一前后比的份数； ③ 找对应：算出变量变化的份数，对应题目给出的实际变化量； ④ 求结果：求出1份对应数量，倒推原量、现量或总量。 2、模型一：和不变模型（总量不变） （1）适用场景 ① 两个量内部互相给予、调动，你给我、我给你，无外部增减； ② 核心特征：两个量的总和始终不变，仅内部数量重新分配。 （2）解题要点 ① 分别求出变化前、变化后的总份数； ② 统一总份数（最小公倍数）； ③ 单个量增减的份数=统一前后的份数差； ④ 变化实际数量÷变化份数=1份数量。 3、模型二：差不变模型（差值不变） （1）适用场景 ① 两个量同时增加、同时减少相同的数量； ② 经典场景：年龄问题、同时消费、同时增减题型； ③ 核心特征：两量的数量差值永远不变。 （2）解题要点 ① 分别求出变化前、变化后的份数差； ② 统一差值份数（最小公倍数）； ③ 对比单个量的份数变化，对应实际增减数量； ④ 归一求解每份数量。 4、模型三：单量不变模型（部分量不变） （1）适用场景 ① 两个量中，只有一个量发生增减变化，另一个量始终不变； ② 常见场景：转入转出学生、加糖加水、单量增减题型； ③ 核心特征：不变的单个量是解题唯一标准。 （2）解题要点 ① 锁定全程无变化的单一量； ② 统一该不变单量的份数； ③ 变量的份数变化对应实际变化数量； ④ 求出每份数量，求解全部问题。 5、三大模型快速区分口诀 ① 互相调动、内部交换 → 和不变； ② 同增同减、年龄问题 → 差不变； ③ 一变一不变、单独增减 → 单量不变。 6、高频易错点汇总 ① 模型混淆：分不清和不变、差不变、单量不变适用场景，解题第一步判断错误； ② 份数未统一：未用最小公倍数统一不变量份数，直接计算导致结果错误； ③ 对应错乱：找错“变化份数”与“实际变化量”的对应关系； ④ 结果求错：求出每份数后，误求现量，忽略题目求原量的要求。 例题讲解 【例题1】和不变模型（内部互给） 甲乙两人零花钱之比为，乙给甲20元后，甲乙零花钱之比变为，原来甲乙各有多少元？ 【答案】甲400元，乙500元 【分析】甲乙之间互相给钱，属于内部调动，两人总钱数和不变。先统一前后总份数，找到甲增加的份数，对应20元的实际变化量，归一求解。 【详解】 原比：甲:乙，总份数 现比：甲:乙，总份数 统一总份数：9和15最小公倍数45 原比扩比： 现比扩比： 甲份数增加：（份），1份对应20元 原来甲：（元） 原来乙：（元） 答：原来甲有400元，乙有500元。 【跟踪训练1】 甲乙两筐苹果数量比是，从乙筐拿10个苹果放入甲筐，两筐数量比变为，原来两筐一共有多少个苹果？ 【答案】770个 【分析】苹果内部转移，总数和不变。统一总份数，找到甲增加的份数对应10个，求出每份数后计算总量。 【详解】 原总份数，现总份数 统一总份数：7和11最小公倍数77 原比：，现比： 甲增加：（份），2份对应10个，1份=5个 总量：（个） 答：原来两筐一共有770个苹果。 【例题2】差不变模型（同减变化） 今年父子年龄比为，两人同时减去10岁后，年龄比变为，今年父子各多少岁？ 【答案】父亲70岁，儿子20岁 【分析】父子同时减少10岁，年龄差值永远不变。统一前后份数差，找到份数变化对应10岁，归一求解。 【详解】 原比，份数差 现比，份数差 份数差已经统一，无需扩比 父亲份数减少：（份），1份对应10岁 今年父亲：（岁） 今年儿子：（岁） 答：今年父亲70岁，儿子20岁。 【跟踪训练2】 甲乙存款比为，两人同时取出300元后，存款比变为，原来甲存款多少元？ 【答案】1500元 【分析】两人同时取钱，差值不变。统一份数差，根据减少的份数对应300元，求出每份数，计算原甲存款。 【详解】 原比，差2份；现比，差3份 统一差份数：2和3最小公倍数6 原比：，现比： 甲减少（份），1份=100元 原甲：（元） 答：原来甲存款1500元。 【例题3】单量不变模型（一量不变） 某班男女生人数比为，转入10名男生后，男女生人数比变为，原来全班多少人？ 【答案】50人 【分析】只转入男生，女生人数始终不变。以女生份数为标准统一前后比，找到男生增加份数对应10人，归一求解。 【详解】 原比男:女，现比男:女 女生份数均为3，无需扩比 男生增加：（份），2份对应10人，1份=5人 原总份数 原全班人数：（人） 答：原来全班50人。 【跟踪训练3】 一杯糖水，糖和水的比是，加入5克糖后，糖和水的比变为，原来糖水多少克？ 【答案】400克 【分析】只加糖，水的质量不变。统一水的份数，根据糖增加的份数对应5克，求出每份数，计算原糖水质量。 【详解】 原糖:水，现糖:水 糖增加（份），1份=5克 原总份数 原糖水：（克） 答：原来糖水400克。 提升练习 1、和不变基础：甲乙书本数比，甲借给乙15本后，比变为，甲原来有多少本？ 【答案】75本 【分析】内部借书，总数不变，统一总份数求解。 【详解】原总12份，现总8份，统一24份。原比，现比，甲少1份=15本，原甲本。 2、差不变基础：甲乙价格比，同时降价40元后，比变为，原价乙多少元？ 【答案】140元 【分析】同减价格，差值不变，统一差份数解题。 【详解】原差3份，现差3份，统一后原比，现比，每份20元，原乙元。 3、单量不变基础：阅览室男女比，离开8名男生后，比变为，原来男生多少人？ 【答案】16人 【分析】女生人数不变，直接对比男生份数变化。 【详解】女生份数不变，男生少2份对应8人，1份4人，原男生人。 4、和不变综合：甲乙仓库粮食比，乙调运30吨给甲，比变为，仓库总粮食多少吨？ 【答案】400吨 【分析】内部调运和不变，统一总份数找对应量。 【详解】原总8份，现总20份，统一40份，甲多3份对应30吨，1份10吨，总量吨。 5、单量不变综合：一堆棋子黑白比，加入20颗黑棋后，比变为，现有棋子多少颗？ 【答案】120颗 【分析】白棋数量不变，黑棋份数变化对应增量。 【详解】黑白棋子白棋数量不变。黑棋份数增加：（份），2份对应20颗，1份=10颗。现总份数：份，现有棋子：（颗）。 模拟赛场 1、奥数和不变压轴：甲乙两人积分比，甲送给乙21分后，积分比变为，甲原来积分多少？ 【答案】99分 【分析】内部赠送和不变，统一总份数精准找差。 【详解】甲乙内部赠送积分，总和不变。原总份数：，现总份数：。最小公倍数33。原比：，现比：。甲减少：（份），7份对应21分，1份=3分。原甲：（分）。 2、奥数差不变难题：兄弟两人零花钱比，两人各花掉40元后，钱数比为，兄弟原来各多少钱？ 【答案】哥哥140元，弟弟80元 【分析】同减消费，差值不变，高阶份数统一。 【详解】两人同时花钱，差值不变。兄弟零花钱比，各花40元后比为。解：差不变，原差3、现差3，每份20元，哥哥140、弟弟80元。 3、奥数单量不变拔高：学校合唱团男女比，转出6名男生后，男女比变为，合唱团原有多少人？ 【答案】54人 【分析】女生人数全程不变，统一女生份数求解。 【详解】女生人数不变。原比，现比。男生减少9份，对应6人，1份。原男生16份、女生56份，总人数：（人）。 4、奥数混合模型：甲乙两桶油质量比，倒出8千克互换后比变为，两桶油总质量多少？ 【答案】64千克 【分析】互换倒油，总量和不变，属于和不变高阶题型。 【详解】原总8份，现总16份，统一16份，甲多2份对应8千克，1份4千克，总千克。 5、奥数年龄差不变压轴：今年母女年龄比，5年后母女年龄比，今年母亲多少岁？ 【答案】30岁 【分析】年龄同增，差值不变，经典小升初压轴。 【详解】原差5份，现差5份，份数统一，1份5岁，母亲岁。 6、奥数终极综合压轴：甲乙人数比，调出15人从甲到乙后，再调入10人到甲，最终比，求原总人数。 【答案】245人 【分析】先内部调动、再外部增量，锁定不变量综合求解。 【详解】本题先内部调动、再外部加入，总量改变，仅可严格份数推算。原比，最终比，精准对应变化量得1份=35人，原总份数7份，原总人数：（人）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $