11.1 平面内点的坐标 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到拓展探究，覆盖平面直角坐标系全知识点，通过梯度练习培养数学抽象、推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（象限、坐标特征等）|选择填空结合解答题，易错提醒强化概念理解| |能力提升|综合应用（角平分线、对称点等）|方程思想解决坐标问题，培养推理意识| |拓展探究|复杂问题（图形面积、存在性）|坐标系中图形综合应用，发展应用意识|

沪科版八年级数学（上册）　11.1 平面内点的坐标 第11章　平面直角坐标系 11.1　平面内点的坐标　课时作业 班级：____________　姓名：____________　得分：__________ 一、知识梳理 知识点1　有序数对 用有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对，记作 (a，b)。 有序数对中两个数的顺序不能颠倒：一般情况下，(a，b) 与 (b，a) 表示的是两个不同的位置。 例如：电影票上的“5 排 8 号”记作 (5，8)，而 (8，5) 表示的是“8 排 5 号”，两者是不同的座位。 确定平面内一个物体的位置，一般需要两个数据，这正是建立平面直角坐标系的基本思想。 知识点2　平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。 ① 水平的数轴叫 x 轴（横轴），通常取向右为正方向； ② 竖直的数轴叫 y 轴（纵轴），通常取向上为正方向； ③ 两轴的交点 O 叫做坐标原点。 两条坐标轴把平面分成四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，按逆时针方向排列，如图所示。 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限。 知识点3　平面内点的坐标 由点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴上对应的数 a 叫做点 P 的横坐标，垂足在 y 轴上对应的数 b 叫做点 P 的纵坐标，有序数对 (a，b) 就叫做点 P 的坐标，记作 P(a，b)。 书写要点：先横后纵，中间用逗号隔开，整体用小括号括起来。 ① 由点写坐标：过点作两轴的垂线，读出两个垂足对应的数； ② 由坐标描点：先在 x 轴上找到 a，再在 y 轴上找到 b，过这两点分别作坐标轴的垂线，交点就是所求的点。 平面内的点与有序实数对是一一对应的：每个点都有唯一确定的坐标，每一对有序实数也都确定平面内唯一的一个点。 知识点4　各象限及坐标轴上点的坐标特征 位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 坐标符号 (+，+) (-，+) (-，-) (+，-) 举例 (3，2) (-3，2) (-3，-2) (3，-2) 坐标轴上的点： ① x 轴上的点，纵坐标为 0，可记作 (a，0)； ② y 轴上的点，横坐标为 0，可记作 (0，b)； ③ 原点的坐标是 (0，0)，它既在 x 轴上，也在 y 轴上。 反过来，若已知一个点的坐标的符号，也就能判断出它所在的象限。 知识点5　几类特殊位置的点 ① 平行于 x 轴的直线上的点，纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上的点，横坐标相同。 ② 第一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等，可记作 (a，a)； 　 第二、四象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标互为相反数，可记作 (a，-a)。 ③ 点 P(a，b) 到 x 轴的距离等于 |b|（纵坐标的绝对值），到 y 轴的距离等于 |a|（横坐标的绝对值）。 ④ 若 A(x₁，y) 与 B(x₂，y) 的纵坐标相同，则 AB 平行于 x 轴，且 AB = |x₁ - x₂|； 　 若 A(x，y₁) 与 B(x，y₂) 的横坐标相同，则 AB 平行于 y 轴，且 AB = |y₁ - y₂|。 知识点6　用坐标表示地理位置 用坐标表示地理位置的一般步骤： ① 选择一个适当的参照点作为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； ② 根据实际问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； ③ 在坐标平面内画出各个地点的位置，并写出它们的坐标（要注明地点名称）。 上图以学校为原点，每一个单位长度表示 100 m，则医院的位置可以表示为 (3，2)。 易错提醒 1．坐标是“有序”的：点 (3，-2) 与点 (-2，3) 是两个完全不同的点，不能颠倒。 2．点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离是横坐标的绝对值，二者极易记反。 3．坐标轴上的点不属于任何象限，说“点 (0，-3) 在第三象限”是错误的。 4．已知点到坐标轴的距离求坐标时，因为绝对值有两个原数，一般要分两种情况讨论，注意不要漏解。 5．在坐标系中求图形面积时，线段的长度要用坐标的差的绝对值来表示，不能直接相减。 二、基础巩固 （一）选择题（每题 3 分） 1．点 P(-2，3) 所在的象限是（　　） 　　A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2．点 A(0，-5) 的位置是（　　） 　　A．在 x 轴的正半轴上　　B．在 x 轴的负半轴上 　　C．在 y 轴的正半轴上　　D．在 y 轴的负半轴上 3．若点 M(a，b) 在第四象限，则（　　） 　　A．a > 0，b > 0　　B．a < 0，b > 0　　C．a < 0，b < 0　　D．a > 0，b < 0 4．点 A(3，-4) 到 x 轴的距离和到 y 轴的距离分别是（　　） 　　A．3 和 4　　B．4 和 3　　C．-3 和 -4　　D．4 和 -3 5．已知点 P(m - 1，m + 2) 在 x 轴上，则点 P 的坐标是（　　） 　　A．(-3，0)　　B．(0，3)　　C．(3，0)　　D．(0，-3) 6．某电影院用有序数对 (5，8) 表示“5 排 8 号”，那么 (8，5) 表示（　　） 　　A．5 排 8 号　　B．8 排 5 号　　C．5 号 8 排　　D．无法确定 7．已知点 M(2，-1)，点 N 与点 M 所在的直线 MN 平行于 y 轴，则点 N 的坐标可能是（　　） 　　A．(2，4)　　B．(4，-1)　　C．(-1，2)　　D．(0，-1) 8．若点 P(a，b) 满足 ab > 0，且 a + b < 0，则点 P 在（　　） 　　A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 （二）填空题（每题 3 分） 9．点 A(-3，5) 的横坐标是 ________，纵坐标是 ________，它在第 ________ 象限。 10．已知点 B 在 x 轴上，且它到 y 轴的距离为 4，则点 B 的坐标是 ________________。 11．若点 P(a + 1，a - 3) 在 y 轴上，则 a = ________，点 P 的坐标为 ____________。 12．点 M(-2，3) 到 x 轴的距离是 ________，到 y 轴的距离是 ________。 13．已知点 A(2，-3)，B(2，5)，则直线 AB 与 y 轴的位置关系是 ____________，线段 AB 的长为 ________。 14．点 P(x，y) 在第二象限，且 |x| = 4，|y| = 7，则点 P 的坐标是 ____________。 15．点 P 在第一、三象限的角平分线上，且横坐标为 -3，则点 P 的坐标是 ____________。 16．在平面直角坐标系中，原点的坐标是 ________；若点 Q 的横坐标与纵坐标互为相反数，且到 y 轴的距离为 2，则点 Q 的坐标是 ____________________。 （三）解答题 17．（8 分）如图，写出点 A、B、C、D、E、F 的坐标，并分别指出它们在第几象限或在哪条坐标轴上。 18．（10 分）在下面的平面直角坐标系中，描出点 A(-3，-2)、B(3，-2)、C(3，1)、D(0，4)、E(-3，1)，并把它们按 A→B→C→D→E→A 的顺序依次连接起来。 　(1) 你得到的是一个什么样的图形？ 　(2) 求这个图形的面积。 19．（10 分）如图，△ABC 的三个顶点都在平面直角坐标系中。 　(1) 写出点 A、B、C 的坐标； 　(2) 求线段 AB 的长； 　(3) 求 △ABC 的面积。 20．（8 分）如图是某小区的示意图，以学校为原点，每个单位长度表示 100 m。 　(1) 写出医院、书店、公园、超市的坐标； 　(2) 书店在学校的什么方向？它到 y 轴的距离是多少米？ 　(3) 若把公园作为原点重新建立坐标系（x 轴、y 轴方向不变），此时超市的坐标是多少？ 三、能力提升 21．点 P(2 - a，3a + 6) 在第一、三象限的角平分线上，则 a 的值是（　　） 　　A．1　　B．-1　　C．2　　D．-2 22．在第二象限内的点 P，到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（　　） 　　A．(2，3)　　B．(-2，3)　　C．(-3，2)　　D．(3，-2) 23．已知点 M(3a - 9，1 - a) 在第三象限，且 a 为整数，则 a = ________，点 M 的坐标为 ____________。 24．已知点 P(x，y) 在第四象限，且 |x| = 3， = 4，则点 P 的坐标是 ____________。 25．（10 分）已知点 P(2m + 4，m - 3)，根据下列条件分别求出点 P 的坐标： 　(1) 点 P 在 x 轴上； 　(2) 点 P 在 y 轴上； 　(3) 点 P 在第二、四象限的角平分线上。 26．（10 分）已知点 A(-3，2)。 　(1) 过点 A 作直线 l₁ 平行于 x 轴，点 B 在 l₁ 上且横坐标为 5，求点 B 的坐标与线段 AB 的长； 　(2) 过点 A 作直线 l₂ 平行于 y 轴，点 C 在 l₂ 上，且 AC = 6，求点 C 的坐标。 27．（10 分）已知点 A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)。 　(1) 求线段 AB 的长； 　(2) 求 △ABC 的面积； 　(3) 若点 D 在 y 轴上，且 △ABD 的面积与 △ABC 的面积相等，求点 D 的坐标。 四、拓展探究 28．（10 分）阅读并解决问题。 　在平面直角坐标系中，如果两个点关于 x 轴对称（即它们到 x 轴的距离相等，且分别在 x 轴的两侧，连线垂直于 x 轴），那么它们的横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两个点，纵坐标相同、横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数。即： 　点 P(a，b) 关于 x 轴的对称点为 (a，-b)；关于 y 轴的对称点为 (-a，b)；关于原点的对称点为 (-a，-b)。 　(1) 写出点 A(-3，5) 关于 x 轴、y 轴、原点的对称点的坐标； 　(2) 若点 M(2m - 1，3) 与点 N(5，n + 1) 关于 y 轴对称，求 m、n 的值； 　(3) 若点 E(a，-4) 与点 F(-2，b) 关于原点对称，求 a + b 的值。 29．（10 分）如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-2，-1)、B(4，-1)、C(4，3)、D(-2，5)。 　(1) 说明 AD 与 BC 的位置关系，并分别求出 AD、BC、AB 的长； 　(2) 求四边形 ABCD 的面积； 　(3) 在 y 轴上是否存在一点 P，使 △PAB 的面积等于 12？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 五、参考答案与详解 （一）选择题 1．B 【解析】点 P 的横坐标 -2 < 0，纵坐标 3 > 0，符号为 (-，+)，符合第二象限的特征。故选 B。 【方法点拨】判断象限只看两个坐标的符号，与坐标的大小无关。 2．D 【解析】点 A 的横坐标为 0，说明它在 y 轴上；纵坐标 -5 < 0，说明它在原点下方，即 y 轴的负半轴上。故选 D。 3．D 【解析】第四象限内点的坐标符号是 (+，-)，即横坐标为正、纵坐标为负，所以 a > 0，b < 0。故选 D。 4．B 【解析】点 A(3，-4) 到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值 |-4| = 4；到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值 |3| = 3。故选 B。 【方法点拨】距离一定是非负数，答案中出现负数一定是错的，可据此排除 C、D。 5．A 【解析】点在 x 轴上，则纵坐标为 0，即 m + 2 = 0，解得 m = -2。此时横坐标 m - 1 = -2 - 1 = -3，故点 P 的坐标为 (-3，0)。故选 A。 6．B 【解析】约定第一个数表示排数，第二个数表示号数，所以 (8，5) 表示 8 排 5 号。故选 B。 7．A 【解析】平行于 y 轴的直线上的点横坐标相同。点 M 的横坐标是 2，所以点 N 的横坐标也应为 2，只有 A 符合。故选 A。 8．C 【解析】由 ab > 0 知 a、b 同号；又 a + b < 0，两个同号的数相加为负，说明 a、b 都是负数，即 a < 0，b < 0，点 P 在第三象限。故选 C。 （二）填空题 9．-3；5；二 【解析】坐标 (a，b) 中，a 为横坐标、b 为纵坐标；符号为 (-，+)，在第二象限。 10．(4，0) 或 (-4，0) 【解析】点在 x 轴上，纵坐标为 0；到 y 轴的距离为 4，说明 |横坐标| = 4，横坐标为 4 或 -4，故有两个答案。 【方法点拨】凡是由“距离”反求坐标，都要考虑正、负两种情况，这是最常见的漏解点。 11．-1；(0，-4) 【解析】点在 y 轴上，则横坐标为 0，即 a + 1 = 0，a = -1；此时纵坐标 a - 3 = -1 - 3 = -4，所以 P(0，-4)。 12．3；2 【解析】到 x 轴的距离 = |3| = 3；到 y 轴的距离 = |-2| = 2。 13．平行（AB∥y 轴）；8 【解析】A、B 的横坐标都是 2，所以直线 AB 平行于 y 轴；AB = |5 - (-3)| = |8| = 8。 14．(-4，7) 【解析】第二象限内点的符号为 (-，+)，所以 x < 0，y > 0。由 |x| = 4 得 x = -4，由 |y| = 7 得 y = 7。 15．(-3，-3) 【解析】第一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等，横坐标为 -3，则纵坐标也是 -3。 16．(0，0)；(2，-2) 或 (-2，2) 【解析】横、纵坐标互为相反数，可设点 Q 为 (a，-a)；到 y 轴距离为 2，即 |a| = 2，故 a = 2 或 a = -2，对应 (2，-2) 与 (-2，2)。 （三）解答题 17． 【答案】A(-3，2)，在第二象限；B(4，3)，在第一象限；C(0，-3)，在 y 轴上；D(-4，-2)，在第三象限；E(3，0)，在 x 轴上；F(2，-3)，在第四象限。 【解析】读点的坐标时，先过这个点向 x 轴作垂线，垂足对应的数就是横坐标；再向 y 轴作垂线，垂足对应的数就是纵坐标。点 C 在 y 轴上，它的横坐标为 0；点 E 在 x 轴上，它的纵坐标为 0，这两点都不属于任何象限。 18． 【答案】(1) 依次连接后得到一个“房子”形的五边形（下部是长方形，上部是三角形），如图所示；(2) 面积为 27。 【解析】(1) A、B 的纵坐标都是 -2，AB 平行于 x 轴，AB = |3 - (-3)| = 6；E、C 的纵坐标都是 1，EC 平行于 x 轴，EC = 6；AE 平行于 y 轴，AE = |1 - (-2)| = 3。所以四边形 ABCE 是长方形。 　　(2) 长方形 ABCE 的面积 = 6 × 3 = 18； 　　　　△ECD 中，底 EC = 6，高为点 D 到直线 EC 的距离 = |4 - 1| = 3，面积 = × 6 × 3 = 9； 　　　　所以五边形的面积 = 18 + 9 = 27。 【方法点拨】坐标系中求面积的通法：先用“坐标差的绝对值”求出水平或竖直方向的线段长，再把图形分割成长方形与三角形。 19． 【答案】(1) A(-2，1)，B(4，1)，C(2，5)；(2) AB = 6；(3) S△ABC = 12。 【解析】(2) 因为 A、B 的纵坐标都是 1，所以 AB 平行于 x 轴，AB = |4 - (-2)| = 6。 　　(3) 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则点 D 的坐标为 (2，1)，高 CD = |5 - 1| = 4， 　　　　所以 S△ABC = × AB × CD = × 6 × 4 = 12。 20． 【答案】(1) 医院 (3，2)，书店 (-2，3)，公园 (-4，-2)，超市 (2，-3)；(2) 书店在学校的西北方向，它到 y 轴的距离是 200 m；(3) 超市的坐标为 (6，-1)。 【解析】(1) 以学校为原点读出各点坐标即可。 　　(2) 书店的横坐标为 -2（在学校西侧），纵坐标为 3（在学校北侧），故在西北方向；到 y 轴的距离 = |-2| = 2 个单位长度 = 2 × 100 = 200(m)。 　　(3) 以公园 (-4，-2) 为新原点后，每个点的横坐标要比原来大 4，纵坐标要比原来大 2，所以超市由 (2，-3) 变为 (2 + 4，-3 + 2)，即 (6，-1)。 【方法点拨】换原点相当于把整个坐标网向左（下）或向右（上）“搬家”，只需算出新原点相对于原原点的位置变化即可。 （四）能力提升 21．B 【解析】第一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等，故 2 - a = 3a + 6，解得 4a = -4，a = -1。此时点 P 为 (3，3)，符合题意。故选 B。 22．B 【解析】第二象限内点的符号是 (-，+)。到 x 轴距离为 3，则 |纵坐标| = 3，纵坐标 = 3；到 y 轴距离为 2，则 |横坐标| = 2，横坐标 = -2。故点 P 为 (-2，3)，选 B。 【方法点拨】先由象限定符号，再由距离定绝对值，两步走就不会出错。 23．2；(-3，-1) 【解析】第三象限内横、纵坐标均为负，所以 3a - 9 < 0 且 1 - a < 0，解得 a < 3 且 a > 1，即 1 < a < 3。又 a 为整数，故 a = 2。此时 3a - 9 = -3，1 - a = -1，点 M 为 (-3，-1)。 24．(3，-2) 【解析】第四象限内 x > 0，y < 0。由 |x| = 3 得 x = 3；由 = 4 得 y = 2 或 y = -2，取 y = -2。所以点 P 为 (3，-2)。 25． 【答案】(1) P(10，0)；(2) P(0，-5)；(3) P(，-)。 【解析】(1) 点在 x 轴上，纵坐标为 0：m - 3 = 0，m = 3，横坐标 2m + 4 = 10，故 P(10，0)。 　　(2) 点在 y 轴上，横坐标为 0：2m + 4 = 0，m = -2，纵坐标 m - 3 = -5，故 P(0，-5)。 　　(3) 第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数，即 (2m + 4) + (m - 3) = 0， 　　　　3m + 1 = 0，m = -。此时横坐标 2 × (-) + 4 = ，纵坐标 - - 3 = -， 　　　　所以 P(，-)。 【方法点拨】“在某条坐标轴上”给出的是一个坐标为 0 的方程；“在角平分线上”给出的是两个坐标相等或互为相反数的方程。抓住这一点，这类题就变成了解一元一次方程。 26． 【答案】(1) B(5，2)，AB = 8；(2) C(-3，8) 或 C(-3，-4)。 【解析】(1) l₁ 平行于 x 轴，其上各点的纵坐标都与点 A 相同，都是 2，故 B(5，2)；AB = |5 - (-3)| = 8。 　　(2) l₂ 平行于 y 轴，其上各点的横坐标都是 -3，可设 C(-3，y)。由 AC = |y - 2| = 6 得 y - 2 = 6 或 y - 2 = -6，解得 y = 8 或 y = -4，所以 C(-3，8) 或 C(-3，-4)。 【方法点拨】点 C 可能在点 A 的上方，也可能在下方，务必分两种情况讨论。 27． 【答案】(1) AB = 6；(2) S△ABC = 9；(3) D(0，3) 或 D(0，-3)。 【解析】(1) A、B 都在 x 轴上，AB = |4 - (-2)| = 6。 　　(2) 以 AB 为底，则高为点 C 到 x 轴的距离 |3| = 3，S△ABC = × 6 × 3 = 9。 　　(3) 设 D(0，y)。以 AB 为底，高为点 D 到 x 轴的距离 |y|， 　　　　由 × 6 × |y| = 9 得 |y| = 3，所以 y = 3 或 y = -3，即 D(0，3) 或 D(0，-3)。 （五）拓展探究 28． 【答案】(1) 关于 x 轴对称的点为 (-3，-5)，关于 y 轴对称的点为 (3，5)，关于原点对称的点为 (3，-5)；(2) m = -2，n = 2；(3) a + b = 6。 【解析】(1) 直接套用规律：关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标变相反数；关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标变相反数；关于原点对称，两个坐标都变相反数。 　　(2) 关于 y 轴对称，则纵坐标相同、横坐标互为相反数，所以 　　　　2m - 1 = -5，解得 m = -2；3 = n + 1，解得 n = 2。 　　(3) 关于原点对称，则 a = -(-2) = 2，-4 = -b，即 b = 4，所以 a + b = 2 + 4 = 6。 【方法点拨】记忆口诀：关于谁对称，谁的坐标不变（关于 x 轴对称，x 不变）；关于原点对称，全部变号。 29． 【答案】(1) AD∥BC（都平行于 y 轴），AD = 6，BC = 4，AB = 6；(2) 四边形 ABCD 的面积为 30；(3) 存在，P(0，3) 或 P(0，-5)。 【解析】(1) A、D 的横坐标都是 -2，所以 AD 平行于 y 轴；B、C 的横坐标都是 4，所以 BC 平行于 y 轴，因此 AD∥BC。 　　　　AD = |5 - (-1)| = 6，BC = |3 - (-1)| = 4；A、B 的纵坐标都是 -1，AB 平行于 x 轴，AB = |4 - (-2)| = 6。 　　(2) 因为 AD∥BC，且 AB 与它们都垂直，所以四边形 ABCD 是直角梯形，AB 是它的高， 　　　　S = × (AD + BC) × AB = × (6 + 4) × 6 = 30。 　　(3) 设点 P 的坐标为 (0，y)。以 AB 为底，AB = 6，点 P 到直线 AB（即直线 y = -1）的距离为 |y - (-1)| = |y + 1|， 　　　　由 × 6 × |y + 1| = 12 得 |y + 1| = 4，所以 y + 1 = 4 或 y + 1 = -4， 　　　　解得 y = 3 或 y = -5，故存在这样的点，P(0，3) 或 P(0，-5)。 【方法点拨】这里的“高”是点 P 到直线 AB 的距离，而 AB 不在 x 轴上，所以要用两个纵坐标之差的绝对值，不能直接用 |y|。 本节小结 1．平面直角坐标系的两个方向：由点写坐标（作垂线、读数）；由坐标描点（找横、找纵、作垂线求交点）。 2．四个象限的符号 (+，+)、(-，+)、(-，-)、(+，-) 要牢记；坐标轴上的点不属于任何象限。 3．两条距离：到 x 轴的距离 = |纵坐标|，到 y 轴的距离 = |横坐标|；由距离反求坐标要分类讨论。 4．两类平行：纵坐标相同 → 平行于 x 轴；横坐标相同 → 平行于 y 轴；线段长用坐标差的绝对值表示。 5．求面积的基本策略：分割成长方形与三角形，或“补”成一个大长方形再减去多余部分。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $