专题10过三点的圆精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦过三点的圆核心内容，系统梳理过一点、两点、三点作圆规律，明确三角形外接圆与外心定义、性质及位置特征，整合尺规作图与反证法基础，构建从基础到应用的学习支架。 该讲义以结构化知识体系为亮点，通过易错点提示强化概念理解，多样化题型设计培养几何直观与推理意识，反证法应用提升逻辑思维，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

专题10过三点的圆精讲学案 课堂核心立意 围绕三点定圆核心定理，掌握过一点、两点、三点作圆规律，吃透三角形外接圆、外心定义与位置特征，学会反证法基础推理，解决圆复原、外接圆半径计算、外心定位典型题型。 过点作圆基础规律 ①过平面内1个定点，可画出无数个圆，圆心可取定点外任意一点，半径为圆心到定点的距离。 ②过平面内2个定点，可画出无数个圆，全部圆心集中在两点连线的垂直平分线上，半径为圆心到任意一个定点的长度。 ③核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，“确定”代表有且仅有一个圆；三点在同一直线上，无法作出同时经过三点的圆。 三角形外接圆、外心核心概念 ①三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，该三角形称作圆的内接三角形。 ②三角形外心：外接圆圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 ③外心核心性质：外心到三角形三个顶点的距离全部相等，该距离就是外接圆半径。 不同类型三角形外心位置规律 ①锐角三角形：外心落在三角形内部。 ②直角三角形：外心为斜边中点，外接圆半径等于斜边长度的一半。 ③钝角三角形：外心落在三角形外部。 三角形外接圆尺规作图步骤 ①连接三角形任意两组顶点，得到两条线段。 ②分别作两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为外心。 ③以外心为圆心，外心到任意顶点长度为半径画圆，得到三角形外接圆。 反证法定义与解题步骤 ①定义：先假设命题结论反面成立，通过逻辑推导得出与公理、定理、已知条件矛盾的结果，以此推翻假设，证明原命题成立。 ②标准三步：假设结论不成立→推理导出矛盾→否定假设，证明原命题正确，本节课用于证明“共线三点不能作圆”。 （课堂重点强调、考场避错） 1.定理表述遗漏关键前提，直接写“三点确定一个圆”，缺少“不在同一直线上”限定条件，概念判断直接失分。 2.混淆三角形外心与内心，外心是垂直平分线交点，内心是角平分线交点，二者性质完全不同。 3.直角三角形外接圆半径计算直接取斜边长度，忘记除以2。 4.作外接圆只画一条边的垂直平分线，无法精准定位圆心，作图出错。 5.反证法推理逻辑颠倒，不会找准结论的对立面进行假设。 6.破损圆形复原题型，不会利用圆弧两点作垂直平分线找圆心。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型二 求三角形外心坐标 ★★ 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 ★★ 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 ★ 题型六 判断确定圆的条件 ★ 题型七 确定圆心 (尺规作图) ★★ 题型八 求能确定的圆的个数 ★★ 题型九 画圆 (尺规作图) ★★ 题型十 反证法证明中的假设 ★ 题型十一 用反证法证明命题 ★★ 题型十二 举反例 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：三角形外接圆的概念辨析 解题思路 ①熟记外接圆、内接三角形、外心相关定义。 ②明确外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点距离相等。 ③区分外心（垂直平分线交点）和内心（角平分线交点），不要混淆。 ④逐条分析选项，关注定理前提条件，甄别错误说法。 1．三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为________． 3．如图，O是的外心，则________． 题型二：求三角形外心坐标 解题思路 ①外心是三角形两条边垂直平分线的交点。 ②选取三角形两条边，求出这两条线段垂直平分线的函数解析式。 ③联立两个解析式组成方程组，求解方程组，得到交点坐标即为外心坐标。 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 6．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 题型三：求特殊三角形外接圆的半径 解题思路 ①直角三角形：外心为斜边中点，外接圆半径 = 斜边长度 ÷ 2。 ②等边三角形：利用勾股定理，由高、外接圆半径、半条边长构造直角三角形计算。 ③普通三角形：先定位出外心，外心到顶点的线段长就是外接圆半径。 7．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为_____． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 9．方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为_________． 10．如图，在中，，点为上一点，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 题型四：已知外心的位置判断三角形的形状 解题思路 ①外心在三角形内部，对应锐角三角形。 ②外心落在三角形的边上（斜边中点），对应直角三角形。 ③外心在三角形外部，对应钝角三角形。 ④对照外心位置直接判定三角形类型。 11．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 12．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 13．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 题型五：判断三角形外接圆的圆心位置 解题思路 ①外接圆圆心就是外心，为三边垂直平分线交点。 ②根据三角形分类快速判断：锐角三角形在内部；直角三角形在斜边中点；钝角三角形在外部。 14．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 15．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型六：判断确定圆的条件 解题思路 ①过1个点：可以作无数个圆。 ②过2个点：可以作无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上。 ③不在同一直线上的三点：有且只有一个圆。 ④在同一直线上的三点：不能作出圆。 ⑤抓住“不在同一直线上”关键前提，判断命题正误。 17．说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 18．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 19．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 题型七：确定圆心 (尺规作图) 解题思路 ①在圆弧（残缺圆）上任取两组不同点。 ②分别作出两组点连线的垂直平分线。 ③两条垂直平分线的交点即为所求圆心。 20．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 21．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 22．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 题型八：求能确定的圆的个数 解题思路 ①审题看清已知点的数量，判断点是否共线。 ②1个已知点：无数个圆；2个已知点：无数个圆。 ③3个已知点：不共线可作1个圆；三点共线可作0个圆。 ④4个及以上点，要分点是否共圆分类讨论。 23．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 25．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 题型九：画圆 (尺规作图) 解题思路 ①找圆心：作对应线段的垂直平分线，确定圆心位置。 ②定半径：取圆心到已知点的距离作为半径。 ③以确定的点为圆心、指定半径画出圆。 26．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．延长线段至C，使 C．作直线 D．以点D为圆心，任意长为半径画弧 27．如图，已知的半径为1，是直径，分别以点为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于两点，则图中阴影部分的面积是__________ 28．如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 题型十：反证法证明中的假设 解题思路 ①找准原命题的结论部分。 ②写出结论的否定形式，该否定就是反证法的假设。 ③注意“至少、至多、一定”这类词语的反面表述，不要写错。 29．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 30．用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 31．利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 32．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 题型十一：用反证法证明命题 解题思路 ①假设原命题的结论不成立。 ②以假设作为条件，一步步推理。 ③推导出和已知条件、公理、定理相矛盾的结果。 ④由矛盾说明假设错误，证明原命题成立。 33．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 34．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 35．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 题型十二：举反例 解题思路 ①读懂命题，找出命题的条件和结论。 ②构造满足命题条件、但是不满足命题结论的实例。 ③用该实例即可说明原命题是错误命题。 36．请写出能说明“任何有理数的平方都大于”是假命题的一个反例：______． 37．为了说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A． B． C． D． 38．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 39．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．阅读理解 材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为． 即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：① ． ②如果，求x的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． 2．用反证法证明命题：“若，且，则”． 3．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截；_______． 求证：直线与_________． 证明：假设_________， 则_________（_________）． 这与_________矛盾，故______不成立． 所以____________． 4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 5．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 6．如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10过三点的圆精讲学案 课堂核心立意 围绕三点定圆核心定理，掌握过一点、两点、三点作圆规律，吃透三角形外接圆、外心定义与位置特征，学会反证法基础推理，解决圆复原、外接圆半径计算、外心定位典型题型。 过点作圆基础规律 ①过平面内1个定点，可画出无数个圆，圆心可取定点外任意一点，半径为圆心到定点的距离。 ②过平面内2个定点，可画出无数个圆，全部圆心集中在两点连线的垂直平分线上，半径为圆心到任意一个定点的长度。 ③核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，“确定”代表有且仅有一个圆；三点在同一直线上，无法作出同时经过三点的圆。 三角形外接圆、外心核心概念 ①三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，该三角形称作圆的内接三角形。 ②三角形外心：外接圆圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 ③外心核心性质：外心到三角形三个顶点的距离全部相等，该距离就是外接圆半径。 不同类型三角形外心位置规律 ①锐角三角形：外心落在三角形内部。 ②直角三角形：外心为斜边中点，外接圆半径等于斜边长度的一半。 ③钝角三角形：外心落在三角形外部。 三角形外接圆尺规作图步骤 ①连接三角形任意两组顶点，得到两条线段。 ②分别作两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为外心。 ③以外心为圆心，外心到任意顶点长度为半径画圆，得到三角形外接圆。 反证法定义与解题步骤 ①定义：先假设命题结论反面成立，通过逻辑推导得出与公理、定理、已知条件矛盾的结果，以此推翻假设，证明原命题成立。 ②标准三步：假设结论不成立→推理导出矛盾→否定假设，证明原命题正确，本节课用于证明“共线三点不能作圆”。 （课堂重点强调、考场避错） 1.定理表述遗漏关键前提，直接写“三点确定一个圆”，缺少“不在同一直线上”限定条件，概念判断直接失分。 2.混淆三角形外心与内心，外心是垂直平分线交点，内心是角平分线交点，二者性质完全不同。 3.直角三角形外接圆半径计算直接取斜边长度，忘记除以2。 4.作外接圆只画一条边的垂直平分线，无法精准定位圆心，作图出错。 5.反证法推理逻辑颠倒，不会找准结论的对立面进行假设。 6.破损圆形复原题型，不会利用圆弧两点作垂直平分线找圆心。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型二 求三角形外心坐标 ★★ 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 ★★ 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 ★ 题型六 判断确定圆的条件 ★ 题型七 确定圆心 (尺规作图) ★★ 题型八 求能确定的圆的个数 ★★ 题型九 画圆 (尺规作图) ★★ 题型十 反证法证明中的假设 ★ 题型十一 用反证法证明命题 ★★ 题型十二 举反例 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：三角形外接圆的概念辨析 解题思路 ①熟记外接圆、内接三角形、外心相关定义。 ②明确外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点距离相等。 ③区分外心（垂直平分线交点）和内心（角平分线交点），不要混淆。 ④逐条分析选项，关注定理前提条件，甄别错误说法。 1．三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 2．如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，利用圆周角定理得出圆心角的度数，再根据点是外心可知，进而判断出的形状，最后利用勾股定理求得. 【详解】解：如图，过点作于点，则． 由题意，得内接于半径为的， ． 又， ， ， ， ， ； 故答案为：. 3．如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 题型二：求三角形外心坐标 解题思路 ①外心是三角形两条边垂直平分线的交点。 ②选取三角形两条边，求出这两条线段垂直平分线的函数解析式。 ③联立两个解析式组成方程组，求解方程组，得到交点坐标即为外心坐标。 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 6．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 题型三：求特殊三角形外接圆的半径 解题思路 ①直角三角形：外心为斜边中点，外接圆半径 = 斜边长度 ÷ 2。 ②等边三角形：利用勾股定理，由高、外接圆半径、半条边长构造直角三角形计算。 ③普通三角形：先定位出外心，外心到顶点的线段长就是外接圆半径。 7．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形外接圆，掌握相关知识是解决问题的关键．的两直角边的长分别为和，由勾股定理可求斜边长，由圆周角定理知，的圆周角所对的弦是直径，所以半径即为此直角三角形斜边的一半． 【详解】解：∵的两直角边的长分别为和， 则斜边长为， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴此直角三角形外接圆的直径为， 则外接圆的半径为． 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 9．方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形两边边长， 当是两直角边长时， 则斜边长为， 这个直角三角形的外接圆半径为， 当是斜边边长时， 则另一条直角边长为， 则这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：或． 10．如图，在中，，点为上一点，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作辅助线，再根据三角形外接圆的性质以及垂径定理可以得到、、三者之间的关系，最后利用勾股定理求出外接圆的半径． 【详解】解：如图所示 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴在与中 ∴ ∴ ∴ ∴作，垂足为 则 ∴过外接圆圆心，设圆心为，连接 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴设，则 ∴在中 即 ∴ ∴外接圆的半径为： 故选 【点睛】本题考查的是三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质：等边对等角，全等三角形性质和判定等相关知识点，利用三角形外接圆的性质做出辅助线是解题的关键． 题型四：已知外心的位置判断三角形的形状 解题思路 ①外心在三角形内部，对应锐角三角形。 ②外心落在三角形的边上（斜边中点），对应直角三角形。 ③外心在三角形外部，对应钝角三角形。 ④对照外心位置直接判定三角形类型。 11．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 12．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 13．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 题型五：判断三角形外接圆的圆心位置 解题思路 ①外接圆圆心就是外心，为三边垂直平分线交点。 ②根据三角形分类快速判断：锐角三角形在内部；直角三角形在斜边中点；钝角三角形在外部。 14．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 15．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 16．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 题型六：判断确定圆的条件 解题思路 ①过1个点：可以作无数个圆。 ②过2个点：可以作无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上。 ③不在同一直线上的三点：有且只有一个圆。 ④在同一直线上的三点：不能作出圆。 ⑤抓住“不在同一直线上”关键前提，判断命题正误。 17．说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题的关键． 【详解】解：过一点的圆的圆心可以是平面上除点外的任意点，选项错误； 过两点的圆的圆心在一条直线上，在的垂直平分线上，选项正确； 过不在同一直线上三点的圆的圆心只有一个点，即三角形的外心，选项错误； 过四点的圆存在，比如正方形的外接圆，选项错误． 故选B 18．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 19．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 【答案】 /90度 2 【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解； （2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ .∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为． （2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 题型七：确定圆心 (尺规作图) 解题思路 ①在圆弧（残缺圆）上任取两组不同点。 ②分别作出两组点连线的垂直平分线。 ③两条垂直平分线的交点即为所求圆心。 20．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 21．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 22．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 题型八：求能确定的圆的个数 解题思路 ①审题看清已知点的数量，判断点是否共线。 ②1个已知点：无数个圆；2个已知点：无数个圆。 ③3个已知点：不共线可作1个圆；三点共线可作0个圆。 ④4个及以上点，要分点是否共圆分类讨论。 23．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 24．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 25．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 题型九：画圆 (尺规作图) 解题思路 ①找圆心：作对应线段的垂直平分线，确定圆心位置。 ②定半径：取圆心到已知点的距离作为半径。 ③以确定的点为圆心、指定半径画出圆。 26．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．延长线段至C，使 C．作直线 D．以点D为圆心，任意长为半径画弧 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线以及直线的概念及尺规作图，熟练掌握线段、射线以及直线的性质是解题的关键； 根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【详解】解：A．根据射线是从A向B无限延伸，故延长射线到D是错误的；不符合题意； B．延长线段至C，则，故使是错误的；不符合题意； C．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的；不符合题意； D．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；符合题意； 故选：D． 27．如图，已知的半径为1，是直径，分别以点为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于两点，则图中阴影部分的面积是__________ 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．连接，先判断为等边三角形，则，由于，所以图中阴影部分的面积，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算． 【详解】解：连接如图： 的半径为1，是直径， ， 以的长为半径画弧，两弧相交于两点， ， 为等边三角形， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为： 28．如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据步骤作图即可； 【详解】按照题干步骤完成作图，如下： ①连接，作线段的垂直平分线交于点，保留垂直平分线的作图痕迹； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点，保留画圆的痕迹； ③连接，交的垂直平分线于点，作图完成，所有痕迹保留； 如图： 题型十：反证法证明中的假设 解题思路 ①找准原命题的结论部分。 ②写出结论的否定形式，该否定就是反证法的假设。 ③注意“至少、至多、一定”这类词语的反面表述，不要写错。 29．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 30．用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【答案】A 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步应假设结论的反面成立，命题“等腰三角形的底角是锐角”的结论的反面为等腰三角形的底角是直角或钝角． 31．利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【答案】这两条直线不平行 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 32．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 题型十一：用反证法证明命题 解题思路 ①假设原命题的结论不成立。 ②以假设作为条件，一步步推理。 ③推导出和已知条件、公理、定理相矛盾的结果。 ④由矛盾说明假设错误，证明原命题成立。 33．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，据此可得答案． 【详解】解：反证法中第一步先假设结论不成立，即第一步为假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设， 第二步是推出矛盾，即推出假设不成立，即第二步为，这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 第三步为所以一个三角形中不能有两个直角 故正确的顺序为③①②． 34．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 35．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 题型十二：举反例 解题思路 ①读懂命题，找出命题的条件和结论。 ②构造满足命题条件、但是不满足命题结论的实例。 ③用该实例即可说明原命题是错误命题。 36．请写出能说明“任何有理数的平方都大于”是假命题的一个反例：______． 【答案】 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出一个满足命题条件、不满足命题结论的反例即可． 【详解】解：根据平方的非负性，对任意有理数，都有， 当时，， 不大于，说明使命题“有理数的平方都大于”是假命题的一个反例． 37．为了说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、当，时，满足，此时，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例； B、当，时，不满足，不可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例； C、当，时，不满足，不可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例； D、当，时，满足，此时，不可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例． 38．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题题设，不满足命题结论的反例即可，本题题设为，结论为，只需找出符合要求的反例即可． 【详解】解：当时，，满足题设条件，，不满足的结论，因此可以说明原命题是假命题． 39．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 解答题 1．阅读理解 材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为． 即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：① ． ②如果，求x的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． 【答案】(1)①3；② (2)不成立． 如，，则， ， ， 不成立． 【分析】（1）①根据新定义计算即可； ②根据新定义列不等式组求解即可； （2）取具体数据代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②， ， 解得：； （2）略． 2．用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 3．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截；_______． 求证：直线与_________． 证明：假设_________， 则_________（_________）． 这与_________矛盾，故______不成立． 所以____________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行 【分析】根据题干信息结合反证法的含义完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；． 求证：直线与不平行． 证明：假设， 则（两直线平行，同旁内角互补）． 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 5．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 6．如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（ ）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （）连接，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可； 本题考查了作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的外接圆的半径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $