29.1.1 圆的有关概念（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆的有关概念”核心知识点，系统梳理圆的描述性与集合定义，弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧等概念，以及点与圆的三种位置关系（d与r的数量关系判定及双向转化），构建从定义理解到概念辨析再到实际应用的学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如手工推磨、足球滚动）培养几何直观，通过易错点辨析（如等弧需同圆或等圆）强化推理意识，设置分层练习（随学随练、拓展最值问题）提升应用意识。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章 圆 29.1.1圆的有关概念 课时目标 1结合生活实例认识圆，理解圆的描述性定义与集合定义，明确圆心、半径对圆的决定 作用。 2.准确识别弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等孤等概念，规范孤的符号表 课标要点 示，辨析易混淆概念。 3.掌握点与圆的三种位置关系，会根据点到圆心的距离和半径r的大小关系判定位 置；已知位置关系反推距离取值范围。 4.能结合图形完成概念判断与简单计算，建立“形~数”对应逻辑。 重点： 1.圆的两种定义，弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的概念识别。 2.点与圆的三种位置关系，d与r的数量关系判定。 学习重难点 难点： 1.圆的集合定义理解；辨析易错点：弦不一定是直径，等弧必须在同圆或等圆中。 2.点与圆位置关系的双向转化：由图形得数量、由数量判断图形位置。 3.含参数问题：已知点和圆的位置关系，求半径或距离的取值范围。 清主线 课时内容导图 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 固定端点：圆心：旋转线段：半径 圆的描述定义 在平面内，线段绕固定端点旋转一周形成的图形 0定义 圆上所有点到圆心距离都等于半径 圆的集合定义 平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合 弦：连接圆上两点的线段 弦、直径 直径是弦，弦不一定是直径 直径：过圆心的弦 圆的有关概念 半圆：直径分圆得到 ②相关概念 孤：圆上两点间部分 优孤：大于半圆 劣孤：小于半圆 等圆：半径相等 等圆、等孤 长度相等≠等弧 等弧：同圆/等圆中能够互相重合的弧 点在圆外：d>r 判定依据： 点到圆心距离d 圆半径r 点在圆上：d=r ③点与圆的位置关系 点在圆内：d<r 双向应用：由位置得数量；由数量判断位置，可求参数取值范围 理新知 教材全盘梳理 知识点 圆的定义 一、圆的定义 1.描述性定义 在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。 ①固定的端点叫做圆心，记作O: ②线段的长度叫做半径，记作： 记法：以点0为圆心的圆，记作⊙O,读作“圆O”。 2.集合定义 圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 ①圆上的点：到圆心距离=半径： ②圆指的是圆周（曲线），不包含圆的内部区域。 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、圆的相关元素概念 1.弦与直径 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；②直径：经过圆心的弦叫做直径。 2.弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，符号AB ①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆。 ②劣弧：小于半圆的弧（只用两个字母表示）。 ③优弧：大于半圆的弧（要用三个字母表示，区分劣弧）。 辨析：半圆是弧，但弧不一定是半圆。 3等圆、等弧 ①等圆：能够互相重合的两个圆。半径相等的两个圆是等圆，圆心可以不同。 ②等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4易错：仅仅长度相等的弧不一定是等弧，必须同时满足“同圆/等圆”+“能够重合”两个条件。 特别提醒 ①确定圆的两个要素：圆心（定位置）、半径（定大小）。 ②直径一定是弦，弦不一定是直径；直径是圆中最长的弦。 随学随练 1.（26-27九年级上·北京·课堂例题)下列说法正确的个数是(). ①弦是直径： ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧： ④优弧一定大于劣弧， A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026河南商丘一模)如图，在⊙O中，∠OCB=25°，A,B,C三点均在圆上，AB=CB,则 ∠B的度数为() 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45o c.50° D.60° 3.(25-26九年级上·广东深圳阶段检测)如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM=2,则 过点M的所有弦中，弦长是整数的共有条。 4.(25-26六年级下·上海普陀阶段检测).已知图1、图2中两个半圆的半径相等，01、02分别是两圆 的圆心，图1中的阴影部分面积为S1,图2中的阴影部分面积为S2,那么S1与S2之间的大小关系是S S' 01 02 图1 图2 知识点2 点与圆的位置关系 一、点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d。 ①点P在圆外：d>r;②点P在圆上个d;③点P在圆内dkr 双向逻辑： ①已知位置，写距离与半径的大小： ②已知d、r大小，判断点的位置： ③含参数题型：根据位置关系列不等式求参数范围。 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 太随学随练 1.(25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测)己知⊙O的半径为10cm,点A为平面内一点，且OA=8cm, 则点A与⊙O的位置关系是() A.点A在⊙O上B.点A在⊙O内 C.点A在⊙O外 D.无法判断 2.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,点O为AB 的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙O,则下列判断正确的是() A.点C在⊙O外B.点C在⊙O上 C.点C在⊙O内 D.无法判断 3.（25-26九年级上·云南红河·期末)足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在其穿越足球场中间圆形区 域的过程中，将足球看成一个点P,若足球场中圈⊙O的半径是3m,点P到圆心的距离为3m,则点P与 ⊙O的位置关系是() A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O外或⊙O上 4.(25-26九年级下江苏泰州·阶段检测)已知⊙0的直径是10，点P到圆心0的距离d为方程 x2-4x-5=0的一个根，则点P在⊙0的 （填“内部”、“外部”、“上”) 破疑难 核心素养拓展 拓展 点与圆上一点的最值问题 5/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心结论（如图所示） 连接定点P和圆心C,直线PC交圆于两点，这两个点就是取最值的位置。 PM最大=PC+r PM最小PC一 P My C M 分三种情况： 1点P在圆外：PC>r,PMmgx=PC+r,PMm=PC-r 2点P在圆内：PC<r,PMmgx=PC+r,PM=r-PC 3.点P在圆上：PC=r,P Mmgx=2r,PMmin=0 口诀：最大加半径，最小减半径：点在圆内，大数减小数取最值条件：P、C、M三点在同一条直线上。 活学活用 1.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示 的机械设备，磨盘半径OQ=2dm,用长为11dm的连杆将点与动力装置P相连（∠OQP大小可变）， 点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB,OA=5dm.在磨盘转动过程中，AP的最 大值为dm.最小值为 dm P B 图1 图2 2.(2026贵州贵阳·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC为斜边在矩形所在平面 作Rt△BEC,∠BEC=90°，点F为CD的中点，则EF的最小值为： 6/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.(2026山东滨州一模)如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3,4，点P是⊙M上的任意一点， 过点P分别向两坐标轴作垂线段PA,PB,垂足分别为点A,B,则线段AB的最小值为 ●M A B 通题型 解题能力构建 题型一圆的基本概念辨析 解题贴士 1忽略“同圆或等圆”这个大前提； 2.垂径定理推论忘记：被平分的弦不能是直径： 3.等弧=能重合，≠弧长相等； 4.一条弦对应两条弧，两个互补圆周角，容易漏解： 5.“三点确定圆”，漏掉条件：三点不共线。 ■例1(25-26九年级上·湖北宜昌·期末)下列结论错误的是() A.圆是轴对称图形 B.圆是中心对称图形 C.半圆不是弧 D.直径是圆中最长的弦 ■对点练1-1.(25-26九年级上·四川凉山·阶段检测)下列说法中，正确的是() A.长度相等的两条弧是等弧 B.三角形的内心一定在三角形内部 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.三角形的重心到三边的距离相等 D.同弦所对的圆周角相等 ■对点练1-2.(25-26九年级上·陕西西安·阶段检测)下列说法正确的是(） A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的线段是直径 C.圆中最长的弦是直径 D.圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 ■对点练1-3.（25-26九年级上·河南平顶山·期中)下列说法中，错误的是() A.经过点P的圆有无数个 B.以点P为圆心的圆有无数个 C.半径为3cm且经过点P的圆有无数个 D.以点P为圆心，3cm长为半径的圆有无数个 题型二求圆中弦的条数 ■例2(23-24九年级下·全国课后作业)如图，在⊙0中，弦的条数是() 0 B A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 ■对点练21.(25-26九年级上·北京单元测试)如图所示，点A,O,D,点C,D,E以及点B,O, C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为() 8/23 命学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 A.2 B.3 c.4 D.5 ■对点练2-2.(25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测)如图，图中⊙0的弦共有() B E A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 对点练23.如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦， 它们分别是 E B D 题型三圆内周长和面积问题 ■例3(25-26六年级下·上海长宁·期中)要画一个周长是28.26厘米的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量 取 厘米（π取3.14）. ■对点练31.(25-26七年级上·贵州遵义·期中)如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3.两个空白部分 的面积分别为a,ba>b,则a-b的值为 (用含π的式子表示)， ●a b 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练32.(25-26七年级上·浙江温州·开学考试)电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米.现 有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为 米.（圆 周率π取3.14计算) ■对点练33.（25-26七年级上·江苏南京·开学考试)“大棚种植”能有效提高产量，如图所示，王大伯 家用这样一个用塑料薄膜覆盖的草莓大棚，大棚长20米，横截面是一个半径2米的半圆. 20米 (1)这个大棚的种植面积是( )平方米. (2)要把这个大棚全部覆盖好（接缝忽略不计），王大伯至少需要购买( )平方米的塑料薄膜. (3)这个草莓大棚内的空间大约有( )立方米 题型四判断点与圆的位置关系 解题贴士 核心原理 设：圆的半径为，d=该点到圆心的距离 1.d>r一点在圆外 2.d=r一点在圆上 3.d<r一点在圆内 关键：永远比较：点到圆心距离d和半径r的大小，不是和直径比！ 1例4(2026云南昆明二模)已知⊙O的半径为6，点A到圆心O的距离为7，则点A与圆的位置关系为 () A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 10/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练41.(25-26九年级上·湖北恩施期末)如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格 点上，一条圆弧经过A,B,C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是() D A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆内或圆上 ■对点练42.(25-26九年级上·北京·期中)如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一 个5G基站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是 300m 400m 500m ■对点练43.(25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测)⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程 x2-4x-5=0,则点P与⊙O的位置关系为 ■对点练44.（25-26九年级上·广东广州·期中)设⊙O的半径为2，点P到圆心0的距离OP=m,且m 使得关于x的方程2x2-2只2x+m-1=0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系为 题型五利用点与圆的位置关系求取值范围 ■例5(25-26九年级上·重庆·期末)已知⊙O的直径是6，若点P不在⊙O外，OP的长为1，则1的取值 范围是() A.1<6 B.I≤3 C.0≤l≤3 D.0<1<3 ■对点练51.(25-26九年级上·江苏苏州期中)两个同心圆的圆心为点O,大圆的半径为5Cm,小圆的 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 半径为3cm.若点P在大圆内部但在小圆外部，则() A.OP>3cm B.OP<5cm C.3cm<OP<5cm D.OP>5cm ■对点练52.(25-26九年级上·西藏日喀则期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.以点A为 圆心作⊙A,且使点B、C、D中至少有一个点在⊙A内，同时至少有一个点在⊙A外，则⊙A的半径r 应满足的条件是 A D ■对点练53.(25-26九年级上·四川成都阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为00°<0<360，得到△ABC.设AC中点 为E,AB中点为P,AC=4,连接EP,EP长度的取值范围是 P B A B ■对点练54.(25-26九年级上·上海静安·阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, 以点A为圆心作⊙A,要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长的取值范围为 题型六利用点与圆的位置关系求半径 12/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 1找固定条件：确定圆心；算出已知点到圆心的距离d。 坐标系：两点距离公式求d;几何题：线段长度得到d。 2.翻译题意列不等式/等式 ①点在圆内：dKt:②点在圆外：d少>1；③点在圆上：d(直接求出半径确定值) 3.解出半径r的范围 注意：半径本身几何意义：>0，最终范围必须满足半径大于0。 4多个点条件时：每个点分别列出不等式，取公共部分（交集）。 5检验边界：判断等号是否符合题意。 ■例6(25-26九年级上·浙江金华.阶段检测)平面上有⊙O及一点P,P到⊙O上一点的距离最长为6c, 最短为2cm,则⊙O的半径为()cm, A.4 B.2或4 C.3或2 D.4或3 ■对点练61.(25-26九年级上·江苏无锡·期中)若点P在⊙O内，且OP=5,则⊙O的半径可能为 () A.3 B.4 C.5 D.6 ■对点练62.(25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)己知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离 是1，则这个圆的半径是() A.6 B.2 C.2或3 D.4或6 题型七圆中最值问题 ■例7(2026山东日照.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=5,D是以点A为 圆心，5为半径的圆上一点，连接BD,M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 13/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练7-1.(2026江苏徐州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，C(0,8),A(6,0),⊙A半径为 4,P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是 ■对点练7-2.(25-26九年级下·河北邯郸阶段检测)如图，点A,B的坐标分别为A8,0,B0,8,C为 ⊙B上一点，BC=4,M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最小值为 0 ■对点练7-3.(25-26六年级下·四川成都阶段检测)如图所示，大圆O的周长为18.84厘米，在圆0中有 两个小圆，已知两个小圆的面积比为1：4，求阴影部分的周长与面积 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1.（25-26九年级下·江苏常州·学业考试模拟)如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个 部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”，下列图形中， 是“平移重合图形”的是() A.等腰三角形 B.平行四边形 C.正六边形 D.圆 2.(2026湖北十堰模拟预测)如图，已知AB是⊙O的直径，AD为⊙O的弦，COAD,连接AC, CD.分别以点A,C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，并使两弧交于一点G,直线OG交AD于点E, 2 连接CE.若∠BOC=50°，则∠CAE的度数为() 花 A.50° B.40° C.25° D.20 3.(2026河北邯郸·二模)将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min) 之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为() y(m) 70 00著 四 30 10 5 234681012x(min) A.70m B.32.5m c.35m D.40m 15/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026山西晋中.一模)如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，连接AC,CD,OC,BD.若 OC‖BD,且∠DBA=50°，则∠BDC的度数为() B A.105° B.115° C.120° D.125° 5.(25-26九年级上·山东济宁期末)如图所示，已知⊙O过B,C两点，圆心O在等腰直角△ABC的内 部，∠BAC=90°，OA=2,BC=8,则⊙O的半径为() B A.5 B.23 c.3V2 D.25 6.（25-26九年级下·江苏泰州阶段检测)己知⊙O的半径为4，若点P在⊙O内，则点P到圆心O的距离 可能为() A.4 B.V13 C.5 D.7 7.(25-26七年级下山东潍坊期末)已知⊙O的半径为5cm,P是⊙O内一点，OP=3cm,则点P到 ⊙O上各点的最大距离是 cm. 8.(2026云南昆明模拟预测)己知⊙O的直径为6，若点P到点O的距离为4，则点P在⊙O (填“内”“外”或“上”) 9.(2026北京东城一模)如图，A,B,C是⊙O上的点，OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点， 若OA=5,则BC的长为· B 10.(26-27九年级上北京课后作业)如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别为各边的中点.求 16/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证：E,F,G,H四点在同一个圆上. H 11.(25-26八年级下·吉林长春·阶段检测)[教材呈现] 试一试 如图1，作一个对角线相等的平行四边形. D C 0 B 图1 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为O; 2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD: 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD, 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形. D D B C 图① 图② [问题解决] (1)如图1求证：四边形ABCD是矩形. [结论应用] 17/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图①，AB、CD是⊙O的两条直径（圆的半径都相等），四边形ACBD是矩形吗？（只需要回答 “是”或“不是”，不需要证明) [发现结论] 3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上， [结论应用]图②，己知线段AB=4,以线段AB为对角线构成矩形ACBD,矩形ACBD面积的最大值为 素养提升 1.(2026辽宁中考真题)我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段， 共积二百五十二步，只云方面、圆径适等.”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为 252平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各 为多少步？设正方形田地的边长为X步，根据题意可列方程为() A.x2+Tx2=252 B. x2+π =252 C.x2+πx2=252 D.4X+Tx=252 2.(2026吉林长春·二模)如图，已知线段AP,以点P为圆心，PA长为半径作⊙P,交线段AP的延长 线于点B,分别以点A、B为圆心，大于AP长为半径作圆弧，两弧相交于点Q,作直线PQ,交⊙P于点 C、D,连结AD、DB、BC、CA,、若AP=2,则四边形ADBC的面积为() A.16 B.8 C.4 D.2 3.(2026湖北荆门·三模)如图，已知AB是⊙O的直径，AD为⊙O的弦，CO‖AD,连接AC,CD」 分别以点A,C为圆心，以大于号AC的长为半径作弧，并使两弧交于一点G.直线OG交AD于点E,连接 CE:若∠BOC=56则∠CAE为(） 18/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 来0 A.56 B.40° C.38° D.28° 4.(25-26九年级下·上海嘉定·期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A-1,0、B0,3和 C-2,1.将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△ABC,其中点A的对应点是A,点C的对应点是C. 下列说法中错误的是() -3-2-10 123 A.△ABC是直角三角形 B.点A的坐标是2,3 C.点C与点C关于y轴对称 D.点A在以点B为圆心，V10为半径的圆上 5.(25-26九年级上·安徽合肥·期末)如图，分别以线段AB两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相 交于C、D两点，直线CD交AB于点E,O为CD上另一点，以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O交 CD于点F,若AB=8cm,EF=2cm,则⊙O的直径为() E B A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 6.(2026四川巴中.中考真题)如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,∠OAB=60°， 则∠ABC的度数为 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026安徽安庆.一模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在AB的异侧，连接BC,OD,OC,若 ∠BOC=80°，且BCOD,则∠BOD的度数为 B D 8.(2025宁夏银川模拟预测)小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为 0,4,则点B的坐标为 9.(2025江西新余·模拟预测)如图，正方形ABCD的边长为6，以AB边上的动点O为圆心，OB为半 径作圆，将△AOD沿OD翻折得到△AOD,若⊙O过△AOD一边上的中点，则⊙O的半径为 A 10.(2026广东江门三模)如图，经过A,B两点的优弧与海岸线AB围成的区域是一个暗礁区，点O是 该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接AC交优弧于D. 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线AB最远的点E:(保留作图痕迹，不要 求写作法) (2)应用与说理：连接AE,BE,测得∠AEB=60°，若要使船C不会进入暗礁区，则∠ACB的大小应保 持在什么范围内？ 11.(2026·北京大兴.一模)旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园.某游乐场旋转木马的所有座 位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）·小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽 象为A,B两点，在旋转木马外设置固定观测点C,当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时 (如图2)开始计时. 图1 图2 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A,B的距离分别为yAc,yC(单位：米)，部分数据 如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 2.0 4.3 7.0 8.0 7.0 4.3 2.0 4.3 7.0 8.0 7.0 4.3 2.0 y 0 6 0 0 0 6 0 6 0 0 0 6 0 4.3 7.0 8.0 7.0 4.3 2.0 4.3 7.0 8.0 7.0 4.3 2.0 4.3 6 0 0 0 6 0 6 0 0 0 6 0 通过分析数据， 发现可以用函数刻画yAc与t,yBc与t之间的关系，在平面直角坐标系中，画出yAc与t之间 关系的函数图象. 21/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 8 ● 6 IV AC 0510152025303540455055607 (I)在平面直角坐标系中，画出yc与t之间关系的函数图象： (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则m=一： (3)该旋转木马座位总数为 个： (4)从t=0开始，至少经过秒，点C到A,B的距离相等： (⑤)当t=7.5秒时，yAc的值为一· 迁移创新 1.(2026北京朝阳·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,点D是半径 为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则S△BMc的取值范围是 2.(2026山东临沂·模拟预测)如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆：以 BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆：以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆：以DE=8为直径画半 圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为，第个半圆的面积为 22/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 1CA⌒B D -4-3-2-人012 4方 23/23 第二十九章 圆 29.1.1 圆的有关概念 课标要点 1.结合生活实例认识圆，理解圆的描述性定义与集合定义，明确圆心、半径对圆的决定作用。 2. 准确识别弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等概念，规范弧的符号表示，辨析易混淆概念。 3. 掌握点与圆的三种位置关系，会根据点到圆心的距离d和半径r的大小关系判定位置；已知位置关系反推距离取值范围。 4. 能结合图形完成概念判断与简单计算，建立 “形数” 对应逻辑。 学习重难点 重点： 1. 圆的两种定义，弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的概念识别。 2. 点与圆的三种位置关系，d与r的数量关系判定。 难点： 1. 圆的集合定义理解；辨析易错点：弦不一定是直径，等弧必须在同圆或等圆中。 2. 点与圆位置关系的双向转化：由图形得数量、由数量判断图形位置。 3. 含参数问题：已知点和圆的位置关系，求半径或距离的取值范围。 知识点 圆的定义 一、圆的定义 1.描述性定义 在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。 ①固定的端点叫做圆心，记作O； ②线段的长度叫做半径，记作r； 记法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 2.集合定义 圆是平面内到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合。 ①圆上的点：到圆心距离=半径； ②圆指的是圆周(曲线)，不包含圆的内部区域。 二、圆的相关元素概念 1.弦与直径 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；②直径：经过圆心的弦叫做直径。 2.弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，符号 ①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆。 ②劣弧：小于半圆的弧(只用两个字母表示)。 ③优弧：大于半圆的弧(要用三个字母表示，区分劣弧)。 辨析：半圆是弧，但弧不一定是半圆。 3.等圆、等弧 ①等圆：能够互相重合的两个圆。半径相等的两个圆是等圆，圆心可以不同。 ②等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4易错：仅仅长度相等的弧不一定是等弧，必须同时满足“同圆/等圆”+“能够重合”两个条件。 特别提醒 ①确定圆的两个要素：圆心(定位置)、半径(定大小)。 ②直径一定是弦，弦不一定是直径；直径是圆中最长的弦。 随学随练 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 4．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 知识点 点与圆的位置关系 一、点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d。 ①点P在圆外：d>r；②点P在圆上个d=r；③点P在圆内d<r 双向逻辑： ①已知位置，写距离与半径的大小； ②已知d、r大小，判断点的位置； ③含参数题型：根据位置关系列不等式求参数范围。 随学随练 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 3．（25-26九年级上·云南红河·期末）足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在其穿越足球场中间圆形区域的过程中，将足球看成一个点，若足球场中圈的半径是，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（　　） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．点在外或上 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解题的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论． 要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；根据，可得点在圆上． 【详解】解：∵点到圆心的距离为， ∴， ∵的半径是， 则； ∴点在圆上． 故选：C． 4．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 【答案】上 【分析】先解一元二次方程得到的值，再求出圆的半径，比较后判断即可． 【详解】解：， 解得或， ∵点到圆心的距离为方程的一个根， ∴， ∵的直径是， ∴的半径 ， ∴， ∴点在上． 拓展 点与圆上一点的最值问题 核心结论（如图所示） 连接定点P和圆心C，直线PC交圆于两点，这两个点就是取最值的位置。 PM最大=PC+r PM最小=|PC—r| 分三种情况： 1.点P在圆外：， 2.点P在圆内：， 3.点P在圆上：， 口诀：最大加半径，最小减半径；点在圆内，大数减小数取最值条件：P、C、M三点在同一条直线上。 活学活用 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 3．（2026·山东滨州·一模）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 【答案】3 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 题型一 圆的基本概念辨析 解题贴士 1.忽略“同圆或等圆”这个大前提； 2.垂径定理推论忘记：被平分的弦不能是直径； 3.等弧=能重合，≠弧长相等； 4.一条弦对应两条弧，两个互补圆周角，容易漏解； 5.“三点确定圆”,漏掉条件：三点不共线。 ▌例1（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括对称性、弧和弦的定义． 根据圆的定义和性质判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意； D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； 故选：C ▌对点练1-1．（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念和性质，以及重心的性质．根据等弧的定义、三角形的内心、重心以及圆周角定理逐一判断即可． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故原说法错误； B．三角形的内心是角平分线的交点，一定在三角形内部，正确； C．三角形的重心是中线交点，到三边的距离不一定相等，故原说法错误； D． 同弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误． 故选B． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． ▌对点练1-3．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 题型二 求圆中弦的条数 ▌例2（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． ▌对点练2-1．（25-26九年级上·北京·单元测试）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． ▌对点练2-3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 题型三 圆内周长和面积问题 ▌例3 （25-26六年级下·上海长宁·期中）要画一个周长是28.26厘米的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量取 ________ 厘米（取）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式及圆规的使用原理，解题的关键是根据圆的周长求出半径，圆规两脚间的距离即为圆的半径． 利用圆的周长公式变形得到，代入已知周长和计算出半径． 【详解】解：已知圆的周长 ，， 由圆的周长公式 ，得 ． ▌对点练3-1．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了减法的性质，转化的数学思想﹒根据减法的性质可以得到的值为的值，计算即可求解﹒ 【详解】解：因为阴影部分为大圆和小圆的公共部分， 所以﹒ 故答案为：﹒ ▌对点练3-2．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为毫米．现有厚度为毫米的胶片，它紧绕在盘上共有圈，那么这盘胶片的总长度约为____________米．（圆周率取计算） 【答案】 【分析】本题考查了圆环柱的应用，解题的关键是求出圆环柱的体积和胶片的底面积．根据题意，可设圆柱形的高度为毫米，分别求得中间孔的半径，大圆的半径，再根据圆环柱的体积除以胶片的底面积即可求解． 【详解】解：设圆柱形的高度为毫米， 中间孔的半径为（毫米） 外圆半径（毫米） 总长度 （毫米） 毫米（米） 答：这盘胶片的总长度约为米． 故答案为：． ▌对点练3-3．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）“大棚种植”能有效提高产量，如图所示，王大伯家用这样一个用塑料薄膜覆盖的草莓大棚，大棚长20米，横截面是一个半径2米的半圆． （1）这个大棚的种植面积是( )平方米． （2）要把这个大棚全部覆盖好（接缝忽略不计），王大伯至少需要购买( )平方米的塑料薄膜． （3）这个草莓大棚内的空间大约有( )立方米． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积公式和侧面积求解，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题干，这个大棚的种植面积就是这个长20米，宽米的长方形的面积，根据长方形的面积公式即可解答； （2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积，即它所在的圆柱的侧面积的一半，加上一个圆柱的底面积，由此利用圆柱的侧面积和底面积公式即可解答； （3）大棚所在的圆柱的体积的一半，就是这个大棚的空间，根据圆柱的体积公式解答即可． 【详解】解：（1）（平方米）， 故答案为：； （2） （平方米）， 故答案为：； （3）， ， （立方米）， 故答案为：． 题型四 判断点与圆的位置关系 解题贴士 核心原理 设：圆的半径为r,d=该点到圆心的距离 1.点在圆外 2.点在圆上 3.点在圆内 关键：永远比较：点到圆心距离d和半径r的大小，不是和直径比! ▌例4 （2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故答案为：． ▌对点练4-3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ________ ． 【答案】在圆上 【分析】本题主要考查了判断点与圆的位置，解一元二次方程，先解一元二次方程得到点P到圆心O的距离，再根据圆的半径即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∴点P到圆心O的距离为5， ∵的半径为5， ∴点P在圆上， 故答案为：在圆上． ▌对点练4-4．（25-26九年级上·广东广州·期中）设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在圆外 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系．先根据一元二次方程无实数根的条件，列不等式求出的取值范围；再确定点P与的位置关系． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴ ， 解得， ∵的半径为2， ∴点P到圆心O的距离， ∴点P与的位置关系为点P在圆外， 故答案为：点P在圆外． 题型五 利用点与圆的位置关系求取值范围 ▌例5 （25-26九年级上·重庆·期末）已知的直径是6，若点P不在外，的长为l，则l的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系． 点P不在圆外，则点P在圆内或圆上，的距离满足半径． 【详解】解：∵的直径是6， ∴半径， ∵点P不在外， ∴点P在内或圆上， ∴，即， 又∵点P在圆内时（在圆心时）， ∴， 故选：C． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①当点P在圆外时，，②当点P在圆上时，，③当点P在圆内时，，据此即可解答． 【详解】解：∵P在大圆内部， ∴， ∵P在小圆外部， ∴， ∴． 故选：C． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系，即可得出半径的取值范围． 【详解】如图，连接， ，， ， 以点为圆心作，使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外， 的半径的取值范围是：． 【点睛】当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． ▌对点练5-3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，长度的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，点与圆的位置关系，含角的直角三角形等知识，由中点为，，再根据含角的直角三角形得到，由旋转可知，因为中点为，所以，根据点的运动路径是在以点为圆心，心为半径的圆上，根据点与圆的位置关系可得的最小值和的最大值，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵中点为，， ∴， ∵，，， ∴， 由旋转可知，， ∵中点为， ∴， ∴点的运动路径是在以点为圆心，心为半径的圆上，根据点与圆的位置关系可得： 的最小值为， 的最大值为， ∴长度的取值范围是：， 故答案为：． ▌对点练5-4．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 解题贴士 1.找固定条件：确定圆心；算出已知点到圆心的距离d。 坐标系：两点距离公式求d；几何题：线段长度得到d。 2.翻译题意列不等式/等式 ①点在圆内：d<r；②点在圆外：d>r；③点在圆上：d=r(直接求出半径确定值) 3.解出半径r的范围 注意：半径本身几何意义：r>0,最终范围必须满足半径大于0。 4.多个点条件时：每个点分别列出不等式，取公共部分(交集)。 5.检验边界：判断等号是否符合题意。 ▌例6（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径．掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】∵点P在内， ∴， ∵， ∴， ∴的半径可能为6． 故选：D． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 题型七 圆中最值问题 ▌例7 （2026·山东日照·一模）如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中， ， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴ ， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． ▌对点练7-1．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． ▌对点练7-2．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先证点C在半径为4的上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为4， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． ▌对点练7-3．（25-26六年级下·四川成都·阶段检测）如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 基础通关 1．（25-26九年级下·江苏常州·学业考试模拟）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”．下列图形中，是“平移重合图形”的是（     ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．圆 【答案】B 【分析】根据新定义“平移重合图形”，判断哪个图形可被一条线分割为两部分，且其中一部分平移后能与另一部分重合，即可得出结论． 【详解】解：对于平行四边形，过一组对边的中点的直线分割得到的两个四边形全等，将其中一个四边形沿对边方向平移后，即可与另一个四边形重合，平行四边形满足“平移重合图形”的定义， 等腰三角形、正六边形、圆均无法找到满足要求的分割线． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 3．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 4．（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图所示，已知过B，C两点，圆心O在等腰直角的内部，，则的半径为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得是的垂直平分线，再根据等腰直角三角形的性质得出，从而求出，然后根据勾股定理即可得答案． 【详解】解：连接，延长交于D， ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，则 ∴， 在中，． 6．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 7．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【分析】先根据的直径求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：的直径为， 的半径， 点到圆心的距离， ， 点在外． 9．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上． 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得，同理可证得，，，再根据点与圆的位置关系求解． 【详解】略 11．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）[教材呈现] 如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 【答案】(1)证明：由题意，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形. (2)是 (3)8 【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形为矩形，即可得证； （2）根据同圆的直径相同，半径相同，结合对角线相等的平行四边形为矩形，即可得出结果； （3）根据勾股定理得到，根据完全平方的非负性，得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵是的两条直径， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：∵以线段为对角线构成矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形面积的最大值为. 素养提升 1．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 2．（2026·吉林长春·二模）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知垂直平分，结合圆的性质可知、为互相垂直的直径，利用对角线互相垂直的四边形面积公式求解． 【详解】解：由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线． 点为的圆心，点、在上 为的直径，为中点 直线过点，且 点、在上 为的直径 ． 3．（2026·湖北荆门·三模）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，，则，即可求解． 【详解】解：， ∴． ∵， ∴，， ∴． 4．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、和．将绕点B逆时针旋转后得到，其中点的对应点是，点的对应点是．下列说法中错误的是（    ） A．是直角三角形 B．点的坐标是 C．点C与点关于y轴对称 D．点在以点为圆心，为半径的圆上 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A选项；过点作轴于点D，根据旋转的性质可得，，，可判断D；再证明，可得点，可判断B选项；同理点，可判断C选项． 【详解】解：∵点、和， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形，且，故A选项正确，不符合题意； 如图，过点作轴于点D， 由旋转的性质得：，，，故D选项正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点，故B选项错误，符合题意； 同理点， ∴点C与点关于y轴对称，故C选项正确，不符合题意． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，圆的基本性质，连接，由作图方法可知，垂直平分，则，设的半径为，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴设的直径为， 故选：C． 6．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 7．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点的坐标为得，连接，过点B作轴于点，则，再求出，可得，从而得点B的坐标． 【详解】解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 9．（2025·江西新余·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以边上的动点O 为圆心，为半径作圆，将 沿翻折得到，若过一边上的中点，则的半径为_______． 【答案】2或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、圆的基本知识、折叠的性质以及勾股定理等知识，分情况讨论是解题关键．设的半径为r，分 经过 的中点、经过的中点以及经过的中点三种情况，分别求解即可． 【详解】解：设的半径为r，如下图， ①如图1，当 经过 的中点，即经过的中点， 2； ②如图2，当经过的中点，则 ， ， 在中， ， ， 解得：（负值已舍去）； ③如图3，当经过的中点，连接， ∴，，， ∴在中，可有， ，解得． 综上所述，的半径为2或或． 10．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 【答案】(1)如图所示，点E即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，与优弧的交点即为所求； （2）连接，则由圆周角定理可得，，要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 则由圆周角定理可得， 要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可， ∵ ∴． 11．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 【答案】(1) 与t之间关系的函数图象如图： (2)30 (3)6 (4)12.5 (5) 【分析】（1）根据图象中的点画出与t之间关系的函数图象即可； （2）根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，由此可得m的值； （3）根据30秒就可以转完一圈，可得1秒转，再根据表格的数据可得点A转动到点B的时间，由此可求解； （4）根据点C到A，B的距离相等，可结合对称性求解度数，由此求解时间； （5）先求解出圆的半径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同， ∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置； （3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转， 由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点， ∴A点转动过的角度为， 即每相邻的两个座位之间的角度为， ∴旋转木马座位总数为个； （4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图， ∵， ∴， 即当点C到A，B的距离相等时，点A转过， ∴秒， ∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等； （5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图， 根据表格可知，当时，有最大值为， 此时点A位于点D的位置，则有， 记圆的半径为r，则有，解得， 在中，，， ∴， ∴当秒时，的值为． 迁移创新 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $