29.1 圆的有关概念 预习讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦“圆的有关概念”核心知识点，系统梳理圆的定义、点与圆的位置关系、弦与弧等相关概念、三点确定圆及反证法，构建从基础概念到位置关系再到证明方法的递进学习支架。 资料以题型归纳为特色，每个知识点匹配例题与变式训练，通过点和圆位置关系判断、外心计算等题型培养数学思维中的推理能力与运算能力。结合环形跑道距离等实际情境题，发展几何直观与空间观念，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

第二十九章 圆 01讲 圆的有关概念 题型归纳 【知识点1 圆 1】 【知识点2 点和圆的位置关系 2】 【知识点3 与圆有关的概念 2】 【知识点4 三点确定圆与圆内接三角形 2】 【知识点5 反证法 3】 【题型1. 圆的概念辨析 3】 【题型2. 点和圆的位置关系判断 5】 【题型3. 利用点和圆的位置关系求半径 8】 【题型4. 确定圆的条件 9】 【题型5. 圆内接三角形（三角形的外接圆） 11】 【题型6. 三角形的外心 14】 【题型7. 反证法 17】 【巩固练习 19】 知识清单 知识点1 圆 1.圆的概念：如图24.1-3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O叫做圆心；线段OA叫做半径； 2.圆的表示：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 知识点2 点和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外 ⇔ d＞r ； 点P在圆上 ⇔ d=r ；点P在圆内 ⇔ d＜r 【提示】符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 知识点3 与圆有关的概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-5，AC是弦； 2.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图24.1-5，AB是直径； 3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，B为端点 的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 大于半圆的弧（用三个点表示，如图24.1-5中的 ）叫做优弧；小于半圆的弧（如图24.1-5中的 ）叫做劣弧. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆. 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点4 三点确定圆与圆内接三角形 1.过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 3. 圆内接三角形：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作内接三角形。 4.外心位置： 锐角三角形外心在三角形内部； 直角三角形外心在斜边中点，外接圆直径 = 斜边长； 钝角三角形外心在三角形外部. 知识点5 反证法 1.定义：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 2.解题步骤： （1）反设：假设原命题的结论反面成立（否定结论）； （2）关键：准确写出结论的否定形式，不能漏情况； （3）归谬：从反设出发，结合已知条件、定理推导，推出矛盾（三类矛盾）①和题目已知条件矛盾；②和公理、定理、定义矛盾；③自相矛盾； （4）结论：矛盾说明 “反设” 不成立，因此原命题结论正确。 题型专练 题型1. 圆的概念辨析 【例1】一个扇形的圆心角是，（   ）个这样的扇形可以拼成一个圆 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一个完整的圆的圆心角是，单个扇形的圆心角是， ∴需要的扇形个数为， ∴个这样的扇形可以拼成一个圆． 【例2】下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 【变式2】在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径 ， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 题型2. 点和圆的位置关系判断 【例1】若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据的直径求出半径，再比较点P到圆心的距离和半径的大小，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为． ∵，且，即点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 【例2】已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 【答案】外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，一个圆的圆心到一个点的距离为d，圆的半径为，则当时，该点在圆外；当时，该点在圆上，当时，该点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外， 故答案为：外． 【变式1】如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，由勾股定理可得，再由点与圆的位置关系即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意可得：的半径为， ∵， ∴点在圆外， 故选：B． 【变式2】在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内． 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 【变式3】已知的直径为，当线段时，则点在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】B 【分析】先求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据判定规则得出结论． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 又∵，即点A到圆心O的距离等于半径， ∴点A在上． 【点睛】点到圆心的距离d等于圆半径r时，点在圆上；d大于r时，点在圆外；d小于r时，点在圆内． 【变式4】在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙_____．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为⊙的直径， ∴点O为的中点，半径为， ∴， ∴点C在⊙上， 故答案为：上． 题型3. 利用点和圆的位置关系求半径 【例1】已知点A是外一点，且，则的半径可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，在圆外的点到圆心的距离大于半径，据此求解即可． 【详解】解：∵点A是外一点，且， ∴的半径大于0且小于2， 故选：A． 【例2】线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 【变式1】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 【变式2】圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【变式3】的半径为5，若点A在上，则________ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为5，且点A在上， ∴， 故答案为：5． 【变式4】已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：5． 题型5. 确定圆的条件 【例1】下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【例2】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆： ∴最多可画出圆的个数为6个． 故选：． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括垂径定理、圆心角与弧的关系、等弧的性质以及确定圆的条件． 根据圆的基本性质，垂径定理、圆心角与弧的关系，逐一判断即可． 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误； 等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确； 不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误； 故选：C． 【变式2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【变式3】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 题型6. 圆内接三角形（三角形的外接圆） 【例1】在中，，则的外接圆的半径长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式1】在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 【变式2】三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10， ∴此三角形的外接圆半径是5． 故选：C 【变式3】中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 【变式4】如图外接圆的圆心坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可求解． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心坐标 故答案为：． 【变式5】在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型7. 三角形的外心 【例1】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 【例2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________． 【答案】 【分析】本题考查了求三角形外心坐标，解题关键是掌握三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心. 【详解】解：∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴与的交点即为所求的的外心， ∴的外心坐标是， 故答案为：． 【变式3】在中，，，，则它的外心与顶点C之间的距离为______． 【答案】/厘米 【分析】先利用勾股定理计算出，由于的外心为斜边的中点，则可得的外接圆半径为，从而确定它的外心与顶点的距离． 【详解】解：，，， ， 的外心为斜边的中点， 的外接圆半径为， 它的外心与顶点的距离为． 故答案为：． 题型8. 反证法 【例1】利用反证法证明命题“若一个的三边长a、b、c（）有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设（     ） A． B．这个三角形是锐角三角形 C．这个三角形是钝角三角形 D．这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查反证法的证明步骤，反证法第一步需假设原命题的结论不成立，据此即可得到正确选项． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，原命题的结论为“这个三角形不是直角三角形”， ∴第一步应假设“这个三角形是直角三角形”． 【例2】用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 【答案】证明过程见解析 【详解】证明：假设三角形三个内角都大于，则，，， ，与三角形内角和为矛盾，故假设不成立，原命题成立． 【变式1】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于 【答案】D 【分析】本题考查反证法．其步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据命题：“三角形中至少有一个内角大于或等于”的否定为“每一个内角都小于”，即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设“每一个内角都小于”． 故选：D． 【变式2】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设， 故答案为：． 【变式3】用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，三角形内角和定理，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 巩固练习 1．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 3．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得平分，再根据，易得，利用三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A．等腰三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．圆 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆的性质． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，B不符合题意； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意； 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，D不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·天津河西·期末）已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点P在内，则点P到圆心O的距离小于半径，据此解答即可． 【详解】解：点P在内，的半径长为， ， 选项中只有符合． 故选：A． 9．（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）写出能说明命题“若，则．”是假命题的实数a的一个值是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足，不满足的实数即可． 【详解】解：命题“若，则”是假命题，即存在满足，且； 由可得或， 因此只要取中的任意实数即可，例如取． 故实数a的一个值可以为（答案不唯一）． 11．（2026·江苏无锡·二模）用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 【答案】 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步需假设结论不成立，原命题结论为，因此第一步应假设． 12．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围． 【详解】解：的半径为5，，且点P在外， ，即． 13．（2026·江苏扬州·二模）如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 14．（2026·江苏南通·二模）请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． (1)任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； (2)如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 【答案】(1)是假命题，，不是8的倍数 (2)是真命题，如图，在四边形中，，交点为，求证：． 证明： ． 【分析】（1）举“，不是8的倍数”作为反例，即可得出这个命题是假命题； （2）该命题是真命题，先根据命题的文字描述，写出已知条件和要求证的结论，将四边形的面积分为两个三角形的面积来分别计算，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 01讲 圆的有关概念 题型归纳 【知识点1 圆 1】 【知识点2 点和圆的位置关系 2】 【知识点3 与圆有关的概念 2】 【知识点4 三点确定圆与圆内接三角形 2】 【知识点5 反证法 3】 【题型1. 圆的概念辨析 3】 【题型2. 点和圆的位置关系判断 4】 【题型3. 利用点和圆的位置关系求半径 4】 【题型4. 确定圆的条件 5】 【题型5. 圆内接三角形（三角形的外接圆） 5】 【题型6. 三角形的外心 6】 【题型7. 反证法 7】 【巩固练习 8】 知识清单 知识点1 圆 1.圆的概念：如图24.1-3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O叫做圆心；线段OA叫做半径； 2.圆的表示：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 知识点2 点和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆内⟺ ；点P在圆上⟺ ；点P在圆外⟺ 。 【提示】符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 知识点3 与圆有关的概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-5，AC是弦； 2.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图24.1-5，AB是直径； 3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，B为端点 的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 大于半圆的弧（用三个点表示，如图24.1-5中的 ）叫做优弧；小于半圆的弧（如图24.1-5中的 ）叫做劣弧. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆. 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点4 三点确定圆与圆内接三角形 1.过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 3. 圆内接三角形：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作内接三角形。 4.外心位置： 锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点，外接圆直径 = 斜边长； 钝角三角形外心在三角形外部. 知识点5 反证法 1.定义：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 2.解题步骤： （1）反设：假设原命题的结论反面成立（否定结论）； （2）关键：准确写出结论的否定形式，不能漏情况； （3）归谬：从反设出发，结合已知条件、定理推导，推出矛盾（三类矛盾）①和题目已知条件矛盾；②和公理、定理、定义矛盾；③自相矛盾； （4）结论：矛盾说明 “反设” 不成立，因此原命题结论正确。 题型专练 题型1. 圆的概念辨析 【例1】一个扇形的圆心角是，（   ）个这样的扇形可以拼成一个圆 A． B． C． D． 【例2】下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【变式2】在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 题型2. 点和圆的位置关系判断 【例1】若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【例2】已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 【变式1】如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆外 D．不能确定 【变式2】在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【变式3】已知的直径为，当线段时，则点在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【变式4】在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙_____．（填“内”、“外”、“上”） 题型3. 利用点和圆的位置关系求半径 【例1】已知点A是外一点，且，则的半径可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【变式1】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【变式2】圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3】的半径为5，若点A在上，则________ ． 【变式4】已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 题型5. 确定圆的条件 【例1】下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【例2】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 【变式2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【变式3】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 题型6. 圆内接三角形（三角形的外接圆） 【例1】在中，，则的外接圆的半径长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【变式1】在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【变式2】三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】中，，，则的外接圆的半径为______． 【变式4】如图外接圆的圆心坐标是___________． 【变式5】在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 题型7. 三角形的外心 【例1】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【例2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________． 【变式3】在中，，，，则它的外心与顶点C之间的距离为______． 题型8. 反证法 【例1】利用反证法证明命题“若一个的三边长a、b、c（）有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设（     ） A． B．这个三角形是锐角三角形 C．这个三角形是钝角三角形 D．这个三角形是直角三角形 【例2】用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 【变式1】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于 【变式2】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设______． 【变式3】用反证法证明：已知中，，求证：． 巩固练习 1．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A．等腰三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．圆 5．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 7．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 8．（25-26九年级上·天津河西·期末）已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）写出能说明命题“若，则．”是假命题的实数a的一个值是_______． 11．（2026·江苏无锡·二模）用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 12．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 13．（2026·江苏扬州·二模）如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 14．（2026·江苏南通·二模）请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． (1)任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； (2)如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆 01讲圆的有关概念 >慰型归纳 【知识点1圆… …1】 【知识点2点和圆的位置关系： 2】 【知识点3与圆有关的概念 2】 【知识点4三点确定圆与圆内接三角形 2】 【知识点5反证法… …3】 【题型1.圆的概念辨析 3】 【题型2.点和圆的位置关系判断… 5】 【题型3.利用点和圆的位置关系求半径…8】 【题型4.确定圆的条件 9】 【题型5.圆内接三角形（三角形的外接圆） …11】 【题型6.三角形的外心… 14】 【题型7.反证法 17】 【巩固练习 19】 知识清单 知识点1圆 1.圆的概念：如图241-3，在一个平面内，线段0A绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O叫做圆心；线段OA叫做半径： 2.圆的表示：以点0为圆心的圆，记作⊙0，读作“圆0” 图24.1-3 1/25 知迟点2点和圆的位置关系 1点和圆的位置关系：设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有 点P在圆外台>r；点P在圆上台r:点P在圆内白d<r 【提示】符号“台”读作“等价王”，它表示从符号“台”的左端可以推出右端，从 右端也可以推出左端： 知迟点3与圆有关的概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-5，AC是弦： 2.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图24.1-5，AB是直径： 3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A,B为端点 的弧记作：AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”. 图24.1-5 大于半圆的弧（用三个点表示，如图24.1-5中的ABC)叫做优弧；小于半圆的弧（如 图24.1-5中的AC)叫做劣弧 4半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 6等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 知识点4三点确定圆与圆内接三角形 1过己知一点可作无数个圆：过己知两点也可作无数个圆：过不在同一条直线上的三 点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 2不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3.圆内接三角形：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形 叫作内接三角形。 4.外心位置： 2/25 锐角三角形外心在三角形内部； 直角三角形外心在斜边中点，外接圆直径=斜边长： 钝角三角形外心在三角形外部， 知识点5反证法 1定义：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的 结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 2.解题步骤： (1)反设：假设原命题的结论反面成立（否定结论）； (2)关键：准确写出结论的否定形式，不能漏情况： (3)归谬：从反设出发，结合已知条件、定理推导，推出矛盾（三类矛盾）①和题目己 知条件矛盾；②和公理、定理、定义矛盾：③自相矛盾： (4)结论：矛盾说明“反设”不成立，因此原命题结论正确。 题型专练 题型1.圆的概念辨析 【例1】一个扇形的圆心角是90°，()个这样的扇形可以拼成一个圆 A.2 B.4 C.8 D.8 【答案】B 【详解】解：：一个完整的圆的圆心角是360°，单个扇形的圆心角是90°， ∴.需要的扇形个数为360÷90=4， ∴.4个这样的扇形可以拼成一个圆. 【例2】下列说法正确的是（) A.任意两点之间的部分叫做弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D.圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误： 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表 3/25 述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中， 也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意： C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一 定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意： D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意 故选：D. 【变式1】下列说法中，正确的是() A.圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B.圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C.弦是直径 D.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错。 【详解】解：，圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半 径的点组成圆外区域， ∴，A选项错误，不符合题意 等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆 是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意： ,连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意： ,圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确： ∴D选项正确 【变式2】在半径为6的⊙O中有一条弦AB,则AB的长度不可能是() A.3 B.6 C.12 D.14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可. 【详解】解：，圆的半径r=6, 4/25 .直径d=2r=12, ,弦长AB满足0<AB≤d, .0<AB≤12， 选项D中14>12，故不可能， 故选：D 【变式3】下列说法正确的是() A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的线段是直径 C.圆中最长的弦是直径 D.圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】c 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解 决问题的关键.直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对 称图形 【详解】解：A:直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误： B:过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误： C:直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确： D:圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形， 故D错误. 故选：C 题型2.点和圆的位置关系判断 【例1】若⊙0的直径为6cm,P0=5cm,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定 【答案】A 【分析】先根据⊙O的直径求出半径，再比较点P到圆心的距离和半径的大小，根据点与圆 的位置关系判断即可。 【详解】解：，⊙0的直径为6cm, .⊙O的半径为3cm. P0=5cm,且5>3，即点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在⊙0外. 【例2】已知⊙0的半径为3,0P=23,则点P与⊙0的位置关系是：点P在⊙0 5/25 【答案】外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，一个圆的圆心到一个点的距离为d,圆的半径 为r,则当d>r时，该点在圆外；当d=r时，该点在圆上，当d<r时，该点在圆内，据此 可得答案 【详解】解：V<V12, 3<2V3 '点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0外， 故答案为：外 【变式1】如图，以A(2,0)为圆心，A0为半径画圆，则点P(0,2)与⊙A的位置关系是() A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆外 D.不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，由勾股定理可得AP=22,再由点与 圆的位置关系即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键， 【详解】解：：A(2,0),P(0,2) ..AP= J(2-0)2+(0-2)2=2V2 由题意可得：⊙A的半径为2， 2V2>2, 点P在圆外， 故选：B. 【变式2】在同一平面内，己知⊙0的半径r=5cm,点P到圆心0的距离0P=6cm,则点 P与⊙0的位置关系是() A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外：点到圆心的距离等于半径，点在圆上：点到 6/25 圆心的距离小于半径，点在圆内 【详解】：⊙O的半径r=5cm,点p到圆心0的距离0P=6cm, ∴.6>5，即0P>r, .点P在⊙0外。 【变式3】已知⊙0的直径为6cm,当线段0A=3cm时，则点A在() A.⊙0内 B.⊙0上 C.⊙0外 D.无法确定 【答案】B 【分析】先求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据判定规则得出结 论。 【详解】解：，⊙0的直径为6cm, ∴.⊙0的半径为3cm, 又，OA=3cm,即点A到圆心0的距离等于半径， .点A在⊙0上 【点睛】点到圆心的距离d等于圆半径r时，点在圆上；d大于r时，点在圆外；d小于r 时，点在圆内 【变式4】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,若以AB为直径作⊙O,则点 C在⊙0 .(填“内”、“外”、“上") 【答案】上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定 理求出AB,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=AB,最后根据点与圆 的位置关系判断即可. 【详解】解：，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm, ∴.AB=VAC2+BCZ=5cm, AB为⊙O的直径， ∴点O为AB的中点，半径为AB=cm, ∴.0c=AB=5cm, 21 2 .点C在⊙0上， 故答案为：上. 7/25 题型3。利用点和圆的位置关系求半径 【例1】已知点A是⊙0外一点，且0A=2,则⊙0的半径可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，在圆外的点到圆心的距离大于半径，据此求解 即可。 【详解】解：，点A是⊙0外一点，且0A=2, ∴.⊙0的半径大于0且小于2， 故选：A. 【例2】线段AB=6,在以AB为直径的⊙O外有一点C,则OC的长的取值范围为 【答案】0C>3 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键。 通过直径AB=6得到该圆的半径为3，根据点C在以AB为直径的⊙O外，即可得到OC的长 的取值范围 【详解】解：，线段AB=6,在以AB为直径的⊙O外有一点C, .0C>AB,即0C>3, 故答案为：0C>3. 【变式1】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足( A.0<r<6B.0<r≤6 C.r>6 D.r≥6 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断.解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主 要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d,圆的半径r,则d>r时， 点在圆外：当d=r时，点在圆上：当d<r时，点在圆内，反过来与成立， 【详解】解：，点P到圆心0的距离为6，点P在圆0外， .0P>r,即0<r<6. 故选：A 【变式2】圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个圆的半径为() A.6 B.3 C.8 D.4 【答案】B 8/25 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为 直径为解题的关键.根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案. 【详解】解：~圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2， 圆的直径是8-2=6， 圆的半径是3. 故选：B 【变式3】⊙O的半径为5，若点A在⊙0上，则0A= 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据 此可得答案。 【详解】解：，⊙0的半径为5，且点A在⊙0上， .0A=5, 故答案为：5. 【变式4】已知⊙0的半径为5，点P在⊙0上，则0P的长为 【答案】5 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答， 【详解】解：，⊙0的半径为5，点P在⊙0上， ∴.0P=5, 故答案为：5. 题型5.确定圆的条件 【例1】下列条件中，能确定唯一一个圆的是() A.以点O为圆心 B.以5cm长为半径 C.以点0为圆心，5cm长为半径 D.以上都不对 【答案】c 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案. 【详解】解：，圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴，C选项正确， 故选：C 9/25 【例2】如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在直线I外，则经过其中任意三个点， 最多可画出圆的个数为() 。◇ A B c b A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键。 找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题. 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：A,B,P;A,C,P;A,D,P:B,C,P;B,D,P;C,D,P ∴最多可画出圆的个数为6个. 故选：D. 【变式1】下列说法正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦 B.相等的圆心角所对的弧也相等 C.等弧所对的弦相等 D.过平面上三点可以画一个圆 【答案】c 【分析】本题考查圆的基本性质，包括垂径定理、圆心角与弧的关系、等弧的性质以及确定 圆的条件 根据圆的基本性质，垂径定理、圆心角与弧的关系，逐一判断即可 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误： 等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确： 不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误： 故选：C 【变式2】己知AB=12cm,过A,B两点画半径为8cm的圆，则能画的圆的个数为 【答案】2个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置： 圆心在线段AB的垂直平分线上，且与A的距离为8Cm,根据勾股定理求出圆心到AB中点的 距离，就可得到圆心的个数， 【详解】解：设AB的中点为M,圆心为O, 10/25 ,0A=0B=8 .OM⊥AB :AM=AB=×12=6 ∴.0M=V0A2-AM7=V⑧2-6=2W7 .在线段AB的垂直平分线上到M的距离等于2V万的点有两个， 故答案为：2个， 【变式3】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻 璃，应该带去店里的碎片是 ③ ④ 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两 弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心. 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得。 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心.只要有一段弧 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是② 故答案为：②， 题型6.圆内接三角形（三角形的外接圆） 【例1】在△ABC中，A=30°，BC=6,则△ABC的外接圆的半径长为() A.3 B.4 C.6 D.2 【答案】C 【详解】解：如图，连接0B,OC, 11/25 ∠A=30°， ,∴.∠B0C=2∠A=60°， 0B=0C, ∴.△OBC是等边三角形， ∴.0B=0C=BC=6. 【变式1】在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是() A.5 B.4 C.10 D.8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径， 根据勾股定理可得Rt△ABC的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径， 【详解】解：在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为V6+82=10, 90的圆周角所对的弦是直径， ∴.这个三角形的外接圆直径是10. 故选：C. 【变式2】三边长为6,8,10的三角形，它的外接圆半径长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角 形的外心就是斜边中点是解题的关键. 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据 此即可解答. 【详解】解：62+82=102， ,该三角形为直角三角形， '.这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10， ∴.此三角形的外接圆半径是5. 故选：C 【变式3】Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,则△ABC的外接圆的半径为 【答案】5 12/25 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜 边中点为圆心，斜边长是圆的直径.已知△ABC中，∠C=90°，AB=10,斜边是外接圆的 直径，因而△ABC外接圆的半径等于5. 【详解】解：∠C=90°，AB=10, Rt△ABC外接圆的半径等于5. 故答案为5 【变式4】如图△ABC外接圆的圆心坐标是 O123456x 【答案】(6,2) 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点， 结合网格的特点，画出圆心，即可求解 【详解】解：如图，点D(6,2)即为△ABC外接圆的圆心坐标 6 5 3 .-2 C 0123456x 故答案为：(6,2)， 【变式5】在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B,C均在格点上. (1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心0： (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求△ABC外接圆半径R的长. 13/25 【答案】(1)作图见解析 2)2V10 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角 形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点 (1)线段AC,BC的垂直平分线的交点O即为所求； (2)连接OB,利用勾股定理求解 【详解】(1)解：如图，点0即为所求： (2)解：连接OB. 0B=√22+62=2V10 故外接圆半径R的长为2V10. 题型7.三角形的外心 【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,则它的外心与顶点的距离为 (). A.6cm B.13cm C.7cm D.6.5cm 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质 等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键.先运 用勾股定理求出AB的值，再通过Rt△ABC外心为斜边AB的中点，求出外接圆半径，即得外 心与项点的距离. 【详解】解：：Rt△ABC,∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm, ∴.AB=VAC2+BCZ=V√52+12z=V169=13cm. ,Rt△ABC外心为斜边AB的中点， :外接园半径R=受=号=65cm ∴.外心与项点的距离为6.5cm 14/25 故选：D 【例2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正 方形的顶点上，则△ABC的外心是() g A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键.根据三角形 的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出AB,BC的垂直平 分线，由此即可得 【详解】解：结合网格，画出AB,BC的垂直平分线如图所示： 则△ABC的外心是点D 故选：A. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，则△ABC的外心坐标为() V A.(-2,1) B.(-1,1) C.(-2,-1) D.(-1,-1) 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平 分线的交点找外心 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标. 15/25 【详解】解：，三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为(-2,1)， 故选A. 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),点B(2,1),点C(2,-3),则经画图操 作可知，△ABC的外心坐标应是 【答案】(-2，-1) 【分析】本题考查了求三角形外心坐标，解题关键是掌握三角形的外心即是三角形三边垂直 平分线的交点. 先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心 【详解】解：，△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： M ∴，EF与MN的交点O即为所求的△ABC的外心， .△ABC的外心坐标是(-2，-1)， 故答案为：(-2，一1) 【变式3】在Rt△ABC中，LC=90°，AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C之间 的距离为 【答案】5cm/5厘米 【分析】先利用勾股定理计算出AB=10cm,由于Rt△ABC的外心为斜边AB的中点，则可 16/25 得Rt△ABC的外接圆半径为5cm,从而确定它的外心与顶点C的距离. 【详解】解：~∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm, ÷AB=VAC2+BC2=10cm, ~Rt△ABC的外心为斜边AB的中点， .Rt△ABC的外接圆半径为5cm, 它的外心与顶点C的距离为5cm. 故答案为：5cm 题型8.反证法 【例1】利用反证法证明命题“若一个△ABC的三边长a、b、c(a≤b≤c)有关系a2+b2≠c2 时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设() A.a2+b2=c2 B.这个三角形是锐角三角形 C.这个三角形是钝角三角形 D.这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查反证法的证明步骤，反证法第一步需假设原命题的结论不成立，据此即可 得到正确选项。 【详解】解：反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，原命题的结论为“这 个三角形不是直角三角形， ∴，第一步应假设“这个三角形是直角三角形”. 【例2】用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60” 【答案】证明过程见解析 【详解】证明：假设三角形三个内角都大于60°，则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°， ·∠A+∠B+LC>180°，与三角形内角和为180°矛盾，故假设不成立，原命题成立. 【变式1】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60”时，应先假设() A.有一个内角小于60 B.每一个内角都大于60° C.有一个内角小于或等于60 D.每一个内角都小于60 【答案】D 【分析】本题考查反证法，其步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾： (3)假设不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情 况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.根据命题： 17/25 “三角形中至少有一个内角大于或等于60”的否定为“每一个内角都小于60"，即可得到答 案。 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60”，应先假设“每一个内 角都小于60”， 故选：D 【变式2】用反证法证明，"在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b.若LA<∠B,则a<b."第 一步应假设 【答案】a≥b/b≤a 【分析】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键.反证法的步骤中，第 步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可 【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b.若∠A<∠B,则a<b." 第一步应假设a≥b, 故答案为：a≥b. 【变式3】用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°. 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，三角形内角和定理，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不 成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键. 【详解】证明：假设∠B≥90° .AB=AC .∠B=∠C ,∠B≥90° ∠C≥90° ∠B+∠C≥180° 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， '.不可能有两个内角和大于或等于180度 假设矛盾 假设不成立 ∠B<90°. 18/25 >巩固练习 1. (2026山东德州一模)如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑 道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中 两人的距离不可能是() A.2米 B.10米 C.20米 D.25米 【答案】D 【分析】求出2≤AB≤22即可得到答案。 【详解】解：当两人在同一条半径上时，AB=12-10=2, 当两人在同一条直径的两端时，AB=12+10=22, 故2≤AB≤22， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米 2.(2026内蒙古呼和浩特.一模)如图，☐ABCD中，DC=10,CB=6,以A为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB于点E;则BE的长() D A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得AD=CB=6,AB=DC=10,再根据题意得AD=AE,即可 得出答案 【详解】解：：在口ABCD中， .'.AD=CB=6,AB DC=10, 根据题意，得AE=AD=6, ∴，BE=AB-AE=10-6=4. 19/25 3.（2026湖北宜昌一模)如图，点A、B为⊙O上两点，连接0A、OB,分别以A、B为圆 心，以大于号AB的长为半径作弧，两弧交于点M,作射线OM交⊙O于点C,连接AC、BC, 若LA=65°，则∠A0B的度数为(). 米M A.90° B.100° C.110° D.120° 【答案】B 【分析】由作图可得0M平分∠A0B,再根据0A=OC,易得∠AC0=65°，利用三角形内角 和定理求出∠A0C=50°，即可得出结果. 【详解】解：由作图可得OM平分LA0B, ∴.∠AOB=2∠AOC, 0A=0C,∠A=65°， ∴.LAC0=LA=65°， ∴.LA0C=180°-∠A-∠AC0=50°， .∠A0B=100° 4.（25-26九年级上河南许昌·期末)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 () A.等腰三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.圆 【答案】c 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆的性质. 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，对各选项逐一分析判断即可. 【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意： 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，B不符合题意： 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意： 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，D不符合题意： 故选：C. 20/25 5.(2526九年级上浙江丽水期末)已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是 () A.2 B.4 C.8 D.10 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断 各选项弦长是否合理，即可 【详解】解：，圆的半径为4， 故圆的直径为2×4=8， 故圆中弦长的取值范围是0<弦长≤8： 又.10>8， ∴.弦长不可能是10. 故选：D 6.(25-26九年级上河北沧州期末)在图中没有出现的几何图形是() B A.弦 B.弧 C.弓形 D.扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的 定义判断即可。 【详解】解：A:弦是连接圆上两点的线段，AB是弦： B:弧是圆上两点及其之间的部分，AB是弧； C:弓形是由弦和弧围成的图形，AB与其所对的弧围成的图形即是弓形： D:扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形： 故选：D 7.(25-26七年级上，广东深圳期末)如图，点B为线段AC上一点，分别以线段AB、BC为直 径作圆，01,02为圆心，AC=16,则0102长度为()， 21/25 A.6 B.7 C.8 D.8.5 【答案】c 【分析】本题考查了圆的基本概念， 直接根据半径等于直径的一半作答即可. 【详解】解：，分别以线段AB、BC为直径作圆，01,02为圆心，AC=16, ∴.0102=01B+B02=(4B+BC)=2AC=8. 故选：C 8.(25-26九年级上·天津河西·期末)已知⊙0的半径长为5cm,点P在⊙0内，那么P0 的长度有可能为() A.3cm B.5cm C.6cm D.10cm 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键.点P在⊙0 内，则点P到圆心O的距离小于半径，据此解答即可 【详解】解：点P在⊙0内，⊙0的半径长为5cm, ..P0 5cm, 选项中只有3cm符合. 故选：A 9.(2026贵州黔西南·模拟预测)己知矩形ABCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，AB 为半径作⊙A,则点D在⊙A (填“外“内”或“上”). B 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及⊙A的半径r,再根据当d和r的关系判断点和 圆的位置关系即可. 【详解】解：如图：矩形ABCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，AB为半径作⊙A, 22/25 .点D到圆心A的距离d=3,⊙A的半径r=4, ..d<r, ∴.点D在⊙A内. 10.（2026福建漳州模拟预测)写出能说明命题“若1a>2,则a>2."是假命题的实数α 的一个值是 【答案】-3（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足|a>2,不满足a>2的实数a即可. 【详解】解：命题“若la>2,则a>2"是假命题，即存在a满足|ad>2,且a≤2： 由|al>2可得a>2或a<-2, 因此只要取a<-2中的任意实数即可，例如取a=一3. 故实数α的一个值可以为-3（答案不唯一）. 11.（2026江苏无锡.二模)用反证法证明“在△ABC中，如果AB=AC,那么∠B=∠C”,第 一步应假设」 【答案】LB≠LC 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步需假设结论不成立，原命题结论为∠B=∠C,因 此第一步应假设LB≠∠C 12.(25-26九年级上甘肃定西·期末)若⊙0的半径为5,0P=m,且点P在⊙0外，则 的取值范围为 【答案】m>5 【分析】根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围. 【详解】解：⊙0的半径为5，OP=m,且点P在⊙0外， 0P>5,即m>5. 13.(2026江苏扬州·二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠0CB=35°，则∠A的度数等 于 23/25 【答案】55/55度 【分析】利用⊙O是△ABC的外接圆，可得B0=CO,再根据等腰三角形底角相等和三角形 的内角和为180°，可求得∠B0C的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， 即可解答。 【详解】解：如图：连接BO, ~⊙O是△ABC的外接圆， B0=C0 ∴∠0CB=∠0BC=35°， ÷∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180°-35°-35°=110°， 根据圆周角定理可知，∠A=女B0C=×110°=55 14.(2026江苏南通.二模)请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是 假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例. (1)任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数： (2)如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半. 【答案】(1)是假命题，42-22=12，不是8的倍数 (2)是真命题，如图，在四边形ABCD中，AC1BD,交点为0，求证：SI边形4BcD=AC×BD, 证明：S四边形ABcD=S△ADC+S△ABC 24/25 1 AC×0D+2AC×0B 1 AC×(OD+0B) -AC X BD. 【分析】(1)举“42-22=12，不是8的倍数"”作为反例，即可得出这个命题是假命题： (2)该命题是真命题，先根据命题的文字描述，写出己知条件和要求证的结论，将四边形 的面积分为两个三角形的面积来分别计算，即可得证， 【详解】(1)略 (2)略 25/25第二十九章圆 01讲圆的有关概念 >型归纳 【知识点1圆 …1】 【知识点2点和圆的位置关系： 2】 【知识点3与圆有关的概念 2】 【知识点4三点确定圆与圆内接三角形 2】 【知识点5反证法… …3】 【题型1.圆的概念辨析 3】 【题型2.点和圆的位置关系判断… 4】 【题型3.利用点和圆的位置关系求半径： …………4】 【题型4确定圆的条件… 5】 【题型5.圆内接三角形（三角形的外接圆） …5】 【题型6.三角形的外心… 6】 【题型7.反证法 7】 【巩固练习 8】 知识清单 知识点1圆 1.圆的概念：如图24.1-3，在一个平面内，线段0A绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆其固定的端点 O叫做圆心；线段OA叫做半径： 2.圆的表示：以点0为圆心的圆，记作⊙0，读作“圆0” 图24.1-3 1/10 知识点2点和圆的位置关系 1点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP-d,则有 【提示】符号“台”读作“等价王”，它表示从符号“台”的左端可以推出右端，从 右端也可以推出左端。 知识点3与圆有关的概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-5，AC是弦： 2.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图24.1-5，AB是直径： 3圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A,B为端点 的弧记作：AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”. 图24.1-5 大于半圆的弧（用三个点表示，如图24.1-5中的ABC)叫做优弧；小于半圆的弧（如 图24.1-5中的AC)叫做劣弧 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等 6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点4三点确定圆与圆内接三角形 1过己知一点可作无数个圆；过己知两点也可作无数个圆；过不在同一条直线上的三 点可以作一个圆，并且只能作一个圆。 2不在同一条直线上的三个点确定一个圆： 3.圆内接三角形：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫 作内接三角形。 4外心位置： 锐角三角形外心在三角形内部； 直角三角形外心在斜边中点，外接圆直径=斜边长： 钝角三角形外心在三角形外部. 2/10 知识点5反证法 1定义：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的 结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 2.解题步骤： (1)反设：假设原命题的结论反面成立（否定结论）： (2)关键：准确写出结论的否定形式，不能漏情况： (3)归谬：从反设出发，结合已知条件、定理推导，推出矛盾（三类矛盾）①和题目已 知条件矛盾；②和公理、定理、定义矛盾：③自相矛盾： (4)结论：矛盾说明“反设”不成立，因此原命题结论正确。 >忽型专练 题型1.圆的概念辨析 【例1】一个扇形的圆心角是90°，()个这样的扇形可以拼成一个圆 A.2 B.4 C.8 D.8 【例2】下列说法正确的是() A.任意两点之间的部分叫做弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D.圆上任意两点之间的部分叫做弧 【变式1】下列说法中，正确的是() A.圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B.圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C.弦是直径 D.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【变式2】在半径为6的⊙O中有一条弦AB,则AB的长度不可能是() A.3 B.6 C.12 D.14 【变式3】下列说法正确的是() A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的线段是直径 C.圆中最长的弦是直径 D.圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 3/10 题型2.点和圆的位置关系判断 【例1】若⊙0的直径为6cm,P0=5cm,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定 【例2】已知⊙0的半径为3,0P=23,则点P与⊙0的位置关系是：点P在⊙0 【变式1】如图，以A(2,0)为圆心，A0为半径画圆，则点P(0,2)与⊙A的位置关系是() 0 A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆外 D.不能确定 【变式2】在同一平面内，已知⊙0的半径r=5cm,点P到圆心0的距离0P=6cm,则点 P与⊙0的位置关系是() A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 【变式3】已知⊙0的直径为6cm,当线段0A=3cm时，则点A在() A.⊙O内 B.⊙0上 C.⊙0外 D.无法确定 【变式4】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,若以AB为直径作⊙0，则点 C在⊙0·（填“内”、“外”、“上”） 题型3.利用点和圆的位置关系求半径 【例1】已知点A是⊙0外一点，且0A=2,则⊙0的半径可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】线段AB=6,在以AB为直径的⊙O外有一点C,则OC的长的取值范围为一· 【变式1】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足() A.0<r<6B.0<r≤6 C.r>6 D.r≥6 【变式2】圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个圆的半径为() A.6 B.3 C.8 D.4 【变式3】⊙0的半径为5，若点A在⊙0上，则0A= 【变式4】已知⊙0的半径为5，点P在⊙0上，则0P的长为 4/10 题型5，确定圆的条件 【例1】下列条件中，能确定唯一一个圆的是() A.以点O为圆心 B.以5cm长为半径 C.以点0为圆心，5cm长为半径 D.以上都不对 【例2】如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点， 最多可画出圆的个数为() P A B C D A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1】下列说法正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦 B.相等的圆心角所对的弧也相等 C.等弧所对的弦相等 D.过平面上三点可以画一个圆 【变式2】已知AB=12cm,过A,B两点画半径为8cm的圆，则能画的圆的个数为 【变式3】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻 璃，应该带去店里的碎片是· ⑧ 题型6.圆内接三角形（三角形的外接圆） 【例1】在△ABC中，∠A=30°，BC=6,则△ABC的外接圆的半径长为() A.3 B.4 C.6 D.2 【变式1】在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是() A.5 B.4 C.10 D.8 【变式2】三边长为6,8,10的三角形，它的外接圆半径长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【变式3】Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,则△ABC的外接圆的半径为 【变式4】如图△ABC外接圆的圆心坐标是 5/10 6 B 0123456x 【变式5】在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B,C均在格点上. B (1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O: (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求△ABC外接圆半径R的长， 题型7.三角形的外心 【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,则它的外心与顶点的距离为 (). A.6cm B.13cm C.7cm D.6.5cm 【例2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正 方形的顶点上，则△ABC的外心是() A.点D B.点E C.点F D.点G 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，则△ABC的外心坐标为() 6/10 A.(-2,1) B.(-1,1) C.(-2,-1) D.(-1,-1) 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),点B(2,1),点C(2,-3),则经画图操 作可知，△ABC的外心坐标应是 y 【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C之间 的距离为 题型8.反证法 【例1】利用反证法证明命题“若一个△ABC的三边长a、b、c(a≤b≤c)有关系a2+b2≠c2 时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设() A.a2+b2=c2 B.这个三角形是锐角三角形 C.这个三角形是钝角三角形 D.这个三角形是直角三角形 【例2】用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60” 【变式1】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60”时，应先假设() A.有一个内角小于60 B.每一个内角都大于60° C.有一个内角小于或等于60° D.每一个内角都小于60 【变式2】用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b.若∠A<∠B,则a<b."第 一步应假设 【变式3】用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°. 7/10 少巩固练习 1.(2026山东德州.一模)如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道 进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人 的距离不可能是() A.2米 B.10米 C.20米 D.25米 2.(2026内蒙古呼和浩特.一模)如图，□ABCD中，DC=10,CB=6,以A为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB于点E;则BE的长() C E A.4 B.6 C.8 D.10 3.(2026湖北宜昌一模)如图，点A、B为⊙0上两点，连接0A、0B,分别以A、B为圆 心，以大于号AB的长为半径作弧，两弧交于点M,作射线OM交⊙O于点C,连接AC、BC, 若LA=65°，则∠A0B的度数为(). 米M B A.90° B.100° C.110° D.120° 4.(25-26九年级上，河南许昌期末)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 () A.等腰三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.圆 5.(25-26九年级上浙江丽水期末)已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是 () 8/10 A.2 B.4 C.8 D.10 6.（25-26九年级上河北沧州期末)在图中没有出现的几何图形是() A B A.弦 B.弧 C.弓形 D.扇形 7.(25-26七年级上广东深圳期末)如图，点B为线段AC上一点，分别以线段AB、BC为直 径作圆，01,02为圆心，AC=16,则0102长度为（). B A.6 B.7 C.8 D.8.5 8.(25-26九年级上天津河西期末)己知⊙0的半径长为5cm,点P在⊙0内，那么P0 的长度有可能为() A.3cm B.5cm C.6cm D.10cm 9.（2026贵州黔西南模拟预测)已知矩形ABCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，AB 为半径作⊙A,则点D在⊙A (填“外"“内"或“上”). A B 10.(2026福建漳州模拟预测)写出能说明命题“若la>2,则a>2."是假命题的实数a 的一个值是 11.（(2026江苏无锡.二模)用反证法证明“在△ABC中，如果AB=AC,那么∠B=∠C”,第 一步应假设 12.（25-26九年级上甘肃定西期末)若⊙0的半径为5,0P=m,且点P在⊙0外，则m 的取值范围为 13.(2026江苏扬州·二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠0CB=35°，则∠A的度数等于 9/10 夕 14.(2026江苏南通.二模)请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是 假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例. (1)任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数： (2)如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半， 10/10