第二章 随机事件的概率（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第二章随机事件的概率，以“培优冲刺”为定位，通过科技（帕斯卡三角仪器）、生活（蛋糕盲盒）等多元情境设计，覆盖古典概型、几何概型等核心知识，适配单元复习的能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件判断（题3）、古典概型（题2）|结合化学试剂反应等跨学科情境，发展抽象能力| |填空题|6/18|概率与方程结合（题11）、立体几何展开图（题13）|融入文具店抽奖等生活场景，体现应用意识| |解答题|9/72|概率方案设计（题18）、计数原理应用（题20）|综合帕斯卡三角实验、点球大战等真实问题，培养推理意识与数据观念|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D B C D C C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为． 4分 （2）解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的结果有：（白，红），共1种， ∴此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率为． 8分 18．（8分） 【详解】（1）（1）不公平.理由如下： （掷中阴影部分），即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，， 游戏不公平 3分 （2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），如图所示； ②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）； ③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内； ④设不规则图形的面积为，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率（掷入不规则图形内），而（掷入不规则图形内），故，即. 8分 19．（8分） 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 2分 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 8分 20．（8分） 【详解】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法． 问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法． 问题3. （1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走， ∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A点到B点的走法共有35种． 2分 （2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数． 完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点， 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种． ∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种． 方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4， ∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种． 6分 （3）P（顺利开车到达B点）=． 答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是． 问题4. 解：乘法原理可得： 5×4×3×2×2=240（种）． 答：共有240种染色方法． 8分 21．（8分） 【详解】（1）解：画树状图如下： 实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的， 经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．由树状图可知，落到点位置的概率为； 4分 （2）解：画树状图如下： 由树状图得，落到点位置的概率为； 落到点位置的概率为． 8分 22．（10分） 【详解】（1）解：画树状图得： ， 经过3次传球后，球在乙手中的概率是； 故答案为：； 4分 （2）解：经过2次传球后，画树状图为： 经过2次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 由（1）可得经过3次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 经过4次传球后，画树状图为： 经过4次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 根据上面的规律发现，由于从甲开始传球，奇数次时乙丙的可能性一样，且比甲多；偶数次时，乙丙的可能性一样，且比甲少； ∴当为奇数时，；当为偶数时，． 10分 23．（10分） 【详解】（1）解：中，有共4个反序对， 则 ，它是一个偶排列； 2分 （2）解：易知1，2，3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为： ① ，为偶排列； ② ，为奇排列； ③ ，为奇排列； ④ ，为偶排列； ⑤ ，为偶排列； ⑥ ，为奇排列； 则排列满足反序数大于1且为偶排列的概率为； 5分 (3)至少要经过6次相邻对换， 理由如下： 中将5向右做2次相邻对换得到 ； 再将4向右做3次相邻对换得到； 再将3向右做1次相邻对换得到顺序排列 ； 则至少要经过6次相邻对换； 7分 (4)证明：设对换位置的两个数为a，b，则这两个数有相邻和不相邻两种情况： 若这两个数相邻，即将排列 变成新排列 ， 通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与a，b 之外的数无关， ①若，则变换位置后，反序对增加1，新排列的反序数增加1， 奇偶性改变； ②若，则变换位置后，反序对减少1，新排列的反序数减少1， 奇偶性改变； 所以经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变； 若a，b 不相邻，设中间有k 个数，即将排列 ，变成新排列 ， 可以分为以下两步： ①将a 向右进行相邻对换，通过次相邻对换得到 ②再将b向左做相邻对换，通过k次相邻对换到达a原来的位置， 得到最终的排列 ， 总共进行了 次相邻对换， 因为为奇数， 所以经过次（奇数次）相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变； 综上所述，在一组有n 个数的排列 中，如果将任意两个数互换位置， 其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 10分 24．（12分） 【详解】（1）解：，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动， 点相遇的时间为（秒）， 在相遇前，即时，； 在相遇后，即时，； 综上所述，； 以为一边的矩形面积为，， ； 由描点法画出图象，如图所示： ； 4分 （2）解：当时，即， 图象在图象下方， 联立，解得或（负值舍去）； ， 当时，； 8分 （3）解：如图所示： 则共有个格点，其中恰好在函数或图象上有个，故概率为． 12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是(   ) A．“购买张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为的事件”是不可能事件 C．“任意画一个六边形,它的内角和等于”是必然事件 D．从中任取个不同的数,分别记为和,那么的概率是 4．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 5．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 7．为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 12．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 13．（2026·宁夏银川·三模）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 14．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 15．（2026·山东菏泽·二模）某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 16．西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（2026·江苏南京·一模）甲袋中有1个红球、1个白球，乙袋中有1个红球、2个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． (1)求摸出的两个球颜色相同的概率； (2)若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率是__________． 18．（8分）[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 19．（8分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 20．（8分）计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 21．（8分）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． (1)试问小球通过第二层位置的概率是多少？ (2)请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？ 22．（10分）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 23．（10分）（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． (1) ______；它是 一个_____排列； (2)在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； (3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； (4)证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 24．（12分）（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】先根据概率公式列出等式，整理得到关于的不定方程，根据为非负整数、不超过原有白球数，找出所有符合条件的组合，计算组合数即可． 【详解】解：∵ 原有红球个，白球个，取出个白球，放入个红球后， 红球数量为 ，总球数量为 ， 由题意得 ， 整理得 ， ∵ ，，且(原有白球仅个)，均为整数， ∴ ，得 ，且 为偶数，故必为偶数， ∴ 的可取值为 ，对应均为非负整数，共种组合． 2．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表：   第一次 第二次 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即总共有12种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为与、与、与，共6种有效反应组合。 根据概率公式可得： 因此抽到有效反应组合的概率为． 3．下列说法正确的是(   ) A．“购买张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为的事件”是不可能事件 C．“任意画一个六边形,它的内角和等于”是必然事件 D．从中任取个不同的数,分别记为和,那么的概率是 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件以及画出树状图求概率即可解答． 【详解】解：A. “购买张彩票就中奖”是随机事件，故选项A不满足题意； B. “概率为的事件”是随机事件，故选项B不满足题意； C. 任意画一个六边形,它的内角和等于720°，则任意画一个六边形的内角和等于是不可能事件，故选项C不满足题意； D.根据题意画出树状图如下：      ∴共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2>19的有4种结果 ∴a2+b2 > 19的概率是，故选项D满足题意． 4．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 【答案】B 【分析】本题考查条件概率的实际应用，根据患病人群和健康人群中出现阳性的情况，求出实际发病率，再结合发病率与仪器准确率以及概率公式求解即可． 【详解】解： ， ∴甲确实患这种疾病的概率大约为万分之一， 故选：B． 5．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式、一元二次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据题意建立关于、的式子，消去，得到关于和的式子，进而可以看成关于的一元二次方程有两个正根问题，再将代入验证即可． 【详解】解：根据题意可得，， 可以把和看成一元二次方程的两个正根， ， 整理得， ，（，均为正整数）， 、2、3、4、5，、9、10， 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 共有15组，符合题意的有7组， 矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为， 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a， ， 点O落在如图所示以为直径的半圆内． 半圆的面积为：， 正方形的面积是， 满足的概率是． 故选： 7．为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率问题，掌握列举法是解题的关键． 根据题意，列举出所有的情况，根据题意计算概率即可． 【详解】根据题意，不妨设七年级两名学生为，八年级两名学生为， 则就坐的情况与位置1，2，3，4对应的有： ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； 总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即在2,3号位置的有4种， 所以七年级两名同学均与校长相邻的概率． 故选：C． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从4条线段中任选3条，共4种组合，但只有3种能组成三角形，对于每种三角形，利用三角函数和勾股定理验证是否可能含有角，最后用能组成含有角的三角形的情况数量除以4即可； 【详解】解：∵从4条线段中任选3条，有4种组合：；；；， 其中中，不能组成三角形， ∴能组成三角形的有3种：、、， 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， 与矛盾， ∴不能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； ∴能组成含有角的三角形有2种， ∴所求概率为； 故选：C． 9．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果，再根据二元一次方程组有解的条件筛选出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：解方程组， 由第一个方程得， 将整理后的式子，代入第二个方程得， 整理得， 当即时，方程左边为， 此时由，可知， ∴右边，即方程右边与方程左边不相等，方程组无解， ∴方程组有解的概率，即抽取的两个小球上的数字之积不为的概率， 由题意，列表如下： a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 由表可知，共有12种等可能的情况，其中满足的情况共种，因此方程组有解的情况有种， ∴方程组有解的概率为． 12．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，找出同时满足两个条件的a值，最后利用概率公式求解． 【详解】解： 正比例函数经过第一、三象限， ， ， 一元二次方程有实数解， 且， ， ， 且， 笔上的数字为， 符合条件的a值只有， 所求概率为． 13．（2026·宁夏银川·三模）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 【答案】 【分析】首先确定空白小正方形的总个数，作为所有等可能结果的总数；然后根据正方体展开图的结构特征，找出能与阴影部分组成正方体展开图的空白小正方形的个数；最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：网格中共有个小正方形，阴影部分有个小正方形， 则空白小正方形共有个， 即共有种等可能的结果， 根据正方体展开图的特征， 若选择第一行第列的空白小正方形，与阴影部分组成“”型正方体展开图，符合题意； 若选择第二行第列的空白小正方形，与阴影部分组成“”型正方体展开图，符合题意； 若选择第一行第列、第二行第列、第三行第列的空白小正方形，均会出现“田”字型结构，不能组成正方体展开图； 若选择第一行第列、第三行第列的空白小正方形，图形不连通，不能组成正方体展开图； ∴能与阴影部分组成正方体展开图的空白小正方形有个， 则所求概率 14．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 【答案】 【分析】先列举出所有满足取下吊灯前必须先取下吊灯这一条件的可能情况，然后找出吊灯第三个被取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可 【详解】解：由题意可知，取下吊灯前必须先取下吊灯， 所有可能的取下顺序为，共种等可能的结果， 其中吊灯第三个被取下的情况有，共种， 清洗时吊灯第三个被取下的概率是 ． 15．（2026·山东菏泽·二模）某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 【答案】 【分析】先画出树状图，统计出所有可能的结果总数，然后判定符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据如下树状图可得结果总数为9个，符合连续传递两次后，任务回到组的结果数为3个，所以概率为． 16．西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，能够正确计算各事件发生的次数是解题的关键． 先求出所有蛋糕盲盒的总数量，再分别计算两人选到每种同种口味的概率，利用不放回模型计算最终结果． 首先计算所有蛋糕盲盒的总数量（盒）， 【详解】设两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒为事件，小懂有40种选择，则小颖有剩下的39种可能，所有等可能的结果数为， 两人选同一种口味的所有等可能结果数为， 则概率为． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·江苏南京·一模）甲袋中有1个红球、1个白球，乙袋中有1个红球、2个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． (1)求摸出的两个球颜色相同的概率； (2)若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由题意可得出所有等可能的结果数以及此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为． 4分 （2）解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的结果有：（白，红），共1种， ∴此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率为． 8分 18．（8分）[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 【答案】 （2） 【分析】（1）首先分别计算小红和小明获胜的概率，相比较，获胜概率不同，所以可判定不公平； （2）首先设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），然后往图形中掷点，掷在正方形外或边界上不作记录，其次当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内，最后用频率估计概率，大概可得出结果. 【详解】（1）（1）不公平.理由如下： （掷中阴影部分），即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，， 游戏不公平 3分 （2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），如图所示； ②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）； ③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内； ④设不规则图形的面积为，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率（掷入不规则图形内），而（掷入不规则图形内），故，即. 8分 19．（8分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 2分 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 8分 20．（8分）计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种. 【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可， 问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可， 问题3. （1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数； （2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法； （3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率． 问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法． 【详解】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法． 问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法． 问题3. （1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走， ∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A点到B点的走法共有35种． 2分 （2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数． 完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点， 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种． ∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种． 方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4， ∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种． 6分 （3）P（顺利开车到达B点）=． 答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是． 问题4. 解：乘法原理可得： 5×4×3×2×2=240（种）． 答：共有240种染色方法． 8分 21．（8分）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． (1)试问小球通过第二层位置的概率是多少？ (2)请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了树状图法求概率．此题难度较大，解题的关键是理解题意，然后根据题意画出树状图，然后利用树状图求得概率，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）先画树状图，可得到每一个菱形处向左或向右的概率均为，经过某点的概率为该点处的两个概率相加即可； （2）先画树状图，把每一层的菱形看作一步，经过几层就看作几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加． 【详解】（1）解：画树状图如下： 实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的， 经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．由树状图可知，落到点位置的概率为； 4分 （2）解：画树状图如下： 由树状图得，落到点位置的概率为； 落到点位置的概率为． 8分 22．（10分）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)当为奇数时，；当为偶数时， 【详解】（1）解：画树状图得： ， 经过3次传球后，球在乙手中的概率是； 故答案为：； 4分 （2）解：经过2次传球后，画树状图为： 经过2次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 由（1）可得经过3次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 经过4次传球后，画树状图为： 经过4次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 根据上面的规律发现，由于从甲开始传球，奇数次时乙丙的可能性一样，且比甲多；偶数次时，乙丙的可能性一样，且比甲少； ∴当为奇数时，；当为偶数时，． 10分 23．（10分）（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． (1) ______；它是 一个_____排列； (2)在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； (3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； (4)证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 【答案】(1)4，偶 (2) 【分析】（1）根据题意列出所有反序对，即可解答； （2）先写出1，2，3可以组成的排列，再结合材料定义解答即可； （3）根据顺序排列的定义解答即可； （4）分这两个数相邻，即 ，a，b 不相邻，设中间有k 个数，即 ，两种情况讨论即可证明结论． 【详解】（1）解：中，有共4个反序对， 则 ，它是一个偶排列； 2分 （2）解：易知1，2，3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为： ① ，为偶排列； ② ，为奇排列； ③ ，为奇排列； ④ ，为偶排列； ⑤ ，为偶排列； ⑥ ，为奇排列； 则排列满足反序数大于1且为偶排列的概率为； 5分 (3)至少要经过6次相邻对换， 理由如下： 中将5向右做2次相邻对换得到 ； 再将4向右做3次相邻对换得到； 再将3向右做1次相邻对换得到顺序排列 ； 则至少要经过6次相邻对换； 7分 (4)证明：设对换位置的两个数为a，b，则这两个数有相邻和不相邻两种情况： 若这两个数相邻，即将排列 变成新排列 ， 通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与a，b 之外的数无关， ①若，则变换位置后，反序对增加1，新排列的反序数增加1， 奇偶性改变； ②若，则变换位置后，反序对减少1，新排列的反序数减少1， 奇偶性改变； 所以经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变； 若a，b 不相邻，设中间有k 个数，即将排列 ，变成新排列 ， 可以分为以下两步： ①将a 向右进行相邻对换，通过次相邻对换得到 ②再将b向左做相邻对换，通过k次相邻对换到达a原来的位置， 得到最终的排列 ， 总共进行了 次相邻对换， 因为为奇数， 所以经过次（奇数次）相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变； 综上所述，在一组有n 个数的排列 中，如果将任意两个数互换位置， 其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 10分 24．（12分）（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由题意，分相遇前、相遇后两种情况求；由矩形面积公式直接表示；并利用描点法在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象即可； （2）数形结合，找出图象在图象下方对应的自变量的范围即可； （3）数形结合，找出封闭图形上的所有格点及函数或图象上，代入简单概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动， 点相遇的时间为（秒）， 在相遇前，即时，； 在相遇后，即时，； 综上所述，； 以为一边的矩形面积为，， ； 由描点法画出图象，如图所示： ； 4分 （2）解：当时，即， 图象在图象下方， 联立，解得或（负值舍去）； ， 当时，； 8分 （3）解：如图所示： 则共有个格点，其中恰好在函数或图象上有个，故概率为． 12分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是(   ) A．“购买张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为的事件”是不可能事件 C．“任意画一个六边形,它的内角和等于”是必然事件 D．从中任取个不同的数,分别记为和,那么的概率是 4．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 5．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 7．为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 12．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 13．（2026·宁夏银川·三模）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 14．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 15．（2026·山东菏泽·二模）某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 16．西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·江苏南京·一模）甲袋中有1个红球、1个白球，乙袋中有1个红球、2个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． (1)求摸出的两个球颜色相同的概率； (2)若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率是__________． 18．（8分）[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 19．（8分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 20．（8分）计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 21．（8分）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． (1)试问小球通过第二层位置的概率是多少？ (2)请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？ 22．（10分）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 23．（10分）（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． (1) ______；它是 一个_____排列； (2)在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； (3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； (4)证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 24．（12分）（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $