第二章 随机事件的概率（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二章“随机事件的概率·基础通关”单元卷，满分120分，融合航天模型、七巧板等真实情境，覆盖概率计算与应用，适配单元复习，培养数据意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|放回摸球概率（1题）、频率估计概率（2题）|含北京模拟题、武汉中考题，情境涉地铁入口（6题）| |填空题|6/18|概率应用（11题罚球）、相同颜色概率（12题）|宁夏中考题（12题），体现频率稳定（14题）| |解答题|9/72|七巧板游戏概率（17题）、摸球试验分析（19题）|福建中考题（22题），综合传统文化与实验数据|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C B C D B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．9 12． 13． 14．5 15．公平 16．1500 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：因为四个不透明盒子中没有③号板，所以事件“小平选取的盒子中装有③号板”为不可能事件； 2分 （2）画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的结果有种， （小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形）． 8分 18．（8分） 【详解】（1）解：从布袋中摸出一个球是红球的概率为； 3分 （2）解：由题意得此时袋中红球个数为个， 故放入个红球，即取走了7个白球， 答：取走了7个白球． 8分 19．（8分） 【详解】（1）解：由表格数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 则随机摸出一个球，摸到白球的概率是， 由于口袋里总共有4只球， 则口袋中白球的个数为； 3分 （2）解：画树状图得： 则共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有6种情况 因此，两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 8分 20．（8分） 【详解】（1）解：； ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25，0.25； 4分 （2）解：设袋中白球为x个， ， 解得． 答：估计袋中有3个白球． 8分 21．（8分） 【详解】（1）解：小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，落入盒子的结果有种，分别是，， ∴； 4分 （2）解：∴落在盒A的概率为，落在盒B的概率为，落在盒C的概率为， ①3个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误； ②盒子中弹珠数量小于盒子中弹珠数量；选项正确； ③盒子中弹珠数量和盒子中弹珠数量大致相等．选项正确； ∴②③正确， 故答案为：②③． 8分 22．（10分） 【详解】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球（记为事件）的结果有1种，所以； 4分 （2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下： 第二次第一次 黄球 红球 红球 白球 黄球 红球 红球 白球 共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4（记为事件）的结果共有6种：，，，，，，所以． 10分 23．（10分） 【详解】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为； 3分 （2）解：列表如下： 小慧小智 由表格可知，一共有16种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果有7种， ∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为． 10分 24．（12分） 【详解】（1）根据题意画出树状图，如图所示： 共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有２次，因此摸出的都是白色小球的概率为； 5分 （2）从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白１、白１白２、红白２，从第二个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示： 共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有５种，因此摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为． 故答案为：． 12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 【详解】解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 2．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( ) A．14 B．26 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，设袋子中有黄球x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出方程，求解即可． 【详解】解：∵多次摸球试验后，摸出红球的频率稳定在左右， ∴估计摸出红球的概率为． 设袋子中有黄球x个，则 ，解得， 因此袋子中黄球的个数最有可能是． 3．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（ ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利．故选：C 4．下列说法中，正确的是（ ） A．任意画一个多边形，其内角和是是必然事件 B．明天降雨的概率是表示明天有的时间在降雨 C．了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查的方式 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红心A是不可能事件 【答案】C 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 【详解】解：A．任意画一个多边形，其内角和是是随机事件，故原说法不正确； B．明天降雨的概率是表示明天降雨的可能性比较大，故原说法不正确； C．了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查的方式，正确； D．从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红心A是随机事件，故原说法不正确． 5．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举所有等可能的选取结果，找出满足题意的结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设“嫦娥六号钻取器”为A，“嫦娥七号飞跃器”为B，“鹊桥中继星”为C， 列举从三个模型中随机选取两个的所有结果为： 、、， 共种，它们出现的可能性相同， 其中恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的结果有种，即， 根据概率公式得，所求概率． 6．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有种， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 7．（2026·山西太原·二模）已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（ ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，概率反映随机事件发生的可能性大小，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，概率不代表试验中必然得到确定的结果． 【详解】根据概率的定义，概率是描述随机事件发生可能性大小的量，不是确定的必然结果。 选项A，概率为仅表示发生可能性，做次重复试验，该事件不一定恰好发生次，故选项A错误； 选项B，每次试验都是独立的随机事件，第一次试验该事件没发生，第二次试验不一定发生，故选项B错误； 选项C，两次重复试验中，该事件可能发生0次，1次或2次，不是必定发生一次，故选项C错误； 选项D，重复多次试验时，该事件发生的频率稳定在概率左右，符合概率的基本意义，故选项D正确． 8．分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可． 【详解】解：A、此选项中石子落在阴影部分可能性为； B、此选项中石子落在阴影部分可能性为； C、此选项中石子落在阴影部分可能性为； D、此选项中石子落在阴影部分可能性为； 所以石子落在阴影部分可能性最大的是B选项所示图形， 9．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 10．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 12．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 【答案】/0.5 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． 13．（2026·内蒙古通辽·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找出甲出的卡片数字比乙大的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲\乙 由表格可知，一共有种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有种，因此甲出的卡片数字比乙大的概率为． 14．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计口袋中的球大约有_______个． 【答案】5 【分析】设袋子中白球有n个，根据摸到白球的频率稳定在附近得出，解之求出n的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中白球有n个，根据题意，得 ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以估计口袋中的球大约有（个）． 15．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为：公平． 16．为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟． 【答案】 【分析】在样本中只A种候鸟中有只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有只A种候鸟， 则，解得． 答：估计该湿地约有只A种候鸟． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． (1)事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】（1）必然事件一定会发生，随机事件有可能发生，不可能事件一定不会发生； （2）正方形④和一块平行四边形⑥是四边形，找出所有符合条件的情况加起来即可得到所求概率． 【详解】（1）解：因为四个不透明盒子中没有③号板，所以事件“小平选取的盒子中装有③号板”为不可能事件； （2）画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的结果有种， （小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形）． 18．（8分）在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从布袋中随机摸出一个球是红球的概率为______________． (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】(1) (2)取走了7个白球 【分析】（1）利用概率公式计算即可； （2）袋中红球和白球的总数不变，根据概率公式得出红球的个数，然后根据题目条件求解即可． 【详解】（1）解：从布袋中摸出一个球是红球的概率为； （2）解：由题意得此时袋中红球个数为个， 故放入个红球，即取走了7个白球， 答：取走了7个白球． 19．（8分）（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，找出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 则随机摸出一个球，摸到白球的概率是， 由于口袋里总共有4只球， 则口袋中白球的个数为； （2）解：画树状图得： 则共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有6种情况 因此，两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 20．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25，0.25 (2)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． （1）由频率等于摸到黑球次数÷摸球的次数即可得到答案；用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25，0.25； （2）解：设袋中白球为x个， ， 解得． 答：估计袋中有3个白球． 21．（8分）（25-26九年级上·江苏常州·期末）“弹珠游戏”的装置如图所示，游戏时，将弹珠从处投入，通过管道落入盒子，已知弹珠从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个弹珠，求它落入盒子的概率； (2)若投入足够数量的弹珠直到某个盒子被填满为止，则下列说法正确的是________（填序号）． ①3个盒子中弹珠数量一样多； ②盒子中弹珠数量小于盒子中弹珠数量； ③盒子中弹珠数量和盒子中弹珠数量大致相等． 【答案】(1)； (2)②③ 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． （）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （）根据（1）的列举，得出小球落在每一个盒子的概率大小，概率大的小球多． 【详解】（1）解：小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，落入盒子的结果有种，分别是，， ∴； （2）解：∴落在盒A的概率为，落在盒B的概率为，落在盒C的概率为， ①3个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误； ②盒子中弹珠数量小于盒子中弹珠数量；选项正确； ③盒子中弹珠数量和盒子中弹珠数量大致相等．选项正确； ∴②③正确， 故答案为：②③． 22．（10分）（2026·福建·中考真题）一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球，2个标号分别为1，2的红球，，1个标号为3的白球，这些球除颜色和标号外无其他差别． (1)从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率； (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球（记为事件）的结果有1种，所以； （2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下： 第二次第一次 黄球 红球 红球 白球 黄球 红球 红球 白球 共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4（记为事件）的结果共有6种：，，，，，，所以． 23．（10分）（2026·陕西·中考真题）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为； （2）解：列表如下： 小慧小智 由表格可知，一共有16种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果有7种， ∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为． 24．（12分）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． (2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率； （2）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合题意的情况数，即可求出概率． 【详解】（1）根据题意画出树状图，如图所示： 共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有２次，因此摸出的都是白色小球的概率为； （2）从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白１、白１白２、红白２，从第二个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示： 共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有５种，因此摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为． 故答案为：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 2．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( ) A．14 B．26 C．30 D．36 3．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（ ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 4．下列说法中，正确的是（ ） A．任意画一个多边形，其内角和是是必然事件 B．明天降雨的概率是表示明天有的时间在降雨 C．了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查的方式 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红心A是不可能事件 5．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（2026·山西太原·二模）已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（ ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 8．分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 9．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A． B． C． D． 10．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 12．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 13．（2026·内蒙古通辽·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 14．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计口袋中的球大约有_______个． 15．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 16．为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． (1)事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 18．（8分）在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从布袋中随机摸出一个球是红球的概率为______________． (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 19．（8分）（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 20．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 21．（8分）（25-26九年级上·江苏常州·期末）“弹珠游戏”的装置如图所示，游戏时，将弹珠从处投入，通过管道落入盒子，已知弹珠从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个弹珠，求它落入盒子的概率； (2)若投入足够数量的弹珠直到某个盒子被填满为止，则下列说法正确的是________（填序号）． ①3个盒子中弹珠数量一样多； ②盒子中弹珠数量小于盒子中弹珠数量； ③盒子中弹珠数量和盒子中弹珠数量大致相等． 22．（10分）（2026·福建·中考真题）一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球，2个标号分别为1，2的红球，，1个标号为3的白球，这些球除颜色和标号外无其他差别． (1)从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率； (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率． 23．（10分）（2026·陕西·中考真题）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 24．（12分）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． (2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是 ． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 2．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( ) A．14 B．26 C．30 D．36 3．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（ ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 4．下列说法中，正确的是（ ） A．任意画一个多边形，其内角和是是必然事件 B．明天降雨的概率是表示明天有的时间在降雨 C．了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查的方式 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红心A是不可能事件 5．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（2026·山西太原·二模）已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（ ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 8．分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 9．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A． B． C． D． 10．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 12．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 13．（2026·内蒙古通辽·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 14．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计口袋中的球大约有_______个． 15．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 16．为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． (1)事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 18．（8分）在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从布袋中随机摸出一个球是红球的概率为______________． (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 19．（8分）（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 20．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 21．（8分）（25-26九年级上·江苏常州·期末）“弹珠游戏”的装置如图所示，游戏时，将弹珠从处投入，通过管道落入盒子，已知弹珠从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个弹珠，求它落入盒子的概率； (2)若投入足够数量的弹珠直到某个盒子被填满为止，则下列说法正确的是________（填序号）． ①3个盒子中弹珠数量一样多； ②盒子中弹珠数量小于盒子中弹珠数量； ③盒子中弹珠数量和盒子中弹珠数量大致相等． 22．（10分）（2026·福建·中考真题）一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球，2个标号分别为1，2的红球，，1个标号为3的白球，这些球除颜色和标号外无其他差别． (1)从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率； (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率． 23．（10分）（2026·陕西·中考真题）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 24．（12分）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． (2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是 ． 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