第2章 随机事件的概率（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材浙教版九年级上册

第2章 随机事件的概率·拔尖卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·湖北武汉·二模）将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 2．（2026·辽宁丹东·二模）某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举所有等可能的选取结果，找出满足题意的结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设“嫦娥六号钻取器”为A，“嫦娥七号飞跃器”为B，“鹊桥中继星”为C， 列举从三个模型中随机选取两个的所有结果为： 、、， 共种，它们出现的可能性相同， 其中恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的结果有种，即， 根据概率公式得，所求概率． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 4．（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 5．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板的结构特点，设最小的等腰直角三角形面积为，分别表示出七巧板的总面积和阴影部分（小猫头部）的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设七巧板中最小的等腰直角三角形面积为， ∵七巧板由个小等腰直角三角形、个正方形、个平行四边形、个中等腰直角三角形和个大等腰直角三角形组成， ∴正方形面积为，平行四边形面积为，中等腰直角三角形面积为，大等腰直角三角形面积为， ∴七巧板拼成的小猫图案总面积为， ∵小猫头部（阴影部分）由个小等腰直角三角形和个正方形组成， ∴阴影部分的面积为， ∴小球停在阴影部分的概率． 6．（2026·河北廊坊·二模）某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药这四项发明分别记为， 则可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选择“造纸术”和“火药”的结果数有2种， ∴恰好选择“造纸术”和“火药”的概率是． 7．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．（25-26八年级上·北京昌平·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．：出现点数为偶数的可能性；：出现点数为1的可能性；：出现点数不大于4的可能性，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义和计算，是解题的关键． 骰子六个面出现向上的机会相同，求出骰子向上一面的点数为偶数有几种情况，向上一面的点数为1有几种情况，向上一面的点数不大于4有几种情况； 接下来直接应用等可能事件概率公式求解即可．通过计算每个事件的概率并比较大小即可得出答案． 【详解】∵ 骰子质地均匀，每个点数出现的概率均为， 表示点数为偶数，偶数点有2、4、6共3个， ∴， 表示点数为1，只有1个点， ∴， 表示点数不大于4，有1、2、3、4共4个点， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 10．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合n为正整数即可求解． 【详解】解：白球数量为，黄球数量为3，红球数量为n， 要使摸出红球的可能性最小，需满足， 又n是正整数， n的值为1或2（答案填写一个即可）． 12．（2022·甘肃陇南·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为___． 【答案】 【分析】随机事件A的概率P(A)＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：设正六边形边长为a， 则灰色部分面积为3×， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为, 所以镖落在白色区域的概率P= =. 故答案为：. 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 13．（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查用列举法求概率，先找出抽取两张卡片的所有等可能结果，再统计出含“指南针”的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药四张卡片分别记为，，，，从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，共种，其中两张卡片中含有“指南针”的结果为：，，，共种； ∴根据概率公式可得，所求概率为． 14．（2026·内蒙古通辽·二模）在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 【答案】16 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值可以作为事件发生概率的估计值，根据题意得到等量关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球的个数为，则袋中总球数为， 摸到红球的频率稳定在， 摸到红球的概率估计值为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 可估计袋中红球的个数为． 15．（2026·山东济南·二模）正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是____． 【答案】 【分析】分别计算出黑色区域的面积和正方形地板的总面积，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：设小正方形的边长为，则每个小正方形的面积为． 因为正方形地板由块边长均相等的小正方形组成， 所以正方形地板的总面积为． 观察图形可知，黑色区域由个全等的直角三角形组成，且每个直角三角形的两条直角边长均分别为和， 所以黑色区域的面积为． 根据几何概率公式，米粒最终停留在黑色区域的概率是． 16．（2026·安徽黄山·二模）一个不透明的袋中装有个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，则摸出的两个球颜色不同的概率为_______． 【答案】 【分析】先根据已知“两个球都是红球”的概率求出蓝球的个数，然后根据题意，列出表格，可得一共有42中等可能结果，其中摸出的两个球颜色不同的有24种，再计算摸出两个颜色不同的球的概率即可． 【详解】解：∵从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的有种情况， ∵两个球都是红球的概率为， ∴一共有种等可能情况， ∵一次摸出两个，且， ∴袋子中意共有7个球， ∴蓝球有3个， 根据题意，列出表格，如下： 红1 红2 红3 红4 蓝1 蓝2 蓝3 红1 （红2，红1） （红3，红1） （红4，红1） （蓝1，红1） （蓝2，红1） （蓝3，红1） 红2 （红1，红2） （红3，红2） （红4，红2） （蓝1，红2） （蓝2，红2） （蓝3，红2） 红3 （红1，红3） （红2，红3） （红4，红3） （蓝1，红3） （蓝2，红3） （蓝3，红3） 红4 （红1，红4） （红2，红4） （红3，红4） （蓝1，红4） （蓝2，红4） （蓝3，红4） 蓝1 （红1，蓝1） （红2，蓝1） （红3，蓝1） （红4，蓝1） （蓝2，蓝1） （蓝3，蓝1） 蓝2 （红1，蓝2） （红2，蓝2） （红3，蓝2） （红4，蓝2） （蓝1，蓝2） （蓝3，蓝2） 蓝3 （红1，蓝3） （红2，蓝3） （红3，蓝3） （红4，蓝3） （蓝1，蓝3） （蓝2，蓝3） 一共有42种等可能结果，其中摸出的两个球颜色不同的有24种， 所以摸出的两个球颜色不同的概率为． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）一个不透明的口袋中装有3个白球和5个红球，这些球除了颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，并向口袋中再放入5个红球，则再摸出一球是白球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）直接利用概率公式计算可得． 【详解】（1）解：将这个白球放回后，口袋中仍有3个白球和5个红球，共8个球， 此时再摸出一球是白球的概率是； （2）解：将摸出的白球不放回，口袋中还剩个白球，5个红球；再放入5个红球，此时口袋中有2个白球，个红球，共12个球， 则再摸出一球是白球的概率是． 18．（8分）（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出所以标有偶数的区域的个数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：转盘被分成了8等份，其中2个区域标有数字“3”， 所以指针指向数字3的概率． （2）解：因为2和4是偶数，2个区域标有数字“2”，3个区域标有数字“4”，所以标有偶数的区域有5个， 所以指针指向的数字为偶数的概率． 19．（10分）（2025·福建福州·一模）某校科艺节，九年级段长带着美食社成员举行义卖活动，制定促销方式如下：消费满20元可参与转盘抽奖活动，如图是一个可自由转动的转盘，该转盘被直径和半径分成了三个扇形区域，其中标有“福气棉花糖”的扇形区域和标有“暴打柠檬茶”的扇形区域圆心角均为．转动转盘直至其自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的内容即为抽奖结果，此时，称为转动转盘一次（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)若转动转盘一次，求出可以领取任意一份奖品的概率． (2)若转动转盘两次，用树状图或列表法求转动转盘两次后恰好两种奖品各一份的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，几何概率，画树状图或列表法求概率，掌握利用概率公式求概率的条件是解题的关键． （1）用中奖的圆心角之和除以，即可求解； （2）用“0”表示“谢谢惠顾”，用“1”表示“福气棉花糖”，用“2”表示“暴打柠檬茶”，由题意，可将转盘平均分成4个的扇形， 其中0占有2份，画树状图，得出所有等可能的结果数，和所求结果数，再用概率公式求解即可． 【详解】（1）标有“福气棉花糖”的扇形的圆心角为，标有“暴打柠檬茶”的扇形的圆心角为， 转动转盘一次，则中奖的概率是． 转动转盘一次，可以领取任意一份奖品的概率是． （2）用“0”表示“谢谢惠顾”，用“1”表示“福气棉花糖”，用“2”表示“暴打柠檬茶”， 由题意，可将转盘平均分成4个扇形，其中0占有2份， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果数，其中转动转盘两次后中奖恰好各一份的结果数是2种， 转动转盘两次后恰好两种奖品各一份的概率为． 20．（10分）（2026·江西宜春·二模）如图，体育课上，六位同学（分别记为A，B，C，D，E，F）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，且球传给其他三人的可能性相同，如B可以将球传给D，E或F，但不能将球传给A或C，球现在A手中． (1)第一次传球后，A将球传给F的概率为________． (2)若假设没有传球失误，求经过两次传球后球在B手中的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为规定：球不得传给相邻的人，A与F相邻，故 A将球传给F的概率为； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次传球后球在B手中的结果有种，故所求概率是． 21．（12分）（2026·江西九江·模拟预测）如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． (1)小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上是_______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】（1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用小西和小明两位同学坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一张空餐桌共个座位， ∴小西随机选择一个座位坐下，他是可能坐在③号座位，也可能坐不到③号座位， ∴他坐在③号座位上是随机事件． （2）解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小西和小明两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小西和小明两位同学坐在正对面的概率为． 22．（12分）（25-26七年级下·山东烟台·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： ∵根据题意：列表如下： 图1转盘 1 1 1 2 2 2 3 3 3 图2转盘 4 5 6 4 5 6 4 5 6 和 5 6 7 6 7 8 7 8 9 ∴转盘停止指针指向的两个数字之和的所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4 （和为奇数）；（和为偶数）， 则（和为奇数）（和为偶数） ∴不公平． 公平游戏规则：同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和大于时小明获胜；两个数字之和小于时小红胜，两个数字之和等于时平局．（注：答案不唯一） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列表可得所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4；再利用概率公式分别求得小明、小红获胜的概率，然后比较即可判断游戏的公平性；最后根据列表设计公平的游戏规则即可． 【详解】（1）解：图转盘被均分为份，标有或的有份， ∴转动图转盘时，该转盘指针指向“”或“”的概率是． （2）解：不公平，理由略，公平游戏规则见答案． 23．（14分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 随机事件的概率·拔尖卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·湖北武汉·二模）将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 2．（2026·辽宁丹东·二模）某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 4．（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 5．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北廊坊·二模）某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（     ） A． B． C． D． 7．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 8．（25-26八年级上·北京昌平·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．：出现点数为偶数的可能性；：出现点数为1的可能性；：出现点数不大于4的可能性，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 12．（2022·甘肃陇南·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为___． 13．（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 14．（2026·内蒙古通辽·二模）在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 15．（2026·山东济南·二模）正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是____． 16．（2026·安徽黄山·二模）一个不透明的袋中装有个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，则摸出的两个球颜色不同的概率为_______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）一个不透明的口袋中装有3个白球和5个红球，这些球除了颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，并向口袋中再放入5个红球，则再摸出一球是白球的概率是多少？ 18．（8分）（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 19．（10分）（2025·福建福州·一模）某校科艺节，九年级段长带着美食社成员举行义卖活动，制定促销方式如下：消费满20元可参与转盘抽奖活动，如图是一个可自由转动的转盘，该转盘被直径和半径分成了三个扇形区域，其中标有“福气棉花糖”的扇形区域和标有“暴打柠檬茶”的扇形区域圆心角均为．转动转盘直至其自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的内容即为抽奖结果，此时，称为转动转盘一次（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)若转动转盘一次，求出可以领取任意一份奖品的概率． (2)若转动转盘两次，用树状图或列表法求转动转盘两次后恰好两种奖品各一份的概率． 20．（10分）（2026·江西宜春·二模）如图，体育课上，六位同学（分别记为A，B，C，D，E，F）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，且球传给其他三人的可能性相同，如B可以将球传给D，E或F，但不能将球传给A或C，球现在A手中． (1)第一次传球后，A将球传给F的概率为________． (2)若假设没有传球失误，求经过两次传球后球在B手中的概率． 21．（12分）（2026·江西九江·模拟预测）如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． (1)小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上是_______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 22．（12分）（25-26七年级下·山东烟台·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 23．（14分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 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