第二章 随机事件的概率（复习讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了随机事件概率的知识体系，将事件分类、概率计算、频率估计概率等要点按“概念理解-方法掌握-实际应用”递进组织，用对比表格呈现“有放回”与“不放回”试验差异，清晰标注重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如“要点速测”夯实基础、“迁移练”对接中考真题、“难点精练”挑战复杂情境，结合标记重捕法估计池塘鱼数等实例，培养数据意识与模型意识。每个题型配解题要点，帮助学生掌握列表法等技巧，教师可据此实施分层教学，支持不同层次学生提升。

第二章 随机事件的概率 复习要点 1.理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念，会根据具体条件准确判断事件的类型。 理解事件发生的可能性大小，掌握利用列表法、树状图法列举随机试验所有可能结果的方法。 2.掌握概率的意义、取值范围及简单随机事件的概率计算公式，会利用列举法、列表法和树状图法求事件发生的概率。 3.理解频率与概率的区别和联系，会根据大量重复试验所得频率的变化趋势估计随机事件发生的概率。 4.掌握概率在实际生活中的简单应用，会利用概率判断游戏规则是否公平，并能运用标记重捕法估计总体数量。 复习重难点 重点：事件的分类与可能性大小；简单随机事件的概率计算；列表法、树状图法求概率；频率估计概率；概率在实际问题中的应用。 难点：根据题意准确确定所有等可能结果，并利用列表法或树状图法不重不漏地列举；综合运用概率思想解决游戏公平性、标记重捕法等实际问题。 知识点 事件的分类 1.确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的。 ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； 2.随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1。 要点归纳： （1）必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”。 （2）判断事件的类别时，关键是看“前提条件”。比如“标准大气压下，水在100℃沸腾”是必然事件，但“明天会下雨”是随机事件。 要点速测 1.将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（ ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 知识点 可能性的大小 1.事件发生的可能性大小 比较依据：事件发生的可能性大小是由事件发生的条件决定的。可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响来比较（如红绿灯时间长短、摸球数量多少）。 2.确定事件所有可能结果的方法 列表或画树状图是用来确定事件发生的所有可能结果的常用方法，它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观具体又条理分明。 ①列表法：适用于两个因素（两步试验）。 ②画树状图法：适用于3个或更多因素（多步试验）。 要点归纳： （1）比较事件发生的可能性大小，一定要基于相同的条件下进行。 （2）在使用列表法或树状图法列举结果时，必须保证各种结果发生的可能性是相等的。若遇到扇形的圆心角不相等的不等可能情况，可以通过“等分”的方式将其转化为等可能情况再进行枚举。 要点速测 2.班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ，∴． 故选：A． 知识点 简单随机事件的概率 1.概率的定义 我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率。 符号表示：一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A)。 2.概率的取值范围 事件的概率可以用数轴上的点表示： 必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1； 不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0； 随机事件发生的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1。 3.概率的计算公式 如果某随机事件发生的所有可能结果的个数有限，且各种结果发生的可能性相等、互相排斥（结果总数为n），事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为： ​ 4.列表法和画树状图法求概率 ①列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法。 ②列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法。 ③画树状图法：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法。 5.“放回”与“不放回”的对比 放回抽样（有放回）：某事件发生后，将其放回原总体，再进行下一次抽取。这种情况下，每一次抽样的条件完全相同，样本总体的总数n始终不变。 不放回抽样（无放回）：某事件发生后，不再放回原总体，直接进行下一次抽取。这种情况下，样本总体的基数随着抽取次数增加而不断减少。 类型 抽取方式 总数n的变化 典型例题 推荐方法 有放回 每次抽完后放回 总数n保持不变 摸球后放回 列表法（网格对称） 无放回 每次抽完后不放回 总数n依次递减 抽签、抽牌 树状图法（层级递减） 要点归纳： (1)运用概率公式时，必须首先确定所有可能的结果发生的概率都是相等的，且总数有限。 (2)概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 要点速测 3.为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种 因此小慧选择玉米的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种， ∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是． 4.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球， ∴所有可能的结果有，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 一共16种， 其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种， 则两次取出的小球标号的和等于5的概率为． 故答案为：． 知识点 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 （1)频率与概率的区别和联系 区别：频率是多次试验后某事件发生次数与总试验次数的比值，是一个试验值（变量）；概率是事件发生的可能性大小的理论值，是一个常数。 联系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。 （2)频率估计概率的应用 在实际生活中，如果随机事件发生的概率无法用理论公式直接计算得出（如小麦种子的发芽率、某地区降水的概率），我们可以通过大量重复试验的方法，用事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 要点归纳： (1)用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。频率是试验值（变量），概率是理论值（常数）。 要点速测 5.工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【答案】 【详解】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在附近，因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为． 知识点 概率的简单应用 1.概率在生活中的应用 概率能够帮助人们对许多事件作出判断和决策，广泛用于生活、生产和科研等领域，例如：计算中奖率、天气预报的概率等。 2.游戏公平性判断 机会均等：指在同一随机事件中，参与游戏的各方，其获胜（或达到指定目标）的概率相等。 判断标准：比较双方获胜的概率，如果双方获胜的概率相等，则游戏规则公平；否则就不公平。 3.概率估算总体数量的方法（标记重捕法/样本估总体） 若需要估计一个较大群体（如渔场中鱼群的总数），可以通过以下步骤进行估算： (1)先捞出部分个体（如M条），做好标记后放回。 (2)待标记个体与群体完全混合后，再随机捞取一定数量的样本（如n条）。 (3)计算样本中带有标记的个体比例（如m条）。 (4)利用比例关系估计总体数量N： （即样本中标记比例≈总体中标记比例）或者交叉相乘估算：。 要点归纳： (1)样本中标记个体数占样本总数的比例，等同于总体中标记个体数占总体总数的比例。 (2)标记重捕法公式成立的绝对前提是“待标记个体与群体完全混合后”再进行随机捞取。 (3)标记重捕法得出的结果是一个统计学上的近似值（估算值），而不是精确值。因为捞取是随机的，样本比例会有合理波动。 要点速测 6．小明和小红玩游戏：将正面分别写有数字，，，的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后放盒子里，小明从中任意抽取一张卡片，小红从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是负数，则小明获胜，为正数则小红获胜． (1)小明抽到的卡片是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）分别求出和为负数、和为正数的概率，进行比较即可判断． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有负数的卡片有两张， ∴小明抽到的卡片是负数的概率是． （2）解：列表如下：           小明 小红 共有种等可能的结果，其中和为负数的有种，和是负数的概率是，其中和为正数的有4种，和是正数的概率是， ∵， ∴这个游戏不公平． 7.承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（ ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 题型1 事件的分类与概率范围 ▌例1-1 （2026·江苏徐州·中考真题）下列事件为必然事件的是（     ） A．经过有交通信号灯的十字路口时，遇到红灯 B．在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球 C．抛掷一枚硬币三次，全都正面朝上 D．画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】可利用三角形内角和为的确定结论，直接判断对应选项为必然事件． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的十字路口时遇到红灯，是随机事件； B、在全是红球的袋中任意摸出一球是白球，是不可能事件； C、抛掷一枚硬币三次全都正面朝上，是随机事件； D、任意三角形的内角和是，是必然事件． ▌例1-2 （2026·湖北武汉·中考真题）袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 【答案】A 【分析】在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，据此判断即可． 【详解】解：袋中有个红球、个黑球，一次摸出个球， ∵黑球仅有个， ∴两个球都是黑球是不可能事件． 解题要点 事件的分类与概率范围 1.·先明确题目的前提条件，再判断事件是否一定发生、一定不发生或有可能发生。 2.·必然发生的是必然事件，对应概率为1；一定不会发生的是不可能事件，对应概率为0。 3.·可能发生也可能不发生的是随机事件，其概率满足 (0<P(A)<1)。 4.·判断事件类型时，不能脱离题目给出的条件，应从“在什么条件下发生”入手分析。 ▌迁移练1-1（2021·江苏泰州·中考真题）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（　　） A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1 【答案】C 【分析】根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断． 【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日 ∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件， 即这一事件发生的概率为． 故选：． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 【答案】A 【分析】本题考查了概率是反映事件发生机会的大小的概念，解题的关键是掌握概率只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1；不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0；不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率并且． 【详解】解：A、同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是，第二个出现4的机会也是，因而点数都是4的概率为，该选项错误，符合题意； B、不可能事件发生机会为0，该选项正确，不符合题意； C、买一张彩票会中奖是随机事件，该选项正确，不符合题意； D、一件事发生机会为，这件事就有可能发生，该选项正确，不符合题意． 故选A． 题型2 事件发生可能性的大小比较与结果列举 ▌例2-1 （2026·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合n为正整数即可求解． 【详解】解：白球数量为，黄球数量为3，红球数量为n， 要使摸出红球的可能性最小，需满足， 又n是正整数， n的值为1或2（答案填写一个即可）． ▌例2-2 （2026·福建泉州·二模）小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设“豆包”为软件，“”为软件， 列举两人选择软件所有等可能的结果为：，共种， ∵其中两人选择不同软件的结果有种， ∴所求概率． 解题要点 事件发生可能性的大小比较与结果列举 1.比较事件发生的可能性大小时，必须建立在相同条件下进行比较。 2.当事件涉及多个步骤时，首先要确定一次试验中所有可能出现的结果。 3.两个因素、两个步骤的试验，优先采用列表法列举结果。 4.多个步骤的试验，优先采用树状图法逐层列举。 5.列举结果时必须做到不重、不漏，并确认各结果具有相同的发生可能性。 6.遇到不等可能情况时，不能直接把不同结果当作等可能结果计算概率，应先进行合理处理。 ▌迁移练2-1（2026·山东东营·中考真题）为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． ▌迁移练2-2（2026·广东广州·中考真题）为提升学生的科学素养，某校举办了航天科技创意大赛，共有50名学生参赛．根据获奖结果，整理得到如下不完整的统计表． 获奖结果 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 未获奖 合计 人数 4 6 m 20 8 50 频率 n 1 请根据表中的信息解答下列问题： (1)统计表中的__________，__________； (2)已知获得特等奖的是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名学生进行采访，求所抽取的2名学生都是女生的概率． 【答案】(1)12， (2) 【分析】（1）根据总人数减去二等奖之外的其它各项的人数，即可求出m的值，根据1减去三等奖之外的其它各项的频率，即可求出n的值； （2）记男1为A，男2为B，女1为C，女2为D，画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中求所抽取的2名学生都是女生的结果有2种，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：记男1为A，男2为B，女1为C，女2为D，画树状图，如图 共有12种等可能性结果，其中所抽取的2名学生都是女生的结果有2种， ∴所抽取的2名学生都是女生的概率为． 题型3 简单随机事件的概率计算 ▌例3-1 （2026·浙江·中考真题）科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵从3瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种，∴选到弱酸性溶液的概率为． ▌例3-2 （2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 【答案】岳麓山 【分析】根据概率的定义，分别计算抽到各地名卡片的概率，比较概率大小，概率最大的就是最有可能抽出的地名. 【详解】解：总共有10张等可能的卡片， 抽到岳麓山的概率为， 抽到铜官窑的概率为， 抽到橘子洲头的概率为， 比较大小得，抽到岳麓山的概率最大，因此卡片上的地名最有可能是岳麓山. 解题要点 简单随机事件的概率计算 1.·使用公式计算概率的前提是：所有可能结果有限且等可能、互相排斥。 2.·设所有等可能结果共有 (n) 种，其中事件 (A) 包含 (m) 种结果，则 3.·解题时按照“确定所有结果数 → 找出符合条件的结果数 → 代入概率公式”的顺序进行。 4.·结果较少时可直接列举；结果较多时使用列表法或树状图法。 5.·涉及“和”“差”“同号”“不同号”等条件时，要逐一检查符合条件的结果，避免遗漏。 ▌迁移练3-1（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． ▌迁移练3-2（2026·新疆·中考真题）如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，且正方形的边长为，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________． 【答案】 【分析】先计算正方形的面积，再计算内切圆的面积，最后用内切圆面积除以正方形面积，得到米粒落在圆内的概率． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴正方形面积 ， ∵正方形的内切圆直径等于正方形边长， ∴圆的半径 ， 圆面积 ， ∴概率． 题型4 有放回与不放回试验中的概率计算 ▌例4-1 （2026·四川南充·三模）一个不透明的袋中装有大小质感等相同的个红球，个黄球．先从袋中随机摸出个，放回摇匀，再从袋中随机摸出个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，所以第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种， 第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． ▌例4-2 （2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是． 解题要点 有放回与不放回试验中的概率计算 1.先判断题目属于有放回抽样还是无放回抽样，都要先保证列出的结果是题目中的等可能基本结果。 2.有放回：每次抽取后放回，总体数量不变，各次抽取条件相同。 3.不放回：抽取后不放回，总体数量逐次减少，各步的可能情况也随之变化。 4.有放回的两步试验，通常可结合列表法列举所有结果。 5.不放回的多步试验，通常采用树状图法，并注意每一层的可选结果数量发生变化。 ▌迁移练4-1（2026·河南平顶山·二模）在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球（除颜色外其他都相同），如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图，关于这次摸球试验，有下列结论：①是有放回的摸球试验；②可能是同时摸出两个球；③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球；④摸出一个红球和一个黄球的概率为，其中正确的是（　　） A．①③ B．③④ C．①②③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，掌握不放回模型是解题的关键． 根据树状图判断该试验是不放回的摸球试验，补全树状图，即可求解． 【详解】解：由树状图可知，该试验是不放回的摸球试验，可能是同时摸出两个球，也可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球，故①不符合题意，②③符合题意， 补全树状图如图所示，可知摸出一个红球和一个黄球的结果有4种，故所求概率为，则④不符合题意． ▌迁移练4-1（2026·福建漳州·模拟预测）在一个框中放置2个红球，3个黄球，4个绿球，不放回地随机拿出两个球，拿出的球恰好同一种颜色的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算所有球的总数和不放回抽取2个球的总结果数，再计算取出两球同色的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：列表如下： 红 红 黄 黄 黄 绿 绿 绿 绿 红 红，红 黄，红 黄，红 黄，红 绿，红 绿，红 绿，红 绿，红 红 红，红 黄，红 黄，红 黄，红 绿，红 绿，红 绿，红 绿，红 黄 红，黄 红，黄 黄，黄 黄，黄 绿，黄 绿，黄 绿，黄 绿，黄 黄 红，黄 红，黄 黄，黄 黄，黄 绿，黄 绿，黄 绿，黄 绿，黄 黄 红，黄 红，黄 黄，黄 黄，黄 绿，黄 绿，黄 绿，黄 绿，黄 绿 红，绿 红，绿 黄，绿 黄，绿 黄，绿 绿，绿 绿，绿 绿，绿 绿 红，绿 红，绿 黄，绿 黄，绿 黄，绿 绿，绿 绿，绿 绿，绿 绿 红，绿 红，绿 黄，绿 黄，绿 黄，绿 绿，绿 绿，绿 绿，绿 绿 红，绿 红，绿 黄，绿 黄，绿 黄，绿 绿，绿 绿，绿 绿，绿 可知共72种等可能的结果，其中取出两球同色的总结果数为20种， ∴所求概率为． 题型5 用频率估计概率 ▌例5-1 （2026·贵州·中考真题）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 【答案】 上 【分析】根据用频率估计概率的知识点，当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在概率附近，比较稳定后的频率大小，即可判断概率较大的事件． 【详解】解：当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近. 由表格数据可得， 随着累计抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在，“盖口向下”的频率稳定在， ， 抛掷这一瓶盖，盖口向上发生的概率较大． ▌例5-2 （2026·贵州遵义·二模）小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【分析】先得到试验结果的频率，分别计算各选项的频率，进而判断即可． 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 解题要点 用频率估计概率 1.频率是某事件发生次数与试验总次数的比值，是试验得到的数据；概率是事件发生可能性的理论值。 2.在相同条件下，随着试验次数大量增加，事件发生的频率会逐渐稳定在相应概率附近。 3.当概率难以直接通过理论公式求出时，可以利用大量重复试验得到的频率来估计概率。 4.观察数据表或统计图时，重点关注试验次数增大后频率的稳定趋势，而不能只看某一次试验的结果。 5.题目要求保留指定精确程度时，应按照要求进行四舍五入。 ▌迁移练5-1（2026·四川成都·三模）在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋中白球有个，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】设袋中白球有个，则总球数为个， 经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在， ，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋中白球有个． ▌迁移练5-2（2026·内蒙古通辽·三模）某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【答案】(1)， (2)需再加入铅笔14支 (3) 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系求解即可； （2）根据表格数据可知，随着摸取总次数的增加，摸到限定款的频率在附近波动，可估计摸到限定款的概率约为，故设原盲盒中笔的总数为，则，求得，进而可得答案； （3）设限定款钢笔为x，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表得到所有的等可能结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设原盲盒中笔的总数为，则， 为正整数， ， ∴总数增加到20支时，需再加入铅笔（支）； （3）解：原盲盒中铅笔数量为（支）． 设限定款钢笔为 ，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表如下：                                                        共有30种等可能的结果，其中1支中性笔、1支铅笔的结果有12种， ∴摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率为． 题型6 游戏公平性的判断与概率应用 ▌例6-1 （2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． ▌例6-2 （25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 解题要点 游戏公平性的判断与概率应用 1.判断游戏是否公平，核心不是比较规则形式，而是比较各参与方获胜概率是否相等。 2.分别求出各方获胜的概率，再进行大小比较。若双方获胜概率相等，则游戏规则公平；若不相等，则游戏规则不公平。 3.对于抽卡、掷骰子、转盘、摸球等问题，先列举所有等可能结果，再统计各方获胜的结果数。 4.当规则较复杂时，先明确“谁获胜对应什么事件”，再分别计算概率，避免把“事件的结果”与“获胜者”混淆。 ▌迁移练6-1（25-26九年级上·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对 (2)900 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． ▌迁移练6-2（2026·江苏无锡·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）略 题型7 标记重捕法估计总体数量 ▌例7-1 （2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． ▌例7-2 （25-26九年级上·陕西西安·期末）某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率、用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据捕捞到草鱼的频率稳定在，可设草鱼数量为条，利用概率公式列出方程求解，再计算总鱼数，最后求捞到鲫鱼的概率． 【详解】解：设草鱼数量为条， 则总鱼数为：条， ∵ 捕捞到草鱼的频率为， ∴ ， 解得， ∴总鱼数为条， 则捞到鲫鱼的概率为． 故选：C． 解题要点 标记重捕法估计总体数量 1.明确“第一次标记数量、第二次捕获数量、第二次捕获中的标记数量”三个关键数据。 2.其基本思想是：样本中标记个体所占比例 ≈ 总体中标记个体所占比例。 3.设总体数量为 (N)，可建立比例关系，列比例或方程求出总体数量的估计值。 4.使用这一方法的关键前提是：标记个体放回后要与总体充分混合、均匀分布，之后再进行随机捕获。 5.最终得到的是总体数量的估计值，不是精确值。 ▌迁移练7-1（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． ▌迁移练7-2（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼． 【分析】本题考查了概率与统计，用频率估计概率，用样本估计总体，熟练掌握“频率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案； 问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案； 活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可； 活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：活动一： 袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张； 故答案为：3，20； 活动二：， 表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 黑球的概率是； 总棋数是， 故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则： 解得： 经检验，是所列方程的解， ∴估计鱼塘中有1500条鱼． 难点一 复杂随机试验中等可能结果的确定与概率计算 随机试验概率题真正的难点，不只是套用概率公式，而是准确确定“所有等可能结果”以及“符合条件的结果”。尤其在连续进行两次或多次试验时，要先判断是有放回还是不放回，再选择列表法或树状图法进行分类列举。 解题方法 ① 先判断试验步骤及抽取方式，明确每一步的可能情况； ② 再选择合适的列举方法：两步试验优先列表法，多步试验优先树状图法； ③ 按照“列全 → 查重 → 找符合条件的结果 → 计算概率”的顺序处理； ④ 题目中出现“和”“差”“相同”“不同”“为正数”“为负数”等条件时，要逐项检查，防止漏计或重复计算。 易错提醒 不要把“抽取过程相同”误认为“结果数量一定相同”；尤其是不放回抽样中，每一步的可能结果数量会发生变化，必须按照实际过程建立结果树。 难点精练 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 2．（2026·湖南长沙·二模）在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 【答案】A 【分析】分别计算A，B，C三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷的概率，比较大小即可得出结果． 【详解】解：雷区总方格数为个，地雷总数为颗， A区域方格数为个，地雷数为颗， 则在A区域随机点击一格，踩到地雷的概率， B区域方格数为个，地雷数为颗，则在B区域随机点击一格，踩到地雷的概率， A，B两个区域重叠个方格， 则A，B区域覆盖的未翻开方格总数为个， 已翻开的方格和②共个，且无雷， 所以C区域的方格数为个， 设A，B重叠的方格内地雷数为（为或）， 则A，B区域内的地雷总数为，即颗或颗， 所以C区域的地雷数为颗或颗， 则在C区域随机点击一格，踩到地雷的概率或， 因为，，且， 所以最大，故答案为 3．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 【答案】 【分析】当时，电灯比更亮，列出树状图，找到所有等可能情况和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，电灯比更亮，画树状图如下： 根据列表可知，共有12种等可能情况，其中的情况共有4种， 故电灯比更亮的概率为． 4．（2026·安徽·二模）有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【答案】 【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3号盒子恰好比2号盒子多1个球的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率． 【详解】解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次， 1 2 3 1 2 3 ∴共有种等可能的结果， 对单次操作，设抽取数字为时，2号盒子球的增量为，3号盒子球的增量为， 当时，，；当时，，；当时，，. ∵两次操作后，3号盒子恰好比2号盒子多个球，即满足. ∴设两次抽取中，抽的次数为，抽的次数为，抽的次数为， ∴，且：，， 代入条件得：. 联立方程， 其中为非负整数， ∴，，， 即符合条件的事件结果为和， ∴所求概率为． 难点二 概率与实际问题的综合应用 本章的实际应用题重点考查学生能否把概率知识转化为比较、判断和估计。其中游戏公平性问题需要比较不同事件的概率；标记重捕法则需要理解“样本比例≈总体比例”的统计思想。 解题方法 ① 游戏公平性：分别确定各方获胜事件 → 列举等可能结果 → 计算双方获胜概率 → 比较概率大小； ② 总体数量估计：确定“标记数量、样本总量、样本中标记数量” → 建立比例关系 → 求总体数量估计值； ③ 对概率与频率的实际应用，要区分“理论概率”和“试验频率”，根据题目条件选择合适的方法。 易错提醒 判断游戏是否公平时，不能只比较某一种结果出现的次数，而应比较各参与方最终获胜的概率；使用标记重捕法时，则必须注意“充分混合后再随机抽取”这一前提，否则比例关系没有成立的基础。 难点精练 1.（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 2．（2026·北京·二模）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 B 181 【分析】根据表格得到每增加一台设备的利润增量，分类讨论所有分配情况，计算总利润后比较即可得到最大值． (1) 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台，只需比较各经销商分得第二台时的利润增量即可得到结果； (2) 将7台设备按分配的经销商数量分类讨论，分别计算不同分配情况下的最大总利润，比较后得到最大值． 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此一家分得2台，其余三家各分得1台． 计算各经销商第二台设备的利润增量： 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， ， 应向经销商分配2台设备． 解：按分配经销商的数量分类讨论： ① 分配给1家经销商：最大利润为经销商7台的利润，即（万元）； ② 分配给2家经销商：最大总利润为1台加6台，即（万元）； ③ 分配给3家经销商：最大总利润为1台，2台，4台，即（万元）； ④ 分配给4家经销商：四家各分1台，剩余3台选择增量最大的3台，总利润为（万元）； 比较所有情况的总利润：， 因此总利润最大值为万元． 3．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）． 【答案】 【详解】解  获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2，3，4，…，2006中有1003个偶数，1002个奇数． （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜． 乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数（没有奇数时才擦去偶数）这样最后两个数一定都是偶数，它们不互素，故乙胜． （2）若裁判擦去的是偶数，则所剩的2004个数可配成1002对，每对中两个数互补：，，…，，，…， 这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互素，故甲胜． 所以，甲获胜的概率为． 5．（2026·广东清远·二模）【问题背景】如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 【问题情境】 (1)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由； 【应用思考】 (2)请你利用这四张卡片，设计一种方案对两人都公平的游戏规则． 【答案】(1)这个游戏对双方不公平，理由见解析 (2)小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和是奇数则小明胜，若和是偶数则小亮胜 【分析】（1）画树状图表示出所有等可能的结果数与和大于11的结果数，求出相应的概率，进行比较即可判断游戏的公平性； （2）要让游戏公平，需要让双方获胜的概率相等，据此设计方案即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 从树状图可得，共有12种等可能的结果，其中和大于11的有8种情况， 所以，小明获胜的概率， 小亮获胜的概率， 因为，所以这个游戏对双方不公平； （2）解：方案：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和是奇数则小明胜，若和是偶数则小亮胜． 基础达标 1．（25-26九年级下·北京·阶段检测）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【详解】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 2．（26-27九年级上·全国·课堂例题）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过画树状图或列表的方法求解即可． 【详解】解：设“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别记为A，B，C． 根据题意，画树状图如下∶ 由图可得，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”（A）的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是． 3．（2026·贵州·中考真题）某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 4．（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【分析】根据图象，利用频率估算概率即可. 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近，故“钉尖向上”的概率是0.618. 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）2026年4月，徐州首次跻身“长红城市”榜单30强．甲、乙两人来徐州“彭城七里”游玩，若两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等，则两人选择相同景点的概率为多少？ 【答案】两人选择相同景点的概率为 【分析】记博物馆、戏马台、回龙窝分别为，根据题意画树状图，根据树状图，共有9种结果，其中两人选择相同景点的有3种结果，代入概率公式计算即可得答案. 【详解】解：记博物馆、戏马台、回龙窝分别为，根据题意画树状图如下： 根据树状图，共有9种结果，其中两人选择相同景点的有3种结果， ∴两人选择相同景点的概率为. 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为． 8．（2026·福建三明·二模）一个不透明的盒子里有个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样，小明从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则盒子里的白球有_____个． 实验次数 摸到红球的频率 【答案】14 【分析】观察表格可知，随着试验次数增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸到红球的概率为，再利用概率公式列方程求解白球个数． 【详解】解：观察表格可得，随着试验总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出一个球是红球的概率为， 设盒子里的白球有个，根据题意得，解得， 经检验是原方程的解， 因此盒子里的白球有个． 9．（2026·山东青岛·中考真题）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平． 【详解】略． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）杭州地铁5号线“滨康路站”现仅有五个入口．某周六上午，小滨、小江两位志愿者没有约定，随机选择该站的一个入口，开展志愿服务活动．用列表或画树状图的方法，求小滨、小江两人在同一入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及小滨、小江两人在同一入口开展志愿服务活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： A B E H G A （A，A） （A，B） （A，E） （A，H） （A，G） B （B，A） （B，B） （B，E） （B，H） （B，G） E （E，A） （E，B） （E，E） （E，H） （E，G） H （H，A） （H，B） （H，E） （H，H） （H，G） G （G，A） （G，B） （G，E） （G，H） （G，G） 共有25种等可能的结果，其中小滨、小江两人在同一入口开展志愿服务活动的结果有5种， ∴小滨、小江两人在同一入口开展志愿服务活动的概率为． 能力进阶 11．（2026·浙江台州·二模）如图为花式九球的标准球组排列（号球共颗，按菱形摆放），其中1号和号球位置固定，剩余颗球位置随机摆放，则号球与号和号都相邻的概率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了随机事件的概率，通过图形判断能同时和号和号都相邻的位置有个，总共有个位置，号和号是固定位置，即可算出号球与号和号都相邻的概率． 【详解】解：总共有个位置，号和号是固定位置，还剩余个位置，通过图形判断能同时和号和号都相邻的位置有个，所以号球与号和号都相邻的概率为． 故答案为． 12．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 13．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 15．（2026·江苏常州·二模）在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意知，共有48种等可能的结果，其中抽到“小华”的结果有24种，利用概率公式可得答案． （2）①画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小华”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． ②画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小丽”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：总票数为，小华的票数为24； 所以，抽到“小华”的概率为； （2）解：①画树状图如下： 由树状图可得一共有4种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1种， 所以，两次都抽到“小华”的概率为； ②小丽的票数为16，总票数为48， 所以，抽到小丽的概率为， 可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1种， 所以，两次抽到“小丽”的概率为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 随机事件的概率 复习要点 1.理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念，会根据具体条件准确判断事件的类型。 理解事件发生的可能性大小，掌握利用列表法、树状图法列举随机试验所有可能结果的方法。 2.掌握概率的意义、取值范围及简单随机事件的概率计算公式，会利用列举法、列表法和树状图法求事件发生的概率。 3.理解频率与概率的区别和联系，会根据大量重复试验所得频率的变化趋势估计随机事件发生的概率。 4.掌握概率在实际生活中的简单应用，会利用概率判断游戏规则是否公平，并能运用标记重捕法估计总体数量。 复习重难点 重点：事件的分类与可能性大小；简单随机事件的概率计算；列表法、树状图法求概率；频率估计概率；概率在实际问题中的应用。 难点：根据题意准确确定所有等可能结果，并利用列表法或树状图法不重不漏地列举；综合运用概率思想解决游戏公平性、标记重捕法等实际问题。 知识点 事件的分类 1.确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是 的。 ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝ ； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝ ； 2.随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。如果A为不确定事件（随机事件），那么 。 要点归纳： （1）必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”。 （2）判断事件的类别时，关键是看“前提条件”。比如“标准大气压下，水在100℃沸腾”是 事件，但“明天会下雨”是 事件。 要点速测 1.将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（ ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 知识点 可能性的大小 1.事件发生的可能性大小 比较依据：事件发生的可能性大小是由事件发生的条件决定的。可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响来比较（如红绿灯时间长短、摸球数量多少）。 2.确定事件所有可能结果的方法 或 是用来确定事件发生的 的常用方法，它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观具体又条理分明。 ①列表法：适用于两个因素（两步试验）。 ②画树状图法：适用于3个或更多因素（多步试验）。 要点归纳： （1）比较事件发生的可能性大小，一定要基于 进行。 （2）在使用列表法或树状图法列举结果时，必须保证 是相等的。若遇到扇形的圆心角不相等的不等可能情况，可以通过“等分”的方式将其转化为等可能情况再进行枚举。 要点速测 2.班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 知识点 简单随机事件的概率 1.概率的定义 我们把事件发生的 称为事件发生的概率。 符号表示：一般用P表示，事件A发生的概率记为 。 2.概率的取值范围 事件的概率可以用数轴上的点表示： 必然事件发生的概率为100%，即 ； 不可能事件发生的概率为0，即 ； 随机事件发生的概率介于0与1之间，即 。 3.概率的计算公式 如果某随机事件发生的所有可能结果的个数有限，且各种结果发生的可能性相等、互相排斥（结果总数为n），事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为： ​ 4.列表法和画树状图法求概率 ①列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法。 ②列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法。 ③画树状图法：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法。 5.“放回”与“不放回”的对比 放回抽样（有放回）：某事件发生后，将其放回原总体，再进行下一次抽取。这种情况下，每一次抽样的条件完全相同，样本总体的总数n始终不变。 不放回抽样（无放回）：某事件发生后，不再放回原总体，直接进行下一次抽取。这种情况下，样本总体的基数随着抽取次数增加而不断减少。 类型 抽取方式 总数n的变化 典型例题 推荐方法 有放回 每次抽完后放回 总数n保持不变 摸球后放回 列表法（网格对称） 无放回 每次抽完后不放回 总数n依次递减 抽签、抽牌 树状图法（层级递减） 要点归纳： (1)运用概率公式时，必须首先确定 都是相等的，且总数 。 (2)概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 要点速测 3.为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 4.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是___________． 知识点 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的 来估计这一事件发生的 。 （1)频率与概率的区别和联系 区别：频率是多次试验后某事件发生次数与总试验次数的比值，是一个试验值（变量）；概率是事件发生的可能性大小的理论值，是一个常数。 联系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就 在相应的概率附近。 （2)频率估计概率的应用 在实际生活中，如果随机事件发生的概率无法用理论公式直接计算得出（如小麦种子的发芽率、某地区降水的概率），我们可以通过大量重复试验的方法，用事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 要点归纳： (1)用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。频率是 （变量），概率是 （常数）。 要点速测 5.工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 知识点 概率的简单应用 1.概率在生活中的应用 概率能够帮助人们对许多事件作出判断和决策，广泛用于生活、生产和科研等领域，例如：计算中奖率、天气预报的概率等。 2.游戏公平性判断 机会均等：指在同一随机事件中，参与游戏的各方，其获胜（或达到指定目标）的概率相等。 判断标准：比较双方获胜的概率，如果双方获胜的概率相等，则游戏规则公平；否则就不公平。 3.概率估算总体数量的方法（标记重捕法/样本估总体） 若需要估计一个较大群体（如渔场中鱼群的总数），可以通过以下步骤进行估算： (1)先捞出部分个体（如M条），做好标记后放回。 (2)待标记个体与群体完全混合后，再随机捞取一定数量的样本（如n条）。 (3)计算样本中带有标记的个体比例（如m条）。 (4)利用比例关系估计总体数量N： （即样本中标记比例≈总体中标记比例）或者交叉相乘估算： 。 要点归纳： (1)样本中标记个体数占样本总数的比例，等同于 的比例。 (2)标记重捕法公式成立的绝对前提是“待标记个体与群体完全混合后”再进行 捞取。 (3)标记重捕法得出的结果是一个统计学上的 （估算值），而不是精确值。因为捞取是随机的，样本比例会有合理波动。 要点速测 6．小明和小红玩游戏：将正面分别写有数字，，，的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后放盒子里，小明从中任意抽取一张卡片，小红从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是负数，则小明获胜，为正数则小红获胜． (1)小明抽到的卡片是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 7.承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（ ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 题型1 事件的分类与概率范围 ▌例1-1 （2026·江苏徐州·中考真题）下列事件为必然事件的是（     ） A．经过有交通信号灯的十字路口时，遇到红灯 B．在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球 C．抛掷一枚硬币三次，全都正面朝上 D．画一个三角形，其内角和是 ▌例1-2 （2026·湖北武汉·中考真题）袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 解题要点 事件的分类与概率范围 1.·先明确题目的前提条件，再判断事件是否一定发生、一定不发生或有可能发生。 2.·必然发生的是必然事件，对应概率为1；一定不会发生的是不可能事件，对应概率为0。 3.·可能发生也可能不发生的是随机事件，其概率满足 (0<P(A)<1)。 4.·判断事件类型时，不能脱离题目给出的条件，应从“在什么条件下发生”入手分析。 ▌迁移练1-1（2021·江苏泰州·中考真题）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（　　） A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1 ▌迁移练1-2（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 题型2 事件发生可能性的大小比较与结果列举 ▌例2-1 （2026·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） ▌例2-2 （2026·福建泉州·二模）小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（     ） A．1 B． C． D． 解题要点 事件发生可能性的大小比较与结果列举 1.比较事件发生的可能性大小时，必须建立在相同条件下进行比较。 2.当事件涉及多个步骤时，首先要确定一次试验中所有可能出现的结果。 3.两个因素、两个步骤的试验，优先采用列表法列举结果。 4.多个步骤的试验，优先采用树状图法逐层列举。 5.列举结果时必须做到不重、不漏，并确认各结果具有相同的发生可能性。 6.遇到不等可能情况时，不能直接把不同结果当作等可能结果计算概率，应先进行合理处理。 ▌迁移练2-1（2026·山东东营·中考真题）为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（2026·广东广州·中考真题）为提升学生的科学素养，某校举办了航天科技创意大赛，共有50名学生参赛．根据获奖结果，整理得到如下不完整的统计表． 获奖结果 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 未获奖 合计 人数 4 6 m 20 8 50 频率 n 1 请根据表中的信息解答下列问题： (1)统计表中的__________，__________； (2)已知获得特等奖的是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名学生进行采访，求所抽取的2名学生都是女生的概率． 题型3 简单随机事件的概率计算 ▌例3-1 （2026·浙江·中考真题）科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． ▌例3-2 （2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 解题要点 简单随机事件的概率计算 1.·使用公式计算概率的前提是：所有可能结果有限且等可能、互相排斥。 2.·设所有等可能结果共有 (n) 种，其中事件 (A) 包含 (m) 种结果，则 3.·解题时按照“确定所有结果数 → 找出符合条件的结果数 → 代入概率公式”的顺序进行。 4.·结果较少时可直接列举；结果较多时使用列表法或树状图法。 5.·涉及“和”“差”“同号”“不同号”等条件时，要逐一检查符合条件的结果，避免遗漏。 ▌迁移练3-1（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． ▌迁移练3-2（2026·新疆·中考真题）如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，且正方形的边长为，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________． 题型4 有放回与不放回试验中的概率计算 ▌例4-1 （2026·四川南充·三模）一个不透明的袋中装有大小质感等相同的个红球，个黄球．先从袋中随机摸出个，放回摇匀，再从袋中随机摸出个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（ ） A． B． C． D． ▌例4-2 （2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A． B． C． D． 解题要点 有放回与不放回试验中的概率计算 1.先判断题目属于有放回抽样还是无放回抽样，都要先保证列出的结果是题目中的等可能基本结果。 2.有放回：每次抽取后放回，总体数量不变，各次抽取条件相同。 3.不放回：抽取后不放回，总体数量逐次减少，各步的可能情况也随之变化。 4.有放回的两步试验，通常可结合列表法列举所有结果。 5.不放回的多步试验，通常采用树状图法，并注意每一层的可选结果数量发生变化。 ▌迁移练4-1（2026·河南平顶山·二模）在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球（除颜色外其他都相同），如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图，关于这次摸球试验，有下列结论：①是有放回的摸球试验；②可能是同时摸出两个球；③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球；④摸出一个红球和一个黄球的概率为，其中正确的是（　　） A．①③ B．③④ C．①②③ D．②③ ▌迁移练4-1（2026·福建漳州·模拟预测）在一个框中放置2个红球，3个黄球，4个绿球，不放回地随机拿出两个球，拿出的球恰好同一种颜色的概率（ ） A． B． C． D． 题型5 用频率估计概率 ▌例5-1 （2026·贵州·中考真题）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． ▌例5-2 （2026·贵州遵义·二模）小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 解题要点 用频率估计概率 1.频率是某事件发生次数与试验总次数的比值，是试验得到的数据；概率是事件发生可能性的理论值。 2.在相同条件下，随着试验次数大量增加，事件发生的频率会逐渐稳定在相应概率附近。 3.当概率难以直接通过理论公式求出时，可以利用大量重复试验得到的频率来估计概率。 4.观察数据表或统计图时，重点关注试验次数增大后频率的稳定趋势，而不能只看某一次试验的结果。 5.题目要求保留指定精确程度时，应按照要求进行四舍五入。 ▌迁移练5-1（2026·四川成都·三模）在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌迁移练5-2（2026·内蒙古通辽·三模）某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 题型6 游戏公平性的判断与概率应用 ▌例6-1 （2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（ ） A． B． C． D． ▌例6-2 （25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 解题要点 游戏公平性的判断与概率应用 1.判断游戏是否公平，核心不是比较规则形式，而是比较各参与方获胜概率是否相等。 2.分别求出各方获胜的概率，再进行大小比较。若双方获胜概率相等，则游戏规则公平；若不相等，则游戏规则不公平。 3.对于抽卡、掷骰子、转盘、摸球等问题，先列举所有等可能结果，再统计各方获胜的结果数。 4.当规则较复杂时，先明确“谁获胜对应什么事件”，再分别计算概率，避免把“事件的结果”与“获胜者”混淆。 ▌迁移练6-1（25-26九年级上·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ ▌迁移练6-2（2026·江苏无锡·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 题型7 标记重捕法估计总体数量 ▌例7-1 （2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 ▌例7-2 （25-26九年级上·陕西西安·期末）某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 解题要点 标记重捕法估计总体数量 1.明确“第一次标记数量、第二次捕获数量、第二次捕获中的标记数量”三个关键数据。 2.其基本思想是：样本中标记个体所占比例 ≈ 总体中标记个体所占比例。 3.设总体数量为 (N)，可建立比例关系，列比例或方程求出总体数量的估计值。 4.使用这一方法的关键前提是：标记个体放回后要与总体充分混合、均匀分布，之后再进行随机捕获。 5.最终得到的是总体数量的估计值，不是精确值。 ▌迁移练7-1（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． ▌迁移练7-2（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 难点一 复杂随机试验中等可能结果的确定与概率计算 随机试验概率题真正的难点，不只是套用概率公式，而是准确确定“所有等可能结果”以及“符合条件的结果”。尤其在连续进行两次或多次试验时，要先判断是有放回还是不放回，再选择列表法或树状图法进行分类列举。 解题方法 ① 先判断试验步骤及抽取方式，明确每一步的可能情况； ② 再选择合适的列举方法：两步试验优先列表法，多步试验优先树状图法； ③ 按照“列全 → 查重 → 找符合条件的结果 → 计算概率”的顺序处理； ④ 题目中出现“和”“差”“相同”“不同”“为正数”“为负数”等条件时，要逐项检查，防止漏计或重复计算。 易错提醒 不要把“抽取过程相同”误认为“结果数量一定相同”；尤其是不放回抽样中，每一步的可能结果数量会发生变化，必须按照实际过程建立结果树。 难点精练 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 2．（2026·湖南长沙·二模）在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 3．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 4．（2026·安徽·二模）有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 难点二 概率与实际问题的综合应用 本章的实际应用题重点考查学生能否把概率知识转化为比较、判断和估计。其中游戏公平性问题需要比较不同事件的概率；标记重捕法则需要理解“样本比例≈总体比例”的统计思想。 解题方法 ① 游戏公平性：分别确定各方获胜事件→列举等可能结果→计算双方获胜概率→比较概率大小； ② 总体数量估计：确定“标记数量、样本总量、样本中标记数量”→建立比例关系→求总体数量估计值； ③ 对概率与频率的实际应用，要区分“理论概率”和“试验频率”，根据题目条件选择合适的方法。 易错提醒 判断游戏是否公平时，不能只比较某一种结果出现的次数，而应比较各参与方最终获胜的概率；使用标记重捕法时，则必须注意“充分混合后再随机抽取”这一前提，否则比例关系没有成立的基础。 难点精练 1.（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 2．（2026·北京·二模）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 3．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）． 5．（2026·广东清远·二模）【问题背景】如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 【问题情境】 (1)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由； 【应用思考】 (2)请你利用这四张卡片，设计一种方案对两人都公平的游戏规则． 基础达标 1．（25-26九年级下·北京·阶段检测）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课堂例题）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州·中考真题）某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（ ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）2026年4月，徐州首次跻身“长红城市”榜单30强．甲、乙两人来徐州“彭城七里”游玩，若两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等，则两人选择相同景点的概率为多少？ 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·福建三明·二模）一个不透明的盒子里有个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样，小明从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则盒子里的白球有_____个． 实验次数 摸到红球的频率 9．（2026·山东青岛·中考真题）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）杭州地铁5号线“滨康路站”现仅有五个入口．某周六上午，小滨、小江两位志愿者没有约定，随机选择该站的一个入口，开展志愿服务活动．用列表或画树状图的方法，求小滨、小江两人在同一入口开展志愿服务活动的概率． 能力进阶 11．（2026·浙江台州·二模）如图为花式九球的标准球组排列（号球共颗，按菱形摆放），其中1号和号球位置固定，剩余颗球位置随机摆放，则号球与号和号都相邻的概率是_________． 12．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 13．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 15．（2026·江苏常州·二模）在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $