专题06圆的有关概念精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦圆的有关概念，系统梳理圆的描述性与集合定义、弦与直径等相关概念、点与圆的位置关系判定，以及三点定圆和三角形外接圆与外心等核心知识，搭建圆章节概念框架，为后续圆心角、垂径定理等内容学习奠定基础。 该资料通过具象实例帮助学生建立几何直观，依托“考试扣分点”和分类讨论思维培养推理意识，题型覆盖基础到拔高并附解题思路，课中辅助教师高效授课，课后助力学生梳理知识盲点，提升应用意识与解题能力。

专题06圆的有关概念精讲学案 课程核心立意 借助具象实例建立圆的基础概念，依托点到圆心距离判定点和圆的位置关系，掌握三点定圆、三角形外接圆相关结论，搭建圆章节概念框架，培养几何严谨说理与分类讨论思维，为后续圆心角、垂径定理等内容做好铺垫。 圆的定义 1. 描述性定义：在同一平面内，线段OP绕固定端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆。定点O叫圆心，线段OP叫半径。 2. 集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合。 ✨关键点：圆指圆周这条曲线，不是圆面。 圆相关基础概念 1. 弦：连接圆上任意两点的线段。 2. 直径：经过圆心的弦；直径是最长的弦。 辨析：直径一定是弦，弦不一定是直径。 3.弧：圆上任意两点间的部分。 半圆：直径分圆所得的两条弧； 劣弧：小于半圆的弧； 优弧：大于半圆的弧，书写要用三个字母。 4. 等圆：半径相等的两个圆，圆心可以不同；能够互相重合。 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 ⚠易错：长度相等的弧不一定是等弧！必须同时满足：同圆/等圆、可以重合。 点与圆的位置关系 设 O的半径为r，点P到圆心O的距离d ① d>r 点P在圆外 ② d=r 点P在圆上 ③ d<r 点P在圆内 考点：已知位置求半径范围；已知半径判断点的位置；圆上点的最值。 点在圆外：到圆上点最大距离d+r，最小距离d-r 点在圆内：到圆上点最大距离d+r，最小距离r-d ✨最值都出现在：点与圆心连线和圆的交点。 确定圆的条件 1. 过1个点：无数个圆； 2. 过2个点：无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； 3. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ⚠命题陷阱：去掉“不在同一直线上”这句话，命题错误；三点共线，不能画圆。 三角形的外接圆与外心 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆。 2. 外心：外接圆圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 ✅性质：外心到三角形三个顶点距离相等（等于外接圆半径）。 ❗区分：外心到顶点相等；内心（角平分线交点）到三边相等。 3.外心位置和三角形形状关系 ① 锐角三角形：外心在三角形内部 ② 直角三角形：外心在斜边的中点，外接圆半径R=斜边 ③ 钝角三角形：外心在三角形外部 常考辅助线与做题套路 ① 求外心坐标：求两条边垂直平分线，联立求交点；直角三角形直接取斜边中点。 ② 残破圆形找圆心：任画两条弦，作弦的垂直平分线，交点就是圆心。 （考试扣分点） 1. 等弧必须是同圆或等圆，只长度相等≠等弧。 2. 直径是弦，但弦不一定是直径；半径不是弦。 3. “三点确定一个圆”必须加上前提：不在同一直线上。 4. 外心到三个顶点距离相等，不是到三边距离相等。 5. 点与圆位置比较的是点到圆心距离d，不是点到圆上某点距离。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 判断点与圆的位置关系 ★★ 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 ★★★ 题型七 点与圆上一点的最值问题 ★★★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 三角形外接圆的概念辨析 ★★ 题型十 求三角形外心坐标 ★★★ 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十二 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★★ 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★★ 题型十四 判断确定圆的条件 ★★ 题型十五 确定圆心 ★★★ 题型十六 求能确定的圆的个数 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：圆的基本概念辨析 解题思路 ① 分清：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的定义。 ② 直径一定是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 ③ 等弧前提：同圆或等圆，长度相等的弧不一定是等弧。 易错提醒：过圆心的线段≠直径，两端必须都在圆上。 1．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．如图，是的直径，点、在上，，，则__________． 【答案】/40度 【分析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的相关性质、三角形的内角和定理．先利用邻补角性质和平行线的性质求得，再根据等边对等角性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知垂直平分，结合圆的性质可知、为互相垂直的直径，利用对角线互相垂直的四边形面积公式求解． 【详解】解：由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线． 点为的圆心，点、在上 为的直径，为中点 直线过点，且 点、在上 为的直径 ． 题型二：求圆中弦的条数 解题思路 ① 弦：连接圆上两个点的线段，两个端点都必须落在圆上。 ② 数弦：把圆上每两个点两两相连，不重复计数。 ③ 注意区分：半径不是弦，半径一个端点在圆心，不在圆上。 易错提醒：不要把半径、直径混为一谈，直径属于弦。 4．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 5．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 题型三：求过圆内一点的最长弦 解题思路 ① 圆里最长弦是直径。 ② 过圆内一点的最长弦：连接该点与圆心并延长交圆两点，即为直径。 ③ 无论圆内点在哪，最长弦永远是直径，有且只有一条。 易错提醒：过圆内一点最短弦是垂直于这条直径的弦。 7．若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 8．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 9．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________ ． 【答案】 8 5或 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 题型四：圆的周长和面积问题 解题思路 ① 周长公式：C=2r}；面积公式：S=r2。 ② 已知直径先换算半径 r=，再代入公式。 ③ 阴影面积多用整体减部分思想计算。 10．如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和圆的周长，熟练掌握该知识点是关键． 设圆的半径为，由图将梯形的周长用圆的周长和半径表示出来，列出方程求解即可． 【详解】解：由图可知：梯形的周长由 8 段弧长和 4 个半径组成， 8 段弧长即为圆的半个周长， 设圆的半径为， 可得：， 解得：，故圆的半径为 4 厘米， 则圆的面积是平方厘米． 故答案为：． 11．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 12．如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 13．已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长的计算，正确根据人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等列方程是解题的关键． 设每人向后挪动的距离是，则这个人在以为半径的圆周上，根据10人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等，即可列方程求解． 【详解】解：设每人向后挪动的距离为厘米． 根据题意得：， 故选：D． 题型五：判断点与圆的位置关系 解题思路 ① 设圆半径r，点到圆心距离为d。 ② d>r ⇒点在圆外；d=r ⇒点在圆上；d<r ⇒点在圆内。 ③ 算出点到圆心距离，和半径比较大小即可。 易错提醒：比较的是点到圆心距离，不是到圆上点距离 14．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 【答案】C 【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径， ∴该点在圆外． 15．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 16．数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，半径为4．若点A在外，则（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，实数与数轴，根据题意可得点A表示的数为，则，根据点A在外得到，据此求解即可． 【详解】解：∵以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t， ∴点A表示的数为 ∵点B表示实数16， ∴． ∵半径为4．点A在外， ∴， ∴， ∴或 解得或， 又∵运动时间要大于或等于0， ∴或， 故选：A． 17．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点的距离是解题的关键． 利用勾股定理求出各格点到点的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论． 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．   ，，，，， 时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有3个在圆内． 故选：B． 题型六：利用点与圆的位置关系求半径 解题思路 ① 根据点在圆内、圆上、圆外，列出距离d与半径r不等关系。 ② 多个点时，分别写出每个点对应的不等式，取公共解集。 ③ 解不等式得到半径取值范围。 易错提醒：看清“圆内、圆上、圆外”文字条件，不要写反不等号。 18．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 19．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 20．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 21．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 题型七：点与圆上一点的最值问题 解题思路 ① 点在圆外：到圆上点最大距离=d+r；最小距离=d-r。 ② 点在圆内：到圆上点最大距离=d+r；最小距离=r-d。 ③ 最值都出现在：该点与圆心连线和圆的交点。 ④ 题目给最大、最小距离，可列方程反求半径。 易错提醒：没有经过圆心的线段得不到最大最小距离。 22．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径． 【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是； 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识． 23．如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，先求出，再确定 当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合，即可解答． 【详解】解：连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，如图，    由题意可得： ， 由勾股定理可得：， 即 或（不符合题意，舍去）， ∵为的半径，的最小值为3，， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵点M在正方形的边上， ∴当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合， ∴， ∴为的面积为． 24．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 25．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 题型八：已知半径和圆上两点作圆 解题思路 ① 圆心到两个已知点距离都等于给定半径。 ② 分别以两个点为圆心、给定半径画弧，两段圆弧交点就是圆心。 ③ 交点个数：2个、1个、0个三种情况，对应2个圆、1个圆、作不出圆。 易错提醒：两点距离大于两倍半径，无交点，不能画圆。 26．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 27．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 28．如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 题型九：三角形外接圆的概念辨析 解题思路 ① 外接圆：经过三角形三个顶点的圆；圆心叫外心。 ② 外心：三角形三边垂直平分线交点；到三角形三个顶点距离相等。 ③ 任意三角形有且只有一个外接圆。 易错提醒：外心到三个顶点距离相等，不是到三边距离相等。 29．下列说法正确的是（   ） A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形 B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆 C．任意一个四边形都有外接圆 D．一个圆有且只有一个内接四边形 【答案】B 【分析】本题考查圆内接多边形和外接圆的概念．根据定义，外接圆是过多边形所有顶点的圆，这个多边形是圆的内接多边形，对每个选项一一分析即可． 【详解】解：、顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，故选项不符合题意； 、一个圆过多边形的每个顶点，则这个圆是这个多边形的外接圆，故选项符合题意； 、只有对角互补的四边形才有外接圆，故选项不符合题意； 、一个圆可以有无数个内接四边形，故选项不符合题意． 故选. 【点睛】正确理解圆内接多边形和外接圆的定义是解题关键，注意顶点必须在圆上. 30．如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________． 【答案】，或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，三角形的外接圆，解答本题的关键分三种情况讨论：． 当时，线段和差即可求解；当时，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，再利用等腰三角形的性质即可求解；，根据外接圆的定义即可得到与重合． 【详解】解：①时， ； ②时，过点作于点，连接 中：， ， ∴， ， ∴； ③时，此时与重合， ∴． 综上为，或． 故答案为：，或． 31．如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为________． 【答案】 【分析】连接，连接交于点G，由和是等边三角形得，，，根据全等三角形判定证得，得到，，进而计算出，再根据全等三角形判定证得，得到，当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大，此时是的垂直平分线，设，得，再根据勾股定理列出方程，再代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于点G， 和都是等边三角形， ∴，，，， ∵， ， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大， ∴此时是的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴在中 ， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，得， ∴， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形外心的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外心的性质，灵活运用角度的计算，并找到边长最长的情形是解题关键． 题型十：求三角形外心坐标 解题思路 ① 外心是三边垂直平分线交点。 ② 在坐标系中，求出两条边的垂直平分线解析式。 ③ 联立两个直线方程，方程组的解就是外心坐标。 技巧：直角三角形，外心在斜边中点，直接求斜边中点坐标。 32．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 34．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 题型十一：求特殊三角形外接圆的半径 解题思路 ① 直角三角形：外接圆半径R=斜边；外心为斜边中点。 ② 等边三角形：外接圆半径R=边长。 ③ 等腰普通三角形，作垂直平分线，勾股定理设R列方程求解。 35．中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 36．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径． 【详解】解：设三角形为，，，， ， ， 该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边， 外接圆的直径是17步， 故选：D． 37．内接于，若，，，则的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 38．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用基本作图得到平分，垂直平分，利用等腰三角形的性质得到，，连接，如图，设的半径为，利用勾股定理计算出，则，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， 设交于， ， ，， 连接，如图，设的半径为， 在中，， 在中，，， ， 解得， 即的半径为2.5．    题型十二：已知外心的位置判断三角形的形状 解题思路 ① 外心在三角形内部 ⇒锐角三角形。 ② 外心在斜边中点 ⇒直角三角形。 ③ 外心在三角形外部 ⇒钝角三角形。 易错提醒：直角三角形外心落在边上，不是内部。 39．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 40．如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 41．如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 【答案】 30°/30度 23°/23度 【分析】（1）连接OC，由点是外心得OA=OB=OC，从而可以得到，，，再根据即可求出答案． （2）先求出利用等腰三角形的性质求出=90°-30°=60°，进而求出，然后利用三角形的内角和定理求出，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，连接OC， 点是外心， OA=OB=OC， ，，， ，， ． 故答案为：30°； （2）如图2，连接OC， OB=OC，是的中点， =30°，，， =90°-30°=60°， ， ，，，，， ， ， 是边上的高， ． 故答案为：23°． 【点睛】本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 题型十三：判断三角形外接圆的圆心位置 解题思路 ① 锐角△：三边垂直平分线交点，在三角形内部。 ② 直角△：三边垂直平分线交点，在斜边中点。 ③ 钝角△：三边垂直平分线交点，在三角形外部。 42．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 43．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 44．如图中外接圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再过外心分别向轴，轴的垂线，确定坐标． 【详解】解：外接圆圆心的坐标为．    故选C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆的定义．本题解题的关键是作图找出三角形的外心． 题型十四：判断确定圆的条件 解题思路 ① 不在同一直线上的三个点，确定一个圆。 ② 三点共线：不能作圆。 ③ 1个点：无数个圆；2个点：无数个圆，圆心在两点垂直平分线上。 易错提醒：一定要有“不在同一直线上”这个前提，命题少这句话就是错。 45．点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；____的三个点确定一个圆． 【答案】不在同一直线上（不共线） 【分析】根据确定圆的条件填空即可求解． 【详解】解：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 故答案为：不在同一直线上（不共线） 【点睛】本题考查了确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键． 46．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 47．下列条件中，能确定圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以为半径 C．经过已知点 D．以为圆心，为半径 【答案】D 【分析】确定圆的条件：①确定圆心；②确定半径；据此即可得答案. 【详解】A.无法确定半径，不能确定圆，故该选项不符合题意， B.无法确定圆心，不能确定圆，故该选项不符合题意， C.无法确定圆心和半径，不能确定圆，故该选项不符合题意， D.确定了圆心和半径，能确定圆，故该选项符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了确定圆的条件，必须确定圆心和半径，两个条件缺一不可. 题型十五：确定圆心 解题思路 ① 方法一：找圆两条弦，分别作弦的垂直平分线，交点即为圆心。 ② 方法二：直角所对弦是直径，直径中点就是圆心。 ③ 残破圆形，任取两条弦作垂直平分线找交点。 48．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 50．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 题型十六：求能确定的圆的个数 解题思路 ① 看给出点：点是否共线、有几个点。 ② 三点不共线：1个外接圆；三点共线：0个圆。 ③ 多个点分组讨论，分几组不在同一直线上的点，得到对应圆的数量。 易错提醒：审题，区分“过其中三点作圆”，要把全部组合数算完整。 51．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为________________．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 52．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 【详解】解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 53．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 解答题 1．如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及轨迹和最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹并利用几何性质求的最小值． （1）利用等边三角形性质得、，通过证明，推出，结合角的和差及对顶角相等，最终证得． （2）由确定点的运动轨迹是一段劣弧，连接，通过全等三角形及角度关系求出和半径，利用“两点之间线段最短”，得的最小值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ． ． ， ． ． ． ． ，，， ． ． （2）∵． 点的运动轨迹是点为圆心，半径为的劣弧，且． 如图所示，连接． ，，， ． ，． ， ． ． ， ． ． ． 的最小值为． 2．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 3．如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 4．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 5．在中，为边上一点（不与端点重合），在外取一点，使，连接． (1)如图1，点在右侧，交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在下方，为边上一点，若，连接交于点．若为的中点，求证：； (3)如图3，点在上且，过点作于点，点在直线上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，平面内有一点，满足，连接，当最小时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)证明： 延长至点，使，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交与点，连接，则：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）角的和差关系求出的度数，等边对等角求出的度数，三角形的外角求出的度数即可； （2）延长至点，使，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交与点，连接，证明四边形为平行四边形，得到，推出，证明，即可得证； （3）过点作，作点作，作直线，证明，推出，得到，进而得到点在射线上运动，过点作，交于点，连接，垂线段最短，得到点与点重合时，最短，求出的长，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，得到当三点共线时，的值最大，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作，作点作，作直线，则：， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 过点作，交于点，连接，则：，，， ∴当点与点重合时，最短， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，的值最大为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一点到圆上一点的距离的最值，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，确定动点的位置，是解题的关键． 6．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 7．问题提出： （1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究 （2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决 （3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 【答案】（1）；（2）9；（3）修建这条小路最多要花费元． 【分析】（1）连接，，并延长交于D，根据题意得，是等腰三角形，由三线合一得且，求出，设，则，依据勾股定理列方程解答即可； （2）连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接，根据即可解答； （3）作射线交于点．根据题意得所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为，连接，则，在中，求出，过点作，垂足为．求出 ，，得点在内部，连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接．得为入口到上一点的最大距离．过点作，垂足为，则，，，即可解答． 【详解】解：（1）连接，，并延长交于D， ∵， ∴是等腰三角形， 由三线合一得且， ∴， ∴， ∵点是的外接圆的圆心， ∴， 设，则， ∴，即，化简得， 解得； （2）解：连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接， ∵矩形为的中点， ∴，， ∵以为直径作半圆， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴的最大值为； （3）如图，作射线交于点． 是劣弧， 所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为， 连接，则（米）． 在中，， 解得（米），（米）． 过点作，垂足为． ，． 在中，（米）． 在中，（米）， ，点在内部． 连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接． ，即， 为入口到上一点的最大距离． 过点作，垂足为， 则（米），（米）， （米）， （米）， 修建这条小路最多要花费元． 【点睛】本题考查三线合一，勾股定理，三角形外接圆的性质，三角形三边关系，圆的基本知识，熟练掌握相关知识，作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06圆的有关概念精讲学案 课程核心立意 借助具象实例建立圆的基础概念，依托点到圆心距离判定点和圆的位置关系，掌握三点定圆、三角形外接圆相关结论，搭建圆章节概念框架，培养几何严谨说理与分类讨论思维，为后续圆心角、垂径定理等内容做好铺垫。 圆的定义 1. 描述性定义：在同一平面内，线段OP绕固定端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆。定点O叫圆心，线段OP叫半径。 2. 集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合。 ✨关键点：圆指圆周这条曲线，不是圆面。 圆相关基础概念 1. 弦：连接圆上任意两点的线段。 2. 直径：经过圆心的弦；直径是最长的弦。 辨析：直径一定是弦，弦不一定是直径。 3.弧：圆上任意两点间的部分。 半圆：直径分圆所得的两条弧； 劣弧：小于半圆的弧； 优弧：大于半圆的弧，书写要用三个字母。 4. 等圆：半径相等的两个圆，圆心可以不同；能够互相重合。 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 ⚠易错：长度相等的弧不一定是等弧！必须同时满足：同圆/等圆、可以重合。 点与圆的位置关系 设 O的半径为r，点P到圆心O的距离d ① d>r 点P在圆外 ② d=r 点P在圆上 ③ d<r 点P在圆内 考点：已知位置求半径范围；已知半径判断点的位置；圆上点的最值。 点在圆外：到圆上点最大距离d+r，最小距离d-r 点在圆内：到圆上点最大距离d+r，最小距离r-d ✨最值都出现在：点与圆心连线和圆的交点。 确定圆的条件 1. 过1个点：无数个圆； 2. 过2个点：无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； 3. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ⚠命题陷阱：去掉“不在同一直线上”这句话，命题错误；三点共线，不能画圆。 三角形的外接圆与外心 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆。 2. 外心：外接圆圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 ✅性质：外心到三角形三个顶点距离相等（等于外接圆半径）。 ❗区分：外心到顶点相等；内心（角平分线交点）到三边相等。 3.外心位置和三角形形状关系 ① 锐角三角形：外心在三角形内部 ② 直角三角形：外心在斜边的中点，外接圆半径R=斜边 ③ 钝角三角形：外心在三角形外部 常考辅助线与做题套路 ① 求外心坐标：求两条边垂直平分线，联立求交点；直角三角形直接取斜边中点。 ② 残破圆形找圆心：任画两条弦，作弦的垂直平分线，交点就是圆心。 （考试扣分点） 1. 等弧必须是同圆或等圆，只长度相等≠等弧。 2. 直径是弦，但弦不一定是直径；半径不是弦。 3. “三点确定一个圆”必须加上前提：不在同一直线上。 4. 外心到三个顶点距离相等，不是到三边距离相等。 5. 点与圆位置比较的是点到圆心距离d，不是点到圆上某点距离。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 判断点与圆的位置关系 ★★ 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 ★★★ 题型七 点与圆上一点的最值问题 ★★★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 三角形外接圆的概念辨析 ★★ 题型十 求三角形外心坐标 ★★★ 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十二 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★★ 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★★ 题型十四 判断确定圆的条件 ★★ 题型十五 确定圆心 ★★★ 题型十六 求能确定的圆的个数 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：圆的基本概念辨析 解题思路 ① 分清：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的定义。 ② 直径一定是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 ③ 等弧前提：同圆或等圆，长度相等的弧不一定是等弧。 易错提醒：过圆心的线段≠直径，两端必须都在圆上。 1．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．如图，是的直径，点、在上，，，则__________． 3．如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 题型二：求圆中弦的条数 解题思路 ① 弦：连接圆上两个点的线段，两个端点都必须落在圆上。 ② 数弦：把圆上每两个点两两相连，不重复计数。 ③ 注意区分：半径不是弦，半径一个端点在圆心，不在圆上。 易错提醒：不要把半径、直径混为一谈，直径属于弦。 4．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：求过圆内一点的最长弦 解题思路 ① 圆里最长弦是直径。 ② 过圆内一点的最长弦：连接该点与圆心并延长交圆两点，即为直径。 ③ 无论圆内点在哪，最长弦永远是直径，有且只有一条。 易错提醒：过圆内一点最短弦是垂直于这条直径的弦。 7．若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 8．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________ ． 题型四：圆的周长和面积问题 解题思路 ① 周长公式：C=2r}；面积公式：S=r2。 ② 已知直径先换算半径 r=，再代入公式。 ③ 阴影面积多用整体减部分思想计算。 10．如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是______平方厘米． 11．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 13．已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 题型五：判断点与圆的位置关系 解题思路 ① 设圆半径r，点到圆心距离为d。 ② d>r ⇒点在圆外；d=r ⇒点在圆上；d<r ⇒点在圆内。 ③ 算出点到圆心距离，和半径比较大小即可。 易错提醒：比较的是点到圆心距离，不是到圆上点距离 14．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 15．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 16．数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，半径为4．若点A在外，则（　　） A．或 B． C．或 D． 17．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：利用点与圆的位置关系求半径 解题思路 ① 根据点在圆内、圆上、圆外，列出距离d与半径r不等关系。 ② 多个点时，分别写出每个点对应的不等式，取公共解集。 ③ 解不等式得到半径取值范围。 易错提醒：看清“圆内、圆上、圆外”文字条件，不要写反不等号。 18．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 19．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 20．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 21．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 题型七：点与圆上一点的最值问题 解题思路 ① 点在圆外：到圆上点最大距离=d+r；最小距离=d-r。 ② 点在圆内：到圆上点最大距离=d+r；最小距离=r-d。 ③ 最值都出现在：该点与圆心连线和圆的交点。 ④ 题目给最大、最小距离，可列方程反求半径。 易错提醒：没有经过圆心的线段得不到最大最小距离。 22．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 23．如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 24．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 25．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 题型八：已知半径和圆上两点作圆 解题思路 ① 圆心到两个已知点距离都等于给定半径。 ② 分别以两个点为圆心、给定半径画弧，两段圆弧交点就是圆心。 ③ 交点个数：2个、1个、0个三种情况，对应2个圆、1个圆、作不出圆。 易错提醒：两点距离大于两倍半径，无交点，不能画圆。 26．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 27．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 28．如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 题型九：三角形外接圆的概念辨析 解题思路 ① 外接圆：经过三角形三个顶点的圆；圆心叫外心。 ② 外心：三角形三边垂直平分线交点；到三角形三个顶点距离相等。 ③ 任意三角形有且只有一个外接圆。 易错提醒：外心到三个顶点距离相等，不是到三边距离相等。 29．下列说法正确的是（   ） A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形 B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆 C．任意一个四边形都有外接圆 D．一个圆有且只有一个内接四边形 30．如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________． 31．如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为________． 题型十：求三角形外心坐标 解题思路 ① 外心是三边垂直平分线交点。 ② 在坐标系中，求出两条边的垂直平分线解析式。 ③ 联立两个直线方程，方程组的解就是外心坐标。 技巧：直角三角形，外心在斜边中点，直接求斜边中点坐标。 32．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 34．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十一：求特殊三角形外接圆的半径 解题思路 ① 直角三角形：外接圆半径R=斜边；外心为斜边中点。 ② 等边三角形：外接圆半径R=边长。 ③ 等腰普通三角形，作垂直平分线，勾股定理设R列方程求解。 35．中，，，则的外接圆的半径为______． 36．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 37．内接于，若，，，则的半径是________． 38．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 题型十二：已知外心的位置判断三角形的形状 解题思路 ① 外心在三角形内部 ⇒锐角三角形。 ② 外心在斜边中点 ⇒直角三角形。 ③ 外心在三角形外部 ⇒钝角三角形。 易错提醒：直角三角形外心落在边上，不是内部。 39．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 40．如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 41．如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 题型十三：判断三角形外接圆的圆心位置 解题思路 ① 锐角△：三边垂直平分线交点，在三角形内部。 ② 直角△：三边垂直平分线交点，在斜边中点。 ③ 钝角△：三边垂直平分线交点，在三角形外部。 42．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 43．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．    44．如图中外接圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 题型十四：判断确定圆的条件 解题思路 ① 不在同一直线上的三个点，确定一个圆。 ② 三点共线：不能作圆。 ③ 1个点：无数个圆；2个点：无数个圆，圆心在两点垂直平分线上。 易错提醒：一定要有“不在同一直线上”这个前提，命题少这句话就是错。 45．点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；____的三个点确定一个圆． 46．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 47．下列条件中，能确定圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以为半径 C．经过已知点 D．以为圆心，为半径 题型十五：确定圆心 解题思路 ① 方法一：找圆两条弦，分别作弦的垂直平分线，交点即为圆心。 ② 方法二：直角所对弦是直径，直径中点就是圆心。 ③ 残破圆形，任取两条弦作垂直平分线找交点。 48．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 50．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 题型十六：求能确定的圆的个数 解题思路 ① 看给出点：点是否共线、有几个点。 ② 三点不共线：1个外接圆；三点共线：0个圆。 ③ 多个点分组讨论，分几组不在同一直线上的点，得到对应圆的数量。 易错提醒：审题，区分“过其中三点作圆”，要把全部组合数算完整。 51．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为________________．    52．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 53．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 解答题 1．如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 2．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 3．如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 5．在中，为边上一点（不与端点重合），在外取一点，使，连接． (1)如图1，点在右侧，交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在下方，为边上一点，若，连接交于点．若为的中点，求证：； (3)如图3，点在上且，过点作于点，点在直线上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，平面内有一点，满足，连接，当最小时，直接写出的最大值． 6．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 7．问题提出： （1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究 （2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决 （3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $