专题05 随机事件、简单随机事件的概率 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学同步培优讲义通过知识框架系统梳理随机事件与概率知识体系，涵盖事件分类、概率定义、简单随机事件判定及计算公式，并用表格归纳14种题型，突出核心概念与内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型设计分层递进，如用列表法或树状图法求概率培养推理能力，几何概率题结合图形发展几何直观，例题典型且易错点提示精准，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施高效复习教学。

专题05 随机事件、简单随机事件的概率 同步培优讲义 ✺知识框架 1.事件的分类：确定事件（必然事件、不可能事件）、不确定事件（随机事件） 2.概率的定义与取值范围：概率的概念、三类事件对应概率取值 3.简单随机事件判定条件：试验结果有限、各结果发生可能性均等 4.概率计算公式：简单随机事件标准概率公式 ✅本节依托教材内容，先掌握三类事件的判定方法，建立事件确定性与不确定性的基础认知，再理解概率的定义、取值规律，掌握简单随机事件的判定条件与概率核心计算公式，是概率板块的基础核心内容。 ✺学习目标 1.严格依据教材定义，区分必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件），掌握三类事件的本质特征，能精准判定生活与数学实例的事件类型。 2.明确概率是刻画事件发生可能性大小的定量指标，掌握概率与事件可能性的对应关系。 3.熟记简单随机事件概率计算公式，精准掌握公式适用的两个必备条件，能准确甄别可用、不可用公式的试验场景。 4.牢记三类事件对应的概率取值范围，能根据概率数值判断事件发生的可能性大小。 5.能准确判定事件类型、辨析简单随机事件、规范完成基础概率计算，解决同步基础与培优基础题型。 ✺题型归纳 题型1.事件的分类 题型2.判断事件发生的可能性的大小 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 题型4.概率的意义理解 题型5.判断几个事件概率的大小关系 题型6.列举随机实验的所有可能结果 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 题型8.根据概率公式计算概率 题型9.根据概率作判断 题型10.已知概率求数量 题型11.几何概率 题型12.列举法求概率 题型13.列表法或树状图法求概率 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、事件的分类 ▲在一定条件下进行试验，根据事件发生的确定性，将事件分为确定事件和不确定事件，其中确定事件包含必然事件与不可能事件。 1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。 核心特征：结果唯一确定，试验中必定发生。 典型实例：任意实数的平方为非负数；三角形任意两边之和大于第三边。 2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 核心特征：结果确定，在既定条件下一定不会发生。 典型实例：掷一枚均匀正方体骰子，朝上点数为8；任意负数的平方根为正实数。 3.不确定事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，教材统一命名为不确定事件，也可称随机事件。 核心特征：结果具有不确定性，试验前无法确定事件是否发生。 典型实例：掷一枚骰子，朝上点数为偶数；从装有黑白小球的袋子中随机摸出黑球。 ★重点辨析：必然事件、不可能事件为确定事件；不确定事件（随机事件）是本章重点研究对象，小概率、大概率事件均属于不确定事件，不属于确定事件。 知识点二：概率的意义与取值范围 1.概率的定义：对于随机事件A，刻画其发生可能性大小的数值，叫做事件A发生的概率，记作P(A)。 2.概率的意义：概率数值大小直接对应事件发生的可能性高低，数值越大，可能性越大；数值越小，可能性越小。 3.标准取值范围：0≤P(A)≤1 （1）必然事件：P(必然事件)=1，必定发生； （2）不可能事件：P(不可能事件})=0，绝不发生； （3）不确定事件（随机事件）：0 < P(A) < 1，可发生、可不发生。 知识点三：简单随机事件的概率计算 ▲教材规定：简单随机事件概率计算仅适用于古典概型，必须同时满足两个条件，缺一不可。 1.两大适用条件 （1）有限性：试验所有可能出现的结果个数有限； （2）等可能性：每一个试验结果发生的可能性大小相等。 2.标准计算公式 若一次试验共有n种等可能结果，事件A包含其中m种有效结果（≤0 m ≤n，m为非负整数，n为正整数），则： P(A)= 3.公式规范解读 （1）n：全部等可能结果总数，统计必须不重不漏； （2）m：符合事件要求的有效结果数，不得多算、漏算； （3）计算结果必须化为最简分数，为作业、考试统一规范。 知识点四、易错点提示 1.概念辨析易错：严格区分教材命名：确定事件（必然、不可能）、不确定事件（随机事件）。概率接近0或1的事件，仍为不确定事件，并非确定事件。 2.公式适用易错：概率公式P(A)=只适用于等可能试验。若试验结果概率不均等，不可套用公式，这是本章最易失分点。 3.结果统计易错：统计总结果数、有效结果数时，容易出现重复、遗漏，解题需有序枚举，保证m、n计数准确。 4.取值范围易错：必然事件概率为1，不可能事件概率为0，二者无不确定性；随机事件概率严格在0~1之间，不包含0和1。 知识点五、核心总结 1.事件分类是概率学习的基础，重点掌握不确定事件（随机事件）的精准判定，区分三类事件的本质差异； 2.简单随机事件概率的核心是古典概型两大前提，所有计算均围绕等可能结果展开； 3.解题固定步骤：判断事件类型→验证等可能条件→统计n、m→代入公式计算→化简结果； ✺题型精讲 题型1.事件的分类 1．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 2．“抛出的篮球会下落”这个事件是__________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 3．在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由． 题型2.判断事件发生的可能性的大小 1．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮20秒，绿灯亮35秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（     ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 2．有5个女同学、3个男同学玩击鼓传花游戏，花停在________同学手上的可能性比较大． 3．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）． (1)一定能摸到的是 ； (2)能摸到且摸到的可能性较大的是 ； (3)能摸到但摸到的可能性较小的是 ； (4)不可能摸到的是 ． 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 1．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 2．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 3．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 题型4.概率的意义理解 1．如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 2．谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 3．在投掷正方体骰子时，同学甲说：“6，6，6，…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 同学乙说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？ 题型5.判断几个事件概率的大小关系 1．下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 2．下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 3．一只不透明的袋子中装有3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球． (1)“摸到的一个球是白球”，该事件为 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） (2)如果要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，至少需要往袋子中增加几个黄球？ 题型6.列举随机实验的所有可能结果 1．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 2．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 3．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何． 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 1．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 2．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 3．将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 题型8.根据概率公式计算概率 1．某品牌行李箱的齿轮密码由三个数字组成，均是中的数字，开箱时发现忘记了密码的中间数字，则一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 2．一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 3．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)向上一面的数字是； (2)向上一面的数字是的倍数或的倍数． 题型9.根据概率作判断 1．电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 2．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 3．现有两个盒子，甲盒装有红球2个，白球3个和黑球5个，乙盒装有红球10个，白球20个和黑球20个． (1)如果随机取出1个白球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“因为乙盒中的黑球个数比甲盒中黑球个数多，所以此时想取出1个黑球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 题型10.已知概率求数量 1．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 2．在一个不透明的布袋中装有5个红色、4个黄色和若干个蓝色乒乓球，这些球除颜色外其他无差别，随机摸一个球，摸到蓝色乒乓球的概率是，则蓝色乒乓球有________个． 3．闻喜花馍是山西知名非遗民俗技艺，拼豆是广受青少年喜爱的创意手工．学校计划开展非遗体验课，让同学们利用拼豆材料复刻各式经典花馍造型．学校准备了外观、规格完全相同的材料盲盒，随机抽取即可获取对应造型配件．各类造型盲盒数量：花鸟造型3个，寿桃造型4个，喜纹造型2个，福鱼造型3个．从中随机抽取一盒；完成下列问题： (1)求抽到寿桃造型拼豆盲盒的概率； (2)不改变盲盒总个数，请你自主调整各类造型盲盒数量，使喜纹造型的盲盒被抽到的概率最大，直接写出一种调配方案． 题型11.几何概率 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 2．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 3．如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． (1)随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； (2)请你估计出该不规则区域的面积． 题型12.列举法求概率 1．为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 2．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 3．不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱子里任意摸出两个球，并记下数． (1)用适当的方法列举出所有的可能结果； (2)求两个数的积是偶数的概率． 题型13.列表法或树状图法求概率 1．现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 2．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 3．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． ✺课堂小练 一、单选题 1．任意画一个三角形，其内角和是，这个事件是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 2．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 3．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 二、填空题 4．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 5．如图所示的电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______________． 6．如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 三、解答题 7．如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 8．请将下列事件发生的概率标在图中： (1)当室外温度低于时，将一碗清水放在室外，半小时后水会结冰； (2)任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1； (3)自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成6个扇形），当它停止时，指针落在红色区域． 9．电视剧《主角》讲述了一代秦腔名伶逐梦戏台的故事．秦腔分为生、旦、净、丑四大经典行当．非遗文化体验活动上，两名剧迷小明和小红参与秦腔角色抽卡游戏．工作人员准备了张外观完全相同的不透明卡片，正面分别印有生、旦、净、丑四种秦腔行当图案，将卡片背面朝上充分洗匀． (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到角色为“旦”的概率是___________． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，小红再从余下的3张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机事件、简单随机事件的概率 同步培优讲义 ✺知识框架 1.事件的分类：确定事件（必然事件、不可能事件）、不确定事件（随机事件） 2.概率的定义与取值范围：概率的概念、三类事件对应概率取值 3.简单随机事件判定条件：试验结果有限、各结果发生可能性均等 4.概率计算公式：简单随机事件标准概率公式 ✅本节依托教材内容，先掌握三类事件的判定方法，建立事件确定性与不确定性的基础认知，再理解概率的定义、取值规律，掌握简单随机事件的判定条件与概率核心计算公式，是概率板块的基础核心内容。 ✺学习目标 1.严格依据教材定义，区分必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件），掌握三类事件的本质特征，能精准判定生活与数学实例的事件类型。 2.明确概率是刻画事件发生可能性大小的定量指标，掌握概率与事件可能性的对应关系。 3.熟记简单随机事件概率计算公式，精准掌握公式适用的两个必备条件，能准确甄别可用、不可用公式的试验场景。 4.牢记三类事件对应的概率取值范围，能根据概率数值判断事件发生的可能性大小。 5.能准确判定事件类型、辨析简单随机事件、规范完成基础概率计算，解决同步基础与培优基础题型。 ✺题型归纳 题型1.事件的分类 题型2.判断事件发生的可能性的大小 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 题型4.概率的意义理解 题型5.判断几个事件概率的大小关系 题型6.列举随机实验的所有可能结果 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 题型8.根据概率公式计算概率 题型9.根据概率作判断 题型10.已知概率求数量 题型11.几何概率 题型12.列举法求概率 题型13.列表法或树状图法求概率 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、事件的分类 ▲在一定条件下进行试验，根据事件发生的确定性，将事件分为确定事件和不确定事件，其中确定事件包含必然事件与不可能事件。 1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。 核心特征：结果唯一确定，试验中必定发生。 典型实例：任意实数的平方为非负数；三角形任意两边之和大于第三边。 2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 核心特征：结果确定，在既定条件下一定不会发生。 典型实例：掷一枚均匀正方体骰子，朝上点数为8；任意负数的平方根为正实数。 3.不确定事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，教材统一命名为不确定事件，也可称随机事件。 核心特征：结果具有不确定性，试验前无法确定事件是否发生。 典型实例：掷一枚骰子，朝上点数为偶数；从装有黑白小球的袋子中随机摸出黑球。 ★重点辨析：必然事件、不可能事件为确定事件；不确定事件（随机事件）是本章重点研究对象，小概率、大概率事件均属于不确定事件，不属于确定事件。 知识点二：概率的意义与取值范围 1.概率的定义：对于随机事件A，刻画其发生可能性大小的数值，叫做事件A发生的概率，记作P(A)。 2.概率的意义：概率数值大小直接对应事件发生的可能性高低，数值越大，可能性越大；数值越小，可能性越小。 3.标准取值范围：0≤P(A)≤1 （1）必然事件：P(必然事件)=1，必定发生； （2）不可能事件：P(不可能事件})=0，绝不发生； （3）不确定事件（随机事件）：0 < P(A) < 1，可发生、可不发生。 知识点三：简单随机事件的概率计算 ▲教材规定：简单随机事件概率计算仅适用于古典概型，必须同时满足两个条件，缺一不可。 1.两大适用条件 （1）有限性：试验所有可能出现的结果个数有限； （2）等可能性：每一个试验结果发生的可能性大小相等。 2.标准计算公式 若一次试验共有n种等可能结果，事件A包含其中m种有效结果（≤0 m ≤n，m为非负整数，n为正整数），则： P(A)= 3.公式规范解读 （1）n：全部等可能结果总数，统计必须不重不漏； （2）m：符合事件要求的有效结果数，不得多算、漏算； （3）计算结果必须化为最简分数，为作业、考试统一规范。 知识点四、易错点提示 1.概念辨析易错：严格区分教材命名：确定事件（必然、不可能）、不确定事件（随机事件）。概率接近0或1的事件，仍为不确定事件，并非确定事件。 2.公式适用易错：概率公式P(A)=只适用于等可能试验。若试验结果概率不均等，不可套用公式，这是本章最易失分点。 3.结果统计易错：统计总结果数、有效结果数时，容易出现重复、遗漏，解题需有序枚举，保证m、n计数准确。 4.取值范围易错：必然事件概率为1，不可能事件概率为0，二者无不确定性；随机事件概率严格在0~1之间，不包含0和1。 知识点五、核心总结 1.事件分类是概率学习的基础，重点掌握不确定事件（随机事件）的精准判定，区分三类事件的本质差异； 2.简单随机事件概率的核心是古典概型两大前提，所有计算均围绕等可能结果展开； 3.解题固定步骤：判断事件类型→验证等可能条件→统计n、m→代入公式计算→化简结果； ✺题型精讲 题型1.事件的分类 1．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 【答案】D 【分析】结合一年有个月的常识，可直接判断人中至少有人出生月份相同为必然事件，再验证其余选项排除错误答案． 【详解】解：D选项中，一年共有个月份，个人中即使前个人出生月份各不相同，第个人的出生月份必然和其中人重复，因此至少有人的出生月份相同，是必然事件． A选项抛掷硬币正面朝上、B选项电影票座位号为偶数均为随机事件，C选项骰子向上一面点数为是不可能事件，均不符合题意． 2．“抛出的篮球会下落”这个事件是__________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】必然 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义，结合客观规律判断事件发生的确定性，进而得到结论． 【详解】解：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件， 客观规律中，抛出的篮球受重力作用，一定会下落，该事件是一定会发生的事件，因此该事件是必然事件． 3．在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由． 【答案】当时，是不可能事件；当时，是随机事件 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，结合摸球数量分析组合可能性是解题关键． 根据“至少各有一个”的要求，结合摸球数量，分析所有可能的摸球组合，进而判断事件类型． 【详解】解：当时，因为总共要摸出2个球，而有3种颜色的球，所以无论怎么摸，都不可能使得红球、白球和黑球至少各有1个，所以是不可能事件； 当时，有可能出现红球、白球和黑球至少各有1个的情况，也有可能出现比如3个红球和3个白球这种情况，此时不满足红球、白球和黑球至少各有1个的要求，所以是随机事件． 答：当时，是不可能事件；当时，是随机事件． 题型2.判断事件发生的可能性的大小 1．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮20秒，绿灯亮35秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（     ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 【答案】A 【分析】先分别求出各种灯亮的可能性大小，比较后得出结论． 【详解】解：∵每分钟总时长为秒，红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒， ∴看到红灯的可能性为， 看到绿灯的可能性为， 看到黄灯的可能性为， ∵， ∴看到绿灯的可能性最大． 2．有5个女同学、3个男同学玩击鼓传花游戏，花停在________同学手上的可能性比较大． 【答案】女 【详解】根据题意，得女同学有5人，男同学有3人， 因为，女同学人数大于男同学人数， 所以花停在女同学手上的可能性比较大． 3．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）． (1)一定能摸到的是 ； (2)能摸到且摸到的可能性较大的是 ； (3)能摸到但摸到的可能性较小的是 ； (4)不可能摸到的是 ． 【答案】(1)⑤ (2)④ (3)② (4)① 【分析】本题主要考查了事件的可能性： （1）只有红球没有黑球的情况，才一定能摸到红球，据此可得答案； （2）红球个数较多，黑球个数较少，才能摸到且摸到的可能性较大，据此可得答案； （3）红球个数较少，黑球个数较多，才能摸到且摸到的可能性较小，据此可得答案； （4）只有黑球没有红球的情况，才不可能摸到红球，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，一定能摸到红球的时⑤； （2）解：∵， ∴能摸到且摸到的可能性较大的是④ （3）解：∵， ∴能摸到且摸到的可能性较小的是② （4） 解：由题意得，不可能摸到的①． 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 1．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 2．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 3．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 【答案】(1)不能 (2)不一样，摸到红色球的可能性最大，白色球次之，绿色球最小 (3)答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球 【分析】（1）根据盒子中小球颜色有3种，即可解答； （2）比较盒子中各种颜色小球的个数，即可解答； （3）使红色球和白色球的个数相同即可． 【详解】（1）解：∵盒子中的小球有红色、白色、绿色， ∴不能够事先确定小丽摸出的球的颜色； （2）解：∵红色球有3个，白色球有2个，绿色球有1个，， ∴小丽摸到每一种颜色的球的可能性不一样； （3）解：答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球． 【点睛】本题主要看考查了事件发生可能性的大小，解题的关键是掌握只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 题型4.概率的意义理解 1．如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【答案】C 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【详解】解：“佛山市明天的降水概率为”，说明当天佛山市下雨的可能性较大． 2．谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 3．在投掷正方体骰子时，同学甲说：“6，6，6，…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 同学乙说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？ 【答案】两位同学的说法都不正确． 【分析】本题考查随机事件的性质，投掷正方体骰子是随机事件，每次掷出每个点数的概率相等，结果不受人的主观意愿影响，据此可判断两人的说法均错误． 【详解】解：投掷正方体骰子，共有6种等可能的结果，掷出1到6中任意一个点数的概率都为． 每一次投掷骰子都是独立的随机事件，结果是随机的，不会受人的主观意愿改变． 无论是一直想某个数，还是刻意不想某个数，都不能改变掷出对应点数的概率，也无法保证一定得到或一定得不到该点数． 因此两位同学的说法都是错误的． 题型5.判断几个事件概率的大小关系 1．下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 【答案】D 【分析】分别计算四个选项中事件发生的概率，概率越小，发生可能性越小，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：A、抛质地均匀的硬币共有2种等可能结果，正面朝上为1种，∴； B、掷质地均匀的骰子共有6种等可能结果，朝上点数为3是1种，∴； C、52张无大小王的扑克牌中红桃共13张，抽牌共有52种等可能结果，抽到红桃是13种，∴； D、1~10共10个整数，抽数共有10种等可能结果，抽到6是1种，∴， ， 最小， 选项事件发生的可能性最小． 2．下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 【答案】③①② 【分析】先判断三个事件的类型，分别得到各事件发生的概率，再比较概率大小进行排序. 【详解】根据事件的分类，对三个事件逐一判断： ③“危楼高百尺，手可摘星辰”是不可能事件，不可能事件发生的概率为，即； ①“天有不测风云，人有旦夕祸福”是随机事件，随机事件发生的概率满足； ②“野火烧不尽，春风吹又生”是必然事件，必然事件发生的概率为，即； 比较概率大小可得 ，因此按发生的概率从小到大的顺序排列为③①②. 3．一只不透明的袋子中装有3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球． (1)“摸到的一个球是白球”，该事件为 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） (2)如果要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，至少需要往袋子中增加几个黄球？ 【答案】(1)不可能 (2)3个 【分析】（1）根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，结合题意进行判断即可； （2）根据要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，需要黄球的数量大于红球的数量，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有3个黄球和5个红球， ∴“摸到的一个球是白球”这一事件为不可能事件； （2）解：现在袋子中红球数量最多，共5个，要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，需要黄球的数量大于红球的数量， 设至少增加x个黄球， 可得， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为3， 即至少需要往袋子中增加3个黄球． 题型6.列举随机实验的所有可能结果 1．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 2．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 3．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何． 【答案】共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 连续掷两枚硬币，第一枚硬币有正面朝上、反面朝上种结果，第二枚硬币同样有正面朝上、反面朝上种结果； 将所有结果组合列举，得到所有可能的情况为：（正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）， 因此总共有种不同的可能结果； 因为两枚硬币质地均匀，投掷为独立随机事件，每种结果出现的概率都是， 所以每种结果出现的可能性相同，重复多次试验后，可观察到每种结果出现的频率接近，符合上述结论． 【分析】通过列举法列出所有可能的结果，统计结果数量，再根据硬币质地均匀的条件判断每种结果的可能性大小，即可求解． 【详解】略 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 1．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 2．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 3．将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 【答案】会出现摸到写有字母A的纸条、写有字母B的纸条、写有字母C的纸条、写有字母D的纸条、写有字母E的纸条这5种可能的结果，它们是等可能的． 【详解】解：略． 题型8.根据概率公式计算概率 1．某品牌行李箱的齿轮密码由三个数字组成，均是中的数字，开箱时发现忘记了密码的中间数字，则一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仅中间位数字未知，只需考虑该位数字的等可能结果数． 【详解】解：中间位数字可取共10种等可能结果，一次成功打开的结果只有1种，故概率为． 2．一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】 【分析】根据概率公式，用摸到白球的等可能结果数除以所有等可能结果总数，计算即可． 【详解】解：∵盒子中所有球除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相等，总球数为个，其中白球有个， ∴摸到白球的概率为． 3．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)向上一面的数字是； (2)向上一面的数字是的倍数或的倍数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，求出所有等可能结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）先求出标“”的面有个，然后利用概率公式求解即可； （2）先求数字是的倍数或的倍数有个，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有个面，每个面出现的可能性相同． 根据题意，向上一面的数字是“”的共有（个）面， 所以． （2）解：向上一面的数字是的倍数或的倍数的数字是“”，“”，“”，“”， 一共有种等可能结果， 所以． 题型9.根据概率作判断 1．电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷， 所以A必定有地雷， 所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 2．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 【答案】四/4 【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 3．现有两个盒子，甲盒装有红球2个，白球3个和黑球5个，乙盒装有红球10个，白球20个和黑球20个． (1)如果随机取出1个白球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“因为乙盒中的黑球个数比甲盒中黑球个数多，所以此时想取出1个黑球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)乙； (2)解：小明的说法不正确，理由如下： 从甲盒随机取出1个黑球的概率为， 从乙盒随机取出1个黑球的概率为， ，，， 取出1个黑球时，甲盒成功的机会更大， 小明的说法不正确． 【分析】（1）分别计算从甲、乙两个盒子中取出白球的概率，再比较概率大小得到结论； （2）分别计算从甲、乙两个盒子中取出黑球的概率，再比较概率大小得到结论． 【详解】（1）解：甲盒总球数为， 从甲盒随机取出1个白球的概率为； 乙盒总球数为， 从乙盒随机取出1个白球的概率为； ， 从乙盒中抽取成功的机会更大； （2） 略． 题型10.已知概率求数量 1．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 【详解】解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． 2．在一个不透明的布袋中装有5个红色、4个黄色和若干个蓝色乒乓球，这些球除颜色外其他无差别，随机摸一个球，摸到蓝色乒乓球的概率是，则蓝色乒乓球有________个． 【答案】3 【分析】设蓝色乒乓球有个，根据摸到蓝色乒乓球的概率列出方程求解即可． 【详解】解：设蓝色乒乓球有个， 则布袋中球的总个数为， 根据概率公式，摸到蓝色乒乓球的概率为， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合实际意义． 【点睛】总数量一定要包含所有颜色的球，切勿遗漏未知的；所列方程为分式方程，必须检验． 3．闻喜花馍是山西知名非遗民俗技艺，拼豆是广受青少年喜爱的创意手工．学校计划开展非遗体验课，让同学们利用拼豆材料复刻各式经典花馍造型．学校准备了外观、规格完全相同的材料盲盒，随机抽取即可获取对应造型配件．各类造型盲盒数量：花鸟造型3个，寿桃造型4个，喜纹造型2个，福鱼造型3个．从中随机抽取一盒；完成下列问题： (1)求抽到寿桃造型拼豆盲盒的概率； (2)不改变盲盒总个数，请你自主调整各类造型盲盒数量，使喜纹造型的盲盒被抽到的概率最大，直接写出一种调配方案． 【答案】(1) (2)调配方案：喜纹造型6个，花鸟造型2个，寿桃造型2个，福鱼造型2个（答案不唯一）. 【分析】（1）根据简单的概率公式，求解即可； （2）根据简单的概率公式，只需让喜纹造型拼豆盲盒的数量最多即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抽到寿桃造型拼豆盲盒的概率为：； （3） 解：调配方案：喜纹造型6个，花鸟造型2个，寿桃造型2个，福鱼造型2个（答案不唯一）； 题型11.几何概率 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 2．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 3．如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． (1)随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； (2)请你估计出该不规则区域的面积． 【答案】(1) (2)160 【分析】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据概率公式即可得到结论． 【详解】（1）解：记“黄豆落在正方形内（含边界）”为事件， ． 故黄豆落在正方形内（含边界）的概率为． （2）解：，正方形的面积为， ∴不规则区域的面积为． 答：该不规则区域的面积是． 题型12.列举法求概率 1．为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． 2．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和概率计算公式求解即可． 【详解】解：随机抽取两张，等可能的结果有（美，丽），（美，山），（美，河），（丽，山），（丽，河），（山，河）， 共有种等可能的结果，其中，（丽，山）只有种， 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是． 3．不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱子里任意摸出两个球，并记下数． (1)用适当的方法列举出所有的可能结果； (2)求两个数的积是偶数的概率． 【答案】(1) 解：从三个球中摸出两个球， 则可能的结果为，，； (2) 【分析】（1）运用列举法列出所有情况即可； （2）找到两个数的积是偶数的情况数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：三种情况中两个数的积分别为，，，偶数有2个， ∴两个数的积是偶数的概率为． 【点睛】本题考查了概率的求法，列举法，解题的关键是能不重不漏的列举出所有情况． 题型13.列表法或树状图法求概率 1．现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为． 2．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 3．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． ✺课堂小练 一、单选题 1．任意画一个三角形，其内角和是，这个事件是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：任意三角形的内角和均为，该事件一定会发生，属于必然事件． 2．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵袋子中共有个球，其中绿球有个， ∴随机取出个球恰好是绿球的概率为． 3．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 二、填空题 4．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【分析】先根据红球个数和摸出红球的概率求出原有总球数，再计算出白球个数，根据摸出两种球概率相等得出红球个数需等于白球个数，结合白球个数不变，即可求出需要放入红球的个数． 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得 ，解得 ， 原有白球个数为 （个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为 （个）． 5．如图所示的电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______________． 【答案】 【分析】画树状图或列表列出所有等可能的结果，找出其中符合条件的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有6种， 小灯泡发光的概率是． 6．如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 【答案】 【分析】先求出最短路径一共有35种，再找出不经过点的路径有多少种，最后再由概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 故其中经过点的路径，即，一共有种， ∴不经过点的路径有种， ∴不经过点的概率为． 三、解答题 7．如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 【答案】(1)随机 (2) (3)解：她的看法对，原因为： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 则（小亮转出的颜色是红色）， ∵P（小明转出的数字小于7）， ∴两者概率相同，她的看法对． 【分析】（1）根据事件的分类判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出小亮转出的颜色是红色的概率，与（2）比较即可作答． 【详解】（1）解：由图1可知，转到数字5是随机事件； （2）解：共有9种等可能的情况，其中转出的数字小于7的情况有6种， 则P（小明转出的数字小于7）； （3）略． 8．请将下列事件发生的概率标在图中： (1)当室外温度低于时，将一碗清水放在室外，半小时后水会结冰； (2)任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1； (3)自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成6个扇形），当它停止时，指针落在红色区域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据概率公式分别计算即可． 【详解】（1）解：当室外温度低于时，将一碗清水放在室外，半小时后水会结冰是必然事件，因此发生的概率为1； （2）解：任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1是不可能事件，因此发生的概率为0； （3）解：当它停止时，指针落在红色区域的概率为：． 9．电视剧《主角》讲述了一代秦腔名伶逐梦戏台的故事．秦腔分为生、旦、净、丑四大经典行当．非遗文化体验活动上，两名剧迷小明和小红参与秦腔角色抽卡游戏．工作人员准备了张外观完全相同的不透明卡片，正面分别印有生、旦、净、丑四种秦腔行当图案，将卡片背面朝上充分洗匀． (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到角色为“旦”的概率是___________． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，小红再从余下的3张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用单一目标卡片数量除以卡片总数求得单次抽取概率； （2）通过列表列出不放回抽取的全部种等可能情况，统计其中包含“净”的情况数量，再用符合条件情况数除以总情况数算出对应概率． 【详解】（1）解：共有张卡片，抽到每张卡片的可能性相等， 共有种等可能的结果，其中，抽到角色为“旦”的结果只有一种， 抽到角色为“旦”的概率是； （2）解：设四张卡片分别为生、旦、净、丑，列表列举所有等可能结果： 小明小红 生 旦 净 丑 生 （生，旦） （生，净） （生，丑） 旦 （旦，生） （旦，净） （旦，丑） 净 （净，生） （净，旦） （净，丑） 丑 （丑，生） （丑，旦） （丑，净） 全部等可能结果共种，含“净”的结果有：（生，净），（旦，净），（净，生），（净，旦），（净，丑），（丑，净）种，故两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $