26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过回顾顶点式y=a(x-h)²+k的性质，以情境问题引导学生思考如何通过配方法转化一般式，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以探究活动为主线，通过具体函数配方、列表画图等操作培养学生运算能力和推理意识，用表格系统归纳性质形成模型。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第二十六章　二次函数 26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时，y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时，y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 知识关联 【情境问题】 想一想 : 我们研究过哪些形式的二次函数的图象和性质. 如何画出二次函数y=ax2+bx+c的图象? 是否可以通过配方法将y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式,这样可以利用顶点式的图象和性质来研究y=ax2+bx+c. 【探究】 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【操作尝试】 探究与应用 (2)这种函数在形式上有什么特点? 提示: (1)对于形如y=a(x-h)2+k的二次函数，大家会画它的图象吗? 问题 : 如何画二次函数 的图象? (3)你能把二次函数 化成y=a(x-h)2+k的形式吗？ (4)二次函数 的图象是由抛物线 通过怎样的平 移得到的. 助力教学 (authorId_373264932) - 通过问题串让学生自行归纳 【尝试交流】 探究与应用 (5)如果直接画二次函数 的图象，可按如下步骤进行. 【探究】 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 先利用图象的对称性列表: 由配方的结果可知，抛物线 的顶点是(6,3)，对称轴是x=6. … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 7.5 7.5 5 3.5 3 3.5 5 然后描点画图， 得到图象如右图. 5 10 x y 5 10 O 探究与应用 【探究】 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 归纳: 二次函数 的图象特点. 抛物线开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标是(6,3)。 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大； 当x=6时，y取最小值，最小值是3. 5 10 x y 5 10 x=6 O 类比上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质 【探究】二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 探究与应用 思考 : 如何求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标. (1)提:提出二次项系数 (2)配:加上、减去一次项系数一半的平方 (3)化:化成顶点式 y=ax2+bx+c = （x2+ x ）+c （x + ） + 2 y = = x2 + x + - +c [ ] 用配方法 探究与应用 【概括新知】 【探究】 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 当x<-时,y随x的增大而减小 当x>-时,y随x的增大而增大 当x<-时,y随x的增大而增大 当x>-时,y随x的增大而减小 最值 向上 向下 直线 直线 当x=-时,y有最小值,为 当x=-时,y有最大值,为 【理解应用】 探究与应用 例1 已知：抛物线y＝2x2－4x－6. (1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2) 当x为何值时，y随x 的增大而增大？ (3)描点画图. 解： y＝2x2－4x－6=2(x2－2x+1-1)-6=2(x－1)2-8. (1)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)． (2)当x＞1时，y随x 的增大而增大． (3)图略 【理解应用】 探究与应用 例2　求下列函数的最大值或最小值. 答案 : (1)最小值为- (2)最大值为0 (1)y=3x2+2x; (2)y=-2x2+8x-8. 答案 : b=5，c=-4 变式 : 已知抛物线y=-x2+bx+c的顶点为（5, ）,求b、c的值. 助力教学 (authorId_373264932) - 这里的例题是新教材的新加的练习 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例3 已知抛物线y=x2-4x+h的顶点A在直线y=-4x-1上，求该抛 物线的顶点坐标. 答：(2,-9) 【小结】 课堂小结与检测 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 图象特点 增减性　 最值 a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下 对称轴是直线x＝ ，顶点坐标是 a＞0时，若当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大 a＜0时，若当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小 a＞0时，当x＝ 时，y有最小值，为 a＜0时，当x＝ 时，y有最大值，为 【检测】 课堂小结与检测 1.二次函数y=x2+2x-3的图象的开口方向、顶点坐标分别是(　　) A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4) B.开口向下,顶点坐标为(1,4) C.开口向上,顶点坐标为(1,4) D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4) A 【 检测】 课堂小结与检测 2. 把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物 线的解析式为　　 .  y=2x2+1 3 . 若二次函数y=ax2-4x-6的图象的顶点横坐标是-2， 则a=　　 .  -1 【 检测】 课堂小结与检测 4 . 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)， B(x2，y2)在此函数的图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小 关系是 　 　 y1<y2 【 检测】 课堂小结与检测 5.通过配方分别写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大（小）值. (1)y=x2+3x-2; (2)y=1-6x-x2; (3)y=3x2-2x+4. 解: ，所以抛物线 y=x2+3x-2开口向上， 对称轴为直线 顶点坐标为 ，最小值y= . ，所以抛物线y=3x2-2x+4开口向上，对 称轴为直线 顶点坐标为 ， 最小值y= 。 (2)y=-x2-6x+1=-(x2+6x+9-9)+1=-(x+3)2+10，所以抛物线y=1-6x-x2开口向 下，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3,10)， 最大值y=10 . $第二十六章　二次函数 26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 问题1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需 要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2个 问题2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1)设： （表达式） (2)代： （坐标代入） (3)解： 方程（组） (4)还原：（写表达式） 助力教学 (authorId_373264932) - 本课时 教材以习题题目呈现，但是也是重要一课，故增加1个课时 【探究1】 利用一般式求解析式 【操作尝试】 探究与应用 问题1：由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ 3个 三点不在同一直线上 问题2：如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点， 能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 探究与应用 【探究1】 利用一般式求解析式 解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由函数图象经过 (－1，10)，(1，4)，(2，7)三 点，得关于a，b，c的三元一次方程组 ∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5. 解得 1.设一般式 2.点代入 一般式 3.解得方程组 4.写出解 析式 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫作一般式法. 【探究1】利用一般式求解析式 探究与应用 【概括新知】 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④得函数解析式. 用一般式法求二次函数表达式的方法 【理解应用】 探究与应用 例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点， 求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过 点(0，1)、 (2，4)、(3，10) 可得 ∴所求的二次函数的表达式是 解得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， c=1， 【探究2】用顶点式求解析式 【思考交流】 探究与应用 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0). 问题 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)， 求这条抛物线的表达式. 解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的表达式为y= (x-4)2-1. 这种已知抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫作顶点式法. 【探究2】用顶点式求解析式 探究与应用 【概括新知】 用顶点式求二次函数表达式的方法 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②代入顶点坐标另一点的坐标，得到关于a的一元一次方程; ③解得a的值，得到函数解析式. 【理解应用】 探究与应用 例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)， 求这个二次函数的表达式. 解： ∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)， 因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9. 解得 a= ∴所求的二次函数的表达式是y=(x-8)2+9. 又∵它的图像经过点（0，1），可得1=a(0-8)2+9. 【探究3】用交点式求解析式 探究与应用 问题：抛物线经过点(-3,0),(-1,0),(0,-3)，试求出这个二次函数的解析式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线与x轴的交点. ∴可设这个二次函数解析式是y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的解析式是 y=-(x+3)(x+1)，即 y=-x2-4x-3. 这种已知抛物线与x轴的交点，求函数解析式的方法叫作交点式法. 【探究3】用交点式求解析式 探究与应用 用交点式法求二次函数表达式的方法 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②把两交点的横坐标x1、x2代入到解析式中; ③将第三个点的坐标代入上面的方程求出a值； ④得到函数解析式. 【概括新知】 【理解应用】 探究与应用 例3 二次函数图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2． 求出这个的二次函数的解析式 解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2， ∴图象经过另一点(3，0). ∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3). 将点(0，-3)代入，得 -3=a·(-1)(-3) 解得 a=-1. ∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 【小结】 课堂小结与检测 ①已知三点坐标 (三点是否有两交点) ②已知顶点坐标或对称轴或最值 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 【检测】 课堂小结与检测 1. 已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)， 求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 8=4a-2b， 5=a-b， ∴ 解得 ∴ y=-x2-6x. { { a=-1, b=-6. 【 检测】 课堂小结与检测 2. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)， 与x轴交于A，B两点．求抛物线的函数表达式． 解：∵抛物线的函数表达式中二次项系数为1， 且顶点为M(0，－1)， ∴其函数表达式为y＝x2－1. 【 检测】 课堂小结与检测 3. 已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)， 求此函数的表达式． 解：∵ 点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， ∴ 设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又∵抛物线过点M(0，1)， ∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， ∴ 所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1. $