第26章《二次函数》综合测试卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦九年级上册《二次函数》单元核心，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合无人机配送、投篮轨迹等真实情境，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|二次函数定义（1题）、对称轴（3题）、顶点坐标（4题）|结合图像辨析（5题），强化几何直观| |填空题|6小题|配方变形（11题）、平移规律（14题）、最值应用（16题）|设置开放题（12题），培养创新意识| |解答题|8小题|图像绘制（17题）、实际建模（23题）、综合探究（24题）|融入无人机飞行（8题）、投篮轨迹（23题），体现数学建模与应用意识|

人教2024版九年级上册数学《二次函数》综合测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y=2x2-x3+25 B．y=22+2x C．y=3x2-12 D． 2．若y=（a-4）x|a|-2+7x-5是二次函数，则a的值为（　　） A．-4 B．4 C．±4 D．±2 3．下列抛物线，对称轴是直线x=-2的是（　　） A．y=x2-2 B．y=（x+2）2 C．y=（x-2）2 D．y=x2+2 4．关于抛物线y=-（x-2）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x=-2 C．顶点坐标是（2，4） D．x＞2时，y随x增大而增大 5．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则y=cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值-2 B．最小值2 C．最大值-2 D．最大值2 7．已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥-1 B． C．a≥ D． 8．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h=at2+bt,其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t=2.5 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t=1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 9．已知点P是抛物线y=-x2-3x+4上的动点，点Q（a+4，-a+6）是坐标平面内的动点，则线段PQ长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，以下4个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③若点A（m,n）在该抛物线上，且m＞1，则am+a+b＜0；④3a+c＞0．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．把二次函数y=x2-2x+4变形为y=a（x-h）2+k的形式，则h+k的值为______． 12．二次函数y=a（x-1）2+6，当x＜1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值______． 13．已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）都在函数y=-2（x-1）2-5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是______． 14．若将抛物线y=2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为______． 15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=mx+n（m≠0）相交于点P（-2，3），Q（5，7），则关于x的方程ax2+bx+c=mx+n的解是______． 16．已知二次函数y=ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在-3≤x≤1时有最大值16，则a的值为______． 三．解答题（共8小题） 17．已知二次函数y=x2+4x-5． （1）将y=x2+4x-5化成y=a（x-h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当-3＜x＜0时，结合图象，直接写出y的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），，点A在x轴正半轴上，且OA=2OB，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C． （1）求二次函数的表达式； （2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n的关系． 19．如图，抛物线y=x2+bx+c过点C（-1，m）和D（5，m），A（4，-1）． 求：（1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （3）直线AB的函数表达式． 20．已知抛物线y=ax2过点A（-4，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ______；△AOB的面积是 ______； （3）点C在抛物线上，且满足S△ABC=，求点C的坐标． 21．已知抛物线y=-x2+（2m-3）x-m+2． （1）求证：不论m为何值，抛物线与x轴都有两个交点； （2）若该抛物线的对称轴为，当时，求y的取值范围． 22．如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2-4x+c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出P点的坐标． 23．综合与实践 问题情境： 某校九年级小康同学利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备，图1是投篮过程中的截面图，投篮过程中篮球的运动路线可以近似地看作是抛物线的一部分． 实验数据： 如图1，小康投篮的运动轨迹可以近似地用抛物线y=ax2+bx+2（0≤x≤2）来刻画，篮球运动的水平距离为x米，篮球距离水平地面的竖直高度为y米，当小康投篮后篮球运动的水平距离为0.5米时，竖直高度为2.625米；当篮球运动的水平距离为1米时，竖直高度为3米． 数学建模： 如图2，以水平地面所在的直线为x轴，小康投篮时的站立点为点O，过点O所作的垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy. 问题解决： （1）求篮球运动轨迹的抛物线表达式． （2）求篮球飞行的最大高度． （3）若篮球与y轴的水平距离1.2米处的竖直高度y满足3.0≤y≤3.1米视为有效投篮，请你通过计算说明小康此次投篮是否有效． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2（k＞0）与抛物线y=x2相交于A，B两点．C，D两点在抛物线上，且CD∥AB． （1）若点A的坐标为（-1，1），求k的值和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，记C，D两点的横坐标分别为m,n（m＜n），当m≤x≤n时，函数y=（x-h）2总在x=n处取得最大值，求h的取值范围； （3）若AB=2CD，直线AC，BD的交点E恰好落在x轴正半轴上，求点E的坐标和k的值． 人教2024版九年级上册数学《二次函数》综合测试卷 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、C 2、A 3、B 4、C 5、B 6、D 7、C 8、B 9、B 10、C  二．填空题（共6小题） 11、4； 12、-1（答案不唯一，任意负数均可）； 13、y1＜y2＜y3； 14、-2； 15、x1=-2，x2=5； 16、-16或2；  三．解答题（共8小题） 17、解：（1）∵y=x2+4x-5=（x+2）2-9，∴将y=x2+4x-5化成y=a（x-h）2+k的形式为y=（x+2）2-9； （2）由（1）可得，该二次函数的顶点为（-2，-9）， 令y=0，（x+2）2-9=0， 解得：x=1或x=-5， 故该二次函数与x轴的交点为（1，0）和（-5，0）， 当x=0时，y=-5， 故该二次函数与y轴的交点为（0，-5）， 描点、画出函数图象如图所示： （3）由题意，结合（2）可得，当-3＜x＜0时，y的取值范围为：-9≤y＜-5． 18、解：（1）解：∵B（0，2），OA=2OB， ∴OB=2，OA=4， ∴A（4，0）， ∵二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0），， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； （2）由（1）知抛物线的解析式为可化为． ∴其顶点坐标为（2，-2） ∵抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是（2+m,-2+n）． 设直线AB的函数表达式y=kx+d（k≠0）， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式是． ∴， ∴m+2n=6． 19、解：（1）∵点C（-1，m）和D（5，m）， ∴点C和点D为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x=2； （2）∵-=2， ∴b=-， 把A（4，-1）代入y=x2-x+c得-+c=-1，解得c=-1， ∴抛物线解析式为y=x2-x-1； ∵y=x2-x-1=（x-2）2-， ∴顶点B的坐标为（2，-）； （3）设直线AB的解析式为y=px+q, 把A（4，-1），B（2，-）代入得，解得， ∴直线AB的解析式为y=x-． 20、解：（1）∵抛物线y=ax2过点A（-4，8）． ∴16a=8， 解得a=， ∴这个函数的解析式为y=x2； （2）∵点A（-4，8）， ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（4，8）； ∴AB=4-（-4）=8， ∴S△OAB=×8×8=32； 故答案为：（4，8），32； （3）设点C到AB的距离为h, 则S△ABC=•AB•h=×8h, S△ABC=， ∴×8h=， 解得h=4， ①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为8-4=4， 此时，x2=4， 解得x1=2，x2=-2， 点C的坐标为（2，4）或（-2，4）， ②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为8+4=12， 此时x2=12， 解得x1=2，x2=-2， 点C的坐标为（2，12）或（-2，12）， 综上所述，点C为（2，4）或（-2，4）或（2，12）或（-2，12）． 21、（1）证明：当y=0时，-x2+（2m-3）x-m+2=0， ∵Δ=（2m-3）2-4×（-1）×（-m+2） =4m2-12m+9-4m+8 =4m2-16m+17 =4（m-2）2+1＞0， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，抛物线与x轴都有两个交点； （2）解：根据题意得-=， 解得m=3， ∴抛物线解析式为y=-x2+3x-1， ∵y=-x2+3x-1=-（x-）2+， ∴当x=时，y有最大值， ∵当x=时，y=-x2+3x-1=-+-1=， 当x=2时，y=-x2+3x-1=-4+6-1=1， ∴当时，y的取值范围为≤y≤． 22、解：（1）由已知条件得： ， 解得：， 所以，此二次函数的解析式为：y=-x2-4x； （2）如图所示：不等式ax2-4x+c＞0的解集为：-4＜x＜0； （3）∵点A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h, 则S△AOP=×4h=8， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时，-x2-4x=4， 解得：x=-2， 所以，点P的坐标为（-2，4）， ②当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4， 解得x1=-2+2，x2=-2-2， 所以，点P的坐标为（-2+2，-4）或（-2-2，-4）， 综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4）． 23、解：（1）将点（0.5，2.625）和（1，3）代入y=ax2+bx+2，得 ， 解得， 故y=-0.5x2+1.5x+2． （2）∵y=-0.5x2+1.5x+2=-0.5（x-1.5）2+3.125，a=-0.5＜0， ∴y有最大值， 当x=1.5时，y最大=3.125， ∴篮球飞行的最大高度为3.125米． （3）当x=1.2时，y=-0.5×（-0.3）2+3.125=3.08， ∵3.0≤y≤3.1视为有效投篮，而3.0≤3.08≤3.1， ∴若篮球与y轴的水平距离1.2米处的竖直高度y满足3.0≤y≤3.1米视为有效投篮，小康此次投篮有效． 24、解：（1）将点A（-1，1）代入y=kx+2得，1=-k+2， 解得k=1， 令x+2=x2，则x2-x-2=0， 解得x=2或x=-1， ∴B（2，4）； （2）如图， 设CD：y=x+t, 联立y=x+t与y=x2得x2-x-t=0， 令Δ=1+4t=0， ∴， 此时， 解得， ∴， y=（x-h）2对称轴为x=h, ∴当时，y=（x-h）2总在x=n处取最大值； （3）设E（m,0）， ∵CD∥AB，， ∴CD为△ABE中位线， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴C（，），D（，）， 联立AB与y=x2得x2-kx-2=0， 则x1+x2=k,x1•x2=-2， 过E作EF∥AB交y轴于F， ∴直线EF：y=kx-km, ∴F（0，-km）， 记直线CD交y轴于H，记AB交y轴于G， ∵AB∥CD∥EF， ∴==1， ∴H为G，F中点， ∴H（0，）， ∴直线， 联立CD与y=x2得， 则xC+xD=k,xC•xD=-1， ∴，即， ∵x1+x2=k, ∴k=2m, ，即， 解得， ∴E（，0），k=2． 学科网（北京）股份有限公司 $