第十三章三角形单周末单元自主练习卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学三角形单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖三角形三边关系、内角和、等腰性质等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|三边关系、内角和、高的画法|结合直角三角板放置（第4题）考查角的计算，基础扎实| |填空题|6题|中点面积、动态等腰三角形|定义“优美比”（第14题），融合概念理解与分类讨论| |解答题|7题|动点问题、折叠性质、角平分线探究|22题长方形动点综合，23题角平分线规律探究，突出推理与模型意识|

2026——2027学年第一学期 人教版八年级数学第十三章三角形单周末单元自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 2．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 C 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 3．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 4．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 5．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 6．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 7．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 8．如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． D 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 二、填空题（共6小题） 11．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 12．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 13．如图所示，，则的度数为__度． 250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 14．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 15．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，若，，的度数为_____． 【分析】由是的外角，得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据是的外角，可得出． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， 在中，，， ， 是的外角， ， ． 三、解答题（共5题） 17．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． (1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 18．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． (1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 19．如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． (1)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据余角的性质可得，即可解答； （2）先求出的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 20．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． (1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 21．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 22．如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． (1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 23．【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． (1)①；②； (2) (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； (4) 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版八年级数学第十三章三角形单周末单元自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 2．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 6．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 7．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 8．如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 12．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 13．如图所示，，则的度数为__度． 14．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 15．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 16．如图，在中，，若，，的度数为_____． 三、解答题 17．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 18．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 19．如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 20．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 21．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 22．如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 23．【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 《2026年9月4日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C B A A A D B 1．D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 2．C 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 3．D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 4．C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 5．B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 6．A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 7．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 8．A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．D 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 10．B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 11．65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 12．1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 13．250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 14． 或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 15．8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】由是的外角，得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据是的外角，可得出． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， 在中，，， ， 是的外角， ， ． 17．(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 19．(1)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据余角的性质可得，即可解答； （2）先求出的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 21．(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 22．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 23．(1)①；②； (2) (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； (4) 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $