26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象特征、平移规律及性质，通过复习上下平移（\(y=ax^2\)到\(y=ax^2+k\)）和左右平移（\(y=ax^2\)到\(y=a(x-h)^2\)），引出顶点不在坐标轴的新情况，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点是采用分层练习（基础选择填空到综合拓展解答）和探究活动（画图分析平移关系），培养几何直观与运算能力，如喷水池水柱问题用顶点式建模体现模型意识。课堂小结结构化梳理知识，学生能巩固核心考点，教师可高效开展分层教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质专项练习 本次专项练习对应人教版数学九年级上册26.2.2.3知识点，是前两节y=ax²、y=ax²+k、y=a(x−h)²内容的综合升华，聚焦二次函数顶点式y=a(x−h)²+k的图象平移法则、完整几何特征、函数增减性与最值问题，通过分层题型训练，攻克上下左右综合平移难点，全面掌握顶点式二次函数的核心考点与解题技巧。 一、核心知识梳理 1. 基本图象特征：y=a(x−h)²+k是二次函数的顶点式，图象为抛物线，与y=ax²形状、开口方向完全相同。抛物线顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，相较于基础抛物线，同时发生水平平移与竖直平移，是前两种平移方式的结合。 2. 平移规律：遵循“左加右减，上加下减”综合法则。相对于y=ax²，h＞0向右平移h个单位，h＜0向左平移|h|个单位；k＞0向上平移k个单位，k＜0向下平移|k|个单位。平移仅改变图象位置，不改变抛物线的开口大小与方向。 3. 函数核心性质：当a＞0时，开口向上，顶点(h，k)为图象最低点，函数最小值为k；x＜h时，y随x增大而减小；x＞h时，y随x增大而增大。当a＜0时，开口向下，顶点(h，k)为图象最高点，函数最大值为k；x＜h时，y随x增大而增大；x＞h时，y随x增大而减小。 二、基础专项练习题 选择题 1. 抛物线y=3(x−2)²+1的顶点坐标是（ ） A. (2，1) B. (-2，1) C. (2，-1) D. (-2，-1) 2. 将抛物线y=x²先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得解析式为（ ） A. y=(x+3)²+2 B. y=(x−3)²+2 C. y=(x+3)²−2 D. y=(x−3)²−2 填空题 3. 抛物线y=-2(x+1)²-3的开口方向为________，对称轴为________，最大值为________。 4. 已知抛物线y=a(x−1)²+2过点(2，5)，则a的值为________。 基础解答题 5. 写出抛物线y=4(x−3)²−5的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及函数的增减性和最值。 三、能力提升练习题 1. 已知点A(2，y₁)、B(4，y₂)、C(6，y₃)在抛物线y=-(x−5)²+4上，比较y₁、y₂、y₃的大小。 2. 已知抛物线与y=4x²形状相同，顶点坐标为(-2，3)，求该抛物线的解析式。 四、综合拓展练习题 已知抛物线y=a(x+1)²−2经过点(1，6)，求：（1）抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴、顶点坐标与函数最值；（3）写出y随x增大而减小的x的取值范围。 五、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：A。解析：顶点式y=a(x−h)²+k的顶点为(h，k)，本题h=2，k=1，故顶点坐标为(2，1)。 2. 答案：B。解析：右减上加，向右平移3个单位即x替换为x−3，向上平移2个单位整体加2，解析式为y=(x−3)²+2。 填空题解析 3. 答案：向下；直线x=-1；-3。解析：a=-2＜0，开口向下，顶点(-1，-3)为最高点，函数最大值为-3。 4. 答案：3。解析：将点(2，5)代入解析式，得5=a(2−1)²+2，解得a=3。 基础解答题解析 5. 解析：a=4＞0，开口向上；顶点坐标(3，-5)，对称轴为直线x=3；当x＜3时，y随x增大而减小，当x＞3时，y随x增大而增大；x=3时，函数取得最小值-5，无最大值。 能力提升题解析 1. 解析：抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，点到对称轴距离越近函数值越大。A点距离3个单位，B点距离1个单位，C点距离1个单位，故y₂=y₃＞y₁。 2. 解析：形状相同则|a|=4，a=4或a=-4，顶点(-2，3)即h=-2，k=3，解析式为y=4(x+2)²+3或 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点. y=ax2 y=a(x-h)2 y=ax2+k y=ax2 k>0 k<0 上移 下移 右移 左移 说出平移方式，并指出其顶点与对称轴. 顶点 在x轴上（h，0） 顶点 在y轴上(0,k) 对称轴 y轴 对称轴 x=h 【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？ h>0 h<0 情境导入 3 3 探究 （1）画出二次函数  的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（2）抛物线  与抛物线  有什么关系？ (1)如图，抛物线  的开口向下，对称轴是 x=-1，顶点是 (-1，-1).  (x+1)2-1 探究新知  (x+1)2-1    (2)如图中，抛物线  向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线y=(x+1)2-1. 探究 （1）画出二次函数  的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（2）抛物线  与抛物线  有什么关系？ (1)如图，抛物线  的开口向下，对称轴是 x=-1，顶点是 (-1，-1). 探究新知 一般地，抛物线  与  形状相同，位置不同. 把抛物线  向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 .平移的方向、距离要根据  的值来决定. 抛物线  有如下特点： (1)当  时，开口向上；当  时，开口向下. (2)对称轴是 . (3)顶点是 （h,k）. 探究新知 抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 抛物线 +k 抛物线  抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 探究新知 知识点1 二次函数 的图象和性质 1.抛物线 的对称轴是( ) A A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 返回 举一反三 8 2.[北京东城区期中] 抛物线 的顶点坐标是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.关于二次函数 的最值情况，下列说法正确的是 ( ) C A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值6 D.有最小值6 返回 举一反三 10 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 探究新知 对于抛物线 ，给出下列结论： ① 抛物线  可由抛物线  先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到； ② 对称轴为直线 ； ③ 顶点坐标为 (-2，3)； ④ 当  时， 随  的增大而增大. 其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 例1 C 探究新知 已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且经过点(3，-6)，则抛物线的解析式是__________________. 解析：根据抛物线的顶点坐标是(1,2)，可设抛物线的解析式是 y=a(x-1)2+2. 因为抛物线经过点(3，-6)， 所以 -6=a(3-1)2+2， 解得 a=-2. 故抛物线的解析式是y=-2(x-1)2+2. 跟踪训练 y=-2(x-1)2+2 探究新知 待定系数法求二次函数解析式的步骤 一设：先设出二次函数的解析式，如 y=a(x-h)2+k. 二代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）. 三解：解此方程（组），求待定系数. 四还原：将求出的待定系数还原到解析式中. 探究新知 y/m x/m 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 1.6 (1.6，3) 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为  轴，水管所在直线为  轴，建立平面直角坐标系. 点（1.6,3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为  （ ）. 3.6 探究新知 y/m x/m 1.6 (1.6，3) 由这段抛物线经过点 (3.6,0) ，可得  . 解得 a=﹣ 因此 （ ）. 当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08 m. 3.6 探究新知 4.二次函数 的大致图象是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 5.对于二次函数 ，下列说法正确的是( ) D A.图象开口向下 B.图象的对称轴是直线 C.图象有最高点 D.当时，随 的增大而增大 返回 举一反三 18 6.[威海中考] 已知点，， 都在二次函数 的图象上，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 19 7.若二次函数的最小值为 ，则其图象的顶点坐 标为_________. 返回 举一反三 20 8. 已知二次函数，当时，随 的增大而减小，写出一个符合条件的 的值：_________________. 1（答案不唯一） 返回 举一反三 21 知识点2 抛物线与 的关系 9.将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 22 10.将抛物线 先向____平移___个单位长度，再向____平移 ______________________个单位长度，得到抛物线 . 左 2 下 5（或下；5；左；2） 返回 举一反三 23 11.［教材习题变式］把抛物线 先向左平移3 个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得到抛物线 .求，， 的值. 解：抛物线的顶点坐标为，把点 先向 右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为 ， 即原抛物线的顶点坐标为 . 又 两个抛物线的形状相同， 原抛物线的解析式为 . ,, . 返回 举一反三 24 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 图象特点 平移规律 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴：直线x=h， 顶点坐标是（h，k） 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减 课堂小结 谢谢观看 THANKS $