26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式y=a(x-h)²+k的特征，引导学生用配方法转化一般式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助衔接知识脉络。 其亮点在于以“配方转化-图象探究-归纳公式”流程培养数学思维，结合平移与描点画图发展几何直观，用喷泉水流问题强化模型意识。如例题2限定自变量范围求最值，课堂练习分层设计，助力学生提升运算与推理能力，教师可直接使用探究活动与实例，提高教学效率。

输入文本 输入文本 输入文本 输入文本 第二十六章 二次函数 数学人教版九年级上册 掌握二次函数一般式配方方法，熟记y=ax2+bx+c对称轴、顶点坐标，能判断开口方向、增减性，求解函数最值. 理解配方的几何意义，灵活运用数形结合思想，结合对称轴分析自变量限定取值范围时的函数最值. 经历“配方转化--图象探究--归纳公式”的过程，发展代数变形能力，深化数形结合、转化的数学思想. 感受代数式变形与函数图象的内在联系，体会数学知识相互转化的美感；主动探究规律，养成严谨推理、画图验证的学习习惯. 说一说二次函数ya(xh)2 +k(a≠0)的图象的特征和性质. y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h，k) (h，k) 直线x=h 直线x=h 当 x<h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x>h 时 y 随着 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x>h 时，y 随着 x 的增大而减小. x=h 时，y最小值=k x=h 时，y最大值=k 1 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 提取二次项系数 对含x的项进行配方 明确h、k写出结果 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 2 先向右平移6个单位长度 再向上平移3个单位长度 还有其他平移方法吗？ 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 2 先向上平移3个单位长度 再向右平移6个单位长度 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 3 ①列表： 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 3 5 10 5 10 O x y 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 4 5 10 5 10 O x y (6，3) 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5 10 5 10 O x y (6，3) 增减性： 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. 4 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 先配方，将二次函数 y=-2x2-4x+1 的关系式转化为y=a(x-h)2+k 的形式. y=-2x2-4x+1 y=-2(x+1)2+3． 由配方的结果可知，抛物线 y=-2x2-4x+1 的顶点是(-1，3)，对称轴是直线x=-1． 配方 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 利用图象的对称性列表： x ··· -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 ··· y=-2x2-4x+1 ··· -1.5 1 2.5 3 2.5 1 -1.5 ··· 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 1 -1 1 -2 O x y 2 3 -1 -3 x=-1 当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大 当 x>-1 时，y 随 x 的增大而减小 当 x=-1 时，y 取得最大值3 然后描点画图，得到 y=-2x2-4x+1的图象. 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c图象的作法 ①平移法：步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)； 步骤2：作出y=ax2的图象； 步骤3：平移y=ax2的图象，使顶点坐标为(h，k). ②描点法：步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标、对称轴； 步骤2：以顶点为中心，左右对称各取几组对应值，列表； 步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接. 活动二：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k ？ 6 活动二：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 结合二次函数y=ax2+bx+c的图象，你能说明它的增减性和最值吗？ 7 x y O y=ax2+bx+c(a>0) x y O y=ax2+bx+c(a<0) 活动二：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 结合二次函数y=ax2+bx+c的图象，你能说明它的增减性和最值吗？ 7 x y O y=ax2+bx+c(a>0) x y O y=ax2+bx+c(a<0) 活动二：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 已知抛物线 y=2x2-12x+13. (1)当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ ∵ y=2x2-12x+13=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3. (1)当 x=3 时，y 有最小值，最小值为 −5. (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而减小. 已知抛物线 y=2x2-12x+13. (3)将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. (3)抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 ∴平移后的解析式为：y=2(x-3-2)2-5+2， 即 y=2(x−5)2−3． 已知抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)经过点A(-1，0)，与y轴交于点B. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)若抛物线上有一动点P(x，y)，当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m-n的值. (1) 把A(-1，0)代入y=ax2-2ax-3，得a+2a-3=0，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3. ∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，-4) 已知抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)经过点A(-1，0)，与y轴交于点B. (2)若抛物线上有一动点P(x，y)，当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m-n的值. (2) ∵点P(x，y)到y轴的距离不大于2，∴-2≤x≤2， ∵x=-2时，y=x2-2x-3=5；x=2时，y=x2-2x-3=-3； x=1时，y有最小值-4， ∴当-2≤x≤2时，-4≤y≤5，即n=-4，m=5， ∴m-n=5-(-4)=9 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1) y=-3x2+12x-3； (2) y=4x2-24x+26； 解：(1)y开口向下，y=-3(x-2)2+9， 对称轴是直线x=2，顶点是(2，9)； 当x<2时，y随x的增大而增大； 当x>2时，y随x的增大而减小. 函数图象如图所示. -6 -4 -2 y 10 8 6 4 2 -2 -4 O 2 4 6 x x=2 (2，9) 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1) y=-3x2+12x-3； (2) y=4x2-24x+26； 解：(2) 开口向上，y=4(x-3)2-10， 对称轴是直线x=3，顶点是(3，-10)； 当x<3时，y随x的增大而减小； 当x>3时，y随x的增大而增大. 函数图象如图所示. 、 -6 -4 -2 y 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 O 2 4 6 x x=3 (3，-10) 解：(3) 开口向上，y=2(x+2)2-14， 对称轴是直线x=-2，顶点是(-2，-14)； 当x<-2时，y随x的增大而减小； 当x>-2时，y随x的增大而增大. 函数图象如图所示. 、 -6 -4 -2 y 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 O 2 4 6 x x=-2 (-2，-14) -6 -4 -2 y 10 8 6 4 2 -2 -4 O 2 4 6 x x=2 (2，-3) 2.求下列函数的最大值或最小值: (1) y=3x2+2x； (2) y=-2x2+8x-8. 2.求下列函数的最大值或最小值: (1) y=3x2+2x； (2) y=-2x2+8x-8. 解：(2) y=-2x2+8x-8=-2(x2-4x+4-4)-8=-2(x-2)2 ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值. ∴当x=2时，y的最大值为0 . 喷泉水流的二次函数探究问题 任务 公园喷泉喷出的水流轨迹近似二次函数y=-0.5x2+2x(x为水平距离，y为水流高度，单位米)，请完成： 1.水流最高点的高度是多少？水流最远落到距离喷水口多远的地方？ 喷泉水流的二次函数探究问题 1.求解二次函数最值问题时，优先选用哪种形式的二次函数解析式？借助该解析式可以直接直观获取哪些关键信息？ 2. 运用二次函数模型解决生活实际问题，完整的解题流程分为哪几步？解题过程中需要着重留意哪些细节要点？ 3. 结合前几课时所学内容，谈谈你对利用数学建模思想解决现实生活问题的理解与学习感悟，说说数学建模的实用价值. 任务 探究 2.园区改造喷泉，保持喷射水平范围不变，让水流最大高度提升 1 米，写出改造后对应的二次函数解析式. $