26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质，通过回顾抛物线\(y=ax²\)的平移规律导入，先梳理上下、左右平移基础，再过渡到综合平移，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于结合描点法画图、对比表格分析性质及生活应用例题，如喷水池问题建立坐标系用顶点式解决实际问题，培养学生的几何直观、推理意识与模型意识。练习题分层设计，从选择填空到解答题巩固性质应用，助力学生形成有条理的思维，教师可通过资料系统教学提升效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十六章 二次函数 26.2.2.3 二次函数 \(y=a(x-h)^2+k\) 的图象和性质 练习题 知识点回顾：$$y=a(x-h)^2+k(a eq0)$$ 是二次函数的顶点式，是前两种平移形式的结合。图象由抛物线 $$y=ax^2$$ 先左右平移（左加右减）、再上下平移（上加下减）得到。核心性质：顶点坐标 $$(h,k)$$，对称轴为直线 \(x=h\)。① $$a>0$$：开口向上，顶点为最低点，当 $$x=h$$ 时，$$y_{\text{最小}}=k$$；$$x<h$$ 递减，$$x>h$$ 递增。② $$a<0$$：开口向下，顶点为最高点，当 $$x=h$$ 时，$$y_{\text{最大}}=k$$；$$x<h$$ 递增，$$x>h$$ 递减。③ $$|a|$$ 控制开口大小，$$h、k$$ 只改变图象位置，不改变开口大小和形状。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线 $$y=2(x-1)^2+3$$ 的顶点坐标是（） A. $$(1,3)$$ B. $$(-1,3)$$ C.$$(1,-3)$$ D. $$(2,3)$$ 2. 抛物线 $$y=-3(x+2)^2-5$$ 的开口方向和最值是（） A. 向上，最小值-5 B. 向上，最大值-5 C. 向下，最大值-5 D. 向下，最小值-5 3. 将 $$y=x^2$$ 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，解析式为（） A. $$y=(x+4)^2+2$$ B. $$y=(x-4)^2+2$$ C. $$y=(x-4)^2-2$$ D. $$y=(x+4)^2-2$$ 4. 对于抛物线 $$y=4(x+3)^2-1$$，下列说法正确的是（） A. 对称轴为直线 $$x=3$$ B. 当 $$x>-3$$ 时，y随x增大而增大 C. 顶点 $$(3,-1)$$ D. 最小值为1 5. 抛物线 $$y=-(x-2)^2+5$$，当 $$x=$$2时，函数值为（） A. 0 B. 5 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 抛物线 $$y=5(x-2)^2+4$$ 的对称轴是__________，顶点坐标是__________。 2. 抛物线 $$y=-2(x+1)^2-3$$可由 $$y=-2x^2$$ 先向__________平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到。 3. 抛物线$$y=3(x-4)^2+2$$，当 $$x=$$__________时，有最__________值为__________。 4. 已知抛物线 $$y=a(x+2)^2-1$$ 经过点 $$(-1,2)$$，则 $$a=$$__________。 5. 若抛物线 $$y=2(x-m)^2+n$$ 的顶点为 $$(3,-4)$$，则 $$m=$$__________，$$n=$$__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 （1）$$y=3(x-2)^2+5$$　　（2）$$y=-\dfrac{1}{2}(x+4)^2-2$$ 2.（20分）已知抛物线 $$y=a(x-h)^2+k$$ 的顶点为 $$(2,-3)$$，且经过点 $$(3,1)$$。 （1）求抛物线解析式；（2）说明抛物线的平移过程。 3.（20分）已知抛物线 $$y=2(x-1)^2+3$$。 （1）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求新解析式； （2）比较抛物线上两点$$A(0,y_1)$$、$$B(3,y_2)$$ 的函数值大小。 参考答案 一、选择题：1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 二、填空题 1. 直线$$x=2$$、$$(2,4)$$ 2. 左、1、下、3 3. 4、小、2 4. 3 5. 3、-4 三、解答题 1. 解：（1）$$y=3(x-2)^2+5$$：开口向上，对称轴直线$$x=2$$，顶点$$(2,5)$$；最小值$$y=5$$；$$x<2$$时y随x增大而减小，$$x>2$$时y随x增大而增大。 （2）$$y=-\dfrac{1}{2}(x+4)^2-2$$：开口向下，对称轴直线$$x=-4$$，顶点$$(-4,-2)$$；最大值$$y=-2$$；$$x<-4$$时y随x增大而增大，$$x>-4$$时y随x增大而减小。 2. 解：（1）由顶点$$(2,-3)$$得 $$h=2，k=-3$$，解析式为 $$y=a(x-2)^2-3$$。将$$(3,1)$$代入：$$a(3-2)^2-3=1$$，解得 $$a=4$$。解析式：$$y=4(x-2)^2-3$$。 （2）由抛物线 $$y=4x^2$$ 向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到。 3. 解：（1）左加右减、上加下减：平移后解析式为 $$y=2(x+1)^2+2$$。 （2）对称轴为直线$$x=1$$，开口向上；$$|0-1|=1$$，$$|3-1|=2$$，B点离对称轴更远，函数值更大，故$$y_1<y_2$$。 26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 学习目标 1.会用描点法画出 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象； 2.掌握二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象和性质并会应用；(重点） 3.理解二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 之间的联系.（难点） 学习目标 新课导入 导入课题 问题：说说抛物线y=ax2的平移规律. y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k （1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象. （2）能说出抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系. （3）能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点. 学习目标 推进新课 知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法 例3 解： -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下 x=-1 (-1,-1) 5 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 画一画，填出下表: -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 向左平移一个单位 向下平移一个单位 向左平移一个单位， 再向下平移一个单位 还有其他平移方法吗？ y O x 开口方向 对称轴 顶点坐标 上 下 x=h x=h （h,k） y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k a>0 a<0 （h,k） 知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 h k 思考 想一想，试着画出二次函数y=a(x-h)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,h,k的正负分类 ） 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 归纳 a>0 a<0 图象 h<0 h>0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） y=a(x-h)2+k y=ax2 平移关系 ？ 二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象： 这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？ 结论： h<0，将抛物线y=ax2向左平移， h>0，将抛物线y=ax2向右平移； k>0，将抛物线y=ax2向上平移； k<0，将抛物线y=ax2向下平移， y O x y=ax2 y=a(x-h)2+k h k y=a(x-h)2+k y=ax2 平移关系 ？ 可概括为：左加右减，上加下减。 知识点1 二次函数 的图象 1. 抛物线 的顶点一定不在( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】由 知,该抛物线的顶点坐标为 .当时， ，此时顶点在第一象限，故 A不符合题意;当时， ,此时顶点在第四象 限，故D不符合题意;当时， ，此时顶点在第 三象限，故C不符合题意. 中考考法 12 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长. 例4 3 解：如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点， 因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)²+3（0≤x≤3） 由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)²+3， 当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m. 3 随堂演练 1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( ) A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2 C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6 2.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1 C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+1 3.若抛物线的顶点为(3,5) ,则此抛物线的解析式可设为( ) A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5 C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5 基础巩固 C C B 4.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标. （1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1； （3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3. 开口向上 对称轴为x=-2 顶点坐标为（-2，1） 开口向下 对称轴为x=2 顶点坐标为（2，-1） 开口向上 对称轴为x=4 顶点坐标为（4，3） 开口向下 对称轴为x=-2 顶点坐标为（-2，-3） （第2题） 2. 若二次函数 的图象如图所 示，则坐标原点可能是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 中考考法 17 知识点2 二次函数 的性质 3. [2025威海] 已知点,, 都在二 次函数的图象上，则,, 的大小关系是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 18 4. [2026广东实验中学期中] 若二次函数 ， 当时，随的增大而减小，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 5. 已知二次函数 ，当 时，的最小值为，则 的值为( ) D A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 中考考法 19 （第6题） 6. 为了美观，在加工 太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛 物线的形状（如图所示），对应的 两条抛物线关于 轴对称，左轮廓 所在抛物线的解析式为 B A. B. C. D. ，则右轮廓 所在抛物线的解析式为( ) 中考考法 20 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 课堂小结 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+k 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 y O x y=ax2 y=a(x-h)2+k h k 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $