5.5 一元一次方程的应用题 专题训练 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按比例分配、工程、行程分类，通过基础理解、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一等量关系到复杂情境的知识巩固，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|比例分配、工程、行程基本公式|如题1(1)比例列方程、题5螺栓螺母配套，强化方程建模基础| |综合应用|多等量关系、方程与不等式结合|如题2购物三问递进、题4(2)费用不等式，提升综合分析能力| |拓展探究|复杂情境、优化决策|如题9(2)粉刷成本优化、题13(2)相遇距离讨论，发展推理与创新意识|

5.5一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、比例分配问题 1．某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5． (1)求出该班男生与女生的人数； (2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？ 2．为响应稳书记“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种是球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元. （1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元； （2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级? （3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个? 3．在当前新能源汽车大力发展的背景下，某新能源汽车生产厂计划生产一批新型电动汽车，第一周完成了计划产量的，第二周完成的产量与第一周完成产量的比是，这两周一共生产了220辆，该新能源汽车生产厂计划生产多少辆新型电动汽车？ 4．在创建文明城市的活动中，为更好的增强人们对垃圾分类的意识，某小区决定在其辖区内安装垃圾分类提示牌和垃圾箱，若购买3个垃圾分类提示牌和4个垃圾箱共需580元；购买5个垃圾分类提示牌和3个垃圾箱费用相同， （1）求购买1个垃圾分类提示牌和1个垃圾箱各需多少元？ （2）若该小区需购买垃圾分类提示牌和垃圾箱共10个，计划投入费用不超过800元，问最多购买垃圾箱多少个？ 5．某车间共有28名工人生产螺栓和螺母，每人平均每天生产螺栓12个或螺母18个，问：如何安排工人才能使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套？ 6．在甲处植树的学生有31人，在乙处植树的学生有21人，现派23名学生到甲、乙两处支援，使得甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍.应往甲、乙两处各派多少名学生？ 二、工程问题 7．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 8．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 9．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积． (2)已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 10．为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 11．甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． (1)求《蝶恋花》词集共有多少阙． (2)为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 12．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的2倍，若甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为800米，甲工程队每天的挖掘费用为8万元，乙工程队每天的挖掘费用为5万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好184万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 三、行程问题 13．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，分别到达时停止，出发分钟时两人相遇，此时李明比刘伟多行进千米，相遇后6分钟李明到达地． (1)两地间的距离是多少千米？ (2)刘伟有几次与李明相距千米？相距千米时的行进时间是多少分钟？ 14．小刚每天早上到距家2000米的金昌市第三中学上学．一天早上，小刚以160米/分的速度骑自行车从家里出发，5分钟后小刚的爸爸发现小刚忘了带语文书，于是，爸爸立即骑摩托车以360米/分的速度去追小刚，并且爸爸在途中追上了小刚．问爸爸用了多长时间追上小刚？ 15．一辆汽车从A地驶往B地，先行驶的是一段普通公路，后行驶的路段都为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，且汽车所行驶的高速公路路程是普通公路路程的2倍，从A地到B地一共行驶了．试求汽车在普通公路上行驶了多少小时？ 16．在水流速度3千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要小时，当它从乙港口返回甲港口则需要小时． (1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？ (2)求甲乙两港口之间的路程？ 17．甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 18．小明的父母在离家450千米的Q市打工．暑假里，小明想给父母一个惊喜，就一个人坐上了去Q市的客车，与此同时，小明的父母开着小车从Q市回家．已知客车的平均速度是80千米/时，小车的平均速度是120千米/时，问经过几小时后两车相距50千米？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)该班男生有30人，女生有25人 (2)有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组的应用，根据题意，列出不等式组和方程是关键； （1）设男生有人，则女生有人，根据男女生的人数的和是55人，即可列方程求解． （2）设选出男生y人，则选出的女生为人，根据：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上，即可列出不等式组，从而求得y的范围，再根据y是整数，即可求得y的整数值，从而确定方案． 【详解】（1）解：设男生有人，则女生有人． 依题意得：， 解得：． ∴． 答：该班男生有30人，女生有25人． （2）设选出男生y人，则选出的女生为人． 由题意得：，解得：． ∴y的整数解为：7、8． 当时，；当时，． 答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人． 2．（1）甲种足球需50元，乙种足球需70元；（2）20个班级；（3）甲种足球40个，乙种足球60个． 【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，根据题意列出分式方程即可求出结论； （2）根据题意，求出该校购买甲种足球和乙种足球的数量即可得出结论； （3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，根据题意列出一元一次方程即可求出结论． 【详解】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元， 可得：    解得：x=50    经检验x=50是原方程的解且符合题意 答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；   （2）由（1）可知该校购买甲种足球==40个，购买乙种足球20个，   ∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个， 答：购买的足球能够配备20个班级；    （3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，根据题意得： 2x×50+3x×70=3100 解得：x=20    ∴2x=40,3x=60 答：这学校购买甲种足球40个，乙种足球60个． 【点睛】此题考查的是分式方程的应用和一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 3．该新能源汽车生产厂计划生产400辆新型电动汽车 【分析】设计划生产辆，则第一周生产了辆，第二周生产了辆，列方程求解即可． 【详解】解：设计划生产辆，则第一周生产了辆， 由第二周完成的产量与第一周完成产量的比是， 故第二周生产了（辆）， 根据题意，得， （辆）， 答：该新能源汽车生产厂计划生产400辆新型电动汽车． 4．（1）60元，100元；（2）最多购买垃圾箱5个 【分析】（1）设1个垃圾分类提示牌价格为x元，根据题意，得垃圾箱价格为元；通过列一元一次方程并求解，即可得到答案； （2）设垃圾箱数量数量为个，则垃圾分类提示牌为个；通过列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】（1）设1个垃圾分类提示牌价格为x元， ∵购买5个垃圾分类提示牌和3个垃圾箱费用相同 ∴1个垃圾箱价格为元 ∵购买3个垃圾分类提示牌和4个垃圾箱共需580元 ∴ ∴ ∴1个垃圾分类提示牌为：60元，1个垃圾箱价格为：100元； （2）设垃圾箱数量数量为个，则垃圾分类提示牌为个 根据题意得： ∴，即最多购买垃圾箱5个． 【点睛】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，并运用到实际问题中，即可得到答案． 5．螺栓12人,螺母16人 【详解】试题分析：设安排x人生产螺栓，则有（28-x）人生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套列出方程求解即可. 试题解析：设安排x人生产螺栓，则有（28-x）人生产螺母， 根据题意得：18（28-x）=12x·2， 解得：x=12， 28-12=16（人）. 答：应安排12人生产螺栓，16人生产螺母才行. 6．应往甲处派19名学生，则往乙处派4名学生. 【分析】设应往甲处派x名学生，则往乙处派（23-x）名学生，根据“甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍”，列出方程，解方程即可． 【详解】设应往甲处派x名学生，则往乙处派（23-x）名学生．根据题意得： 当x=19时，． 答：应往甲处派19名学生，则往乙处派4名学生． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题． 7．(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2) 解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）略 8．(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 9．(1)60平方米 (2)雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程，理解工作总量除以工作效率等于工作时间． （1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积每名徒弟每天粉刷的面积每名师傅比徒弟一天多刷的面积，据此列出方程，并求解； （2）分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，再求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，然后根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米． 根据题意得，， 解得， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米； （2）解：每名师傅每天粉刷墙面的面积为： （平方米）， 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：（平方米）， 单位面积的成本： 徒弟：元/平方米， 师傅：元/平方米， 所以应该优先雇佣徒弟， 40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： （平方米）， 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 师傅需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 徒弟需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （名）， 一天的费用： （元）， ， 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： （元）， 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元． 10． 2 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设乙队还需要施工天才可以完成任务，由此列方程求解即可． 【详解】解：设乙队还需要施工天才可以完成任务， ∴， 解得，， ∴乙队还需要施工天才可以完成任务． 11．(1)120 (2)27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设《蝶恋花》词集共有阙，根据单独完成这部词集，甲比乙要多用20天，列出方程进行求解即可； （2）设甲参与填词的总天数为天，根据甲乙合作完成的部分加上乙独自完成的部分之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设《蝶恋花》词集共有阙，由题意，得： ， 解得； 答：《蝶恋花》词集共有120阙； （2）解：设甲参与填词的总天数为天，则乙参与填词的总天数为天，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：乙参与填词的总天数为27天． 12．(1)甲工程队每天可挖掘隧道40米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好184万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米， 根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道40米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天， 根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 13．(1)两地间的距离是千米 (2)刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用； （1）根据题意得出李明与刘伟的速度差为(千米/时)，设刘伟每小时行，则李明每小时行，根据题意列出一元一次方程，解方程得出刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)，根据李明总用时为分钟，即可求解； （2）设行进时间为 （分钟）分三种情况讨论，①相遇前；②相遇后，李明到达地前和李明到达地后，根据刘伟与李明相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵出发后两人相遇且李明比刘伟多行进， ∴李明与刘伟的速度差为(千米/时)， 设刘伟每小时行，则李明每小时行， 根据题意列一元一次方程得： 解得， ∴刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)， 答：两地间的距离是千米 （2）解：设行进时间为 （分钟） 相遇前，， 依题意， 解得： 相遇后，当时，李明到达地． ∴当时， 解得：（舍去） 刘伟每小时行(千米)，两地间的距离是千米，则刘伟到达地需要分钟 当，此时李明到达地 依题意， 解得： 综上所述，刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 14．爸爸4分钟追上小刚． 【分析】先设小刚爸爸追上小刚用了x分钟，由题意知小刚比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小刚和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解． 【详解】解：设爸爸x分钟追上小刚，则： ， 解得：， 答：爸爸4分钟追上小刚． 15．汽车在普通公路上行驶了． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设汽车在普通公路上行驶了，则在高速公路上行驶了，列方程求解即可． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了，则在高速公路上行驶了， 由题意得：， 解得：， 答：汽车在普通公路上行驶了． 16．(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设船在静水中的速度为千米小时，水流速度已知为千米小时，根据顺流和逆流的路程相等列出方程，求解， （2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为千米/小时，水流速度千米/小时，根据题意得， ． 解得． 答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12千米/小时． （2）解：甲乙两港口之间的路程为． 答：甲乙两港口之间的路程是40.5千米． 17．0.9小时 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设两车发车小时后相遇，根据两车路程之和为78千米列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设两车发车小时后相遇， 则 解得， 答：两车发车小时后相遇． 18．2小时或小时 【分析】根据题意列带绝对值的一元一次方程求解． 【详解】解：经过小时后两车相距50千米，根据题意得， ， 解得或， ∴经过2小时或小时后两车相距50千米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $