学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（湖北省卷专用，测试范围：新教材人教版八上第13～14章）

**基本信息** 聚焦三角形与全等核心知识，通过基础辨析、动态探究及综合证明，分层考查几何直观与推理能力，适配八年级上册月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形高线、中线、全等判定|结合图形辨析基础概念，如第3题考查三线性质| |填空题|6/18|角平分线性质、全等性质|注重性质应用，如第14题结合等腰直角三角形与角平分线| |解答题|8/72|全等证明、动态几何、探究问题|综合考查推理能力，如24题动态几何判断形状，体现创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 注意修改地区、分值等，要与当地考试模式相符 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D A D D B B D C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．5 12．110° 13．60° 14．8 15．3 16．①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题每题12分。 解析需加上累计的步骤具体分值（如果证明题等答案和解析只有答案处有内容，解析处不能为略，需要把答案处的内容移到解析处） 17．证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D①， ∵AE＝DF， ∴AE+EF＝DF+EF，即AF＝DE②， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（AAS⑤）， ∴BF＝CE（全等三角形的对应边相等⑥）， ∠CED＝∠BFA⑦， ∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行⑧）， 18．证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO． 在△BOD和△COE中 ， ∴△BOD≌△COE， ∴OD＝OE． 在Rt△AOD和Rt△AOE中 ， ∴△AOD≌△AOE， ∴∠BAO＝∠CAO． 19．证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）， ∴BE＝CE， ∴∠DBC＝∠ACB， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， ∴AC＝BD． 20．（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴CD＝BE； （2）解：∠DOE+∠CAE＝180°，理由如下， 如图，设AC和OE相交于点F， 由（1）可知，△ABE≌△ADC， ∴∠AEF＝∠FCO， 又∵∠AFE＝∠CFO， ∴180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝180°﹣∠FCO﹣∠CFO， ∴∠EAF＝∠FOC， ∵∠DOE+∠FOC＝180°， ∴∠DOE+∠CAE＝180°． 21．解：（1）如图1： 由题意可得：，， ∴∠O＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO ＝120°； 如图2： 由题意可得：，， ∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC＝60°+∠ABC， ∴； 如图3， ∵BO平分∠CBE，CO平分∠BCF， ∴，， ∵∠CBE＝180°﹣∠ABC，∠BCF＝180°﹣∠ACB， ∴∠BCF+∠BCO ＝180°﹣∠ACB+180°﹣∠ABC ＝360°﹣（∠ACB+∠ABC） ＝360°﹣（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣（180°﹣60°） ＝240° ∴， ∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝60°． 故答案为：120°，30°，60°． （2）由题意可得： ，，，， ∵∠2＝∠1+∠O1BO2，∠2＝135°，∠1＝115°， ∴∠O1BO2＝∠2﹣∠1＝20°， ∴∠ABC＝3∠O1BO2＝60°， ∴， ∴∠BCO1＝180°﹣∠CBO1﹣∠2＝25°， ∴∠ACB＝2∠BCO1＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°． 22．（1）证明：∵∠BED＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD， ∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD，∠ABE＝∠BED﹣∠BAD， ∴∠CAF＝∠ABE， ∵∠CFA+∠DFC＝180°，∠AEB+∠BED＝180°，且∠BED＝∠DFC， ∴∠CFA＝∠AEB， 在△AFC和△BEA中， ， ∴△AFC≌△BEA（AAS）， ∴AF＝BE． （2）解：由（1）得△AFC≌△BEA， ∴S△AFC＝S△BEA， ∴S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6， ∵BDBC， ∴S△ABDS△ABC， ∴S△ABCS△ABD6＝21． 23．解：（1）△ABC≌△AEC，理由如下： ∵CA平分∠BCE， ∴∠ACB＝∠ACE， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（SAS）． （2）由（1）已得：△ABC≌△AEC， ∴∠BAC＝∠EAC，∠AEC＝∠B， ∴∠BAF＝∠BAC+∠EAC+∠DAE+∠DAF＝2∠EAC+∠DAE+∠DAF， ∵∠BAF＝2∠CAD，∠CAD＝∠EAC+∠DAE， ∴2∠EAC+∠DAE+∠DAF＝2（∠EAC+∠DAE）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∵∠DAF＝15°，∠B＝85°， ∴∠DAE＝15°，∠AEC＝85°， ∴∠ADE＝∠AEC﹣∠DAE＝85°﹣15°＝70°． 24．解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD＝DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于点A，使AF＝BD，连接DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD＝DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD＝45°， ∵AF∥CE，且AF＝CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠APD＝∠FCD＝45°． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 一．选择题（共10小题） 1．下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF分别是△ABC的高线，中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠ABF＝∠CBF C．S△ABE＝S△AEC D．AF＝CF 4．如图，∠ADC＝∠AEB，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AB＝AC 5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A． B．1cm/s C． D．1cm/s或 6．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 7．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（　　） A． B． C． D． 8．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 9．如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE，CD交于点F，连接AF．下列结论中不一定成立的是（　　） A．BE＝CD B．∠EFC＝90° C．FA平分∠BFC D．∠DAF＝∠DCA 10．如图，△ABC的面积为40，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，连接CD，则△ACD的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 二．填空题（共6小题） 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝5，则点P到OA的距离是　 　 ． 12．如图，△AOB≌△COD，若∠C＝44°，∠B＝26°，则∠AOB＝　 　 ． 13．如图，已知△AED≌△ACB，且点D在BC边上，∠CAB＝80°，∠CAD＝20°，则∠EAC＝　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝4，则BD的长为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F．若AB＝6，BC＝4，△ABC的面积为8，则△ABF的面积为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． 给出下面四个结论： ①BE＝CF； ②AG＝3DE； ③△ABE≌△GCF； ④S△ABD+S△CDF＝S△GCF． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，AB∥CD，点E、F在线段AD上，且AE＝DF，连接BF、CE，若∠B＝∠C． 求证：BF∥CE且BF＝CE．请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵AB∥CD， ∴　 　 ①， ∵AE＝DF， ∴AE+EF＝DF+EF，即AF＝　 　 ②， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（　 　 ⑤）， ∴BF＝CE（　 　 ⑥）， 　 　 ⑦， ∴BF∥CE（　 　 ⑧）． 18．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠BAO＝∠CAO． 19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且AB＝DC，∠A＝∠D．证明：AC＝BD． 20．如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE．连接BC，DC与BE相交于点O． （1）求证：CD＝BE； （2）试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系． 21．（1）在△ABC中，∠A＝60°，图1，∠O是两内角平分线的夹角；图2，∠O是内角和外角角平分线的夹角；图3，∠O是两外角平分线的夹角，请直接写出∠O的度数． 如图1，∠O＝　 　 ；如图2，∠O＝　 　 ；如图3，∠O＝　 　 ； （2）如图4所示，在△ABC中，∠ABC的三等分线BO1、BO2和∠ACB的平分线CO1相交于点O1和点O2，∠2＝135°，∠1＝115°，求∠A的度数． 22．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 23．如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，BC＝EC，且CA平分∠BCE，F是四边形ABCD外一点，连接AF，DF． （1）△ABC和△AEC全等吗？请说明理由； （2）若∠BAF＝2∠CAD，∠B＝85°，∠DAF＝15°，求∠ADE的度数． 24．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 一．选择题（共10小题） 1．下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF分别是△ABC的高线，中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠ABF＝∠CBF C．S△ABE＝S△AEC D．AF＝CF 4．如图，∠ADC＝∠AEB，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AB＝AC 5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A． B．1cm/s C． D．1cm/s或 6．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 7．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（　　） A． B． C． D． 8．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 9．如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE，CD交于点F，连接AF．下列结论中不一定成立的是（　　） A．BE＝CD B．∠EFC＝90° C．FA平分∠BFC D．∠DAF＝∠DCA 10．如图，△ABC的面积为40，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，连接CD，则△ACD的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 二．填空题（共6小题） 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝5，则点P到OA的距离是　 　 ． 12．如图，△AOB≌△COD，若∠C＝44°，∠B＝26°，则∠AOB＝　 　 ． 13．如图，已知△AED≌△ACB，且点D在BC边上，∠CAB＝80°，∠CAD＝20°，则∠EAC＝　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝4，则BD的长为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F．若AB＝6，BC＝4，△ABC的面积为8，则△ABF的面积为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． 给出下面四个结论： ①BE＝CF； ②AG＝3DE； ③△ABE≌△GCF； ④S△ABD+S△CDF＝S△GCF． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，AB∥CD，点E、F在线段AD上，且AE＝DF，连接BF、CE，若∠B＝∠C． 求证：BF∥CE且BF＝CE．请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵AB∥CD， ∴　 　 ①， ∵AE＝DF， ∴AE+EF＝DF+EF，即AF＝　 　 ②， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（　 　 ⑤）， ∴BF＝CE（　 　 ⑥）， 　 　 ⑦， ∴BF∥CE（　 　 ⑧）． 18．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠BAO＝∠CAO． 19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且AB＝DC，∠A＝∠D．证明：AC＝BD． 20．如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE．连接BC，DC与BE相交于点O． （1）求证：CD＝BE； （2）试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系． 21．（1）在△ABC中，∠A＝60°，图1，∠O是两内角平分线的夹角；图2，∠O是内角和外角角平分线的夹角；图3，∠O是两外角平分线的夹角，请直接写出∠O的度数． 如图1，∠O＝　 　 ；如图2，∠O＝　 　 ；如图3，∠O＝　 　 ； （2）如图4所示，在△ABC中，∠ABC的三等分线BO1、BO2和∠ACB的平分线CO1相交于点O1和点O2，∠2＝135°，∠1＝115°，求∠A的度数． 22．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 23．如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，BC＝EC，且CA平分∠BCE，F是四边形ABCD外一点，连接AF，DF． （1）△ABC和△AEC全等吗？请说明理由； （2）若∠BAF＝2∠CAD，∠B＝85°，∠DAF＝15°，求∠ADE的度数． 24．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 一．选择题（共10小题） 1．下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【详解】解：A．CD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意； B．AD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意； C．BD是AC边的高，故此选项错误，不符合题意； D．AD是BC边的高，故此选项正确，符合题意 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关知识的熟练掌握． 2．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先根据中线的定义得BD＝CD，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：BD＝CD， ∴周长之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键． 3．如图，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF分别是△ABC的高线，中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠ABF＝∠CBF C．S△ABE＝S△AEC D．AF＝CF 【分析】根据三角形的高、中线以及角平分线的定义及性质判断即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠C， A正确，故该选项不符合题意； ∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， B正确，故该选项不符合题意； ∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝EC， ∵△ABE，△AEC的高相同，设为h， ∴， ∴S△ABE＝S△AEC， C正确，故该选项不符合题意； 根据已知条件并不能证明AF＝CF， ∴D错误，故该选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，能熟记知识点是解此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 4．如图，∠ADC＝∠AEB，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AB＝AC 【分析】根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A，添加∠B＝∠C时，不能判定△ABE≌△ACD，故选项A符合题意； B、∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A，添加BE＝CD时，根据“AAS”判定△ABE≌△ACD，故选项B不符合题意； C、如图，∵∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A， ∴∠C＝∠B， 添加BD＝CE时，根据“ASA”判定△BDF≌△CEF，得出DF＝EF，BF＝CF， 则BF+EF＝CF+DF，即BE＝CD， 再根据“AAS”判定判定△ABE≌△ACD，故选项C不符合题意； D、∠A＝∠A，∠B＝∠C，添加AB＝AC时，根据“ASA”判定△ABE≌△ACD，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A． B．1cm/s C． D．1cm/s或 【分析】当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP≌△BQP，得Q和P运动的速度相同；当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BPQ，求出P运动的时间t＝2÷1＝2（s），求出Q运动的速度是3÷2（cm/s），即可得到答案． 【详解】解：当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP≌△BQP， ∵P、Q同时运动，运动的路程相等， ∴Q和P运动的速度相同是1cm/s； 当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BPQ， ∴APAB4＝2（cm）， ∴P运动的时间t＝2÷1＝2（s）， ∴Q运动的速度是3÷2（cm/s）， 综上所述，Q运动的速度是1cm/s或cm/s． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是要分两种情况讨论． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，△AOC≌△AOB，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∵AC＝AB， ∵∠CAE＝∠BAD， ∴△AEC≌△ADB； ∴CE＝BD， ∵AC＝AB， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵∠BEC＝∠CDB＝90°， ∴△BCE≌△CBD； ∴BE＝CD， ∴AD＝AE， ∵AO＝AO， ∴△AOD≌△AOE； ∵∠DOC＝∠EOB， ∴△COD≌△BOE； ∴OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴CF＝BF，AF⊥BC， ∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF． ∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC， ∴△AOB≌△AOC， 共7对， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、HL．做题时要由易到难，不重不漏． 7．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，结合图形，先得到图1中S1SB，结合已知条件，得到SASB，结合图2，得到结果． 【详解】解：如图，设正方形A的面积为SA，正方形B的面积为SB， 图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2， ∵图1中，BC＝BE，∠BCD＝∠BEF，∠CBD＝∠EBF＝90°﹣∠DBE， ∴△BCD≌△BEF（AAS）， ∴S1SB， ∵S1SA， ∴SASB， ∴SASB， 同理，图2中，S2SA， ∴S2SBSB， 即当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 8．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案． 【详解】解：AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠DBF＝∠CAD， 在△ACD和△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴DF＝DC， ∵AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12， ∴， ∴CD＝4， ∴DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 9．如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE，CD交于点F，连接AF．下列结论中不一定成立的是（　　） A．BE＝CD B．∠EFC＝90° C．FA平分∠BFC D．∠DAF＝∠DCA 【分析】依题意得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，则∠BAE＝∠DAC，进而可依据“SAS”判定△BAE和△DAC全等，然后根据全等三角形的性质可对选项A进行判断；设BE与AD交于点H，利用三角形内角和定理可证明∠EFC＝∠DFH＝90°，由此可对选项B进行判断；连接AF，过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥CD于点N，根据△BAE和△DAC全等得S△BAE＝S△DAC，再根据三角形的面积公式可得出AM＝AN，然后根据角平分线的性质可对选项C进行判断；根据∠DFH＝90°，AF平分∠BFC得∠DFA＝135°，则∠DAF+∠ADC＝45°，当∠DAE＝45°时，则∠DAC＝135°，∠DCA+∠ADC＝45°，此时∠DAF＝∠DCA，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：依题意得：AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， 故选项A一定成立，不符合题意； 设BE与AD交于点H，如图1所示： 在△DFH中，∠ADC+∠DHF+∠DFH＝180°， ∵△BAE≌△DAC， ∴∠ADC＝∠ABE， ∴∠ABE+∠DHF+∠DFH＝180°， 又∵∠BHA＝∠DHF， ∴∠ABE+∠BHA+∠DFH＝180°， 在△BAH中，∠ABE+∠BHA+∠BAD＝180°， ∴∠DFH＝∠BAD＝90°， ∴∠EFC＝∠DFH＝90°， 故选项B一定成立，不符合题意； 连接AF，过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥CD于点N，如图2所示： ∵△BAE≌△DAC， ∴S△BAE＝S△DAC，BE＝CD， ∵S△BAEBE•AM，S△DACCD•AN， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFC的平分线上， ∴AF平分∠BFC， 故选项C一定成立，不符合题意； ∵∠DFH＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∵AF平分∠BFC， ∴∠HFA＝∠BFC＝45°， ∴∠DFA＝∠DFH+∠HFA＝90°+45°＝135°， ∴∠DAF+∠ADC＝180°﹣∠DFA＝45°， ∴当∠DAE＝45°时，则∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°+90°＝135°， ∴∠DCA+∠ADC＝180°﹣∠DAC＝45°， ∴∠DAF＝∠DCA， ∴选项D不一定成立，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 10．如图，△ABC的面积为40，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，连接CD，则△ACD的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCE即可求得结果． 【详解】解：AD⊥BD于点D，AD平分∠BAC，△ABC的面积为40，如图，延长BD、AC交于点E， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴AB＝AE，BD＝DE， ∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC， ∴S△ABE＝S△ABC+2S△BCD＝40+2S△EDC， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝5，则点P到OA的距离是　5　 ． 【分析】作PM⊥OA，垂足为M，然后根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：如图，作PM⊥OA，垂足为M， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝5， ∴PD＝PM＝5（角平分线的性质）， ∴点P到射线OA的距离是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 12．如图，△AOB≌△COD，若∠C＝44°，∠B＝26°，则∠AOB＝　110°　 ． 【分析】根据全等三角形性质求出∠A，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵△AOB≌△COD，∠C＝44°，∠B＝26°， ∴∠A＝∠C＝44°， ∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣44°﹣26°＝110°． 故答案为：110°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 13．如图，已知△AED≌△ACB，且点D在BC边上，∠CAB＝80°，∠CAD＝20°，则∠EAC＝　60°　 ． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠EAD＝∠CAB，进而利用等式的性质解答即可． 【详解】解：∵△AED≌△ACB， ∴∠EAD＝∠CAB＝80°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝80°﹣20°＝60°， 故答案为：60°． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出∠EAD＝∠CAB解答． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝4，则BD的长为　8　 ． 【分析】延长AE、BC交于点F，证明△CAF≌△CBD（ASA），得BD＝AF，再证明△ABE≌△FBE（ASA），得AE＝EFAF，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵AE⊥BD，∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD＝∠AED＝∠FEB＝90°， ∵∠ADE＝∠BDC，∠CAF＝180°﹣∠AED﹣∠ADE，∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC， ∴∠CAF＝∠CBD， 在△CAF和△CBD中， ， ∴△CAF≌△CBD（ASA）， ∴BD＝AF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝EFAF， ∴BD＝2AE＝2×4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F．若AB＝6，BC＝4，△ABC的面积为8，则△ABF的面积为　3　 ． 【分析】求出BEBC＝2，△ABE的面积＝△ABC面积的一半＝4，过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，由角平分线的性质推出FM＝FN，由三角形的面积公式得到EF：AF＝BE：AB＝1：3，因此AFAE，即可求出△ABF的面积． 【详解】解：∵AE是△ABC的中线， ∴BEBC4＝2， ∴△ABE的面积＝△ABC面积的一半8＝4， 过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC， ∴FM＝FN， ∵△BEF的面积BE•FN，△ABF的面积AB•FM， ∴△BEF的面积：△ABF的面积＝BE：AB， ∵△BEF的面积：△ABF的面积＝EF：AF， ∴EF：AF＝BE：AB， ∵BE：AB＝2：6＝1：3， ∴AFAE， ∴△ABF的面积＝△ABE面积的43． 故答案为：3． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出FM＝FN，由三角形的面积公式得到EF：AF＝BE：AB． 16．如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． 给出下面四个结论： ①BE＝CF； ②AG＝3DE； ③△ABE≌△GCF； ④S△ABD+S△CDF＝S△GCF． 上述结论中，正确结论的序号有　①③④　 ． 【分析】证明△BDE≌△CDF，可得BE＝CF，DE＝DF，从而可判断①正确；证明△ABE≌△GCF，可证AG＝2DE，从而判断③正确，②错误；由S△ABD＝S△ACD，结合以上结论可判断④正确． 【详解】解：∵AD为中线， ∴BD＝CD． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF，DE＝DF， 故①正确，符合题意； 在△ABE和△GCF中， ， ∴△ABE≌△GCF（AAS）， 故③正确，符合题意； ∴AE＝GF， ∴AG＝EF， ∴AG＝2DE， 故②错误，不符合题意； ∵BE＝CF，AG＝2DE， ∴S△AGC＝2S△BDE＝2S△CDF， ∵AD为中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∴S△ABD+S△CDF＝S△ACD+S△CDF ＝S△ACF+S△CDF+S△CDF ＝S△ACF+2S△CDF ＝S△ACF+S△AGC ＝S△GCF， 故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明△BDE≌△CDF、△ABE≌△GCF是解答本题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，AB∥CD，点E、F在线段AD上，且AE＝DF，连接BF、CE，若∠B＝∠C． 求证：BF∥CE且BF＝CE．请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵AB∥CD， ∴　∠A＝∠D ①， ∵AE＝DF， ∴AE+EF＝DF+EF，即AF＝DE ②， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS ⑤）， ∴BF＝CE（　全等三角形对应边相等　 ⑥）， 　∠CED＝∠BFA ⑦， ∴BF∥CE（　内错角相等，两直线平行　 ⑧）． 【分析】利用AAS证明△ABF≌△DCE，再根据全等三角形的性质及平行线的判定定理求证即可． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D①， ∵AE＝DF， ∴AE+EF＝DF+EF，即AF＝DE②， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（AAS⑤）， ∴BF＝CE（全等三角形的对应边相等⑥）， ∠CED＝∠BFA⑦， ∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行⑧）， 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 18．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠BAO＝∠CAO． 【分析】由条件可先证明△BOD≌△COE，可得OD＝OE，则可证得△AOD≌△AOE，则可得结论． 【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO． 在△BOD和△COE中 ， ∴△BOD≌△COE， ∴OD＝OE． 在Rt△AOD和Rt△AOE中 ， ∴△AOD≌△AOE， ∴∠BAO＝∠CAO． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，利用三角形全等来找条件是解本题的关键． 19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且AB＝DC，∠A＝∠D．证明：AC＝BD． 【分析】证得△ABE≌△DCE（AAS），推导出∠DBC＝∠ACB，进而利用AAS得到△ABC≌△DCB，推导出AC＝BD． 【详解】证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）， ∴BE＝CE， ∴∠DBC＝∠ACB， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， ∴AC＝BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 20．如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE．连接BC，DC与BE相交于点O． （1）求证：CD＝BE； （2）试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系． 【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△ADC，即可证得结论； （2）设AC和OE相交于点F，由△ABE≌△ADC得到对应角相等，继而根据三角形内角和定理得到∠EAF＝∠FOC，从而得到∠DOE+∠CAE＝180°． 【详解】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴CD＝BE； （2）解：∠DOE+∠CAE＝180°，理由如下， 如图，设AC和OE相交于点F， 由（1）可知，△ABE≌△ADC， ∴∠AEF＝∠FCO， 又∵∠AFE＝∠CFO， ∴180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝180°﹣∠FCO﹣∠CFO， ∴∠EAF＝∠FOC， ∵∠DOE+∠FOC＝180°， ∴∠DOE+∠CAE＝180°． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△ABE≌△ADC解答． 21．（1）在△ABC中，∠A＝60°，图1，∠O是两内角平分线的夹角；图2，∠O是内角和外角角平分线的夹角；图3，∠O是两外角平分线的夹角，请直接写出∠O的度数． 如图1，∠O＝　120°　 ；如图2，∠O＝　30°　 ；如图3，∠O＝　60°　 ； （2）如图4所示，在△ABC中，∠ABC的三等分线BO1、BO2和∠ACB的平分线CO1相交于点O1和点O2，∠2＝135°，∠1＝115°，求∠A的度数． 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出∠O＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出∠BCF+∠CBE＝240°，从而得到∠CBO+∠BCO＝120°，再运用三角形内角和定理求解即可； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出∠O1BO2＝∠2﹣∠1＝20°，从而得出∠ABC＝3∠O1BO2＝60°，再由三角形内角和定理得出∠BCO1＝180°﹣∠CBO1﹣∠2＝25°，即可得出∠ACB＝2∠BCO1＝50°，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）如图1： 由题意可得：，， ∴∠O＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO ＝120°； 如图2： 由题意可得：，， ∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC＝60°+∠ABC， ∴； 如图3， ∵BO平分∠CBE，CO平分∠BCF， ∴，， ∵∠CBE＝180°﹣∠ABC，∠BCF＝180°﹣∠ACB， ∴∠BCF+∠BCO ＝180°﹣∠ACB+180°﹣∠ABC ＝360°﹣（∠ACB+∠ABC） ＝360°﹣（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣（180°﹣60°） ＝240° ∴， ∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝60°． 故答案为：120°，30°，60°． （2）由题意可得： ，，，， ∵∠2＝∠1+∠O1BO2，∠2＝135°，∠1＝115°， ∴∠O1BO2＝∠2﹣∠1＝20°， ∴∠ABC＝3∠O1BO2＝60°， ∴， ∴∠BCO1＝180°﹣∠CBO1﹣∠2＝25°， ∴∠ACB＝2∠BCO1＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 【分析】（1）由∠BED＝∠BAC，得∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD，则∠CAF＝∠ABE，由∠BED＝∠DFC，推导出∠CFA＝∠AEB，而CA＝AB，即可根据“AAS“证明△AFC≌△BEA，则AF＝BE； （2）由△AFC≌△BEA，得S△AFC＝S△BEA，则S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6，由BDBC，求得S△ABCS△ABD＝21． 【详解】（1）证明：∵∠BED＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD， ∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD，∠ABE＝∠BED﹣∠BAD， ∴∠CAF＝∠ABE， ∵∠CFA+∠DFC＝180°，∠AEB+∠BED＝180°，且∠BED＝∠DFC， ∴∠CFA＝∠AEB， 在△AFC和△BEA中， ， ∴△AFC≌△BEA（AAS）， ∴AF＝BE． （2）解：由（1）得△AFC≌△BEA， ∴S△AFC＝S△BEA， ∴S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6， ∵BDBC， ∴S△ABDS△ABC， ∴S△ABCS△ABD6＝21． 【点评】此题重点考查等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AFC≌△BEA是解题的关键． 23．如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，BC＝EC，且CA平分∠BCE，F是四边形ABCD外一点，连接AF，DF． （1）△ABC和△AEC全等吗？请说明理由； （2）若∠BAF＝2∠CAD，∠B＝85°，∠DAF＝15°，求∠ADE的度数． 【分析】（1）先得出∠ACB＝∠ACE，再根据SAS定理即可得证； （2）先得出∠BAC＝∠EAC，∠AEC＝∠B，再得出∠DAE＝∠DAF，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：（1）△ABC≌△AEC，理由如下： ∵CA平分∠BCE， ∴∠ACB＝∠ACE， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（SAS）． （2）由（1）已得：△ABC≌△AEC， ∴∠BAC＝∠EAC，∠AEC＝∠B， ∴∠BAF＝∠BAC+∠EAC+∠DAE+∠DAF＝2∠EAC+∠DAE+∠DAF， ∵∠BAF＝2∠CAD，∠CAD＝∠EAC+∠DAE， ∴2∠EAC+∠DAE+∠DAF＝2（∠EAC+∠DAE）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∵∠DAF＝15°，∠B＝85°， ∴∠DAE＝15°，∠AEC＝85°， ∴∠ADE＝∠AEC﹣∠DAE＝85°﹣15°＝70°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 24．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，即可判断三角形的形状； （2）作AF⊥AB于点A，使AF＝BD，连接DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠FDC＝90°，即可得出∠FCD＝∠APD＝45°． 【详解】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD＝DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于点A，使AF＝BD，连接DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD＝DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD＝45°， ∵AF∥CE，且AF＝CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠APD＝∠FCD＝45°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键． 第1页（共25页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 14. ______________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分）（每空1分） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） （1）∠O＝　 　 ；如图2，∠O＝　 　 ；如图3，∠O＝　 　 ； （2） 22．（10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =====-=■一-一====-=====■一==一====-==-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶J[W][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分。 11. 13. 16. 三、1 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分)（每空1分） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) A 0 内 0 C 19.(8分) D E B 20.(8分) (1) D 0 B (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A y A B B C 图1 图2 图3 图4 (1)∠0= :如图2，∠0= ；如图3，∠O= (2) 22.(10分) (1) E (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) C E D 24.(12分) (1) B 图1 图2 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！