精品解析：湖北省荆门市龙泉北校2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷

2025—2026学年度上学期第三次集中训练 八年级数学 一、慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒！（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，4，9 C. 5，6，10 D. 6，7，13 2. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 3. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 5. 如图，边长为的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（ ） A. 60 B. 30 C. 24 D. 15 6. 若多项式可因式分解为，则的值为（） A. B. C. D. 7. 将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 9. 如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，分别为，上的点，，，，，则的面积为（ ）． A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 4 二、耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一边长等于3，一边长等于7，则它的周长为 _______． 12. 已知，，则___________． 13. 已知，则的值是_____． 14. 如图，中，，延长至点，交的延长线于点，若，，，则的长为________． 15. 如图，中，，，，以为边作等边，过作于，则的长为________． 三、解答题（6+6+6+8+8+8+10+11+12=75） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 如图，，交于点，ADBE，点在线段上，且，，连结，． （1）求证：． （2）若，，则的度数为______． 19. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务． 问题一：． 问题二：． 任务： （1）问题一中，若，则________；问题二中，________． （2）如图，在边长为的大正方形中，阴影部分的面积为，边长为的小正方形的周长为，求的值． 21. 如图，已知，，，在直线上取点． （1）如图（1），点在的延长线上，且，，试求的长； （2）如图（2），点在边上，，于点．若，，试求的长． 22. 阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中________，________； （2）对于一元多项式，必定有f（________）； （3）请你用“试根法”分解因式：． 23. （1）【问题背景】如图1，在与中，若，，，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形； （2）【类比探究】如图2，在等腰中，点为斜边中点，，在线段上，在延长线上，连接，若，，试求的长； （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，点在上，，，，则的长度为________． 24. 如图1，直线分别与轴、轴交于、两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，交轴于．已知，，且、满足． （1）求出、两点的坐标； （2）若点为中点，求的长； （3）如图2，，点是轴正半轴上一点，是的中点，连接，是轴正半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期第三次集中训练 八年级数学 一、慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒！（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，4，9 C. 5，6，10 D. 6，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 2. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母． 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ； 故选：B． 5. 如图，边长为的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（ ） A. 60 B. 30 C. 24 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解等知识，先由题意得到，再将提公因式分解因式，将代入求解即可得到答案．熟记长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：边长为的长方形的周长为10，面积为6， ， ， 故选：B． 6. 若多项式可因式分解为，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过展开因式分解后的表达式，与原多项式比较系数，即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， ∴展开得：． 又∵原多项式为， ∴比较系数得：，． 因此的值为3． 故选：B． 7. 将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B ． 8. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 9. 如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定．在上截取，连接，证明得出，，进而可得，，再证明得出，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 10. 如图，在中，，，分别为，上的点，，，，，则的面积为（ ）． A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于点F，延长交于点G，证明，求得．设，则，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，延长交于点G． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设，则，， ∴，解得， ∴． 故选：B． 二、耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一边长等于3，一边长等于7，则它的周长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】由题意得①当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形； ②当腰为7时，7+7＞3，所以能构成三角形； 故等腰三角形的周长是：7+7+3=17. 故答案为17. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，熟练的掌握等腰三角形的性质与三角形的三边关系是本题解题的关键. 12. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，运用完全平方公式进行运算． 利用完全平方公式将 展开，代入已知条件，即可得的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知，则的值是_____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式及代数式的化简与求值，先利用平方差公式分解，代入后化简，再代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 14. 如图，中，，延长至点，交的延长线于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识；延长至点，使得，连接，即有垂直平分，则有，；再证明，则有，根据，有，进而有，则，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，以为边作等边，过作于，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质和判定，延长至，使，连接，，设，交于，证明，进而得出是等边三角形，，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，延长至，使，连接，，设，交于， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ，即， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（6+6+6+8+8+8+10+11+12=75） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括积的乘方，幂的乘方、同底数幂的乘法以及多项式的乘法； （1）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解． （2）根据多项式乘以多项式，平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式2，再应用平方差公式进行因式分解． （2）先展开括号，再应用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 对于第（1）小题： 解：． 【小问2详解】 对于第（2）小题： 解：． 18. 如图，，交于点，ADBE，点在线段上，且，，连结，． （1）求证：． （2）若，，则的度数为______． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ≌， ； （2）50° 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证≌，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：≌， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务． 问题一：． 问题二：． 任务： （1）问题一中，若，则________；问题二中，________． （2）如图，在边长为的大正方形中，阴影部分的面积为，边长为的小正方形的周长为，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与完全平方公式，熟练掌握平方差公式与完全平方公式的变形是解题的关键，注意数形结合思想的应用． （1）把看作一个整体，即可将原式变形为，据此可得；根据题干结合完全平方公式计算答案即可； （2）先根据题意得到，，由，即可求解． 【小问1详解】 解：问题一中，， 若，则； 问题二中，， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：边长为的小正方形的周长为， ， ． 阴影部分的面积为， ， ， 即的值为． 21. 如图，已知，，，在直线上取点． （1）如图（1），点在的延长线上，且，，试求的长； （2）如图（2），点在边上，，于点．若，，试求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的综合应用，平行线的性质； （1）证明，得出即可； （2）过点D作交其延长线于点H，证明，得出，，证明，得出，证明，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：过点D作交其延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中________，________； （2）对于一元多项式，必定有f（________）； （3）请你用“试根法”分解因式：． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解； （1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ 【小问3详解】 ∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 23. （1）【问题背景】如图1，在与中，若，，，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形； （2）【类比探究】如图2，在等腰中，点为斜边中点，，在线段上，在延长线上，连接，若，，试求的长； （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，点在上，，，，则的长度为________． 【答案】（1）；（2）2；（3）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含30度的直角三角形； （1）先证明，然后根据证明； （2）连接，过点作交于点，证明，得出，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （3）过点作，垂足分别为，证明得出，进而证明得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而分别求得，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）如图，连接，过点作交于点， ∵等腰， ∴， ∵是的中点， ∴，则， ∴平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 24. 如图1，直线分别与轴、轴交于、两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，交轴于．已知，，且、满足． （1）求出、两点的坐标； （2）若点为中点，求的长； （3）如图2，，点是轴正半轴上一点，是的中点，连接，是轴正半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围． 【答案】（1）， （2） （3）不变， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形． （1）根据非负数的性质，可得，即可求解； （2）延长至点G，使得，连接，构造全等三角形，再根据列出关于x的方程，即可求解； （3）延长至点G，使得，连接，证明，，得出，进而根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 【小问2详解】 解：延长至点G，使得，连接，如图所示： 设， 平分， , ， D为中点， ， 在和中， ， ， 即， 【小问3详解】 解：不会发生变化．如图，延长到，连接，使得，过点作轴于点， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，则, ∵ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $