精品解析：湖北武汉市汉阳区武汉经济技术开发区第一初级中学2025-2026学年上学期1月八年级数学素养自主检测试题

2025−2026学年上学期1月八年级数学素养自主检测试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，据此逐项判断即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、∵分母为 ， ∴该分式一定有意义，该选项符合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形. 【详解】解：B项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是关键．因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、，右边是整式的积，符合题意； B、，右边不是积的形式，不符合题意； C、，是整式乘法，不符合题意； D：，但计算得，等式不成立，不符合题意． 故选：A． 4. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（ ） A. 扩大为原来的 4 倍 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 不变 D. 缩小为原来的倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍得： 所以分式的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断． 【详解】A. 和不是同类项，不可以合并，选项错误，不符合题意； B. ，选项正确，符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7. 如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，连接，利用等腰三角形的性质求得，，由，点D恰好是的中点，求得，再求得，由折叠的性质即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， ∵，点D恰好是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴． 8. 某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设B材料的单价为x元，则A材料的单价为元，由题意可得，，进而可得答案． 【详解】解：设B材料的单价为x元，则A材料的单价为元， 由题意可得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 9. 定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 10. 用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，分式的求值．结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 即， 整理，得， ∴， ∴， 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点与点关于轴对称，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点坐标特征是解题的关键． 12. “九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．其中0.000001用科学记数法表示为________． 【答案】1×10−6 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，需明确科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，为负整数，的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零） 【详解】解：0.000001用科学记数法表示为． 13. 已知分式的值为0，则的值为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件．直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：2． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，由题意得．设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴的长为3． 故答案为：3． 15. 如图，四边形中，，，，．点F为的中点，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交的延长线于，过点作于，先证四边形为矩形得，，则，进而得，再证得，，，由此得，据此可证和全等，由此可得的长． 【详解】解：连接并延长交的延长线于，过点作于，如图所示： ，，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， ， ，， 在和中， ，，， （）， ，， ， ， ， ， 在和中， ，，， （）， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 16. 如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，连接、，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据“将军饮马问题”将转化为求解即可． 【详解】解：∵，是中线， ∴，， 连接， ， ∴， ∴， 当C、P、E三点共线时，最小，最小值为. 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知a，b是有理数，且，求 【答案】 【解析】 【分析】设，相乘得，所以，求出a和b的值，即可得出答案． 本题考查了分式的运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：设， ， ∴， ∴， ， 解得， 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 19. 如图，，P为中点，过P点作直线分别交射线、于点M、N（分别不与点A、B重合），设． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求α的度数． 【答案】（1） 为的中点， ， 在和中， ， ； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则； ②若，则； 的度数或． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】 ∵ ∴原式． 21. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上． （1）作的高； （2）作的中线． 【答案】（1） 的高如图所示： ； （2） 的中线如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查格点作图，构造全等三角形并运用全等三角形的相关性质，作出的垂线与中点是本题的解题关键． （1）利用无刻度的直尺与格点作高线，可以通过构造两个边长为3、4、5的全等直角三角形来作出的垂线段，然后将垂线段平移至点B处，此时垂线段与的交点即为点D，即为高线． （2）利用无刻度的直尺与格点作中线，可以通过构造两个全等三角形，作出的中点E，最后连接即为中线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2） 类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）整数的值为或． 【解析】 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 23. 如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． （1）当点在上，点在上方时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上，点在上方时，如图②，猜想线段，，之间有怎样的数量关系；；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1） 证明：如图①，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）图②结论：；图③结论： 【解析】 【分析】（1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）如图2，同（1）的方法得出，，即可得出结论；如图3，同（1）的方法得出，，即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图③，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 24. 如图（1），在平面直角坐标系中，过点作轴于点A，作轴于点C，其中m、n满足． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图（2），连接，点D在上，点M在上，且，于点N，求的值； （3）如图（3），点P在四边形内，满足，，连接，求的长． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）原式整理得，利用非负数的性质求得，，结合图形即可求解； （2）根据（1）的结论证明四边形是正方形，求得，作于点，利用等腰三角形的性质求得，设，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得，，得到，据此计算即可求解； （3）以为边在正方形内作等边三角形，通过计算得出点P与点Q重合，即可求得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵在平面直角坐标系中，过点作轴于点A，作轴于点C， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，过点作轴于点A，作轴于点C，又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：以为边在正方形内作等边三角形，如图， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴点P与点Q重合， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年上学期1月八年级数学素养自主检测试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（ ） A. 扩大为原来的 4 倍 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 不变 D. 缩小为原来的倍 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（ ） A. B. C. D. 8. 某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点与点关于轴对称，那么______． 12. “九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．其中0.000001用科学记数法表示为________． 13. 已知分式的值为0，则的值为 _______． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为_______． 15. 如图，四边形中，，，，．点F为的中点，则的长度为________． 16. 如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，连接、，则的最小值是______． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知a，b是有理数，且，求 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，，P为中点，过P点作直线分别交射线、于点M、N（分别不与点A、B重合），设． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求α的度数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上． （1）作的高； （2）作的中线． 22. 某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 23. 如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． （1）当点在上，点在上方时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上，点在上方时，如图②，猜想线段，，之间有怎样的数量关系；；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 24. 如图（1），在平面直角坐标系中，过点作轴于点A，作轴于点C，其中m、n满足． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图（2），连接，点D在上，点M在上，且，于点N，求的值； （3）如图（3），点P在四边形内，满足，，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $