学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（湖北省卷专用，测试范围：新教材人教版八上第25～26章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过旅游收入增长、动态几何等真实情境，考查运算能力与模型意识，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|方程定义、增长率、函数平移|比赛场次问题（第2题）考查方程建模，体现应用意识| |填空题|6题/18分|根与系数关系、抛物线交点|流感传染问题（第15题）强化实际应用，培养数据意识| |解答题|8题/72分|方程应用、函数利润、几何代数综合|长方形花园（第21题）与销售利润（第22题）突出模型思想，阅读材料题（第23题）提升推理能力|

11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 14. ______________ 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 解方程：（1）； （2）． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） （1） （2） 19．（8分） （1） （2） 20．（8分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 一．选择题（共10小题） 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 3．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．已知和是方程的两个根，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 6．如图，在△中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当△的面积为时，运动时间为（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D．12 8．若实数，满足，且，则的值为（　　） A． B． C． D．或 9．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（　　） A．13 B．7 C．5 D．8 10．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①，②，③，④，⑤若点和，在该图象上，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 11．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　． 12．二次函数，当时，与的大小关系为　　 ． 13．已知，是方程的两个根，则 ． 14．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则△的面积　　 ． 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有25个人患了流感，则第一轮传染后共感染 　　个人． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确是　　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）； （2）． 18．已知方程的两个根分别为，． （1）求的值； （2）求的值． 19．已知是方程的根，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 20．已知△的一条边的长为5，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）为何值时，△是以为斜边的直角三角形？ （3）为何值时，△是等腰三角形？ 21．如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 22．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量与销售单价（元满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过14元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 23．阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为的特征． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 24．已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线． （1）抛物线的解析式为：　　； （2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为27，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 注意修改地区、分值等，要与当地考试模式相符 5 6 > 6 9 10 D A C B 心 B C D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.1 12. 13.-2 14. 15.5 16.①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题每题12分。 解析需加上累计的步骤具体分值（如果证明题等答案和解析只有答案处有内容， 解析处不能为略，需要把答案处的内容移到解析处) 17.解：(1) 。。。。。。。2分 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ；。。。。。。4分 (2) ,。。。。。。。。6分 或 ·。。。。。。8分 18.解：(1)由条件可知 。。。。。。。。。。。。。。。4分 (2)由(1)知 ·。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 19.解：(1)当时， 原式 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 (2)由(1)得， 原式 ·。。。。。。。。。。。。。0.0。。。。。。。。。。4分 20.(1)证明：由题意得，△ 无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；。。。。。。。。。。。。。2分 (2)解： ,的长是关于的一元二次方程 的两个实数根， △是以 为斜边的直角三角形， 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得 或 ；。。。。。。。。。。。0。。。。。。3分 (3)解：由(1)可知方程有两个不相等的实数根， 为腰， 是方程 的一个根， 解得 或 ·。。。。。。。。。。。。。。。。3分 21.解：根据题意， 设垂直于墙的边长为 ,则平行于墙的边长为 依题意得： 整理得： 。。。。。。。。。。。。4分 解得： 当 时， (舍去)， 当 时， 所以花园的长，宽为 答：花园的长，宽为 ·。。。。。。。。。。。。。。。8分 22.解：(1)由题意，当 时，设日销售数量关于销售单价的函数关系式为 又图象过 4/10 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所求函数关系式为 :。。。。。。。。。。。。。。3分 (2)由题意，设日销售利润为元，单件利润为 元千克，可分两段讨论： ①当 时，此时 利润 随增大而增大， 当 时， （元；。。。。。。。。。。。。。6分 ②当 时，此时 利润 且 当时， 取最大值，最大值为378 答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元.10分 23.解：解法一：由 知 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 得 。。。。。。。5分 根据 与 的特征 是方程 的两个不相等的实数根， 10分 解法二：由 得 根据 与 的特征，且 与是方程 的两个不相等的实数根(6分) 24.解：（1)抛物线 其顶点坐标为 将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线 抛物线 的顶点坐标为 的解析式为 故答案为： ；0。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 (2)如图1，设直线交轴于，过作 交轴于， 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G 0 B 图1 抛物线与轴正半轴交于点， 的解析式为 当 时， ,解得 或， 直线 经过点， ,解得 直线 设 ,则 攻 中， ,解得， 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设的解析式为 ,解得 的解析式为 设 的解析式为 ,解得 的解析式为 联立抛物线 得 解得 或 存在，点的坐标是 ；。。。。。。。。。。7分 (3)如图2，过点作 轴交于， 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 M 图2 设 的解析式是 由 得， 直线 抛物线有唯一公共点， △ 同理可得：直线 的解析式是 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的解析式是 当 时， ·。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 10/10 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 一．选择题（共10小题） 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 3．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．已知和是方程的两个根，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 6．如图，在△中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当△的面积为时，运动时间为（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D．12 8．若实数，满足，且，则的值为（　　） A． B． C． D．或 9．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（　　） A．13 B．7 C．5 D．8 10．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①，②，③，④，⑤若点和，在该图象上，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 11．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　． 12．二次函数，当时，与的大小关系为　　 ． 13．已知，是方程的两个根，则 ． 14．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则△的面积　　 ． 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有25个人患了流感，则第一轮传染后共感染 　　个人． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确是　　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）； （2）． 18．已知方程的两个根分别为，． （1）求的值； （2）求的值． 19．已知是方程的根，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 20．已知△的一条边的长为5，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）为何值时，△是以为斜边的直角三角形？ （3）为何值时，△是等腰三角形？ 21．如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 22．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量与销售单价（元满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过14元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 23．阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为的特征． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 24．已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线． （1）抛物线的解析式为：　　； （2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为27，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第25~26章。 一．选择题（共10小题） 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，由此判断即可． 【详解】解：、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、是二元一次方程，故此选项不符合题意； 、是分式方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故选：． 【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 3．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A． B． C． D． 【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当△时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 5．已知和是方程的两个根，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【分析】根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 6．如图，在△中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当△的面积为时，运动时间为（　　） A． B． C． D． 【分析】在△中，利用勾股定理求出的长度，设当△的面积为时，运动时间为时，则，，，根据△的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：在△中，，，， ． 设当△的面积为时，运动时间为，则，，， 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即当△的面积为时，运动时间为， 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及三角形面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D．12 【分析】根据抛物线平移规则：向右平移个单位，则替换为；向上平移个单位，则替换为．对原抛物线逐步平移后，得到新解析式，再与标准形式比较得出、、的值，最后求和． 【详解】解：原抛物线为向右平移4个单位可得：； 抛物线再向上平移2个单位得， 即新抛物线为， 与比较， 得，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移法则是关键． 8．若实数，满足，且，则的值为（　　） A． B． C． D．或 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：由条件可知，是方程的两个不相等的实数根， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 9．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（　　） A．13 B．7 C．5 D．8 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离； 当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能够正确地判断出点横坐标最小、点横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键． 10．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①，②，③，④，⑤若点和，在该图象上，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由图象可先判断、、的符号，可判断①；由时函数的图象在轴下方可判断②；由对称轴方程可判断③；由对称性可知当时，函数值大于0，可判断④；结合二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案． 【详解】解：二次函数开口向下，且与轴的交点在轴上方， ，， 对称轴为， ， ， ， 故①、③都不正确； 当时，， ， 故②正确； 由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一交点在2和3之间， 当时，， ， 故④正确； 抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， ， ， 故⑤不正确； 综上可知正确的为②④， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合． 二．填空题（共6小题） 11．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　1　． 【分析】把方程的一个根代入方程得到关于的方程，解方程求出的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根． 【详解】解：把代入得到： ， 解得． 设方程的另一根为，则 ， 解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数的值是解决问题的关键． 12．二次函数，当时，与的大小关系为 ． 【分析】由函数的解析式可知，函数的开口线下，在时，随增大而减小，因此可知当时，． 【详解】解：由二次函数可知，开口向下，在时，随增大而减小， 因此可知当时，． 故答案为． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．已知，是方程的两个根，则 ． 【分析】根据根与系数的关系得到，，利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 14．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则△的面积 ． 【分析】先分别令、，求出抛物线与轴交点、和轴交点的坐标，算出底边的长度，点纵坐标即为△底边对应的高，最后利用三角形面积公式底高计算面积． 【详解】解：抛物线， 时，， 抛物线与轴的交点坐标为：； 当时，， ， 与轴的交点坐标是，，，； △的面积为：． 故答案是：． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有25个人患了流感，则第一轮传染后共感染 　5　个人． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得，（舍去）． 则第一轮传染后共感染个人， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确是　①③④　 ． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程．一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点评】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程运用配方法解答即可； （2）方程整理后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法、配方法，正确计算是解题的关键． 18．已知方程的两个根分别为，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解； （2）先求出的值，再开方即可． 【详解】解：（1）由条件可知， ； （2）由（1）知， ， ． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 19．已知是方程的根，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 【分析】（1）将代回方程并将其变形得，进而即可求解； （2）由（1）可得，将变形为，再将其代回原式即可求解． 【详解】解：（1）当时， ， ， 原式 ； （2）由（1）得，， ， ， 原式 ． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 20．已知△的一条边的长为5，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）为何值时，△是以为斜边的直角三角形？ （3）为何值时，△是等腰三角形？ 【分析】（1）只需要证明判别式大于0即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再由勾股定理得到，利用完全平方公式的变形得到，解方程，再根据，即可得到答案； （3）由（1）可知方程有两个不相等的实数根，则，即为腰，由此可得是方程的一个根，把代入原方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，△ ， 无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， △是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ， 解得或， ， ， ； （3）解：由（1）可知方程有两个不相等的实数根， ， 为腰， 是方程的一个根， ， ， 解得或． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，勾股定理，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若△，则方程有两个不相等的实数根，若△，则方程有两个相等的实数根，若△，则方程没有实数根，若，是该方程的两个实数根，则． 21．如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 【分析】设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意， 设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，． 所以花园的长，宽为， 答：花园的长，宽为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量与销售单价（元满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过14元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【分析】（1）依据题意，当时，设日销售数量关于销售单价的函数关系式为，又图象过，，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，设日销售利润为元，单件利润为元千克，可分两段讨论，从而可以计算得解． 【详解】解：（1）由题意，当时，设日销售数量关于销售单价的函数关系式为， 又图象过，， ． ． 所求函数关系式为； （2）由题意，设日销售利润为元，单件利润为元千克，可分两段讨论： ①当时，此时， 利润， ， 随增大而增大， 当时，（元； ②当时，此时， 利润 ． 且， 当时，取最大值，最大值为378． 答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 23．阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为的特征． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得：的值． 【详解】解：解法一：由知， ，， 得， 根据与的特征 是方程的两个不相等的实数根， ； 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根（6分） ． 【点评】本题考查是根据题目提供的信息以及根与系数的关系来解答，从而解决问题． 24．已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线． （1）抛物线的解析式为：　　； （2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为27，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 【分析】（1）利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函数的顶点坐标即可求解； （2）设直线交轴于，求出点的坐标，过作交轴于，利用勾股定理求出，由待定系数法求出的解析式，根据平行线的性质求出的解析式，联立抛物线即可求解； （3）设点坐标，设直线的函数解析式，将点坐标代入，与联立，根据题意可得△．从而表示出的解析式，同样得出的解析式，从而得出点坐标，进而求得的长，根据三角形面积可得，的关系式． 【详解】解：（1）抛物线， 其顶点坐标为， 将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 的解析式为， 故答案为：； （2）如图1，设直线交轴于，过作交轴于， ， ， ， ， ， 抛物线与轴正半轴交于点，的解析式为， 当时，，解得或， ， 直线经过点， ，解得， 直线， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立抛物线得， 解得或， 存在，点的坐标是，； （3）如图2，过点作轴交于， 设的解析式是， ， ， ， ， 由得， ， 直线抛物线有唯一公共点， △， ， ， 同理可得：直线的解析式是， ， ， ，， ，， 的解析式是， 当时，， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，一元二次方程与二次函数之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握函数的相关知识． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/26 21:31:33；用户：鲍明；邮箱：13310509185；学号：37128091 第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[必][][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分。 11. 13. 15 16. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 解方程：(1)2x2-4x+1=0: （2)(x-2)(x-3)=12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) (1) (2) 19.(8分) (1) (2) 20.(8分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) Liilili22222∠izzziz∠∠/ A D B 22.(10分) y(kg) (1) 50 42 0 810 14x(元/kg) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(10分) 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！