第三十章 直线与圆的位置关系章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理23个知识点构建直线与圆位置关系的知识体系，用表格呈现圆与圆位置关系判定等内容，以框架图形式串联切线性质与判定、切线长定理等重难点，清晰展现知识内在逻辑与联系。 讲义亮点在于12类题型的分层设计，如切线证明分“有公共点连半径证垂直”“无公共点作垂直证半径”，典例结合变式训练培养推理意识与几何直观。巩固与强化训练满足不同学生需求，助力自主复习与教师精准教学。

第三十章 直线与圆的位置关系章末重难点复习 23知识点+12题型+巩固训练+强化训练 1.了解直线与圆的位置关系，并熟练利用直线与圆的位置关系求参数； 2.掌握切线的证明方法； 3.掌握切线长定理，并利用切线长定理求解与证明； 4.了解圆与圆的位置关系，并熟练利用圆与圆的位置关系求参数； 5.掌握正多边形的相关计算问题； 6.了解内切圆的定义与性质，并熟练利用内切圆的性质求解； 7.掌握圆与三角形、四边形、函数的综合问题。 1. 直线与圆的三种位置关系 设圆半径为 ，圆心到直线的距离为 ： （1）直线与圆相离： · 直线与圆没有公共点 · （2）直线与圆相切： · 直线与圆只有一个公共点（切点），直线叫圆的切线 · （3）直线与圆相交： · 直线与圆有两个公共点（交点），直线叫圆的割线 · 2. 切线的判定定理 （1）内容： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）两个条件缺一不可： · 经过半径的外端（直线与圆有公共点） · 垂直于这条半径 （3）几何语言： 直线 经过 上的点 ，且 ， 直线 是 的切线。 3. 切线的性质定理 （1）内容： 圆的切线垂直于过切点的半径。 （2）几何语言： 直线 是 的切线， 为切点，。 （3）推论： · 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 · 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 · 即：圆心、切点、垂直于切线，知二推一 4. 证明切线的两种方法 类型一：有公共点（连半径，证垂直） · 直线与圆有明确公共点 · 连接圆心与公共点（半径） · 证明直线与该半径垂直 类型二：无公共点（作垂直，证半径） · 直线与圆没有明确公共点 · 过圆心作直线的垂线 · 证明垂线段长度等于半径 5. 切线长定理 （1）切线长定义： 圆外一点到切点之间的线段长度，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3）几何语言： 、 分别切 于 、，， 平分 。 （4）重要结论（切线长基本图形）： · （切线长相等） · 垂直平分 · ， · ， · 四边形 中 ， 6. 弦切角 · 定义：顶点在圆上，一边与圆相交、另一边与圆相切的角 · 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 7. 圆与圆的五种位置关系 设两圆半径分别为 、（），圆心距为 ： （1）圆与圆外离： · 无公共点，每个圆上的点都在另一个圆外 · （2）圆与圆外切： · 有唯一公共点（切点），除切点外各点都在另一圆外 · （3）圆与圆相交： · 有两个公共点 · （4）圆与圆内切： · 有唯一公共点（切点），除切点外一个圆上的点在另一个圆内 · （5）圆与圆内含： · 无公共点，一个圆上的点都在另一个圆内 · · 特例： 时两圆同心（同心圆） 8. 圆与圆位置关系判定表 位置关系 数量关系 公共点个数 外离 0个 外切 1个 相交 2个 内切 1个 内含 0个 9. 相切两圆的性质 · 相切两圆（外切或内切）的连心线经过切点 · 即：两圆圆心与切点三点共线 · 外切时切点在两圆心之间；内切时切点在两圆心延长线上 10. 相交两圆的性质 · 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 · 即：两圆心连线是公共弦的垂直平分线 · 常用辅助线：连接两圆心、连接公共弦端点（半径），构造直角三角形 11. 三角形的内切圆 · 三角形内切圆： 与三角形各边都相切的圆 · 内心： 内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点 · 圆的外切三角形： 三角形叫做圆的外切三角形 · 一个三角形有且只有一个内切圆 12. 内心的性质 · 内心是三角形三条角平分线的交点 · 内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径 ） · 内心一定在三角形内部（任何三角形都是） · 内心与顶点的连线平分该内角 13. 内切圆半径公式 （1）一般三角形： · （ 为面积， 为周长， 为半周长， 为内切圆半径） · · 推导：连接内心与三顶点，三角形分成三个小三角形，面积和 （2）直角三角形： · （、 为直角边， 为斜边） · 推导：利用切线长相等 （3）等边三角形： · （ 为边长） 14. 切线长结论 设 的内切圆分别切 、、 于 、、，记半周长 ： · · · · 即：从每个顶点引出的两条切线长相等 15. 内心与角度关系 设 为 内心： · · · 16. 内心与外心对比 （1）外心（外接圆圆心）： · 三边垂直平分线交点 · 到三个顶点距离相等 · 位置：锐角内、直角在斜边中点、钝角外 （2）内心（内切圆圆心）： · 三条角平分线交点 · 到三边距离相等 · 位置：始终在三角形内部 17. 圆外切四边形 · 定义：各边都与同一个圆相切的四边形 · 性质：圆外切四边形的两组对边之和相等（） · 判定：对边和相等的四边形有内切圆 18. 正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 19. 正多边形与圆的关系 · 把一个圆 等分（），依次连接各分点，就得到这个圆的内接正 边形 · 这个圆叫做正多边形的外接圆 · 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心 · 外接圆半径叫做正多边形的半径（） · 正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角 · 中心到正多边形一边的距离叫做边心距（） 20. 正多边形的有关概念 · 中心： 外接圆圆心 · 半径 ： 外接圆半径（中心到顶点的距离） · 中心角： 每边所对的圆心角， · 边心距 ： 中心到边的距离（内切圆半径） · 边长 ： 正多边形每条边的长度 · 周长 · 面积 （分成 个全等等腰三角形） 21. 正多边形的对称性 · 正多边形都是轴对称图形，有 条对称轴（每条对称轴过中心） · 边数 为偶数时，正多边形也是中心对称图形，中心为对称中心 · 边数 为奇数时，不是中心对称图形 · 正 边形绕中心旋转 后与自身重合 22. 正多边形的画法 · 用量角器等分圆：计算中心角 ，依次作等圆心角 · 用尺规等分圆： · 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径 · 正六边形：以半径长在圆上依次截取（边长=半径） · 正三角形：正六边形隔点连接 · 正八边形：正方形基础上平分每段弧 · 正十二边形：正六边形基础上平分每段弧 23. 正多边形的外接圆与内切圆 · 每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两圆同心（中心相同） · 外接圆半径 （中心到顶点） · 内切圆半径即边心距 （中心到边） 题型01 判断直线和圆的位置关系 【典例】（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 解题梳理 解题核心： 比较圆心到直线的距离 与半径 。 判定关系： · → 相离（无公共点） · → 相切（一个公共点） · → 相交（两个公共点） 解题步骤： · 确定圆心和半径 · 求圆心到直线的距离 （常用勾股定理、面积法求垂线段） · 比较 与 判断位置关系 常用方法： · 有垂足直接求 · 无垂足时作垂线，在直角三角形中求 · 三角形中可用面积法求斜边上的高（ 两直角边乘积/斜边） 易错提醒： 是圆心到直线的垂线段长度，不是到直线上任意点的距离。 【变式1-1】（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【变式1-4】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 题型02 利用直线和圆的位置关系计算 【典例】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 由位置关系得到 与 的不等（相等）关系，列方程或不等式。 常见类型： · 已知位置关系求半径范围：由 、、 列不等式 · 已知位置关系求距离：直接套 与 关系 · 相切时求线段长：，结合勾股定理 · 相交时求弦长：弦长 （垂径定理） · 动点问题：求直线与圆相切/相交/相离时动点的位置或时间 解题步骤： 表示出 和 （含参数）→ 按位置关系列方程（不等式）→ 求解并检验。 关键公式： · 相切： · 相交弦长： · 相离时圆上点到直线最小距离 易错提醒： 求范围时等号情况（相切）不要遗漏；含参数时注意分类讨论。 【变式2-1】（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【变式2-4】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 题型03 切线的性质定理 【典例】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 切线垂直于过切点的半径，见切线连半径得直角。 性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线（必作）： 连接圆心与切点，得到垂直关系和直角三角形。 常见考法： · 已知切线求角度：连切点半径得 ，结合三角形内角和计算 · 已知切线求线段：在直角三角形中用勾股定理 · 切线与平行线、角平分线综合：利用直角转化角 解题步骤： 见切线 → 连切点与圆心 → 得直角 → 在直角三角形中计算。 推论应用： 知“圆心、切点、垂直切线”中两个可推第三个。 易错提醒： 忘记连接切点半径导致无法利用垂直；直角三角形中边角对应错。 【变式3-1】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，，是的切线，A，B是切点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【变式3-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 题型04 切线的相关证明 【典例】（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 解题梳理 解题核心： 分清“有公共点”还是“无公共点”，对应用两种证法。 类型一：直线与圆有明确公共点（连半径，证垂直） · 连接圆心与公共点（半径） · 证明直线与该半径垂直 · 证垂直常用方法： 利用全等三角形证角为 利用平行线（半径垂直另一直线，该直线平行切线） 利用等腰三角形三线合一 利用“角度和为 ”证明夹角为直角 利用勾股定理逆定理 类型二：直线与圆无明确公共点（作垂直，证半径） · 过圆心作直线的垂线段 · 证明垂线段长度等于半径 · 常用全等三角形、角平分线性质（到角两边距离相等）证明垂线段等于半径 证明步骤： · 判断公共点是否已知 · 有公共点：连半径→证垂直 · 无公共点：作垂线→证 · 写出切线判定结论 易错提醒： 两种方法辅助线不同，不能混用；“连半径证垂直”时垂直必须证明，不能默认。 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式4-2】（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【变式4-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式4-4】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，在Rt中，D是的中点，，．若点O为上一点，且三点均在上，连接，与相切于点． (1)求证：四边形是菱形 (2)求证：是的切线； (3)若，求的半径； 题型05 应用切线长定理求解 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 圆外一点引两切线，切线长相等，连线平分夹角。 切线长定理： · （两切线长相等） · 平分 · 垂直平分弦 · ， 基本图形结论： · 两个全等的直角三角形 · · 等腰三角形 和等腰三角形 常见考法： · 求切线长：利用 转化线段，结合勾股定理 · 求三角形周长：三角形三边都与圆相切时，周长转化为切线长之和 · 求角度：利用角平分线和直角三角形 · 求半径：在直角三角形中用勾股定理或面积法 关键模型（三角形切圆）： · 外一点引切线构成的三角形，周长 倍同顶点切线长之和 · 见“两切线”立即标注相等的切线长 易错提醒： 切线长是线段长度不是直线；相等的切线长要找准对应顶点。 【变式5-1】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南漯河·期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式5-3】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【变式5-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若的周长为18，则的长度为_____． 题型06 应用切线长定理证明 【典例】（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 解题梳理 解题核心： 利用切线长相等和角平分证明线段、角度、全等关系。 证明方向： · 证线段相等：直接用切线长相等，或等量代换 · 证角相等/角平分线：圆心与外点连线平分两切线夹角 · 证垂直：（连线垂直平分两切点弦） · 证全等：切线长+公共边+半径相等，证直角三角形全等 · 证平行：利用角度关系推导 常用辅助线： · 连接圆心与切点（得直角和半径） · 连接圆心与圆外点（得角平分线） · 连接两切点（得等腰三角形） 证明步骤： · 由切线标注垂直和等切线长 · 根据要证的结论选择定理 · 结合全等、等腰、平行等知识完成证明 易错提醒： 切线长定理的两个结论（线段相等、角平分）要结合使用；对应关系写准确。 【变式6-1】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【变式6-4】（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 题型07 圆与圆的位置关系 【典例】（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 解题梳理 解题核心： 用圆心距 与两半径和（）、差（）比较。 五种关系（）： · 外离：，0个公共点 · 外切：，1个公共点 · 相交：，2个公共点 · 内切：，1个公共点 · 内含：，0个公共点（ 为同心圆） 常见考法： · 判断两圆位置：算 ，与 、 比较 · 已知位置求半径（或圆心距）范围：列不等式 · 相切问题：分外切、内切两种情况讨论 · 相交两圆：连心线垂直平分公共弦，构造直角三角形计算 重要性质： · 相切两圆连心线过切点（三点共线） · 相交两圆连心线垂直平分公共弦 辅助线： 相切连圆心（过切点）；相交作公共弦或连圆心。 易错提醒： 相切分内外切两种情况，不要漏解； 的前提， 为非负。 【变式7-1】（2026·山东滨州·二模）如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）已知两圆没有公共点， 则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 【变式7-3】（25-26九年级下·上海杨浦·阶段检测）半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于______． 【变式7-4】（25-26九年级上·青海果洛·期末）已知和的直径分别为3和4，且，则两圆的位置关系是______． 题型08 三角形的内切圆 【典例】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 解题梳理 解题核心： 内心是角平分线交点，到三边距离相等，掌握半径和切线长公式。 内心性质： · 三条角平分线交点，到三边距离相等（） · 内心始终在三角形内部 · 内心与顶点连线平分内角 核心公式： · 内切圆半径：（ 面积， 周长， 半周长） · 直角三角形：（、 直角边， 斜边） · 等边三角形： 切线长结论（半周长 ）： · 顶点 处切线长 · 顶点 处切线长 · 顶点 处切线长 角度结论： （ 为内心）。 常见考法： · 求内切圆半径：面积法 · 求切线长：用半周长减对边 · 求角度：用 · 比较内心外心：注意交点来源和位置区别 易错提醒： 内心是角平分线交点不是垂直平分线交点；切线长公式中 对应的是顶点 处。 【变式8-1】（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【变式8-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 题型09 正多边形与圆 【典例】（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 构造“半径 、边心距 、半边长 ”的直角三角形。 基本量关系： · 中心角 · （勾股定理） · 周长 · 面积 解题步骤： · 确定边数 ，算中心角 · 连中心与顶点（半径 ），作边心距 ，构造直角三角形 · 直角三角形中锐角 ，用勾股定理或三角函数求未知量 · 计算周长、面积 特殊正多边形结论： · 正三角形：， · 正方形：， · 正六边形：（边长=半径）， 常见考法： 求边长、半径、边心距、周长、面积；正多边形与圆互化。 易错提醒： 直角三角形中的锐角是 不是 ；正六边形边长等于半径是特殊结论。 【变式9-1】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【变式9-4】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 题型10 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例】（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接． (1)若，，求的度数； (2)①求证：；②求证：为圆的直径． 解题梳理 解题核心： 综合运用圆周角、切线、全等相似、特殊三角形性质。 常见类型： 1. 切线+三角形 · 见切线连半径得直角 · 证切线：连半径证垂直/作垂直证半径 · 在直角三角形中用勾股定理、三角函数计算 2. 圆内接三角形 · 直径所对圆周角为直角，构造直角三角形 · 同弧所对圆周角相等，转移角 · 结合等腰、等边三角形性质 3. 三角形外心、内心综合 · 外心：垂直平分线交点，到顶点等距 · 内心：角平分线交点，到边等距 · 角度、半径综合计算 解题策略： · 标注图中所有相等的角（同弧圆周角、切线直角） · 常用辅助线：连半径、连直径端点与圆上点、作弦心距 · 证明计算结合全等、相似、勾股定理 易错提醒： 综合题条件多，要逐个转化；切线必连半径；直径必想直角。 【变式10-1】（2026·黑龙江绥化·三模）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 如图1，在⊙中，点B、C位于直线异侧，，求得，若⊙的半径为5，． (1)求的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且，，．求证：点P为该圆的圆心； (3)【拓展应用】如图3，在（2）的条件下，若，点C在⊙位于直线上方部分的圆弧上运动，点D在⊙上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【变式10-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知内接于圆O，为圆O的直径，点D在弧上，弦交边于点E，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在线段上，连接，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长，分别交、圆O于点G、H，若，，求线段的长． 【变式10-3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． (1)证明：为圆O的切线； (2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 【变式10-4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，、为圆的两条弦，直线、垂直于点，连接，直线于点，直线交直线于点．    (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若点在圆内部，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长，交圆于点，连接并延长，交于点，交圆于点，与交于点，交于点，交于点，若，，，求圆的半径． 题型11 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 解题梳理 解题核心： 圆内接四边形对角互补，切线四边形对边和相等。 常见类型： 1. 圆内接四边形 · 对角互补，外角等于内对角 · 结合圆周角定理求角、证四点共圆 · 特殊内接四边形：内接平行四边形是矩形；内接菱形是正方形 2. 圆外切四边形 · 各边与圆相切，对边之和相等（） · 利用切线长相等转化线段 3. 特殊四边形与圆 · 正方形、矩形、菱形与圆结合：利用其边角对角线性质 · 正多边形外接圆、内切圆计算 4. 证明与计算 · 证切线：按两种切线证法 · 求线段：切线长相等+勾股定理+全等相似 · 求角度：圆周角+内接四边形性质+四边形内角和 解题策略： · 圆内接四边形优先用对角互补转移角 · 圆外切四边形优先用切线长相等和对边和相等 · 判定四点共圆：对角互补或外角等于内对角 易错提醒： 内接四边形用“对角互补”，外切四边形用“对边和相等”，两者不要混淆。 【变式11-1】（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y＝ax2+bx+3过A，B，C三点且AB＝6． （1）求⊙P的半径R的长； （2）若点M(m，n)为抛物线y＝ax2+bx+3上的动点（只在x轴上方运动），若∠AMB＜45°，求m，n的取值范围． 【变式11-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O （1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线 （2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式11-4】（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为． （1）联结，当时，求的半径长； （2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示； （3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由． 题型12 圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例】（2026·广东广州·二模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 解题梳理 解题核心： 坐标系中用坐标表示圆心、半径，结合函数解析式求解。 常见类型： 1. 圆与一次函数（直线与圆） · 圆心到直线距离 与半径 比较判断位置 · 相切时 列方程求参数或切点坐标 · 求交点：联立圆的方程与直线方程（初中用几何法：垂径定理+勾股定理） 2. 圆与反比例函数 · 圆上点与双曲线交点：坐标同时满足圆的特征（到圆心距离 ）和 · 利用对称性（都关于原点对称）求交点 3. 动点与圆的函数关系 · 设动点坐标或运动时间 · 用 表示线段，根据相切/相交条件列方程 · 建立面积、长度关于 的函数求最值 4. 坐标系中圆的计算 · 圆心坐标+半径确定圆 · 点在圆上：点到圆心距离 （距离公式列方程） · 圆与坐标轴相切：圆心到坐标轴距离=半径（横/纵坐标绝对值 ） 解题步骤： · 确定圆心坐标和半径（可能含参数） · 用坐标表示距离、线段 · 根据位置关系（相切 等）列方程 · 解方程并检验点的位置、取值范围 常用结论： · 圆心 半径 ，与 轴相切 ；与 轴相切 · 圆过原点 · 关于原点对称的图形交点也关于原点对称 易错提醒： 坐标距离要加绝对值；相切有内外/上下两种情况时分类讨论；动点范围要检验。 【变式12-1】（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【变式12-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度； （3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD． ①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标； ②求FD长度的取值范围． 【变式12-3】（2026·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【变式12-4】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”． (1)若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是　 　（只填选项）． A．正比例函数y＝x B．反比例函数y＝ C．二次函数y＝x2+2 (2)在平面直角坐标系xOy中，若点M（n，0），N（0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r． ①若r＝2，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n的取值范围； ②若n＝4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 7．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 8．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，与相切于点A，连接并延长交于点C，连接．若，则的度数为________． 9．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是的内心，则点到边的距离为__________． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 11．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 12．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）已知是上的点为的直径，延长到，连接， (1)求证：为的切线； (2)若，当时，求半径的长． 14．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）如图，射线与相交于点为上一点，连接并延长至点，过点作于点平分． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长．（结果保留） 【强化训练】 1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，．点表示济阳区的位置，纬度大约是北纬（即：）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，经过正方形的两个顶点A，B，且与边相切，切点为E．记正方形的周长为a，的周长为b，则a与b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 6．（2026·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 8．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 9．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 10．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）在中，是上一点，以为半径作，与相切于点． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，与交于点，且是的中点，若，求的半径． 12．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离                            B．与相切     C．与相交                            D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 13．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图甲所示，是的外接圆，是直径，点D是弦下方上的动点（与B，C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，． (1)请直接写出的大小，即______； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明： 如图乙所示，连接，当时，点P是四边形内部的一点，且满足，．是否存在常数a，b，使等式成立？若成立，请直接写出一个a的值，一个b的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线”． (1)下列四边形是“等邻边内分四边形”的是___________（填序号） ①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形． (2)如图1，已知中，，，，点是外接圆上的一点．若四边形是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度． (3)如图2，为定线段上异于，的一个动点，和都是等边三角形，且在同侧，，交于点，，交于点，，交于点，，交于点． （ⅰ）求证：四边形为“等邻边内分四边形”； （ⅱ）求证：直线恒过定点． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知抛物线与x轴相交于、两点，与轴相交于点，为直线上一动点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式及点坐标； (2)若点在第一象限，且轴，以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，请直接写出的长度； (3)设点在抛物线上，在直线上，当时，的最大值为3，求的值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系章末重难点复习 23知识点+12题型+巩固训练+强化训练 1.了解直线与圆的位置关系，并熟练利用直线与圆的位置关系求参数； 2.掌握切线的证明方法； 3.掌握切线长定理，并利用切线长定理求解与证明； 4.了解圆与圆的位置关系，并熟练利用圆与圆的位置关系求参数； 5.掌握正多边形的相关计算问题； 6.了解内切圆的定义与性质，并熟练利用内切圆的性质求解； 7.掌握圆与三角形、四边形、函数的综合问题。 1. 直线与圆的三种位置关系 设圆半径为 ，圆心到直线的距离为 ： （1）直线与圆相离： · 直线与圆没有公共点 · （2）直线与圆相切： · 直线与圆只有一个公共点（切点），直线叫圆的切线 · （3）直线与圆相交： · 直线与圆有两个公共点（交点），直线叫圆的割线 · 2. 切线的判定定理 （1）内容： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）两个条件缺一不可： · 经过半径的外端（直线与圆有公共点） · 垂直于这条半径 （3）几何语言： 直线 经过 上的点 ，且 ， 直线 是 的切线。 3. 切线的性质定理 （1）内容： 圆的切线垂直于过切点的半径。 （2）几何语言： 直线 是 的切线， 为切点，。 （3）推论： · 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 · 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 · 即：圆心、切点、垂直于切线，知二推一 4. 证明切线的两种方法 类型一：有公共点（连半径，证垂直） · 直线与圆有明确公共点 · 连接圆心与公共点（半径） · 证明直线与该半径垂直 类型二：无公共点（作垂直，证半径） · 直线与圆没有明确公共点 · 过圆心作直线的垂线 · 证明垂线段长度等于半径 5. 切线长定理 （1）切线长定义： 圆外一点到切点之间的线段长度，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3）几何语言： 、 分别切 于 、，， 平分 。 （4）重要结论（切线长基本图形）： · （切线长相等） · 垂直平分 · ， · ， · 四边形 中 ， 6. 弦切角 · 定义：顶点在圆上，一边与圆相交、另一边与圆相切的角 · 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 7. 圆与圆的五种位置关系 设两圆半径分别为 、（），圆心距为 ： （1）圆与圆外离： · 无公共点，每个圆上的点都在另一个圆外 · （2）圆与圆外切： · 有唯一公共点（切点），除切点外各点都在另一圆外 · （3）圆与圆相交： · 有两个公共点 · （4）圆与圆内切： · 有唯一公共点（切点），除切点外一个圆上的点在另一个圆内 · （5）圆与圆内含： · 无公共点，一个圆上的点都在另一个圆内 · · 特例： 时两圆同心（同心圆） 8. 圆与圆位置关系判定表 位置关系 数量关系 公共点个数 外离 0个 外切 1个 相交 2个 内切 1个 内含 0个 9. 相切两圆的性质 · 相切两圆（外切或内切）的连心线经过切点 · 即：两圆圆心与切点三点共线 · 外切时切点在两圆心之间；内切时切点在两圆心延长线上 10. 相交两圆的性质 · 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 · 即：两圆心连线是公共弦的垂直平分线 · 常用辅助线：连接两圆心、连接公共弦端点（半径），构造直角三角形 11. 三角形的内切圆 · 三角形内切圆： 与三角形各边都相切的圆 · 内心： 内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点 · 圆的外切三角形： 三角形叫做圆的外切三角形 · 一个三角形有且只有一个内切圆 12. 内心的性质 · 内心是三角形三条角平分线的交点 · 内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径 ） · 内心一定在三角形内部（任何三角形都是） · 内心与顶点的连线平分该内角 13. 内切圆半径公式 （1）一般三角形： · （ 为面积， 为周长， 为半周长， 为内切圆半径） · · 推导：连接内心与三顶点，三角形分成三个小三角形，面积和 （2）直角三角形： · （、 为直角边， 为斜边） · 推导：利用切线长相等 （3）等边三角形： · （ 为边长） 14. 切线长结论 设 的内切圆分别切 、、 于 、、，记半周长 ： · · · · 即：从每个顶点引出的两条切线长相等 15. 内心与角度关系 设 为 内心： · · · 16. 内心与外心对比 （1）外心（外接圆圆心）： · 三边垂直平分线交点 · 到三个顶点距离相等 · 位置：锐角内、直角在斜边中点、钝角外 （2）内心（内切圆圆心）： · 三条角平分线交点 · 到三边距离相等 · 位置：始终在三角形内部 17. 圆外切四边形 · 定义：各边都与同一个圆相切的四边形 · 性质：圆外切四边形的两组对边之和相等（） · 判定：对边和相等的四边形有内切圆 18. 正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 19. 正多边形与圆的关系 · 把一个圆 等分（），依次连接各分点，就得到这个圆的内接正 边形 · 这个圆叫做正多边形的外接圆 · 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心 · 外接圆半径叫做正多边形的半径（） · 正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角 · 中心到正多边形一边的距离叫做边心距（） 20. 正多边形的有关概念 · 中心： 外接圆圆心 · 半径 ： 外接圆半径（中心到顶点的距离） · 中心角： 每边所对的圆心角， · 边心距 ： 中心到边的距离（内切圆半径） · 边长 ： 正多边形每条边的长度 · 周长 · 面积 （分成 个全等等腰三角形） 21. 正多边形的对称性 · 正多边形都是轴对称图形，有 条对称轴（每条对称轴过中心） · 边数 为偶数时，正多边形也是中心对称图形，中心为对称中心 · 边数 为奇数时，不是中心对称图形 · 正 边形绕中心旋转 后与自身重合 22. 正多边形的画法 · 用量角器等分圆：计算中心角 ，依次作等圆心角 · 用尺规等分圆： · 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径 · 正六边形：以半径长在圆上依次截取（边长=半径） · 正三角形：正六边形隔点连接 · 正八边形：正方形基础上平分每段弧 · 正十二边形：正六边形基础上平分每段弧 23. 正多边形的外接圆与内切圆 · 每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两圆同心（中心相同） · 外接圆半径 （中心到顶点） · 内切圆半径即边心距 （中心到边） 题型01 判断直线和圆的位置关系 【典例】（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 解题梳理 解题核心： 比较圆心到直线的距离 与半径 。 判定关系： · → 相离（无公共点） · → 相切（一个公共点） · → 相交（两个公共点） 解题步骤： · 确定圆心和半径 · 求圆心到直线的距离 （常用勾股定理、面积法求垂线段） · 比较 与 判断位置关系 常用方法： · 有垂足直接求 · 无垂足时作垂线，在直角三角形中求 · 三角形中可用面积法求斜边上的高（ 两直角边乘积/斜边） 易错提醒： 是圆心到直线的垂线段长度，不是到直线上任意点的距离。 【变式1-1】（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 【变式1-4】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 【答案】相离 【分析】本题考查了算术平方根的应用，直线和圆的位置关系．根据公式计算即可．利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，判断位置关系． 【详解】解：圆心到直线的距离， 故圆与直线相离． 故答案为：相离． 题型02 利用直线和圆的位置关系计算 【典例】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 解题梳理 解题核心： 由位置关系得到 与 的不等（相等）关系，列方程或不等式。 常见类型： · 已知位置关系求半径范围：由 、、 列不等式 · 已知位置关系求距离：直接套 与 关系 · 相切时求线段长：，结合勾股定理 · 相交时求弦长：弦长 （垂径定理） · 动点问题：求直线与圆相切/相交/相离时动点的位置或时间 解题步骤： 表示出 和 （含参数）→ 按位置关系列方程（不等式）→ 求解并检验。 关键公式： · 相切： · 相交弦长： · 相离时圆上点到直线最小距离 易错提醒： 求范围时等号情况（相切）不要遗漏；含参数时注意分类讨论。 【变式2-1】（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【变式2-4】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 题型03 切线的性质定理 【典例】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解题梳理 解题核心： 切线垂直于过切点的半径，见切线连半径得直角。 性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线（必作）： 连接圆心与切点，得到垂直关系和直角三角形。 常见考法： · 已知切线求角度：连切点半径得 ，结合三角形内角和计算 · 已知切线求线段：在直角三角形中用勾股定理 · 切线与平行线、角平分线综合：利用直角转化角 解题步骤： 见切线 → 连切点与圆心 → 得直角 → 在直角三角形中计算。 推论应用： 知“圆心、切点、垂直切线”中两个可推第三个。 易错提醒： 忘记连接切点半径导致无法利用垂直；直角三角形中边角对应错。 【变式3-1】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 【变式3-2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，，是的切线，A，B是切点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，，即， ∵， ∴． 【变式3-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 【变式3-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 题型04 切线的相关证明 【典例】（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 解题梳理 解题核心： 分清“有公共点”还是“无公共点”，对应用两种证法。 类型一：直线与圆有明确公共点（连半径，证垂直） · 连接圆心与公共点（半径） · 证明直线与该半径垂直 · 证垂直常用方法： 利用全等三角形证角为 利用平行线（半径垂直另一直线，该直线平行切线） 利用等腰三角形三线合一 利用“角度和为 ”证明夹角为直角 利用勾股定理逆定理 类型二：直线与圆无明确公共点（作垂直，证半径） · 过圆心作直线的垂线段 · 证明垂线段长度等于半径 · 常用全等三角形、角平分线性质（到角两边距离相等）证明垂线段等于半径 证明步骤： · 判断公共点是否已知 · 有公共点：连半径→证垂直 · 无公共点：作垂线→证 · 写出切线判定结论 易错提醒： 两种方法辅助线不同，不能混用；“连半径证垂直”时垂直必须证明，不能默认。 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 【变式4-2】（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 【变式4-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 【变式4-4】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，在Rt中，D是的中点，，．若点O为上一点，且三点均在上，连接，与相切于点． (1)求证：四边形是菱形 (2)求证：是的切线； (3)若，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，得到四边形为平行四边形，再根据斜边中线等于斜边一半得到，即可证明平行四边形为菱形． （2）连接，证明，得到，由切线的性质得到，即可证明是的切线； （3）先求出，设半径为，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形为平行四边形， 又，且为中点， ， 平行四边形为菱形． （2）证明：∵平行四边形为菱形， ， 连接，如图， ， ， ， 切于， ， ， 点在上， 与相切， （3）解：四边形为菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ； 设半径为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：． 题型05 应用切线长定理求解 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 解题梳理 解题核心： 圆外一点引两切线，切线长相等，连线平分夹角。 切线长定理： · （两切线长相等） · 平分 · 垂直平分弦 · ， 基本图形结论： · 两个全等的直角三角形 · · 等腰三角形 和等腰三角形 常见考法： · 求切线长：利用 转化线段，结合勾股定理 · 求三角形周长：三角形三边都与圆相切时，周长转化为切线长之和 · 求角度：利用角平分线和直角三角形 · 求半径：在直角三角形中用勾股定理或面积法 关键模型（三角形切圆）： · 外一点引切线构成的三角形，周长 倍同顶点切线长之和 · 见“两切线”立即标注相等的切线长 易错提醒： 切线长是线段长度不是直线；相等的切线长要找准对应顶点。 【变式5-1】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在优弧上取点，连接、，利用圆内接四边形对角互补，由求出，再根据圆周角定理求出，接着根据切线的性质及余角性质得出，证明平分，最后通过角平分线的性质即可得出的大小． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵，是的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴，即平分， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南漯河·期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 【变式5-3】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【变式5-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若的周长为18，则的长度为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了切线的性质，利用切线长定理是解决问题的关键． 先根据切线长定理得到，，，再利用的周长为得到，然后利用等线段代换得到，从而得到的长． 【详解】解：∵、分别切于点、，切于点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：9 题型06 应用切线长定理证明 【典例】（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 解题梳理 解题核心： 利用切线长相等和角平分证明线段、角度、全等关系。 证明方向： · 证线段相等：直接用切线长相等，或等量代换 · 证角相等/角平分线：圆心与外点连线平分两切线夹角 · 证垂直：（连线垂直平分两切点弦） · 证全等：切线长+公共边+半径相等，证直角三角形全等 · 证平行：利用角度关系推导 常用辅助线： · 连接圆心与切点（得直角和半径） · 连接圆心与圆外点（得角平分线） · 连接两切点（得等腰三角形） 证明步骤： · 由切线标注垂直和等切线长 · 根据要证的结论选择定理 · 结合全等、等腰、平行等知识完成证明 易错提醒： 切线长定理的两个结论（线段相等、角平分）要结合使用；对应关系写准确。 【变式6-1】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】略 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1) 证明：当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）略 （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 【变式6-4】（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， 为的切线； (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 题型07 圆与圆的位置关系 【典例】（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 解题梳理 解题核心： 用圆心距 与两半径和（）、差（）比较。 五种关系（）： · 外离：，0个公共点 · 外切：，1个公共点 · 相交：，2个公共点 · 内切：，1个公共点 · 内含：，0个公共点（ 为同心圆） 常见考法： · 判断两圆位置：算 ，与 、 比较 · 已知位置求半径（或圆心距）范围：列不等式 · 相切问题：分外切、内切两种情况讨论 · 相交两圆：连心线垂直平分公共弦，构造直角三角形计算 重要性质： · 相切两圆连心线过切点（三点共线） · 相交两圆连心线垂直平分公共弦 辅助线： 相切连圆心（过切点）；相交作公共弦或连圆心。 易错提醒： 相切分内外切两种情况，不要漏解； 的前提， 为非负。 【变式7-1】（2026·山东滨州·二模）如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解． 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）已知两圆没有公共点， 则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 【答案】C 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据外离或内含是两个圆没有公共点，由此即可得解，熟练掌握圆与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：若两圆没有公共点，则这两圆的位置关系是外离或内含， 故选：C ． 【变式7-3】（25-26九年级下·上海杨浦·阶段检测）半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于______． 【答案】或 【分析】需分两圆圆心位于公共弦同侧和异侧两种情况讨论，利用相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦，再结合勾股定理即可求解． 【详解】设两圆的圆心分别为，，公共弦，交于点C， ∵两圆半径分别为，， 根据相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦， ∴，， ①如图，当两圆圆心位于公共弦的两侧时： 在中，， 在中，， ∴； ②如图，当两圆圆心位于公共弦的同侧时： 同理可得，， ∴， 综上，两个圆的圆心距为或． 【变式7-4】（25-26九年级上·青海果洛·期末）已知和的直径分别为3和4，且，则两圆的位置关系是______． 【答案】相交 【分析】本题考查判断两圆之间的位置关系，求出两个圆的半径之和，以及两个圆的半径之差，与两圆心之间的距离，比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵和的直径分别为3和4， ∴和的半径分别为1.5和2， ∴两个圆的半径之和为3.5，两个圆的半径之差为0.5， ∵， ∴两圆的位置关系是相交； 故答案为：相交． 题型08 三角形的内切圆 【典例】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 解题梳理 解题核心： 内心是角平分线交点，到三边距离相等，掌握半径和切线长公式。 内心性质： · 三条角平分线交点，到三边距离相等（） · 内心始终在三角形内部 · 内心与顶点连线平分内角 核心公式： · 内切圆半径：（ 面积， 周长， 半周长） · 直角三角形：（、 直角边， 斜边） · 等边三角形： 切线长结论（半周长 ）： · 顶点 处切线长 · 顶点 处切线长 · 顶点 处切线长 角度结论： （ 为内心）。 常见考法： · 求内切圆半径：面积法 · 求切线长：用半周长减对边 · 求角度：用 · 比较内心外心：注意交点来源和位置区别 易错提醒： 内心是角平分线交点不是垂直平分线交点；切线长公式中 对应的是顶点 处。 【变式8-1】（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径． 【详解】解：连接，∵， ∴，， ∴， ∴是圆的直径． ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴ ． 过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H， 则， ∵， ∴， 化简得， 解得． 【变式8-2】（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 【变式8-3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 【变式8-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【答案】1 【分析】设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则平分，，可得，利用切线长定理可得，，进而得出，当r最大时，最大，延长至，使，连接，则点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解： 设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则， ， ， ， ， ， ． ， ． ， ，， 平分． ． ， ． ． 当r最大时，最大． 延长至，使，连接则． ， ， ， 点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动， 作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大， 此时， ， ， 为等边三角形． ． ． ． 的内切圆的半径为r的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 题型09 正多边形与圆 【典例】（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 解题梳理 解题核心： 构造“半径 、边心距 、半边长 ”的直角三角形。 基本量关系： · 中心角 · （勾股定理） · 周长 · 面积 解题步骤： · 确定边数 ，算中心角 · 连中心与顶点（半径 ），作边心距 ，构造直角三角形 · 直角三角形中锐角 ，用勾股定理或三角函数求未知量 · 计算周长、面积 特殊正多边形结论： · 正三角形：， · 正方形：， · 正六边形：（边长=半径）， 常见考法： 求边长、半径、边心距、周长、面积；正多边形与圆互化。 易错提醒： 直角三角形中的锐角是 不是 ；正六边形边长等于半径是特殊结论。 【变式9-1】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 【变式9-2】（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 【变式9-3】（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 【变式9-4】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 题型10 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例】（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接． (1)若，，求的度数； (2)①求证：；②求证：为圆的直径． 【答案】(1) (2) 证明：①， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 即； ②作，交圆于点，连接，如图所示： 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 由得到， ， 为圆的直径． 【分析】（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质即可得到答案； （2）①根据圆周角与弦的关系，再结合平行四边形性质得到，由等腰三角形性质即可得证； ②作，交圆于点，连接，如图所示，由平行四边形性质及得到的角相等，由三角形全等的判定与性质得到，进而由弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为圆内接四边形， ； （2）略 【点睛】本题是圆的综合，涉及三角形外角性质、圆内接四边形性质、弦弧及圆周角关系、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质及圆周角推论等知识，熟练掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 解题梳理 解题核心： 综合运用圆周角、切线、全等相似、特殊三角形性质。 常见类型： 1. 切线+三角形 · 见切线连半径得直角 · 证切线：连半径证垂直/作垂直证半径 · 在直角三角形中用勾股定理、三角函数计算 2. 圆内接三角形 · 直径所对圆周角为直角，构造直角三角形 · 同弧所对圆周角相等，转移角 · 结合等腰、等边三角形性质 3. 三角形外心、内心综合 · 外心：垂直平分线交点，到顶点等距 · 内心：角平分线交点，到边等距 · 角度、半径综合计算 解题策略： · 标注图中所有相等的角（同弧圆周角、切线直角） · 常用辅助线：连半径、连直径端点与圆上点、作弦心距 · 证明计算结合全等、相似、勾股定理 易错提醒： 综合题条件多，要逐个转化；切线必连半径；直径必想直角。 【变式10-1】（2026·黑龙江绥化·三模）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 如图1，在⊙中，点B、C位于直线异侧，，求得，若⊙的半径为5，． (1)求的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且，，．求证：点P为该圆的圆心； (3)【拓展应用】如图3，在（2）的条件下，若，点C在⊙位于直线上方部分的圆弧上运动，点D在⊙上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，过点A作，垂足为点M，可得的长，求出，可得的长，即得的长，即可得到结论； （2）延长交圆于点N，连接，则，可得，，得，得，即得结论； （3）过点B作的垂线交的延长线于点E，连接，延长交圆于点F，连接，可得是等腰直角三角形，得，证明，得．由，得．即得结论. 【详解】（1）解：如图，连接，过点A作，垂足为点M，则， ，， 是等腰直角三角形，则． ，， 是等腰直角三角形． ． 在中，， ． （2）证明：如图，延长交圆于点N，连接，则． ， ． ， ， ． ， ． 点P为该圆的圆心． （3）证明：如图，过点B作的垂线交的延长线于点E，连接，延长交圆于点F，连接， ， ，． 是等腰直角三角形， ． ，， ． 是直径， ． ． ． ． ． ． ． 必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求． 【变式10-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知内接于圆O，为圆O的直径，点D在弧上，弦交边于点E，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在线段上，连接，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长，分别交、圆O于点G、H，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，又， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3)8 【分析】（1）由得到，根据是直径得到，因此，即可得到． （2）设，则，则，，再由得到，因此，即可得证． （3）延长，，相交于点M．由，，，证明，得到，．设，则，证明得到，，进而得到，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，，相交于点M． ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角为，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式10-3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． (1)证明：为圆O的切线； (2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵E为弦的中点， ∴， ∵垂直平分，点P在的延长线上， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线． (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由得，由E为弦的中点，根据垂径定理可得垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可再证明结论； （2）由证明，则，推导出再证明得，而，所以，则，求得，则，于是得方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵E为弦的中点， ∴于点E， ∵于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，解得：． ∴⊙O的半径长为． 【变式10-4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，、为圆的两条弦，直线、垂直于点，连接，直线于点，直线交直线于点．    (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若点在圆内部，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长，交圆于点，连接并延长，交于点，交圆于点，与交于点，交于点，交于点，若，，，求圆的半径． 【答案】(1) 证明：如图1，连接，   ， ， 于，于， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ()， ， 垂直平分， ， ， 平分． (2) 证明：， ， 于，于， ， ， ， ， ， 即， ， 即， 在和中， ， ()， ； (3) 【分析】（1）连接，可证()，可得，从而可证垂直平分，即可求证； （2）可证()，即可求证； （3）连接、、，作点关于的对称点，连接，过点作交的延长线于点，连接，设，由（2）得：，可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，设，则有，，可求，，，，，，，由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，连接、、，作点关于的对称点，连接，过点作交的延长线于点，连接，    设， 由（2）得：， 于，交于点， ， ， ， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即：， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则有，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 整理得： 解得：，(舍去)， ； 故圆的半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合应用题，圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形 的判定及性质，方程思想等知识，掌握相关的判定方法及性质，根据题意添加恰当的辅助线是解题的关键． 题型11 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， ， ， ， ． (2)证明：，， 四边形为等腰梯形， ， ，， ， ． ， ， 为等边三角形， ． ， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ． (3)15 【分析】（1）根据同圆中相等的弦所对的弧相等和等弧所对的圆周角相等推出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． （2）利用等腰梯形的判定和性质推出，结合邻补角定义和等腰三角形的性质推出结合已知条件，推出等边，结合平行线的性质推出等边三角形，最后利用证明，即可推出． （3）根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理求出的长度，利用等边三角形的性质求出关系，设参数，，结合勾股定理表示出关系，利用完全平方公式求出和的值即可求出相应的线段，面积从而求出最后利用等底同高即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． ，， ． 和为等边三角形，，， ， 设，则，，，，， ， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ①，②， ②-①得，则， ， 即， 即， ，， ． ，是和的高， ． 【点睛】本题考查了圆与内接四边形的综合，解题的关键是要设和参数，利用整体化思想和完全平方公式求出长度． 解题梳理 解题核心： 圆内接四边形对角互补，切线四边形对边和相等。 常见类型： 1. 圆内接四边形 · 对角互补，外角等于内对角 · 结合圆周角定理求角、证四点共圆 · 特殊内接四边形：内接平行四边形是矩形；内接菱形是正方形 2. 圆外切四边形 · 各边与圆相切，对边之和相等（） · 利用切线长相等转化线段 3. 特殊四边形与圆 · 正方形、矩形、菱形与圆结合：利用其边角对角线性质 · 正多边形外接圆、内切圆计算 4. 证明与计算 · 证切线：按两种切线证法 · 求线段：切线长相等+勾股定理+全等相似 · 求角度：圆周角+内接四边形性质+四边形内角和 解题策略： · 圆内接四边形优先用对角互补转移角 · 圆外切四边形优先用切线长相等和对边和相等 · 判定四点共圆：对角互补或外角等于内对角 易错提醒： 内接四边形用“对角互补”，外切四边形用“对边和相等”，两者不要混淆。 【变式11-1】（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (3) 【分析】本题属于圆的综合题，考查了矩形的性质与判定、圆的内接四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．能准确找到全等三角形是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质可得，即可求证； （3）证明，可得，从而得到，再由平行线分线段成比例，可得，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y＝ax2+bx+3过A，B，C三点且AB＝6． （1）求⊙P的半径R的长； （2）若点M(m，n)为抛物线y＝ax2+bx+3上的动点（只在x轴上方运动），若∠AMB＜45°，求m，n的取值范围． 【答案】（1）⊙P的半径R的长为3；（2）m＜0，n＞3 或 m＞6，n＞3． 【分析】（1）连结AP，先确定C的坐标，即可求出OC的长；再根据矩形的性质可得PD=OC=3，由据垂径定理可得AD＝BDAB＝3，可判断△PAD为等腰直角三角形，最后等腰直角三角形的性质即可解答； （2）如图2，作直径CE，连接PA、PB，连接AC、BC、AE、BE，先确定点E的坐标，由抛物线的轴对称性质可得到抛物线y＝ax2+bx+3过点E;再根据△PAB为等腰直角三角形，即∠APB=90°；然后由圆周角定理得∠ACB＝∠AEB∠APB＝45°，若∠AMB<45°，则点M在⊙P外且在C点和点E在抛物线上，最后利用C点和E点的坐标即可确定m、n的范围． 【详解】解：（1）如图1，连结AP， 当x＝0时，y＝ax2+bx+3＝3，则C点的坐标为（0，3），即OC＝3， ∵四边形OCPD是矩形， ∴PD＝OC＝3， ∵PD⊥AB ∴AD＝BDAB＝3 ∵在Rt△PDA中，AD＝PD＝3， ∴△PAD为等腰直角三角形， ∴APAD＝3， ∴⊙P的半径R的长为3； （2）如图2，作直径CE，连接PA、PB，连接AC、BC、AE、BE， ∵CE＝2R＝6， ∴E点坐标为（6，3）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过A，B，C点， ∴直线PD为抛物线的对称轴， ∴抛物线y＝ax2+bx+3过E点， ∵△PAD为等腰直角三角形， ∴∠PAD＝45°， ∴△PAB为等腰直角三角形， ∴∠APB＝90°， ∴∠ACB＝∠AEB∠APB＝45°， ∴当∠AMB＜45°，则点M在⊙P外且点P在抛物线上， ∴m＜0，n＞3 或 m＞6，n＞3． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识：理解抛物线的轴对称性质． 【变式11-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O （1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线 （2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，． 【分析】（1）过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．根据题意结合图形易证线段ON为中位线，即可求出长，从而求出与长，最后在中利用勾股定理即可求出DE的长，即⊙O的直径，即可判断OD=OE=OM，从而证明AB为⊙O的切线． （2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，利用圆周角定理以及三角形中线的性质易证，即证明CF=CD． （3）取AD中点H，连接CH、FH、FD．根据（2）中三角形中线的结论可知，再在中，利用勾股定理可求出．最后利用三角形三边的关系即可求出CF的最小值． 【详解】（1）如图，过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N． 由题意可知四边形BCNM为矩形， ∴MN=AD=3， ∵O为圆心，即O为DE中点， ∴N为DC中点，即线段ON为中位线， 又∵， ∴， ∴OM=MN-ON=3-1=2． 在中，． ∴OD=OE=OM=2． 即AB为⊙O的切线． （2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG， ∵DE为直径， ∴． ∴， ∴CG为直径． ∴， ∵E为BC中点， ∴G为AD中点， 在中，FG为中线， ∴AG=DG=FG， 在和中， ， ∴． ∴CF=CD． （3）如图，取AD中点H，连接CH、FH、FD． 由（2）可知， 在中，， ∵． ∴当F点在CH上时CF长有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查圆的综合．主要知识点有切线的判定，圆周角定理，三角形中线与中位线的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，三角形三边的关系以及勾股定理等知识，综合性较强，较难．作出合理的辅助线是解答本题的关键． 【变式11-4】（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为． （1）联结，当时，求的半径长； （2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示； （3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3）能成为等腰三角形， 【分析】（1）证为梯形的中位线，得出即可； （2）联结、，过点作于，则，由勾股定理得出，由四边形的面积的面积的面积的面积，进而得出答案； （3）证是梯形的中位线，得出，， ，由勾股定理得，分三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为梯形的中位线， ∴，即的半径长为3； （2）联结、，过点作于，如图1所示： ∵，，且， ∴四边形为矩形， 则， ∴， ∴， ∵四边形的面积的面积的面积的面积， ∴， 整理得：； （3）能成为等腰三角形，理由如下： ∵点为的中点，， ∴是梯形的中位线， ∴，， ， 由勾股定理得：， 分三种情况： ①时，则，无解； ②时，如图2所示： ，解得：； ③时，作于，如图3所示： ， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线， 由题意知：， 又， ∴， 则此时圆和相切，不合题意； 综上所述，能成为等腰三角形，． 【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键． 题型12 圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例】（2026·广东广州·二模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有最值，的最大值为，最小值为 【分析】（1）通过直线解析式以及交点横坐标为0，求出点的坐标即可； （2）根据题意，直线和抛物线没有交点，且，列出方程，利用根的判别式列出不等式求解； （3）根据题意可求，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，从而求出解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：∵抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当，抛物线开口向下，且与直线没有交点时，符合要求， ∵，， ∴， 令， 整理得， ∵抛物线与直线没有交点， ∴， 解得； （3）解：∵直线且过点， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，不成立， ∴， 如图所示， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， ∵点，，，四点共圆， 设点为外接圆圆心， 过点作于点， ∴点在上， ∴， 连接， 在中，， 即， 解得半径， ∴设， ∵点， ∴由勾股定理得， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， 将代入抛物线得， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为8，最小值为0． 解题梳理 解题核心： 坐标系中用坐标表示圆心、半径，结合函数解析式求解。 常见类型： 1. 圆与一次函数（直线与圆） · 圆心到直线距离 与半径 比较判断位置 · 相切时 列方程求参数或切点坐标 · 求交点：联立圆的方程与直线方程（初中用几何法：垂径定理+勾股定理） 2. 圆与反比例函数 · 圆上点与双曲线交点：坐标同时满足圆的特征（到圆心距离 ）和 · 利用对称性（都关于原点对称）求交点 3. 动点与圆的函数关系 · 设动点坐标或运动时间 · 用 表示线段，根据相切/相交条件列方程 · 建立面积、长度关于 的函数求最值 4. 坐标系中圆的计算 · 圆心坐标+半径确定圆 · 点在圆上：点到圆心距离 （距离公式列方程） · 圆与坐标轴相切：圆心到坐标轴距离=半径（横/纵坐标绝对值 ） 解题步骤： · 确定圆心坐标和半径（可能含参数） · 用坐标表示距离、线段 · 根据位置关系（相切 等）列方程 · 解方程并检验点的位置、取值范围 常用结论： · 圆心 半径 ，与 轴相切 ；与 轴相切 · 圆过原点 · 关于原点对称的图形交点也关于原点对称 易错提醒： 坐标距离要加绝对值；相切有内外/上下两种情况时分类讨论；动点范围要检验。 【变式12-1】（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)D (2) 或 (3) 或 【分析】（1）根据新定义，点P是线段的直角关联点当且仅当P对的张角，利用勾股定理逆定理判断三个点即可； （2）半径是，圆心在原点，点P是圆的直角关联点需包含，等价于：从P向作两条切线，切线夹角，即用三角函数和一元二次方程解答即可； （3）先确定封闭图形的存在范围，根据题意要求封闭图形内既有直角关联点也有非直角关联点，等价于封闭图形与圆心为T半径为4的圆相交，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 根据勾股定理逆定理，等价于， 点，，满足条件，故D是直角关联点； 点，，不满足条件，故E不是直角关联点； 点，，不满足条件，故F不是直角关联点； 线段的“直角关联点”的为D； （2）由题意可知：从P向作两条切线，切线夹角， 当时，， 设， ， ， 解这个方程得：， 时， 横坐标m的取值范围或； （3）的半径， 因此P是的直角关联点等价于，非关联点等价于， 由题意可知：封闭图形中既存在关联点也存在非关联点，即封闭图形内既有的点，也有的点， 因此点到封闭图形的最短距离小于或等于4，且最远点距离大于4， 设， 当时，， ， 解得(舍）， ∴， 点到直线的距离， 解得：， 同法可求两直线间的距离为， 点到直线的距离，， 此时，解得：， 封闭图形最远点为，其到T的距离平方满足， 解得：或， 的取值范围或． 【变式12-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度； （3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD． ①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标； ②求FD长度的取值范围． 【答案】（1）；（2）当M运动到 时，线段MN的长度最大为；（3）①；②． 【分析】（1）先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入到抛物线解析式即可求解； （2）设设，则，则，整理可得，可求得当时，的最大值为，进而求得坐标； （3）①由（1），（2）可求得，从而求得点坐标；②根据点的运动情况，来确定点的运动轨迹，是与点半径相等的圆，圆心为，作射线，与⊙交于，，从而确定的范围． 【详解】解：（1）∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴当时，，所以， 当时，，所以， ∵抛物线经过，两点， ∴，，解得， ∴抛物线解析式为． （2）令， ∴， 解得：，， ∴， ∴直线BC的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴当M运动到 时，线段MN的长度最大为． （3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②连接，， 由①可得，又已知是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上， ∴作射线，与⊙交于，两点， 情况一：当交点为时，为最小值， 即， 已知，，， ∴,, ∴在中， , 即， ∴； 情况二：当交点为时，为最大值， 即， 已知，，， ∴,, ∴在中， , 即， ∴； 综上． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，抛物线与线段最值问题，以及瓜豆原理在二次函数中的应用问题，其中利用点，确定点的运动轨迹是本题的解题关键． 【变式12-3】（2026·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 【变式12-4】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”． (1)若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是　 　（只填选项）． A．正比例函数y＝x B．反比例函数y＝ C．二次函数y＝x2+2 (2)在平面直角坐标系xOy中，若点M（n，0），N（0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r． ①若r＝2，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n的取值范围； ②若n＝4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)A，B (2)①2＜n＜6时，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”；②2≤r≤2，线段MN上存在⊙O的“美好点” 【分析】（1）由已知可知P点纵坐标为，分别判断每个函数中档时，是否存在对应的x值即可； （2）①过C点与MN平行的直线为，与圆O相切时，求出n的最大值；过D点与MN平行的直线为与圆O相切时，d＝4，此时n再由最小值，结合图形可知，则可求2＜n＜6；②结合图象，当MN与D点所在圆相切时，r＝2，当OC＝OM时，，这两种情况时线段MN上存在⊙O的“美好点”，可求． 【详解】（1）解：∵x轴是图形l，△PAB是边长为2的等边三角形， ∴P点纵坐标为， y＝x上存在点或是x轴的“美好点”， 上存在点或是x轴的“美好点” y＝x2+2中y的最小是2， ∴y＝x2+2上不存在x轴的“美好点”， 故选A、B； （2）解：①∵，N（0，n），n＞0， 设直线MN的解析式为y＝kx+b， 则有， 解得：， ∴， 如图1所示， ∵，N （0，n），其中n＞0， ∴∠MNO＝60°， ∵△ABD与△ACB是边长为2的等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴AD∥BC∥y轴， 设过点C与MN平行的直线为， 过点D与MN平行的直线为， 当直线与⊙O相切时，c＝4， ∴n＝4+2＝6， 此时⊙O上恰好存在1个直线MN的“美好点”， 如图2所示， 当直线与⊙O相切时，d＝4， ∴n＝4﹣2＝2， 此时当直线经过原点O，则c＝0， ∴此时⊙O上恰好存在3个直线MN的“美好点”， ∴2＜n＜6时，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”； ②如图3所示， ∵n＝4， ∴，N（0，4）， ∴∠OMN＝30°， 设AB＝2在圆O上，C与D是MN上的点， 则△ABC与△ABD是边长为2的等边三角形， 当MN与D点所在圆相切时，， ∴r＝2， 此时线段MN上存在⊙O的“美好点”， 如图4所示， 当OC＝OM时，， ∴，AH＝1， ∴， 此时线段MN上存在⊙O的“美好点”， ∴，线段MN上存在⊙O的“美好点”． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确理解“美好点”的定义，并熟悉直线与圆的位置关系是解题的关键． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的判定，需结合正多边形定义，圆内接、圆外切多边形的性质逐一判断选项. 【详解】正多边形的定义为：各边相等且各内角也相等的多边形. ∵菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴A错误； ∵圆外切菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴B错误； ∵圆内接矩形各内角相等，但边不一定相等，不是正多边形，∴C错误； ∵圆内接多边形各边相等，∴各边所对的弧相等，可推得各内角相等，同时满足各边相等，各内角相等，符合正多边形定义，∴D正确． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，利用圆内接四边形的对角互补，求出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出，再由切线的定义得出，最后利用四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，， 圆内接四边形的对角互补，， ， ， ，分别与相切于点A，B， ， ． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 6．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 【答案】114 【分析】连接，，作正六边形的外接圆，先根据正六边形的性质及圆周角定理，证明是直径，并求出，然后计算五边形的内角，求得，再根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，，作正六边形的外接圆， 则，，， 是直径，， 又正五边形的内角， ， ， ， 是等边三角形， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． 【点睛】用正多边形的外接圆及圆周角定理求正多边形中的角是常用的方法。 8．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，与相切于点A，连接并延长交于点C，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，再根据三角形的外角的性质和等边对等角即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， , ， , ∵， ． 9．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是的内心，则点到边的距离为__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形内心的性质、勾股定理等知识点，掌握三角形内心到三角形三边的距离相等是解题的关键． 如图：过O作，垂足分别为D、E、F，则，再运用勾股定理求得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图：过O作，垂足分别为D、E、F， ∵是的内心， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 12．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 13．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）已知是上的点为的直径，延长到，连接， (1)求证：为的切线； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1) 证明：连接． ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得，则，再根据直径所对的圆周角是直角得，则，，然后根据切线的判定定理得到为的切线； （2）连接，与交于H，先根据平行线的性质证明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，与交于H， ∵， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 14．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 是半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质． （1）根据，可得，再计算即可； （2）根据直角三角形的性质可得，则，再通过证明，可得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）如图，射线与相交于点为上一点，连接并延长至点，过点作于点平分． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长．（结果保留） 【答案】(1) 证明：连接， 平分 即 是半径 为的切线． (2) 【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，先根据角平分线的定义和等边对等角得到，再根据直角三角形的两个锐角互余得到，进而等量代换得到，根据切线的判定可得结论； （2）先求得，过点作于，证明四边形为矩形得到，在Rt中，利用含30度角的直角三角形的性质求得，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 过点作于 四边形为矩形 在Rt中， ． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，．点表示济阳区的位置，纬度大约是北纬（即：）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线得出直角，利用直角三角形的两个锐角互余得出，然后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及到正八边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正八边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正八边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图, 正八边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形外接圆，等腰直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设的半径为，根据多边形外接圆的性质可得，进而得到，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 由正八边形对称性可知圆心为的中点， ， ， ， 在正八边形中， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为， 解得． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，经过正方形的两个顶点A，B，且与边相切，切点为E．记正方形的周长为a，的周长为b，则a与b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．作于点M，连接，，设正方形的边长为，圆的半径是x，在中，根据勾股定理求得，再根据正方形周长公式和圆的周长公式求解，比较即可求得． 【详解】解：作于点M，连接，，设正方形的边长为，圆的半径是x， ∵是的切线， ∴， ∵正方形， ∴， ∴三点共线， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可． 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 6．（2026·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键． 由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ， ， ，平分， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四点共圆， 设的中点为， 为的直径， 如图，在的延长线上取，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 如图，连接， ，即， 的最小值为； 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，，先推导出是等边三角形，，求出，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点为正六边形的中心，点为中点， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可． 【详解】解：， ， ， 点P是的内心， 分别是和的平分线， ， ， ∵，，， ∴， 点P在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接，在优弧上取一点Q，连接，则， ， ， 连接，交于点，当点P与点重合时，的值最小，分别过点O作于点M，交的延长线于点N，如图所示： ∴，， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键． 9．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 10．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，代入、的横坐标求出的值，得到、的坐标后，用交点式直接求出抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的坐标，再利用、两点求出直线的解析式，设出直线上点的坐标，结合轴得到抛物线上点的坐标，进而表示出的长度即的半径，接着分与轴相切、与轴相切两种情况，依据圆心到坐标轴的距离等于半径列绝对值方程，求解后舍去使为0的解，最终得到的半径． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和，对称轴为直线， ∴，解得． ∴， ∴；． 设抛物线解析式为； （2）解：由抛物线， 令，得，故． 设直线的解析式为， 代入、，得： ， 解得， 即直线的解析式为． 设点， ∵轴， ∴， ∴， 即的半径． ①当与轴相切时， ，即． 当时，，此时，舍去； 当时，，解得或， 对应或． ②当与轴相切时， 即，即． 当时，，舍去； 当时，，解得或， 对应或． 综上，的半径为或． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）在中，是上一点，以为半径作，与相切于点． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，与交于点，且是的中点，若，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ； (2)4 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、含30度直角三角形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可； （2）连接，根据圆周角定理、平角的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为4． 12．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离                            B．与相切     C．与相交                            D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 【答案】(1)B (2) 以点P为圆心，的长为半径作圆交于点B，点B即为所求： (3)2 【分析】（1）根据切线的定义进行判断即可； （2）以点P为圆心，的长为半径作圆交于点B，证明得，即可得为的切线； （3）连接，证明四边形是菱形，进而可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，则，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点为上一点，且于点， ∴是半径，是的切线， ∴与相切， 故选：B； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴为的切线； （3）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的定义及切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识． 13．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图甲所示，是的外接圆，是直径，点D是弦下方上的动点（与B，C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，． (1)请直接写出的大小，即______； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明： 如图乙所示，连接，当时，点P是四边形内部的一点，且满足，．是否存在常数a，b，使等式成立？若成立，请直接写出一个a的值，一个b的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又是的半径， ∴是的切线； (3) 解：当，时，，理由如下 ： 连接，， ∵， ∴， ∵是直径，点和点都在直径上，又， ∴点和点重合， ∵是直径， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，． 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． （1）直接由圆周角定理求解即可； （2）连接，利用圆周角定理求得，证明，即可得到结论成立； （3）证明点和点重合，利用圆的相关性质求得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 14．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线”． (1)下列四边形是“等邻边内分四边形”的是___________（填序号） ①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形． (2)如图1，已知中，，，，点是外接圆上的一点．若四边形是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度． (3)如图2，为定线段上异于，的一个动点，和都是等边三角形，且在同侧，，交于点，，交于点，，交于点，，交于点． （ⅰ）求证：四边形为“等邻边内分四边形”； （ⅱ）求证：直线恒过定点． 【答案】(1)①③④ (2)或4 (3)（ⅰ）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 又， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， 平分， 又， ∴四边形为“等邻边内分四边形”． （ⅱ）以为边向下方构造等边，连接，如图所示： ∴， ∴，，，四点共圆， 又， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴直线必过点． 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质、四点共圆的判定，全等三角形的性质和判定； （1）根据等邻边内分四边形的定义，结合菱形、矩形、正方形、等腰梯形的性质即可判断； （2）分类讨论：当时，此时为四边形的“内分线”，将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得出，，三点共线，此时是等腰直角三角形即可求出；当时，此时为四边形的“内分线”，根据，即可求出的值； （3）以为边向下方构造等边，可得出，，，四点共圆，得出平分，又因为平分，所以直线必过点． 【详解】（1）解：①菱形 如图所示：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴菱形是等邻边内分四边形， 故①符合题意； ②矩形 如图所示：∵四边形是矩形， ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是等邻边内分四边形， 故②不符合题意； ③正方形 如图所示：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴正方形是等邻边内分四边形， 故③符合题意； ④上底与腰相等的等腰梯形 如图所示：∵四边形是等腰梯形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∴上底与腰相等的等腰梯形是等邻边内分四边形， 故④符合题意； 故答案为：①③④． （2）解：若，如图所示： ∴， ∴， ∴为四边形的“内分线”， 是的直径， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转至，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴，，三点共线， ∴， ∴， 若，如图所示： ∴， ∴， ∴为四边形的“内分线”， ∴． 综上：这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度为或4． （3）解：（ⅰ）略 （ⅱ）略 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知抛物线与x轴相交于、两点，与轴相交于点，为直线上一动点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式及点坐标； (2)若点在第一象限，且轴，以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，请直接写出的长度； (3)设点在抛物线上，在直线上，当时，的最大值为3，求的值． 【答案】(1) 抛物线的解析式为 ，点坐标为 (2) 的长度为 (3) 的值为 或 【分析】本题考查了二次函数的性质、直线与圆的位置关系以及二次函数的最值问题： （1）将代入解得，即可得出解析式，令可求出点坐标； （2）先求出直线的解析式，设的坐标，进而得到的坐标，根据圆与坐标轴相切的性质列方程求解； （3）先求出的表达式，再根据二次函数的性质，结合的取值范围求出． 【详解】（1）解：将、代入中，得 解得：， 该抛物线的解析式为， 令， 则， 点坐标为． （2）解：设点坐标为， 轴，且点在抛物线上， 点坐标为， 则， ∵以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，且点在第一象限， ∴分两种情况讨论： ①当圆与轴相切时， 即， ， 解得或． 当时，与重合，舍去， 当时，此时； ②当圆与轴相切时，， 即， ， 解得(舍去)或． 此时． 所以． （3）解：在抛物线上，在直线上， ， ， 令， 则对称轴为， ①当时，在上，随的增大而减小， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， ； ②当时，在上，随的增大而增大， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， 均不符合题意； ③当时，函数在时取得最大值， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， ； 综上所述，或． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $