第二十九章 圆章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学圆章末复习讲义通过思维导图系统梳理18个核心知识点，以“圆的概念-性质-计算-应用”为主线构建知识框架，用表格对比圆心角与圆周角关系、垂径定理推论等重难点，清晰呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于13类题型的分层设计，如“垂径定理应用”通过构造直角三角形模型培养几何直观，“不规则图形面积计算”用割补法发展推理意识。典例配变式题，巩固与强化训练满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学。

第二十九章 圆章末重难点复习 18知识点+13题型+巩固训练+强化训练 1.理解圆的定义与相关概念； 2.掌握三角形的外接圆的相关概念与计算； 3.理解点与圆的位置关系，并利用点与圆的位置关系进行计算； 4.理解垂径定理，并利用垂径定理进行计算与证明； 5.理解圆周角定理，并利用圆周角定理进行计算与证明； 6.理解圆周角、圆心角、弧、弦的相关关系； 7.理解并掌握圆周角定理的推论； 8.扇形弧长与面积的相关计算，圆锥的相关计算，非规则图形的相关计算。 1. 圆的定义 · 描述性定义： 在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆。固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径。 · 集合定义： 圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点是圆心，定长是半径。 2. 圆的表示 以点 为圆心的圆记作 “”，读作 “圆 ”。 3. 圆的相关概念 （1）弦与直径： - 弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦 - 直径： 经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径 半径 （2）弧： - 弧： 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧用符号 “” 表示 - 半圆： 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 - 优弧： 大于半圆的弧（用三个字母表示） - 劣弧： 小于半圆的弧（用两个字母表示） （3）等圆与等弧： - 等圆： 能够重合的两个圆（半径相等的两个圆是等圆） - 等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧（等弧不仅长度相等，弯曲程度也相同） 4. 圆心角与圆周角 · 圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角 · 圆周角： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 5. 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距。 6. 圆的对称性 · 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴（有无数条对称轴） · 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 · 圆具有旋转不变性：绕圆心旋转任意角度都与自身重合 7. 点与圆的位置关系 设圆半径为 ，点到圆心距离为 ： - 点在圆外： - 点在圆上： - 点在圆内： 8. 垂径定理及其推论 （1）垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）推论（知二推三）： 一条直线满足以下五个条件中的任意两个，就可推出其余三个： 1. 过圆心 2. 垂直于弦 3. 平分弦（非直径） 4. 平分弦所对的优弧 5. 平分弦所对的劣弧 （3）重要推论： - 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 - 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （4）计算方法： 构造由 “半径、半弦、弦心距” 组成的直角三角形，用勾股定理：（ 为半径， 为弦心距， 为弦长）。 9. 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 （2）推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 10. 圆周角定理及其推论 （1）圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （3）推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（）； 的圆周角所对的弦是直径。 （4）推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 11. 圆内接四边形 定义： 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（相邻内角的对角）。 12. 确定圆的条件 · 不在同一直线上的三个点确定一个圆 · 经过一点可作无数个圆；经过两点可作无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上） · 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心 13. 三角形的外接圆与外心 · 外心： 三角形三边垂直平分线的交点 · 外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） · 位置： 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部 14. 弧长公式 在半径为 的圆中，圆心角为 的弧长： · 推导： 圆心角对应圆周长 ， 对应 · 已知弧长、圆心角、半径中的两个可求第三个 15. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 16. 扇形面积公式 公式一（已知圆心角）： 公式二（已知弧长）：（ 为弧长， 为半径） · 两个公式可通过 互相推导 · 公式二类似于三角形面积公式（） 17. 圆锥的相关计算 （1）圆锥的结构： - 圆锥由底面（圆）和侧面（曲面）组成 - 母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段（所有母线长相等，记为 ） - 高： 圆锥顶点到底面圆心的距离（记为 ） - 关系： （ 为底面半径，勾股定理） （2）圆锥侧面展开图： - 圆锥侧面展开图是扇形 - 扇形的半径 圆锥母线长 - 扇形的弧长 圆锥底面周长 （3）圆锥侧面积：（ 为底面半径， 为母线长） - 推导： 展开扇形弧长 ， 圆锥全面积： 展开图圆心角： 由扇形弧长 底面周长：，得 18. 不规则图形面积计算方法 · 割补法： 将不规则图形分割或补全为规则图形 · 等积变形法： 利用同底等高面积相等转化 · 旋转/平移法： 通过图形运动拼成规则图形 · 和差法： 阴影面积 规则图形面积的和或差 题型01 圆的基本概念辨析 【典例】（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 准确理解弦、弧、直径、半圆、等弧、圆心角、圆周角等概念。 辨析要点： - 直径是弦，但弦不一定是直径；直径是最长的弦 - 半圆是弧，但弧不一定是半圆 - 等弧必须在同圆或等圆中，且能互相重合（长度相等的弧不一定是等弧） - 圆周角必须满足：顶点在圆上，两边都与圆相交 - 圆心角顶点在圆心 常见考法： 判断命题真假、识别图形中的弦和弧、区分优弧劣弧。 易错提醒： “长度相等的弧是等弧”错误（必须能重合）；“弦是直径”错误；半圆既不是优弧也不是劣弧。 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【变式1-4】（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 题型02 点与圆的位置关系及其应用 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 解题梳理 解题核心： 比较点到圆心距离 与半径 的大小。 判定关系： - 点在圆外： - 点在圆上： - 点在圆内： 解题步骤： - 确定圆心和半径 - 计算点到圆心的距离 （常用勾股定理） - 比较 与 ，判断位置关系 常见考法： - 判断点在圆内/圆上/圆外 - 已知位置关系求半径或距离的范围 - 多点与圆的位置关系：到圆心最近/最远距离问题 - 点在圆上运动的范围问题 易错提醒： 距离计算要用点到圆心的直线距离；求范围时注意等号能否取到。 【变式2-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【变式2-4】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是______． 题型03 三角形的外接圆 【典例】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 外心性质： - 外心是三边垂直平分线的交点 - 外心到三个顶点距离相等（等于外接圆半径） - 锐角三角形外心在内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在外部 常用结论： - 直角三角形外接圆半径 半径 - 等边三角形外接圆半径（ 为边长） 常见考法： - 找外心：作两边垂直平分线，交点即外心 - 求外接圆半径：直角三角形用斜边一半，一般三角形用勾股定理 - 判断外心位置：看三角形类型 解题技巧： 求半径时常构造”半径、半弦、弦心距”直角三角形，用勾股定理。 易错提醒： 外心位置与三角形类型对应错；直角三角形外接圆半径是斜边一半不是直角边。 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【变式3-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式3-4】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）方程的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为________． 题型04 圆的相关作图问题 【典例】（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 解题梳理 解题核心： 掌握确定圆的条件和基本尺规作图。 常见作图： 1. 作经过不共线三点的圆 - 连接三点成三角形 - 作两边的垂直平分线，交点为圆心 - 以 为圆心、 到任一顶点距离为半径画圆 2. 作三角形的外接圆 - 作任意两边的垂直平分线确定外心 - 以外心到顶点距离为半径画圆 3. 找圆心（已知一段弧或残缺圆） - 在弧上任取三点，作两条弦的垂直平分线，交点即圆心 4. 作圆内接正多边形 - 等分圆周（如六等分：半径长依次截弧） - 连接各分点 作图依据： 不在同一直线上三点确定一个圆；垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 易错提醒： 垂直平分线作图要规范（两弧半径大于线段一半）；三点共线时不能确定圆。 【变式4-1】（2026·甘肃武威·一模）如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4-2】（2025·陕西西安·一模）如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图作出的外接圆；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若，，求的半径． 【变式4-4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 题型05 垂径定理及其应用 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 解题梳理 解题核心： 构造”半径、半弦、弦心距”直角三角形，勾股定理计算。 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 知二推三： 过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧，知任意两个可推其余三个。 核心公式： - ：半径，：弦心距，：弦长 - 知其中两个量可求第三个 解题步骤： - 过圆心作弦的垂线（弦心距），连接圆心与弦的端点（半径） - 垂径定理得弦被平分（半弦 ） - 在直角三角形中用勾股定理列方程 常见考法： - 已知半径和弦长求弦心距 - 已知弦心距和弦长求半径 - 已知半径和弦心距求弦长 - 两平行弦间距离问题（注意两弦在圆心同侧还是异侧，需分类讨论） - 弦所对弧长、弓形高问题 易错提醒： 两条平行弦可能在圆心同侧或异侧，距离有两种情况；辅助线是”作弦心距+连半径”。 【变式5-1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 【变式5-4】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 题型06 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例】（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量”知一推二”。 关系定理： 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量也分别相等。 解题步骤： - 找准对应的圆心角、弧、弦 - 由一组相等推出其他组相等 - 结合半径相等、三角形性质计算 常见考法： - 已知圆心角求弧的度数或弦长 - 已知弧相等求圆心角或弦 - 利用弦相等求角度或线段 - 弧的度数等于它所对圆心角的度数 关键技巧： 连接半径构造等腰三角形（两条半径相等），结合等边三角形、勾股定理计算弦长。 易错提醒： 关系成立的前提是”同圆或等圆”；弧的度数与弧长不同（度数相等弧长不一定相等）。 【变式6-1】（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·江苏泰州·一模）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 【变式6-4】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 解题梳理 解题核心： 三组量互相转化，证明相等关系。 证明思路： - 证弦相等 证所对圆心角相等或所对弧相等 - 证弧相等 证所对圆心角相等或所对弦相等 - 证圆心角相等 证所对弧相等或弦相等 常用辅助线： - 连接半径：构造等腰三角形和圆心角 - 作弦心距：利用垂径定理 证明步骤： - 第一步：连接相关半径，得到等腰三角形 - 第二步：利用已知条件（平行、中点、角平分线等）推导圆心角相等 - 第三步：由圆心角相等推出弧相等或弦相等 - 第四步：得出结论 常见模型： - 已知弦平行，证弧相等（利用内错角相等 圆心角相等 弧相等） - 已知角平分线，证弦相等或弧相等 易错提醒： 对应关系要找准（一条弦对应两条弧，注意是优弧还是劣弧）；前提”同圆或等圆”不能少。 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【变式7-2】（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结． (1)求证：； (2)连结，如果，求证：． 【变式7-3】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【变式7-4】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 题型08 圆周角定理及其推论 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 圆周角等于同弧所对圆心角的一半；同弧所对圆周角相等。 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 重要推论： - 同弧或等弧所对的圆周角相等 - 直径所对的圆周角是直角（） - 圆周角所对的弦是直径 常见考法： - 已知圆心角求圆周角（除以2），或已知圆周角求圆心角（乘2） - 同弧所对圆周角转化（找共同弧） - 见直径构造直角三角形（连直径端点与圆上点） - 见 圆周角想到所对弦是直径 解题技巧： - 求圆周角时，找它所对的弧，再找该弧所对的圆心角或其他圆周角 - 直径+圆上点 直角，是圆中最重要的辅助线思路 - 圆内角、圆外角可通过圆周角转化 易错提醒： 必须是”同弧”所对的角才有倍半或相等关系；一个圆周角只对一条弧，但一条弧对无数个圆周角。 【变式8-1】（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【变式8-4】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 题型09 圆的内接四边形 【典例】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 对角互补，外角等于内对角。 性质定理： - 圆内接四边形对角互补（和为 ） - 任意外角等于它的内对角（相邻内角的对角） 常见考法： - 已知三个内角求第四个角（对角互补） - 利用外角等于内对角转化角 - 结合圆周角定理求角度 - 证明四点共圆（对角互补的四边形内接于圆） 解题技巧： - 圆内接四边形中，求角优先用对角互补 - 外角与内对角相等是转移角的重要工具 - 结合同弧所对圆周角相等综合运用 易错提醒： 是”对角”互补，不是邻角；内对角指的是相邻内角的对角，不要找错。 【变式9-1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【变式9-4】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则_____． 题型10 扇形弧长与面积的相关计算 【典例】（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 牢记弧长和扇形面积两个公式，知二求三。 核心公式： - 弧长： - 扇形面积： 常见考法： - 已知半径和圆心角求弧长、扇形面积 - 已知弧长和半径求圆心角 - 已知弧长和圆心角求半径 - 运动路径问题：点旋转的轨迹是圆弧，用弧长公式 - 扇形周长：（弧长+两条半径，不要漏半径） 解题步骤： 确定半径 和圆心角 选公式代入 计算结果（注意结果保留 还是取近似值）。 易错提醒： 扇形周长 弧长（要加两条半径）；公式中 是角度数不带单位；两个面积公式按已知条件选择。 【变式10-1】（25-26九年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 【变式10-4】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 题型11 圆锥的相关计算 【典例】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 侧面展开是扇形，抓住两个等量关系。 圆锥基本量： - ：底面半径，：高，：母线长 - 关系：（勾股定理） 展开图等量关系（关键）： - 扇形半径 = 母线长 - 扇形弧长 = 底面周长 核心公式： - 侧面积： - 全面积： - 展开图圆心角： 常见考法： - 已知 和 求 （勾股定理），再求侧面积 - 已知展开图扇形求圆锥底面半径（弧长=底面周长） - 求蚂蚁沿圆锥侧面爬行最短路径：展开成扇形，两点之间线段最短 - 求展开图圆心角 解题步骤： 分清 、、 用 求未知量 侧面积用 展开问题抓”弧长=底面周长”。 易错提醒： 母线 不是高 ；展开扇形半径是母线不是底面半径；最短路径要在展开图中求。 【变式11-1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【变式11-4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 题型12 非规则图形的相关计算 【典例】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 割补转化为规则图形面积的和差。 常用方法： 1. 和差法 - 阴影面积 = 几个规则图形面积之和或差 - 常见：扇形-三角形、圆-正方形、两个扇形和差 2. 割补法（等积变形） - 将阴影部分切割后移动拼成规则图形 - 利用同底等高面积相等、对称性进行转化 3. 整体求和法 - 多个扇形圆心角之和利用多边形内角和求 - 三角形内三个扇形圆心角和 （拼成半圆） - 四边形内四个扇形圆心角和 （拼成整圆） 常见组合： - 弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积（劣弧弓形） - 叶片形：两个扇形面积和 - 四边形面积 - 环形面积 = 大圆面积 - 小圆面积 解题步骤： - 观察阴影由哪些规则图形组成（或可拼成什么） - 分别计算各规则图形面积（扇形、三角形、圆、四边形） - 用和差关系求阴影面积 解题技巧： - 优先观察能否通过旋转、平移拼成整圆或半圆 - 找不出直接关系时，用”大面积减小面积” - 不规则图形边界是弧时，对应扇形的圆心和半径要找准 易错提醒： 弓形面积优弧劣弧公式不同；多个扇形拼合时圆心角之和计算错；割补后面积关系列错。 【变式12-1】（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【变式12-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在扇形中，，半径，点为上一点，将扇形沿所在的直线折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为_________． 题型13 点与圆上一点的最值问题 【典例】（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 解题梳理 解题核心： 最值点在点与圆心的连线上，最大距离 ，最小距离 。 统一结论（ 为点到圆心距离， 为半径）： - 最大距离 （远交点：连线延长与圆的交点） - 最小距离 （近交点：连线与圆的交点） 分情况： - 点在圆外（）：最大 ，最小 - 点在圆内（）：最大 ，最小 - 点在圆上（）：最大 ，最小 解题步骤： 定圆心半径 算 判断位置 套 。 常见变式： - 圆上点到定直线距离最值：圆心到直线距离 ，最大 ，最小 - 两圆上动点距离：最大 ，最小 - 过圆内定点的弦：最长是直径 ，最短是与连线垂直的弦 - 已知最大、最小距离反求 和 （点在圆外：，） 依据： 连接圆心与圆上点，在三角形中用三边关系证明。 易错提醒： 点在圆内时最小距离是 （取非负）；最值点必在点与圆心连线上，不要找错位置。 【变式13-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【变式13-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，的半径为2，点在上，连接、，则的最小值为______． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·江苏常州·模拟预测）下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 5．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 8．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 10．（2026·山东滨州·一模）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 11．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 13．（25-26九年级上·广东清远·期中）大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 14．（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 15．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【强化训练】 1．（2026·宁夏固原·二模）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰直角内接于半圆是上一点，沿弦翻折后与弦相交于点．若是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 9．（2026·广东清远·模拟预测）在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 10．（2026·河南平顶山·二模）如图，在扇形中，，，分别为，的中点，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的外接圆，，，，． (1)求圆心到的距离； (2)求的长． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，为的外接圆，，点是上的动点，且点分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数． 13．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 14．（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 15．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知正方形的边长为4，点是正方形内一点，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，连接，求的长以及的大小； (2)如图②，当点，，在一条直线上，且点在正方形外部时，求线段的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段长度的最大值和最小值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆章末重难点复习 18知识点+13题型+巩固训练+强化训练 1.理解圆的定义与相关概念； 2.掌握三角形的外接圆的相关概念与计算； 3.理解点与圆的位置关系，并利用点与圆的位置关系进行计算； 4.理解垂径定理，并利用垂径定理进行计算与证明； 5.理解圆周角定理，并利用圆周角定理进行计算与证明； 6.理解圆周角、圆心角、弧、弦的相关关系； 7.理解并掌握圆周角定理的推论； 8.扇形弧长与面积的相关计算，圆锥的相关计算，非规则图形的相关计算。 1. 圆的定义 · 描述性定义： 在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆。固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径。 · 集合定义： 圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点是圆心，定长是半径。 2. 圆的表示 以点 为圆心的圆记作 “”，读作 “圆 ”。 3. 圆的相关概念 （1）弦与直径： - 弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦 - 直径： 经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径 半径 （2）弧： - 弧： 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧用符号 “” 表示 - 半圆： 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 - 优弧： 大于半圆的弧（用三个字母表示） - 劣弧： 小于半圆的弧（用两个字母表示） （3）等圆与等弧： - 等圆： 能够重合的两个圆（半径相等的两个圆是等圆） - 等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧（等弧不仅长度相等，弯曲程度也相同） 4. 圆心角与圆周角 · 圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角 · 圆周角： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 5. 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距。 6. 圆的对称性 · 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴（有无数条对称轴） · 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 · 圆具有旋转不变性：绕圆心旋转任意角度都与自身重合 7. 点与圆的位置关系 设圆半径为 ，点到圆心距离为 ： - 点在圆外： - 点在圆上： - 点在圆内： 8. 垂径定理及其推论 （1）垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）推论（知二推三）： 一条直线满足以下五个条件中的任意两个，就可推出其余三个： 1. 过圆心 2. 垂直于弦 3. 平分弦（非直径） 4. 平分弦所对的优弧 5. 平分弦所对的劣弧 （3）重要推论： - 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 - 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （4）计算方法： 构造由 “半径、半弦、弦心距” 组成的直角三角形，用勾股定理：（ 为半径， 为弦心距， 为弦长）。 9. 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 （2）推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 10. 圆周角定理及其推论 （1）圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （3）推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（）； 的圆周角所对的弦是直径。 （4）推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 11. 圆内接四边形 定义： 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（相邻内角的对角）。 12. 确定圆的条件 · 不在同一直线上的三个点确定一个圆 · 经过一点可作无数个圆；经过两点可作无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上） · 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心 13. 三角形的外接圆与外心 · 外心： 三角形三边垂直平分线的交点 · 外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） · 位置： 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部 14. 弧长公式 在半径为 的圆中，圆心角为 的弧长： · 推导： 圆心角对应圆周长 ， 对应 · 已知弧长、圆心角、半径中的两个可求第三个 15. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 16. 扇形面积公式 公式一（已知圆心角）： 公式二（已知弧长）：（ 为弧长， 为半径） · 两个公式可通过 互相推导 · 公式二类似于三角形面积公式（） 17. 圆锥的相关计算 （1）圆锥的结构： - 圆锥由底面（圆）和侧面（曲面）组成 - 母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段（所有母线长相等，记为 ） - 高： 圆锥顶点到底面圆心的距离（记为 ） - 关系： （ 为底面半径，勾股定理） （2）圆锥侧面展开图： - 圆锥侧面展开图是扇形 - 扇形的半径 圆锥母线长 - 扇形的弧长 圆锥底面周长 （3）圆锥侧面积：（ 为底面半径， 为母线长） - 推导： 展开扇形弧长 ， 圆锥全面积： 展开图圆心角： 由扇形弧长 底面周长：，得 18. 不规则图形面积计算方法 · 割补法： 将不规则图形分割或补全为规则图形 · 等积变形法： 利用同底等高面积相等转化 · 旋转/平移法： 通过图形运动拼成规则图形 · 和差法： 阴影面积 规则图形面积的和或差 题型01 圆的基本概念辨析 【典例】（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 解题梳理 解题核心： 准确理解弦、弧、直径、半圆、等弧、圆心角、圆周角等概念。 辨析要点： - 直径是弦，但弦不一定是直径；直径是最长的弦 - 半圆是弧，但弧不一定是半圆 - 等弧必须在同圆或等圆中，且能互相重合（长度相等的弧不一定是等弧） - 圆周角必须满足：顶点在圆上，两边都与圆相交 - 圆心角顶点在圆心 常见考法： 判断命题真假、识别图形中的弦和弧、区分优弧劣弧。 易错提醒： “长度相等的弧是等弧”错误（必须能重合）；“弦是直径”错误；半圆既不是优弧也不是劣弧。 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括对称性、弧和弦的定义． 根据圆的定义和性质判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意； D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式1-4】（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念和性质，以及重心的性质．根据等弧的定义、三角形的内心、重心以及圆周角定理逐一判断即可． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故原说法错误； B．三角形的内心是角平分线的交点，一定在三角形内部，正确； C．三角形的重心是中线交点，到三边的距离不一定相等，故原说法错误； D． 同弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误． 故选B． 题型02 点与圆的位置关系及其应用 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 解题梳理 解题核心： 比较点到圆心距离 与半径 的大小。 判定关系： - 点在圆外： - 点在圆上： - 点在圆内： 解题步骤： - 确定圆心和半径 - 计算点到圆心的距离 （常用勾股定理） - 比较 与 ，判断位置关系 常见考法： - 判断点在圆内/圆上/圆外 - 已知位置关系求半径或距离的范围 - 多点与圆的位置关系：到圆心最近/最远距离问题 - 点在圆上运动的范围问题 易错提醒： 距离计算要用点到圆心的直线距离；求范围时注意等号能否取到。 【变式2-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． 【变式2-4】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点P在外，则点O到点P的距离d大于半径，再结合的直径是10，即可作答． 【详解】解：∵点P在外， ∴点O到点P的距离d大于半径， ∵的直径是10， ∴， 故答案为：． 题型03 三角形的外接圆 【典例】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 解题梳理 解题核心： 外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 外心性质： - 外心是三边垂直平分线的交点 - 外心到三个顶点距离相等（等于外接圆半径） - 锐角三角形外心在内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在外部 常用结论： - 直角三角形外接圆半径 半径 - 等边三角形外接圆半径（ 为边长） 常见考法： - 找外心：作两边垂直平分线，交点即外心 - 求外接圆半径：直角三角形用斜边一半，一般三角形用勾股定理 - 判断外心位置：看三角形类型 解题技巧： 求半径时常构造”半径、半弦、弦心距”直角三角形，用勾股定理。 易错提醒： 外心位置与三角形类型对应错；直角三角形外接圆半径是斜边一半不是直角边。 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 【变式3-3】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式3-4】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）方程的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形的两直角边的边长， ∴斜边长为， ∴这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：． 题型04 圆的相关作图问题 【典例】（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【答案】(1) 如图所示即为所求. (2) 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到圆心，然后画圆即可； （2）连接，根据求解即可. 【详解】（1）解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆， 如图所示即为所求. （2）解：设与的另一个交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 解题梳理 解题核心： 掌握确定圆的条件和基本尺规作图。 常见作图： 1. 作经过不共线三点的圆 - 连接三点成三角形 - 作两边的垂直平分线，交点为圆心 - 以 为圆心、 到任一顶点距离为半径画圆 2. 作三角形的外接圆 - 作任意两边的垂直平分线确定外心 - 以外心到顶点距离为半径画圆 3. 找圆心（已知一段弧或残缺圆） - 在弧上任取三点，作两条弦的垂直平分线，交点即圆心 4. 作圆内接正多边形 - 等分圆周（如六等分：半径长依次截弧） - 连接各分点 作图依据： 不在同一直线上三点确定一个圆；垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 易错提醒： 垂直平分线作图要规范（两弧半径大于线段一半）；三点共线时不能确定圆。 【变式4-1】（2026·甘肃武威·一模）如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据步骤作图即可； 【详解】按照题干步骤完成作图，如下： ①连接，作线段的垂直平分线交于点，保留垂直平分线的作图痕迹； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点，保留画圆的痕迹； ③连接，交的垂直平分线于点，作图完成，所有痕迹保留； 如图： 【变式4-2】（2025·陕西西安·一模）如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图—作圆，解题的关键是确定圆心的位置． 根据经过A，B两点，且圆心在上，得到圆心O为线段的中点，作线段的中垂线，垂足为O，以为圆心，的长为半径，画圆即可． 【详解】略 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图作出的外接圆；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作； (2) 【分析】本题考查了尺规作图作圆，垂径定理，勾股定理． （1）分别作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，交于D，连接，根据垂径定理得到，，根据勾股定理得到，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于D，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：． 【变式4-4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 【答案】 解：当时，则为的弦，如图所示，为所求： 故这样的圆能作2个； 当时，则为的直径，如图所示，为所求： 故这样的圆能作1个； 当时，点，不能同时在上； 则不能作出这样的； 综上，这样的圆能作1个或2个． 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握五种基本作图方法，分，当，三种情况，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交的垂直平分线于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】略 题型05 垂径定理及其应用 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 解题梳理 解题核心： 构造”半径、半弦、弦心距”直角三角形，勾股定理计算。 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 知二推三： 过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧，知任意两个可推其余三个。 核心公式： - ：半径，：弦心距，：弦长 - 知其中两个量可求第三个 解题步骤： - 过圆心作弦的垂线（弦心距），连接圆心与弦的端点（半径） - 垂径定理得弦被平分（半弦 ） - 在直角三角形中用勾股定理列方程 常见考法： - 已知半径和弦长求弦心距 - 已知弦心距和弦长求半径 - 已知半径和弦心距求弦长 - 两平行弦间距离问题（注意两弦在圆心同侧还是异侧，需分类讨论） - 弦所对弧长、弓形高问题 易错提醒： 两条平行弦可能在圆心同侧或异侧，距离有两种情况；辅助线是”作弦心距+连半径”。 【变式5-1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 【变式5-2】（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 【答案】 【分析】如详解图：连结、，过点作于、交于、交于，由已知条件可得四边形是矩形，再根据垂径定理求出的值，进而求得的值，最后求得的值，就是圆盘离桌面最近的距离． 【详解】 解：连结、，过点作于、交于、交于， 、 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 【变式5-4】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       题型06 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例】（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 解题梳理 解题核心： 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量”知一推二”。 关系定理： 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量也分别相等。 解题步骤： - 找准对应的圆心角、弧、弦 - 由一组相等推出其他组相等 - 结合半径相等、三角形性质计算 常见考法： - 已知圆心角求弧的度数或弦长 - 已知弧相等求圆心角或弦 - 利用弦相等求角度或线段 - 弧的度数等于它所对圆心角的度数 关键技巧： 连接半径构造等腰三角形（两条半径相等），结合等边三角形、勾股定理计算弦长。 易错提醒： 关系成立的前提是”同圆或等圆”；弧的度数与弧长不同（度数相等弧长不一定相等）。 【变式6-1】（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 【变式6-2】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式6-3】（2026·江苏泰州·一模）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 【答案】12 【分析】延长交于点，连接，可得，那么，故，然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， 则是直径，， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-4】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 解题梳理 解题核心： 三组量互相转化，证明相等关系。 证明思路： - 证弦相等 证所对圆心角相等或所对弧相等 - 证弧相等 证所对圆心角相等或所对弦相等 - 证圆心角相等 证所对弧相等或弦相等 常用辅助线： - 连接半径：构造等腰三角形和圆心角 - 作弦心距：利用垂径定理 证明步骤： - 第一步：连接相关半径，得到等腰三角形 - 第二步：利用已知条件（平行、中点、角平分线等）推导圆心角相等 - 第三步：由圆心角相等推出弧相等或弦相等 - 第四步：得出结论 常见模型： - 已知弦平行，证弧相等（利用内错角相等 圆心角相等 弧相等） - 已知角平分线，证弦相等或弧相等 易错提醒： 对应关系要找准（一条弦对应两条弧，注意是优弧还是劣弧）；前提”同圆或等圆”不能少。 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴ ∴． 【分析】根据已知求得，可得，再通过证明即可得． 【详解】略 【变式7-2】（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结． (1)求证：； (2)连结，如果，求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连结、， ∵以为圆心、为半径画弧交半圆于点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，连结， 设，由（1）可知， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵以为圆心、为半径画弧，交线段于点， ∴， ∴， ∴四边形内接于， ∴， 即， 解得，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）如图，连结、，根据弧、弦、圆心角的关系可推出，再利用圆周角定理，通过证明同位角相等，得到结论； （2）设，由（1）可知，根据等边对等角表示出、，进而得到，然后根据两直线平行同位角相等，表示出，接着由题意知，可得到，最后根据圆内接四边形对角互补，即可求得值，从而求得，根据弧所对圆心角的关系即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-3】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-4】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． (2)5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 题型08 圆周角定理及其推论 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 解题梳理 解题核心： 圆周角等于同弧所对圆心角的一半；同弧所对圆周角相等。 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 重要推论： - 同弧或等弧所对的圆周角相等 - 直径所对的圆周角是直角（） - 圆周角所对的弦是直径 常见考法： - 已知圆心角求圆周角（除以2），或已知圆周角求圆心角（乘2） - 同弧所对圆周角转化（找共同弧） - 见直径构造直角三角形（连直径端点与圆上点） - 见 圆周角想到所对弦是直径 解题技巧： - 求圆周角时，找它所对的弧，再找该弧所对的圆心角或其他圆周角 - 直径+圆上点 直角，是圆中最重要的辅助线思路 - 圆内角、圆外角可通过圆周角转化 易错提醒： 必须是”同弧”所对的角才有倍半或相等关系；一个圆周角只对一条弧，但一条弧对无数个圆周角。 【变式8-1】（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 【变式8-2】（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式8-4】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 题型09 圆的内接四边形 【典例】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 解题梳理 解题核心： 对角互补，外角等于内对角。 性质定理： - 圆内接四边形对角互补（和为 ） - 任意外角等于它的内对角（相邻内角的对角） 常见考法： - 已知三个内角求第四个角（对角互补） - 利用外角等于内对角转化角 - 结合圆周角定理求角度 - 证明四点共圆（对角互补的四边形内接于圆） 解题技巧： - 圆内接四边形中，求角优先用对角互补 - 外角与内对角相等是转移角的重要工具 - 结合同弧所对圆周角相等综合运用 易错提醒： 是”对角”互补，不是邻角；内对角指的是相邻内角的对角，不要找错。 【变式9-1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 【变式9-2】（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 【变式9-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 【变式9-4】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆周角定理和圆内接四边形的性质；先求出，再分两种情况：当点E在上时，当点在上时，计算即可． 【详解】解：∵的度数为， ∴，         ∵四边形是的内接四边形， ∴， 当点E在上时， ∴， 当点在上时， ， 综上所述或， 故答案为：或． 题型10 扇形弧长与面积的相关计算 【典例】（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 解题梳理 解题核心： 牢记弧长和扇形面积两个公式，知二求三。 核心公式： - 弧长： - 扇形面积： 常见考法： - 已知半径和圆心角求弧长、扇形面积 - 已知弧长和半径求圆心角 - 已知弧长和圆心角求半径 - 运动路径问题：点旋转的轨迹是圆弧，用弧长公式 - 扇形周长：（弧长+两条半径，不要漏半径） 解题步骤： 确定半径 和圆心角 选公式代入 计算结果（注意结果保留 还是取近似值）。 易错提醒： 扇形周长 弧长（要加两条半径）；公式中 是角度数不带单位；两个面积公式按已知条件选择。 【变式10-1】（25-26九年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 【变式10-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积计算，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约． 故选：A． 【变式10-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长， 根据弧长公式得，解得． 根据扇形面积公式． 【变式10-4】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 题型11 圆锥的相关计算 【典例】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 解题梳理 解题核心： 侧面展开是扇形，抓住两个等量关系。 圆锥基本量： - ：底面半径，：高，：母线长 - 关系：（勾股定理） 展开图等量关系（关键）： - 扇形半径 = 母线长 - 扇形弧长 = 底面周长 核心公式： - 侧面积： - 全面积： - 展开图圆心角： 常见考法： - 已知 和 求 （勾股定理），再求侧面积 - 已知展开图扇形求圆锥底面半径（弧长=底面周长） - 求蚂蚁沿圆锥侧面爬行最短路径：展开成扇形，两点之间线段最短 - 求展开图圆心角 解题步骤： 分清 、、 用 求未知量 侧面积用 展开问题抓”弧长=底面周长”。 易错提醒： 母线 不是高 ；展开扇形半径是母线不是底面半径；最短路径要在展开图中求。 【变式11-1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长这一关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为， 故选B． 【变式11-2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式11-3】（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 【变式11-4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 题型12 非规则图形的相关计算 【典例】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 解题梳理 解题核心： 割补转化为规则图形面积的和差。 常用方法： 1. 和差法 - 阴影面积 = 几个规则图形面积之和或差 - 常见：扇形-三角形、圆-正方形、两个扇形和差 2. 割补法（等积变形） - 将阴影部分切割后移动拼成规则图形 - 利用同底等高面积相等、对称性进行转化 3. 整体求和法 - 多个扇形圆心角之和利用多边形内角和求 - 三角形内三个扇形圆心角和 （拼成半圆） - 四边形内四个扇形圆心角和 （拼成整圆） 常见组合： - 弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积（劣弧弓形） - 叶片形：两个扇形面积和 - 四边形面积 - 环形面积 = 大圆面积 - 小圆面积 解题步骤： - 观察阴影由哪些规则图形组成（或可拼成什么） - 分别计算各规则图形面积（扇形、三角形、圆、四边形） - 用和差关系求阴影面积 解题技巧： - 优先观察能否通过旋转、平移拼成整圆或半圆 - 找不出直接关系时，用”大面积减小面积” - 不规则图形边界是弧时，对应扇形的圆心和半径要找准 易错提醒： 弓形面积优弧劣弧公式不同；多个扇形拼合时圆心角之和计算错；割补后面积关系列错。 【变式12-1】（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定与性质和扇形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；由题意可得：， ，，求得，再证得是等边三角形，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 【变式12-2】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，勾股定理及解直角三角形等知识，连接，解直角三角形求出、，的度数，再根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：A． 【变式12-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 【变式12-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在扇形中，，半径，点为上一点，将扇形沿所在的直线折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算、折叠的性质、角的正弦函数值以及等腰直角三角形的判定，关键是通过折叠性质确定角度关系，结合扇形和三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 由折叠性质可知，垂直平分，故，； 在中，，，，得，， ∵， ∴，扇形的面积为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴阴影部分面积为； 故答案为：． 题型13 点与圆上一点的最值问题 【典例】（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 解题梳理 解题核心： 最值点在点与圆心的连线上，最大距离 ，最小距离 。 统一结论（ 为点到圆心距离， 为半径）： - 最大距离 （远交点：连线延长与圆的交点） - 最小距离 （近交点：连线与圆的交点） 分情况： - 点在圆外（）：最大 ，最小 - 点在圆内（）：最大 ，最小 - 点在圆上（）：最大 ，最小 解题步骤： 定圆心半径 算 判断位置 套 。 常见变式： - 圆上点到定直线距离最值：圆心到直线距离 ，最大 ，最小 - 两圆上动点距离：最大 ，最小 - 过圆内定点的弦：最长是直径 ，最短是与连线垂直的弦 - 已知最大、最小距离反求 和 （点在圆外：，） 依据： 连接圆心与圆上点，在三角形中用三边关系证明。 易错提醒： 点在圆内时最小距离是 （取非负）；最值点必在点与圆心连线上，不要找错位置。 【变式13-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 【变式13-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据得到点P的轨迹，从而得到最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵交于点P，且，则点P的轨迹为以为直径的半圆上，连接，交于点，此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∴CP的最小值， 故选：B． 【变式13-3】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 【变式13-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，的半径为2，点在上，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质，勾股定理的应用，点到圆上距离的最小值，掌握相关定理，得到是解题的关键．取的中点为，过作交于，连接，由勾股定理得到，再结合点到圆上距离的最小值问题即可求解． 【详解】解：取的中点为，过作交于，连接,， ，，， ，， ， 当在连线上时，取得最小值， 的最小值为． 故答案为：． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 2．（2026·江苏常州·模拟预测）下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 5．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 10．（2026·山东滨州·一模）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 【答案】3 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 11．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 13．（25-26九年级上·广东清远·期中）大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 【答案】(1)如图，点O即为所求 (2) 【分析】（1）在圆弧上任取一点，作和的垂直平分线，交点即可为圆心O； （2）证明为等边三角形，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接及， ， ， 为等边三角形， ， ． 14．（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 【强化训练】 1．（2026·宁夏固原·二模）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 2．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，设的半径为，则，通过勾股定理求得，然后证明是等边三角形，则，最后由求解即可． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，则，，所以，由，根据垂径定理得，则，可证明，则，所以，由，且度，度，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则，， ∴， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴， ∵等腰三角形的底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且度，度， ∴， 故选：D． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰直角内接于半圆是上一点，沿弦翻折后与弦相交于点．若是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，圆中的折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，连接，作，根据等弧对等弦，圆周角定理，推出，进而得到为的三等分点，进而得到，推出，即，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点为的三等分点， ∵等腰直角内接于半圆， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式． 利用圆周角定理得到，，再利用弧长公式（n为圆心角的度数）求解即可． 【详解】解：连接，，作于点，连接，    ∵，， ∴，， ∵， ∴点是的中点， ∴， ∴点在半径上， ∵，， ∴，， ∴的长为， 故选：B． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交 于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∵， ∴ 解得： ∴ 9．（2026·广东清远·模拟预测）在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 【答案】2 【分析】根据直角三角形斜边中线定理得 ，要m最小只需 最小，点 既在以为圆心、 为直径的圆上，又在 上， 到 距离为，求得 最小值为 ，故最小值为． 【详解】解： ，取 的中点为点D， ∴当 取得最小值时， 的长度取得最小值， 四边形 为矩形，，点 是 的中点， 圆心 到直线 的距离为 又∵由题意可知，点P在以H为圆心、半径长为1的 上， 线段 ，其中 为定值；当H、P、D三点共线，且时， 长度最小，此时取得最小值。 ∴过点H作AB的垂线，交 于点P，交于点D，此时最短，最短． 此时， ， ． 10．（2026·河南平顶山·二模）如图，在扇形中，，，分别为，的中点，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】证明，过点作于点，于点，连接，则，求出，求出，根据即可得到答案． 【详解】解：如图1，，分别为，的中点， ， ，， ， 又，， ， 过点作于点，于点，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的外接圆，，，，． (1)求圆心到的距离； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． （1）过点作于点，根据圆周角定理可得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）连接，过点作于点，则四边形是矩形，得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，为的外接圆，，点是上的动点，且点分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据圆的性质，勾股定理解答即可； （2）连接，判定，证明是等边三角形，后利用角的差计算即可得到结论． 本题考查了圆的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是直径， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 13．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 14．（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②  2 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． 【详解】（1）解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； （2）①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 15．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知正方形的边长为4，点是正方形内一点，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，连接，求的长以及的大小； (2)如图②，当点，，在一条直线上，且点在正方形外部时，求线段的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2) (3)长度的最大值为，最小值为 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，圆外一点到圆上的距离的最值问题； （1）根据旋转的性质可得，，进而求得的长，的大小； （2）连接，根据勾股定理，即可求解； （3）根据题意可得点在以为圆心为半径的圆上运动，进而求得最大值与最小值． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴， （2）解：如图，连接， 依题意，，， ∴ （3）解：如图， ∵， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， ∴长度的最大值为，最小值为 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $