第二十五章 一元二次方程章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理一元二次方程章末知识体系，涵盖定义、根、解法、根的情况、根与系数关系、实际应用6大知识点，用表格对比四种解法适用场景，思维导图呈现传播、利润等5类实际应用模型，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点是“题型-变式-训练”三阶设计，如典例结合变式题（利润问题列方程、动态几何用含t代数式表线段），培养运算能力与模型意识，巩固训练夯实基础、强化训练提升综合应用，助力不同层次学生发展，支持教师实施精准分层教学。

第二十五章 一元二次方程章末重难点复习 6知识点+7题型+巩固训练+强化训练 1.理解一元二次方程的相关概念； 2.熟练掌握一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）； 3.熟练利用一元二次方程的根或根的数量求参数； 4.掌握一元二次方程的根与系数的关系； 5.掌握一元二次方程的实际应用问题。 1. 一元二次方程的定义 （1）定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 （2）一般形式： （） - ：二次项，：二次项系数 - ：一次项，：一次项系数 - ：常数项 （3）三个必备条件： - 只含一个未知数 - 未知数最高次数为2 - 是整式方程（分母不含未知数） 关键： ，若 且 则为一元一次方程。 2. 一元二次方程的根 （1）根的定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。 （2）根的个数： 一元二次方程最多有两个实数根。 （3）常见结论： - 是根 - 是根 - 是根 - 两根相同则为重根（） （4）已知根求参数： 将根代入方程，得到关于参数的方程求解，注意检验 。 3. 解一元二次方程 （1）方法一：直接开平方法 - 适用： 或 （） - 结果：； 时无实数根 （2）方法二：配方法 - 步骤：二次项系数化为1 移项 两边加一次项系数一半的平方 配成完全平方 开方求解 - 口诀：一除二移三配四开 （3）方法三：公式法 - 求根公式：（） - 步骤：化为一般式 确定 、、 算 代入公式 - 万能方法，适用所有一元二次方程 （4）方法四：因式分解法 - 步骤：移项使右边为0 左边因式分解 令各因式为0 分别求解 - 依据：若 ，则 或 - 适用：左边能因式分解时最简便 （5）解法选择： 能分解优先分解；形如 用开方法；系数为1且一次项系数为偶数用配方法；其余用公式法。 4. 一元二次方程根的情况 （1）判别式： （2）根的情况判定： - 两个不相等的实数根 - 两个相等的实数根 - 没有实数根 （3）应用： - 已知方程根的情况求参数范围：列 的不等式（或方程），注意 - 证明方程根的情况：计算 并配方，判断其正负 - “有实数根”对应 ；“有两个实数根”要求 且 证明 的常用方法： 将 配方为”完全平方+正数”的形式。 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） （1）内容： 若 （，）的两根为 、，则： - - （2）使用前提： 且 ，两个条件缺一不可。 （3）常用变形： - - - - - （4）常见应用： - 已知一根求另一根及参数 - 已知两根求作方程： - 求关于两根的代数式的值：化为含 和 的形式整体代入 6. 一元二次方程的实际应用 解题步骤： 审题设元 找等量关系列方程 解方程 双检验（数学检验+实际意义检验） 作答。 常见题型： （1）传播问题 - 每轮传染 人，经过两轮后总人数： - 轮后： （2） 循环问题 - 单循环（每两队赛一场）： 场 - 双循环（主客场各一场）： 场 - 握手问题： 次 （3）增长率问题 - 连续两次增长： - 连续两次下降： - 为原量， 为增长率， 为变化后的量 （4）面积问题 - 矩形面积=长×宽，设未知边长列方程 - 道路问题：平移道路，拼合成新矩形 - 围栏问题：注意靠墙一边不围 （5）利润问题 - 总利润=（售价-成本）×销售量 - 设降价/涨价 元，表示单件利润和销量，列方程 题型01 一元二次方程的相关概念 【典例】（25-26九年级上·广东广州·期中）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①方程含两个未知数，不符合“只含一个未知数”，不是一元二次方程； ②方程展开为，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ③方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不是一元二次方程； ④方程中，当时，方程变为，不是一元二次方程，故该方程不一定是一元二次方程 ⑤方程满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ⑥方程，展开移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 综上，是一元二次方程的有②⑤，共2个. 故选：B． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素，一般形式中 是关键。 判断方法： - 是否为整式方程（分母不含未知数） - 是否只含一个未知数 - 未知数最高次数是否为2 - 三者同时满足才是一元二次方程 常见考法： - 判断方程是否为一元二次方程：三要素逐一检验 - 指出各项系数：先化为一般形式 ，系数带符号 - 已知方程是一元二次方程求参数：令最高次数为2且二次项系数 易错提醒： 不能忘；化为一般式后再确定系数；系数要带正负号。 【变式1-1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A：，只含一个未知数，的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B：，含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； C：，含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； D：，当时，方程变为，是一元一次方程，不满足“未知数最高次数为2”的条件，故不一定是一元二次方程． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 【变式1-3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【变式1-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型02 由一元二次方程的解求参数 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了通过一元二次方程的解求参数，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 解题梳理 解题核心： 方程的解代入原式等式成立，得关于参数的方程。 解题步骤： - 将已知解代入原方程 - 得到关于参数的方程（组） - 解方程求参数 - 检验二次项系数 常用结论： - 解为0 - 解为1 - 解为-1 - 已知两个解 分别代入联立，或用韦达定理 易错提醒： 求出参数后必须验证 ，防止方程退化为一次方程。 【变式2-1】（25-26九年级上·广东梅州·期末）已知关于的方程的一个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，进而求解的值即可． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·云南丽江·期末）已知实数是一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，求代数式的值．根据方程的解的定义把代入方程中，得到，再整体代入式子求解即可． 【详解】解：∵实数是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【变式2-4】（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型03 一元二次方程的解法 【典例】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 解题梳理 解题核心： 根据方程结构选最优解法。 直接开平方法： - 适用 或 （） - 开方得 ，“” 不能漏 配方法： - 一除（系数化为1） 二移（常数项移右） 三配（加一次项系数一半的平方） 四开（开方求解） 公式法： - 万能方法： - 先定 、、（带符号），再算 ， 时代入 因式分解法： - 移项使右边为0 左边因式分解 令各因式为0求解 - 能因式分解时最快捷 选择策略： - 形如 开平方法 - 能因式分解 因式分解法优先 - 二次项系数为1、一次项系数为偶数 配方法简便 - 其余 公式法 易错提醒： 因式分解必须先移项使右边为0；开平方漏 “”；公式法中 、、 要带符号。 【变式3-1】（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【变式3-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 【变式3-4】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 题型04 已知一元二次方程解的数量求参数 【典例】（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中，， 代入得 ， 解不等式得． 解题梳理 解题核心： 用判别式 的符号列不等式（方程）。 对应关系： - 两个不等实根 - 两个相等实根 - 有实数根 - 无实数根 解题步骤： - 确定 、、（含参数） - 计算 ，得到关于参数的代数式 - 按题意列不等式或方程 - 求解参数，检验 证明根的情况： - 计算 并配方为 “完全平方+非负数” 的形式 - 由此判断 恒大于0（或 ） 易错提醒： - “有实根” 是 ，“有两个实根” 需 且 - 题目未明确是二次方程时，要讨论 （一次方程）的情况 - 不要遗漏 的限制 【变式4-1】（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 【变式4-2】（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 【变式4-3】（2026·江西上饶·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根得到根的判别式，联立计算即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根 ， ， 其中，， ，代入得 ， 解得，满足． 【变式4-4】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据当时当时两种情况求解. 【详解】解：对于方程 ， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时， 判别式． 由于方程有实数根， 因此， 即， 解得且． 综上：. 故答案为． 题型05 一元二次方程根与系数的关系 【典例】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵，是方程的根， ∴可得，， ∴， 故选：C． 解题梳理 解题核心： 韦达定理整体代入，使用前先验 和 。 韦达定理： - - 解题步骤： - 确认 且 - 写出两根之和、两根之积（用参数表示） - 将所求代数式变形为含和与积的形式 - 整体代入计算 常用变形： - - - - - 常见类型： - 已知一根求另一根和参数 - 已知两根求作方程： - 求关于两根的代数式的值 - 已知两根关系求参数：结合韦达定理和 定范围 易错提醒： 不验 直接用；变形公式记错；忘记 。 【变式5-1】（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）若，是方程的两个根，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积即可解答． 【详解】解：对于方程， ，，， ，， 对比各选项，B正确， 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若m，n是方程两个根，则的值是（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程方程解的定义、根与系数关系及代数式求值，由m是方程的解，得，代入所求式得，再通过根与系数关系求的值，进而求出结论． 【详解】解：∵ m是方程的解， ∴， ∴， ∴， 又∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不满足，舍去）， 故． 【变式5-4】（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型06 一元二次方程的实际应用 【典例】（25-26九年级上·广东深圳·期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 【答案】(1)18； (2)5元 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）当前售价减去降低金额再减去进价即为利润；降低元，周销量增加个，由此列代数式； （2）用含x的式子表示出单个利润及周销量，相乘即为周利润，由此列一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为：（元）； 若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为：个， 故答案为：18，； （2）解：每个玩偶售价应降价元，由题意得： ， 整理得， 解得， 即每个玩偶售价应降价5元． 解题梳理 解题核心： 审题设元找等量，列方程求解后双检验。 解题步骤： - 审题设未知数 - 找等量关系列一元二次方程 - 解方程 - 双检验：① 数学检验；② 实际意义检验（结果为正、符合实际） - 作答 常见模型： 传播问题： 每轮传染 人，两轮后总数 ， 轮后 。 循环问题： - 单循环（两两赛一场）： - 双循环（主客场）： 增长率问题： - 两次增长： - 两次下降： 面积问题： 设边长用面积公式列方程；道路问题平移拼合；围栏问题注意靠墙一边不围。 利润问题： 总利润=（售价-成本） 销量；设涨/降价 元，表示单件利润和销量后列方程。 易错提醒： 增长率公式是平方不是乘2；两个根要检验实际意义，常需舍去一个；单位统一。 【变式6-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“经典系列”在试销时的总利润为4000元 (2)x的值为40 (3)每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元， 理由如下： ， ， 当时，w有最大值，最大值为． 销售单价为55元时，每日的最大利润不能超过4950元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）根据题意，“经典系列”试销时，单件利润乘以日销量即可； （2）“环保系列”的单件利润为元，日销量为件，列方程求解即可； （3）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润为（元）， 答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元． （2）解：根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． （3）略 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，这是将窗户抽象成的几何图形，它的上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形．图中所有线段的总长为，设的长为． (1)直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的面积． (2)当窗户的总面积为时，求的长． 【答案】(1)， (2)的长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可求出，根据题意可得，，即可求得；； （2）根据题意，列出方程，解方程求出的值，结合实际，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得，， ． 所有线段总长为，， ，， ． （2）解：由（1），可得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 的长为． 【变式6-3】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ 【答案】(1) (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出方程，即可解答； （2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， ， 解得或（舍去）， 即每次下降的百分率为； 故答案为：； （2）解：设，由题意可得： ， 解得：， ∴， 则， 整理得：， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 故每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； 【变式6-4】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 【答案】（1）；（2）5米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为：； （2）根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 道路的宽度应为5米． 题型07 一元二次方程与动态几何问题 【典例】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 解题梳理 解题核心： 设运动时间 ，用含 的式子表示线段，根据几何条件列一元二次方程求解。 解题步骤： - 第一步：设运动时间为 （或运动路程），用含 的式子表示相关线段长度 - 第二步：根据题目要求的几何条件（面积、长度、位置关系等）建立等量关系 - 第三步：列出关于 的一元二次方程 - 第四步：解方程求 - 第五步：检验 是否在运动范围内（），舍去不符合的解 常见类型： 1. 动点与线段长度 - 用含 的式子表示两点间距离 - 根据指定长度（或线段相等）列方程 - 斜线段用勾股定理建立方程 2. 动点与面积 - 用含 的式子表示底和高 - 根据指定面积列方程（三角形 ，矩形 ） - 常得到关于 的一元二次方程，可能有两个解 3. 动点与特殊位置 - 点落在某条线上、两点重合、图形成为特殊三角形/四边形 - 根据几何性质（勾股定理、相似、全等）列方程 4. 动点与最值 - 建立面积（或线段）关于 的二次函数 - 用二次函数性质求最值（注意 的范围） 关键技巧： - “动中求静”：把动点问题转化为方程问题 - 用速度 时间表示运动路程，注意运动方向 - 画出不同时刻的图形辅助分析 - 注意临界位置（点到达端点、两点相遇等） - 分类讨论：动点在不同边上时线段表达式不同 易错提醒： - 线段表达式列错（方向、位置、速度） - 求出的 超出运动范围未排除 - 遗漏分类讨论（动点在不同边上、多种位置关系） - 面积公式中底高对应错误 【变式7-1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 【变式7-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 【变式7-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式7-4】（25-26九年级上·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 【巩固训练】 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 2．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 3．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此计算k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 4．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用方程根的定义，将代入原方程，通过移项即可求出目标代数式的值. 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ ∴ 故选：A． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根1代入原方程，构造关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 整理得 ， 解得 ． 7．（25-26九年级上·山东·期末）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】41 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：41． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． 11．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 【答案】(1) 解：关于x的一元二次方程， ， ， 无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将一元二次方程根的判别式用含有k的式子表示出来，跟0作比较，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，代入，化简得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：关于x的一元二次方程的两根为，， ， ， ， 当时， 有最小值， 此时，解得． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【答案】(1)且为正整数 (2)公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元 【分析】（）分，和三种情形分别解答即可； （）依据题意，结合（）分三种情况列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，购买数量不超过件，按原价销售， ； ∵销售单价最低为元， 令， 解得， ∴当购买数量超过件且不超过件时，单价随购买数量增加而降低， 当时，每多买件，单价降低元， ， 即； 当时，单价已降至最低元，不再继续降价， ； 综上，与的函数关系式为且为正整数； （2）解：当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得，不在的范围内，故此情况不成立； 当时，销售单价，单件利润为， 当时， 解得， ，符合题意， ∴此时销售单价元； 当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得， ∵购买数量必须为正整数， ∴此情况不成立； 综上，公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元． 13．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设年平均增长率为，再结合2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，设每杯奶茶应涨价元，则每杯盈利为元，销售的总杯数为，又因为每周奶茶盈利1440元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为， 依题意，得， 解得，（舍去）， ∴该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为； （2）解：设每杯奶茶应涨价元， 则每杯盈利为元，销售的总杯数为， 依题意，得， 整理得， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ∴每杯奶茶应涨价3元． 14．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】(1) (2)长为20米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； （2）解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 15．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2)此时纸盒的高为 (3) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1450元列方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率，长方形的面积和营销问题，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）设此时纸盒的高为， ， 解得，（舍去）， 则此时纸盒的高为； （3）若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤， 由日利润为1450元得． 故答案为：． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．6或者10 D．8或者10 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 先解一元二次方程得到两根，再分两种情况结合三角形三边关系判断能否构成等腰三角形，最后计算符合条件的三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得或； ①当底边长为2，腰长为4时，三角形三边为4,4,2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为； ②当底边长为4，腰长为2时，三角形三边为2,2,4， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形，舍去， ∴该等腰三角形的周长为10； 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知点M是线段AB的黄金分割点（），，那么AM的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的性质，较长部分的平方等于整个线段与较短部分的乘积，列出方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ M是黄金分割点且， ∴ ， 即， 解得（负值舍去）， ∴ ， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）将一根长为的铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，要使这两个正方形的面积之和为，则较大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，等量关系是：两个正方形的面积之和．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设较大的正方形边长为a，较小的正方形边长为b，根据铁丝总长得出，再根据面积和列出关于a的方程，求解a，取较大值． 【详解】解：设较大的正方形边长为a，较小的正方形边长为b， ∵铁丝总长为， ∴，即， ∴， ∵面积之和为， ∴，即， 解得或， ∵a为较大边长， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 7．（25-26九年级上·四川达州·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 【答案】或2 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知都是质数，且，，试求________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【答案】(1) (2) 方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）略 （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 10．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：由，，（）， ∴，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ∴的值为定值； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键； （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵，同号， ∴，解得：． 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 11．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践： 探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究 探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究． 实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）． 严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解． 【答案】（1）①；②；正确； （2）解：小明的猜想正确， 证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负）， ∴， 又∵ ∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根. （3）时，；时， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识； （1）根据因式分解法解方程，即可求解； （2）根据题意计算，即可得证； （3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解． 【详解】解：（1）①当，时，例如， ∴， ∴或， ∴此方程的解是； ②当，时， 例如， ∴ ∴ ∴或， ∴此方程的解是； 这两个实例可以验证小明的猜想正确； 故答案为：；；正确． （2）略 （3）依题意，且 解得，， 又∵m为整数， ∴或 当时，方程为，即 ∵， ∴ 解得： 当时，方程为 即 解得： 12．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：对于方程， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据题意可得，，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 因式分解得， 即或， ∴， ∵ 方程有一个实数根为负数，且， ∴ ， ∴ ， 故的取值范围为． 13．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 【答案】(1) 或 2； (2)1； 【分析】（1）当 时，、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ； （2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值； 【详解】（1）解：当 时， ∵实数 、 满足 ，， ∴、 可看作方程 的两根， 原式， 当 ， 则原式 ； 综上所述，原式的值为 或 2 ； （2）∵， ∴将 、 看作是方程得两实数根； 而 即 c的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义 15．（25-26八年级下·广西梧州·期中）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） (2)当t为几秒时，的长度等于？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2) (3)存在，2 【分析】（1）由路程速度时间，可直接求解； （2）由勾股定理构建方程求解； （3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ， 故答案为：，； （2）由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，的长等于； （3）存在，理由如下： 若四边形的面积等于面积的， 的面积等于面积的， ， ， 解得：或， 当时， 当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程章末重难点复习 6知识点+7题型+巩固训练+强化训练 1.理解一元二次方程的相关概念； 2.熟练掌握一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）； 3.熟练利用一元二次方程的根或根的数量求参数； 4.掌握一元二次方程的根与系数的关系； 5.掌握一元二次方程的实际应用问题。 1. 一元二次方程的定义 （1）定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 （2）一般形式： （） - ：二次项，：二次项系数 - ：一次项，：一次项系数 - ：常数项 （3）三个必备条件： - 只含一个未知数 - 未知数最高次数为2 - 是整式方程（分母不含未知数） 关键： ，若 且 则为一元一次方程。 2. 一元二次方程的根 （1）根的定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。 （2）根的个数： 一元二次方程最多有两个实数根。 （3）常见结论： - 是根 - 是根 - 是根 - 两根相同则为重根（） （4）已知根求参数： 将根代入方程，得到关于参数的方程求解，注意检验 。 3. 解一元二次方程 （1）方法一：直接开平方法 - 适用： 或 （） - 结果：； 时无实数根 （2）方法二：配方法 - 步骤：二次项系数化为1 移项 两边加一次项系数一半的平方 配成完全平方 开方求解 - 口诀：一除二移三配四开 （3）方法三：公式法 - 求根公式：（） - 步骤：化为一般式 确定 、、 算 代入公式 - 万能方法，适用所有一元二次方程 （4）方法四：因式分解法 - 步骤：移项使右边为0 左边因式分解 令各因式为0 分别求解 - 依据：若 ，则 或 - 适用：左边能因式分解时最简便 （5）解法选择： 能分解优先分解；形如 用开方法；系数为1且一次项系数为偶数用配方法；其余用公式法。 4. 一元二次方程根的情况 （1）判别式： （2）根的情况判定： - 两个不相等的实数根 - 两个相等的实数根 - 没有实数根 （3）应用： - 已知方程根的情况求参数范围：列 的不等式（或方程），注意 - 证明方程根的情况：计算 并配方，判断其正负 - “有实数根”对应 ；“有两个实数根”要求 且 证明 的常用方法： 将 配方为”完全平方+正数”的形式。 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） （1）内容： 若 （，）的两根为 、，则： - - （2）使用前提： 且 ，两个条件缺一不可。 （3）常用变形： - - - - - （4）常见应用： - 已知一根求另一根及参数 - 已知两根求作方程： - 求关于两根的代数式的值：化为含 和 的形式整体代入 6. 一元二次方程的实际应用 解题步骤： 审题设元 找等量关系列方程 解方程 双检验（数学检验+实际意义检验） 作答。 常见题型： （1）传播问题 - 每轮传染 人，经过两轮后总人数： - 轮后： （2） 循环问题 - 单循环（每两队赛一场）： 场 - 双循环（主客场各一场）： 场 - 握手问题： 次 （3）增长率问题 - 连续两次增长： - 连续两次下降： - 为原量， 为增长率， 为变化后的量 （4）面积问题 - 矩形面积=长×宽，设未知边长列方程 - 道路问题：平移道路，拼合成新矩形 - 围栏问题：注意靠墙一边不围 （5）利润问题 - 总利润=（售价-成本）×销售量 - 设降价/涨价 元，表示单件利润和销量，列方程 题型01 一元二次方程的相关概念 【典例】（25-26九年级上·广东广州·期中）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素，一般形式中 是关键。 判断方法： - 是否为整式方程（分母不含未知数） - 是否只含一个未知数 - 未知数最高次数是否为2 - 三者同时满足才是一元二次方程 常见考法： - 判断方程是否为一元二次方程：三要素逐一检验 - 指出各项系数：先化为一般形式 ，系数带符号 - 已知方程是一元二次方程求参数：令最高次数为2且二次项系数 易错提醒： 不能忘；化为一般式后再确定系数；系数要带正负号。 【变式1-1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【变式1-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型02 由一元二次方程的解求参数 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D． 解题梳理 解题核心： 方程的解代入原式等式成立，得关于参数的方程。 解题步骤： - 将已知解代入原方程 - 得到关于参数的方程（组） - 解方程求参数 - 检验二次项系数 常用结论： - 解为0 - 解为1 - 解为-1 - 已知两个解 分别代入联立，或用韦达定理 易错提醒： 求出参数后必须验证 ，防止方程退化为一次方程。 【变式2-1】（25-26九年级上·广东梅州·期末）已知关于的方程的一个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-2】（25-26九年级上·云南丽江·期末）已知实数是一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 【变式2-3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【变式2-4】（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 题型03 一元二次方程的解法 【典例】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 解题梳理 解题核心： 根据方程结构选最优解法。 直接开平方法： - 适用 或 （） - 开方得 ，“” 不能漏 配方法： - 一除（系数化为1） 二移（常数项移右） 三配（加一次项系数一半的平方） 四开（开方求解） 公式法： - 万能方法： - 先定 、、（带符号），再算 ， 时代入 因式分解法： - 移项使右边为0 左边因式分解 令各因式为0求解 - 能因式分解时最快捷 选择策略： - 形如 开平方法 - 能因式分解 因式分解法优先 - 二次项系数为1、一次项系数为偶数 配方法简便 - 其余 公式法 易错提醒： 因式分解必须先移项使右边为0；开平方漏 “”；公式法中 、、 要带符号。 【变式3-1】（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 【变式3-2】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【变式3-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式3-4】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 题型04 已知一元二次方程解的数量求参数 【典例】（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 用判别式 的符号列不等式（方程）。 对应关系： - 两个不等实根 - 两个相等实根 - 有实数根 - 无实数根 解题步骤： - 确定 、、（含参数） - 计算 ，得到关于参数的代数式 - 按题意列不等式或方程 - 求解参数，检验 证明根的情况： - 计算 并配方为 “完全平方+非负数” 的形式 - 由此判断 恒大于0（或 ） 易错提醒： - “有实根” 是 ，“有两个实根” 需 且 - 题目未明确是二次方程时，要讨论 （一次方程）的情况 - 不要遗漏 的限制 【变式4-1】（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【变式4-2】（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【变式4-3】（2026·江西上饶·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【变式4-4】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 题型05 一元二次方程根与系数的关系 【典例】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 解题梳理 解题核心： 韦达定理整体代入，使用前先验 和 。 韦达定理： - - 解题步骤： - 确认 且 - 写出两根之和、两根之积（用参数表示） - 将所求代数式变形为含和与积的形式 - 整体代入计算 常用变形： - - - - - 常见类型： - 已知一根求另一根和参数 - 已知两根求作方程： - 求关于两根的代数式的值 - 已知两根关系求参数：结合韦达定理和 定范围 易错提醒： 不验 直接用；变形公式记错；忘记 。 【变式5-1】（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）若，是方程的两个根，则（） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若m，n是方程两个根，则的值是（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【变式5-4】（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 题型06 一元二次方程的实际应用 【典例】（25-26九年级上·广东深圳·期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 解题梳理 解题核心： 审题设元找等量，列方程求解后双检验。 解题步骤： - 审题设未知数 - 找等量关系列一元二次方程 - 解方程 - 双检验：① 数学检验；② 实际意义检验（结果为正、符合实际） - 作答 常见模型： 传播问题： 每轮传染 人，两轮后总数 ， 轮后 。 循环问题： - 单循环（两两赛一场）： - 双循环（主客场）： 增长率问题： - 两次增长： - 两次下降： 面积问题： 设边长用面积公式列方程；道路问题平移拼合；围栏问题注意靠墙一边不围。 利润问题： 总利润=（售价-成本） 销量；设涨/降价 元，表示单件利润和销量后列方程。 易错提醒： 增长率公式是平方不是乘2；两个根要检验实际意义，常需舍去一个；单位统一。 【变式6-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，这是将窗户抽象成的几何图形，它的上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形．图中所有线段的总长为，设的长为． (1)直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的面积． (2)当窗户的总面积为时，求的长． 【变式6-3】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ 【变式6-4】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 题型07 一元二次方程与动态几何问题 【典例】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 解题梳理 解题核心： 设运动时间 ，用含 的式子表示线段，根据几何条件列一元二次方程求解。 解题步骤： - 第一步：设运动时间为 （或运动路程），用含 的式子表示相关线段长度 - 第二步：根据题目要求的几何条件（面积、长度、位置关系等）建立等量关系 - 第三步：列出关于 的一元二次方程 - 第四步：解方程求 - 第五步：检验 是否在运动范围内（），舍去不符合的解 常见类型： 1. 动点与线段长度 - 用含 的式子表示两点间距离 - 根据指定长度（或线段相等）列方程 - 斜线段用勾股定理建立方程 2. 动点与面积 - 用含 的式子表示底和高 - 根据指定面积列方程（三角形 ，矩形 ） - 常得到关于 的一元二次方程，可能有两个解 3. 动点与特殊位置 - 点落在某条线上、两点重合、图形成为特殊三角形/四边形 - 根据几何性质（勾股定理、相似、全等）列方程 4. 动点与最值 - 建立面积（或线段）关于 的二次函数 - 用二次函数性质求最值（注意 的范围） 关键技巧： - “动中求静”：把动点问题转化为方程问题 - 用速度 时间表示运动路程，注意运动方向 - 画出不同时刻的图形辅助分析 - 注意临界位置（点到达端点、两点相遇等） - 分类讨论：动点在不同边上时线段表达式不同 易错提醒： - 线段表达式列错（方向、位置、速度） - 求出的 超出运动范围未排除 - 遗漏分类讨论（动点在不同边上、多种位置关系） - 面积公式中底高对应错误 【变式7-1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【变式7-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【变式7-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式7-4】（25-26九年级上·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【巩固训练】 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 4．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 7．（25-26九年级上·山东·期末）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； 11．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 13．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 14．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 15．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．6或者10 D．8或者10 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知点M是线段AB的黄金分割点（），，那么AM的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）将一根长为的铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，要使这两个正方形的面积之和为，则较大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 7．（25-26九年级上·四川达州·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知都是质数，且，，试求________． 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 10．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 11．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践： 探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究 探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究． 实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）． 严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解． 12．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 13．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 15．（25-26八年级下·广西梧州·期中）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） (2)当t为几秒时，的长度等于？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $