26.1二次函数的概念＆26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质 同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数概念及y=ax²的图象性质，系统梳理定义、判断条件、列关系式、抛物线概念、性质及|a|对开口的影响，构建从概念理解到应用的递进学习支架。 资料以知识点带题型，通过面积、利润等实际问题培养数学眼光，参数求解与性质分析提升推理能力，典例变式结合助课中教学，课后练习覆盖全面，强化模型意识与应用能力。

26.1二次函数的概念＆26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质 目录 知识点1 二次函数的定义 2 知识点2 二次函数的判断条件 2 知识点3 列二次函数关系式 2 知识点4 二次函数的图象 2 知识点5 抛物线的有关概念 3 知识点6 二次函数y=ax²的性质 3 知识点7 |a|对抛物线开口大小的影响 3 题型1 列二次函数关系式 3 题型2 二次函数的识别 5 题型3 根据二次函数的定义求参数 7 题型4 y=ax²的图象和性质 9 1. 理解二次函数的概念，能识别一个函数是否为二次函数，掌握二次函数的一般形式。 2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数关系式，确定自变量的取值范围。 3. 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，理解抛物线的有关概念（开口方向、顶点、对称轴）。 4. 掌握二次函数y=ax²的图象和性质，能运用性质解决简单问题。 5. 能根据二次函数的定义求参数的值或取值范围。 知识点1 二次函数的定义 一般地，形如 y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 其中，x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数的特殊形式： （1）y=ax²（b=0，c=0），如 y=2x²； （2）y=ax²+c（b=0），如 y=3x²+1； （3）y=ax²+bx（c=0），如 y=x²-2x。 知识点2 二次函数的判断条件 判断一个函数是否为二次函数，必须同时满足以下三个条件： （1）函数关系式是整式（自变量不能在分母、根号下等位置）； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0（a≠0）。 注意：化简后再判断，不能只看表面形式。例如 y=x²-x(x-1) 化简后为 y=x，是一次函数，不是二次函数。 知识点3 列二次函数关系式 根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤： （1）审题，找出已知量和未知量，确定自变量和因变量； （2）分析问题中的数量关系，找出等量关系； （3）用含自变量的代数式表示相关量； （4）根据等量关系列出函数关系式； （5）化简整理为 y=ax²+bx+c 的形式； （6）确定自变量的取值范围（结合实际意义）。 常见实际问题：面积问题、利润问题、增长率问题、运动轨迹问题等。 知识点4 二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形。 画二次函数y=ax²图象的步骤（描点法）： （1）列表：在自变量取值范围内，选取一些值，算出对应的函数值，列成表格； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点； （3）连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把所描的点连接起来。 注意：列表时通常以原点为中心，对称地选取x的值，如 -3,-2,-1,0,1,2,3。 知识点5 抛物线的有关概念 （1）抛物线：二次函数的图象叫做抛物线。 （2）顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y=ax²的顶点是原点(0,0)。 （3）对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是一条直线。y=ax²的对称轴是y轴（直线x=0）。 （4）开口方向：抛物线向上或向下张开的方向。 知识点6 二次函数y=ax²的性质 二次函数y=ax²（a≠0）的图象和性质如下： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 知识点7 |a|对抛物线开口大小的影响 （1）|a|相同，抛物线的开口大小相同，只是开口方向可能不同。例如 y=2x² 与 y=-2x² 的开口大小相同，方向相反。 （2）|a|越大，抛物线的开口越小（越窄）；|a|越小，抛物线的开口越大（越宽）。 （3）a决定抛物线的开口方向和开口大小，a是抛物线的形状参数。 题型1 列二次函数关系式 【解题思路】 第一步：审题，明确问题中的已知量和未知量，确定哪个量是自变量x，哪个量是因变量y。 第二步：分析数量关系，找出问题中隐含的等量关系（如面积公式、利润公式、路程公式等）。 第三步：用含x的代数式表示出与y相关的各个量。 第四步：根据等量关系列出y与x之间的关系式。 第五步：化简整理，化为 y=ax²+bx+c（a≠0）的一般形式。 第六步：根据实际意义确定自变量x的取值范围（如长度、面积必须为正，人数为正整数等）。 【常见类型】 （1）面积问题：利用矩形、三角形、圆等面积公式，如矩形面积=长×宽，用x表示一边，另一边用含x的式子表示。 （2）利润问题：总利润=单件利润×销售量，用x表示涨价或降价金额，表示出单件利润和销售量。 （3）运动问题：如自由落体高度 h=h₀-½gt²，或抛体运动轨迹。 （4）增长率问题：经过两次增长后的量 = 原量×(1+x)²。 【易错提醒】列函数关系式后必须化简，确认最高次为2次且二次项系数不为0。自变量取值范围不能遗漏，要结合实际意义考虑。 【典例1】．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式1】．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【变式2】．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【变式3】．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 题型2 二次函数的识别 【解题思路】 判断一个函数是否为二次函数，按以下步骤进行： 第一步：将函数关系式化简（去括号、合并同类项），化为最简形式。 第二步：检查是否为整式函数——自变量x不能出现在分母中、根号下、指数上（除x²外）等位置。 第三步：检查自变量的最高次数是否为2——化简后x的最高次幂必须是2。 第四步：检查二次项系数是否不为0——x²项的系数a必须满足a≠0。 第五步：以上四个条件同时满足，则是二次函数；有一个不满足，则不是二次函数。 【判断口诀】一整（整式）、二高（最高次为2）、三系数（二次项系数不为0）。 【典型示例】 （1）y=3x²+2x-1 → 是二次函数（a=3≠0，最高次2，整式）。 （2）y=2x²- x(x+1) → 化简为 y=x²-x，是二次函数。 （3）y=x²-x²+2x → 化简为 y=2x，是一次函数，不是二次函数（二次项抵消了）。 （4）y=1/x²+3 → 不是整式，不是二次函数。 （5）y=2x³+x² → 最高次为3，不是二次函数。 （6）y=0·x²+3x+1 → a=0，不是二次函数，是一次函数。 【易错提醒】必须先化简再判断！有些函数表面上有x²项，但化简后二次项可能被抵消。注意区分"二次函数"与"二次式"——函数要求y与x之间是函数关系，且a≠0。 【典例2】．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 【变式1】．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式2】．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 【变式3】．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 题型3 根据二次函数的定义求参数 【解题思路】 这类题目通常给出含有参数的函数关系式，要求根据"是二次函数"的条件求参数的值或取值范围。 第一步：明确二次函数的两个核心条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0。 第二步：根据"最高次数为2"列方程——令x的最高次幂的指数等于2，解出参数的可能值。 第三步：根据"二次项系数不为0"列不等式——令化简后x²项的系数不等于0，排除使系数为0的参数值。 第四步：综合方程和不等式的解，确定参数的最终取值。 【常见考法】 （1）指数含参数型：如 y=(m-1)x^(m²+1)+3x-5 是二次函数，求m。 令 m²+1=2，解得 m=±1；又 m-1≠0，即 m≠1；所以 m=-1。 （2）系数含参数型：如 y=(m-2)x²+3x-1 是二次函数，求m的取值范围。 只需 m-2≠0，即 m≠2。 （3）化简后二次项系数含参数型：如 y=mx²-(m+2)x+mx²+1 是二次函数，求m。 先合并同类项：y=2mx²-(m+2)x+1；令 2m≠0，即 m≠0。 （4）同时含指数和系数参数型：如 y=(k-3)x^(k²-7)+2x-1 是二次函数，求k。 令 k²-7=2，解得 k=±3；又 k-3≠0，即 k≠3；所以 k=-3。 【易错提醒】 （1）只考虑指数等于2，忘记检验二次项系数不为0——这是最常见的错误，必须两个条件同时满足。 （2）函数中有多个x的幂次项时，要先合并同类项，再看最高次和二次项系数。 （3）注意参数可能出现在一次项系数或常数项中，这些不影响"是否为二次函数"的判断，只需关注二次项。 （4）若题目说"函数y=...是二次函数"，则隐含a≠0；若题目说"函数y=...（a为常数）"，则需要讨论a=0和a≠0两种情况。 【典例3】．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 【变式1】．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【变式2】．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 【变式3】．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 题型4 y=ax²的图象和性质 【解题思路】 这类题目主要考查y=ax²的图象特征和性质应用，包括开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等。 【考法1：判断图象开口方向和顶点、对称轴】 第一步：确定a的正负——a>0开口向上，a<0开口向下。 第二步：y=ax²的顶点固定为(0,0)，对称轴固定为y轴（直线x=0）。 第三步：根据a的绝对值判断开口大小——|a|越大开口越窄，|a|越小开口越宽。 【考法2：利用增减性比较函数值大小】 第一步：判断a的正负，确定抛物线的开口方向。 第二步：明确增减性规律： a>0（开口向上）：x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大； a<0（开口向下）：x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。 第三步：将需要比较的点的x值代入，或利用对称性（到对称轴距离相等的点函数值相等）比较。 简便方法：对于y=ax²，函数值的大小只与|x|有关。a>0时，|x|越大y越大；a<0时，|x|越大y越小。 【考法3：求最值】 第一步：判断a的正负。 第二步：a>0时，函数有最小值，在x=0处取得，y最小值=0； a<0时，函数有最大值，在x=0处取得，y最大值=0。 第三步：若自变量有取值范围限制（如x≥1），则需结合增减性判断在范围内的最值位置，不一定在x=0处。 【考法4：图象上点的坐标特征】 第一步：若点在y=ax²的图象上，则点的坐标满足函数关系式，即 y=a·x²。 第二步：已知x求y——直接代入计算；已知y求x——解方程 ax²=y，注意x可能有两个互为相反数的值（y≠0时）。 第三步：利用对称性——若(x₁,y)在图象上，则(-x₁,y)也在图象上。 【考法5：画函数图象（描点法）】 第一步：列表——以0为中心对称取值，如x=-3,-2,-1,0,1,2,3，计算对应的y值。 第二步：描点——在坐标系中描出各点。 第三步：连线——用平滑曲线从左到右连接各点，注意两端要延伸（画箭头或自然延伸）。 【易错提醒】 （1）y=ax²的对称轴是y轴（直线x=0），不是"y轴=0"，要写成直线x=0。 （2）顶点坐标是(0,0)，不要写成(0,0)以外的点。 （3）比较函数值大小时，注意a的正负决定了变化趋势，不要搞反。 （4）求最值时注意自变量的取值范围，若x不能取0，则最值不在顶点处。 （5）|a|只影响开口大小，不影响开口方向和顶点、对称轴的位置。 【典例4】．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 【变式1】．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 【变式2】．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式3】．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 1．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 2．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 3．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 4．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 5．“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断． 【分析】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大， 当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小， ∵ y等于点M到点C的距离平方， ∴ y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分， A选项符合题意 6．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 7．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 8．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 9．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数开口向下，对称轴为，进行判断即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 10．抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小依此进行判断即可． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， 对于抛物线，二次项系数， ∵， ∴的开口比的开口更小， 故选：B． 11．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 12．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 13．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 14．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了抛物线，掌握关于对称轴两点的纵坐标相等是解题的关键． 抛物线关于y轴对称，点A和点B的横坐标互为相反数，因此纵坐标相等． 【详解】解：由抛物线解析式，对称轴为y轴， 又， 点A和点B关于y轴对称， 则． 故答案为：． 16．（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识，分情况讨论是解题关键． （1）根据题意可知且，求解即可获得答案； （2）根据题意得，解得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 17．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围． （2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行． （3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 18．大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格元/千克在生产基地收购了千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计元，而且大蒜在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且为整数）； (2)存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是元． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数的应用． （1）根据题意可得与之间的函数解析式； （2）设利润为，根据题意可得与之间的函数关系式，根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意与之间的函数关系式为： （，且为整数）， ∴与之间的函数解析式为（，且为整数）． （2）解：设利润为， ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∵大蒜在冷库中最多保存天， ∴时，利润最大，（元）． ∴张经理将这批大蒜存放天后出售可获得最大利润，最大利润是元． 19．在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 【答案】(1)8，2，0，2，8，，，，， (2) 【分析】（1）求出函数值即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （2）略 20．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】 解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念＆26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质 目录 知识点1 二次函数的定义 2 知识点2 二次函数的判断条件 2 知识点3 列二次函数关系式 2 知识点4 二次函数的图象 2 知识点5 抛物线的有关概念 3 知识点6 二次函数y=ax²的性质 3 知识点7 |a|对抛物线开口大小的影响 3 题型1 列二次函数关系式 3 题型2 二次函数的识别 4 题型3 根据二次函数的定义求参数 5 题型4 y=ax²的图象和性质 6 1. 理解二次函数的概念，能识别一个函数是否为二次函数，掌握二次函数的一般形式。 2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数关系式，确定自变量的取值范围。 3. 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，理解抛物线的有关概念（开口方向、顶点、对称轴）。 4. 掌握二次函数y=ax²的图象和性质，能运用性质解决简单问题。 5. 能根据二次函数的定义求参数的值或取值范围。 知识点1 二次函数的定义 一般地，形如 y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 其中，x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数的特殊形式： （1）y=ax²（b=0，c=0），如 y=2x²； （2）y=ax²+c（b=0），如 y=3x²+1； （3）y=ax²+bx（c=0），如 y=x²-2x。 知识点2 二次函数的判断条件 判断一个函数是否为二次函数，必须同时满足以下三个条件： （1）函数关系式是整式（自变量不能在分母、根号下等位置）； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0（a≠0）。 注意：化简后再判断，不能只看表面形式。例如 y=x²-x(x-1) 化简后为 y=x，是一次函数，不是二次函数。 知识点3 列二次函数关系式 根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤： （1）审题，找出已知量和未知量，确定自变量和因变量； （2）分析问题中的数量关系，找出等量关系； （3）用含自变量的代数式表示相关量； （4）根据等量关系列出函数关系式； （5）化简整理为 y=ax²+bx+c 的形式； （6）确定自变量的取值范围（结合实际意义）。 常见实际问题：面积问题、利润问题、增长率问题、运动轨迹问题等。 知识点4 二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形。 画二次函数y=ax²图象的步骤（描点法）： （1）列表：在自变量取值范围内，选取一些值，算出对应的函数值，列成表格； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点； （3）连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把所描的点连接起来。 注意：列表时通常以原点为中心，对称地选取x的值，如 -3,-2,-1,0,1,2,3。 知识点5 抛物线的有关概念 （1）抛物线：二次函数的图象叫做抛物线。 （2）顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y=ax²的顶点是原点(0,0)。 （3）对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是一条直线。y=ax²的对称轴是y轴（直线x=0）。 （4）开口方向：抛物线向上或向下张开的方向。 知识点6 二次函数y=ax²的性质 二次函数y=ax²（a≠0）的图象和性质如下： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 知识点7 |a|对抛物线开口大小的影响 （1）|a|相同，抛物线的开口大小相同，只是开口方向可能不同。例如 y=2x² 与 y=-2x² 的开口大小相同，方向相反。 （2）|a|越大，抛物线的开口越小（越窄）；|a|越小，抛物线的开口越大（越宽）。 （3）a决定抛物线的开口方向和开口大小，a是抛物线的形状参数。 题型1 列二次函数关系式 【解题思路】 第一步：审题，明确问题中的已知量和未知量，确定哪个量是自变量x，哪个量是因变量y。 第二步：分析数量关系，找出问题中隐含的等量关系（如面积公式、利润公式、路程公式等）。 第三步：用含x的代数式表示出与y相关的各个量。 第四步：根据等量关系列出y与x之间的关系式。 第五步：化简整理，化为 y=ax²+bx+c（a≠0）的一般形式。 第六步：根据实际意义确定自变量x的取值范围（如长度、面积必须为正，人数为正整数等）。 【常见类型】 （1）面积问题：利用矩形、三角形、圆等面积公式，如矩形面积=长×宽，用x表示一边，另一边用含x的式子表示。 （2）利润问题：总利润=单件利润×销售量，用x表示涨价或降价金额，表示出单件利润和销售量。 （3）运动问题：如自由落体高度 h=h₀-½gt²，或抛体运动轨迹。 （4）增长率问题：经过两次增长后的量 = 原量×(1+x)²。 【易错提醒】列函数关系式后必须化简，确认最高次为2次且二次项系数不为0。自变量取值范围不能遗漏，要结合实际意义考虑。 【典例1】．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【变式3】．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 题型2 二次函数的识别 【解题思路】 判断一个函数是否为二次函数，按以下步骤进行： 第一步：将函数关系式化简（去括号、合并同类项），化为最简形式。 第二步：检查是否为整式函数——自变量x不能出现在分母中、根号下、指数上（除x²外）等位置。 第三步：检查自变量的最高次数是否为2——化简后x的最高次幂必须是2。 第四步：检查二次项系数是否不为0——x²项的系数a必须满足a≠0。 第五步：以上四个条件同时满足，则是二次函数；有一个不满足，则不是二次函数。 【判断口诀】一整（整式）、二高（最高次为2）、三系数（二次项系数不为0）。 【典型示例】 （1）y=3x²+2x-1 → 是二次函数（a=3≠0，最高次2，整式）。 （2）y=2x²- x(x+1) → 化简为 y=x²-x，是二次函数。 （3）y=x²-x²+2x → 化简为 y=2x，是一次函数，不是二次函数（二次项抵消了）。 （4）y=1/x²+3 → 不是整式，不是二次函数。 （5）y=2x³+x² → 最高次为3，不是二次函数。 （6）y=0·x²+3x+1 → a=0，不是二次函数，是一次函数。 【易错提醒】必须先化简再判断！有些函数表面上有x²项，但化简后二次项可能被抵消。注意区分"二次函数"与"二次式"——函数要求y与x之间是函数关系，且a≠0。 【典例2】．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【变式3】．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 题型3 根据二次函数的定义求参数 【解题思路】 这类题目通常给出含有参数的函数关系式，要求根据"是二次函数"的条件求参数的值或取值范围。 第一步：明确二次函数的两个核心条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0。 第二步：根据"最高次数为2"列方程——令x的最高次幂的指数等于2，解出参数的可能值。 第三步：根据"二次项系数不为0"列不等式——令化简后x²项的系数不等于0，排除使系数为0的参数值。 第四步：综合方程和不等式的解，确定参数的最终取值。 【常见考法】 （1）指数含参数型：如 y=(m-1)x^(m²+1)+3x-5 是二次函数，求m。 令 m²+1=2，解得 m=±1；又 m-1≠0，即 m≠1；所以 m=-1。 （2）系数含参数型：如 y=(m-2)x²+3x-1 是二次函数，求m的取值范围。 只需 m-2≠0，即 m≠2。 （3）化简后二次项系数含参数型：如 y=mx²-(m+2)x+mx²+1 是二次函数，求m。 先合并同类项：y=2mx²-(m+2)x+1；令 2m≠0，即 m≠0。 （4）同时含指数和系数参数型：如 y=(k-3)x^(k²-7)+2x-1 是二次函数，求k。 令 k²-7=2，解得 k=±3；又 k-3≠0，即 k≠3；所以 k=-3。 【易错提醒】 （1）只考虑指数等于2，忘记检验二次项系数不为0——这是最常见的错误，必须两个条件同时满足。 （2）函数中有多个x的幂次项时，要先合并同类项，再看最高次和二次项系数。 （3）注意参数可能出现在一次项系数或常数项中，这些不影响"是否为二次函数"的判断，只需关注二次项。 （4）若题目说"函数y=...是二次函数"，则隐含a≠0；若题目说"函数y=...（a为常数）"，则需要讨论a=0和a≠0两种情况。 【典例3】．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【变式1】．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式2】．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【变式3】．函数是关于的二次函数，则______． 题型4 y=ax²的图象和性质 【解题思路】 这类题目主要考查y=ax²的图象特征和性质应用，包括开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等。 【考法1：判断图象开口方向和顶点、对称轴】 第一步：确定a的正负——a>0开口向上，a<0开口向下。 第二步：y=ax²的顶点固定为(0,0)，对称轴固定为y轴（直线x=0）。 第三步：根据a的绝对值判断开口大小——|a|越大开口越窄，|a|越小开口越宽。 【考法2：利用增减性比较函数值大小】 第一步：判断a的正负，确定抛物线的开口方向。 第二步：明确增减性规律： a>0（开口向上）：x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大； a<0（开口向下）：x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。 第三步：将需要比较的点的x值代入，或利用对称性（到对称轴距离相等的点函数值相等）比较。 简便方法：对于y=ax²，函数值的大小只与|x|有关。a>0时，|x|越大y越大；a<0时，|x|越大y越小。 【考法3：求最值】 第一步：判断a的正负。 第二步：a>0时，函数有最小值，在x=0处取得，y最小值=0； a<0时，函数有最大值，在x=0处取得，y最大值=0。 第三步：若自变量有取值范围限制（如x≥1），则需结合增减性判断在范围内的最值位置，不一定在x=0处。 【考法4：图象上点的坐标特征】 第一步：若点在y=ax²的图象上，则点的坐标满足函数关系式，即 y=a·x²。 第二步：已知x求y——直接代入计算；已知y求x——解方程 ax²=y，注意x可能有两个互为相反数的值（y≠0时）。 第三步：利用对称性——若(x₁,y)在图象上，则(-x₁,y)也在图象上。 【考法5：画函数图象（描点法）】 第一步：列表——以0为中心对称取值，如x=-3,-2,-1,0,1,2,3，计算对应的y值。 第二步：描点——在坐标系中描出各点。 第三步：连线——用平滑曲线从左到右连接各点，注意两端要延伸（画箭头或自然延伸）。 【易错提醒】 （1）y=ax²的对称轴是y轴（直线x=0），不是"y轴=0"，要写成直线x=0。 （2）顶点坐标是(0,0)，不要写成(0,0)以外的点。 （3）比较函数值大小时，注意a的正负决定了变化趋势，不要搞反。 （4）求最值时注意自变量的取值范围，若x不能取0，则最值不在顶点处。 （5）|a|只影响开口大小，不影响开口方向和顶点、对称轴的位置。 【典例4】．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【变式2】．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式3】．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 1．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 3．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 6．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 8．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 9．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 10．抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 11．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 12．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 13．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 14．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 15．如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 16．（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 17．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 18．大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格元/千克在生产基地收购了千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计元，而且大蒜在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 19．在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 20．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $