第二十八章 旋转章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学旋转章末复习讲义通过结构化框架系统梳理19个知识点，涵盖旋转与中心对称的定义、性质、作图，坐标系中的旋转规律及与全等三角形的综合应用，以分点解析和步骤分解呈现知识脉络，突出旋转三要素、性质与中心对称的内在联系。 讲义亮点是12类分层题型设计，典例结合变式题，如手拉手模型（题型12）、半角模型（题型11），培养推理能力与空间观念。解题梳理含核心方法和易错提醒，巩固与强化训练覆盖不同难度，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

第二十八章 旋转章末重难点复习 19知识点+12题型+巩固训练+强化训练 1.理解旋转图形的定义与性质； 2.理解中心对称图形的定义与性质； 3.熟练利用旋转图形的性质求解与证明； 4.熟练利用中心对称的性质求解； 5.熟悉掌握平面直角坐标系中的旋转问题与中心对称问题； 6.掌握处理旋转综合问题（线段问题、角度问题、面积问题）； 7.熟练掌握旋转的性质与全等三角形的性质综合问题。 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2. 旋转三要素 · 旋转中心： 图形绕着转动的定点（可以在图形上、图形内或图形外） · 旋转方向： 顺时针或逆时针 · 旋转角： 转动的角度（对应点与旋转中心连线的夹角） · 三要素缺一不可，改变其中任何一个，旋转后的图形都会改变 3. 旋转的相关概念 · 对应点： 旋转后互相重合的点 · 对应线段： 旋转后互相重合的线段 · 对应角： 旋转后互相重合的角 4. 旋转的性质 · 性质1： 对应点到旋转中心的距离相等 · 性质2： 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（所有旋转角都相等） · 性质3： 旋转前、后的图形全等（对应线段相等、对应角相等） · 性质4： 图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度 · 性质5： 旋转中心是唯一不动的点 5. 旋转的特征 · 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 · 对应线段相等，对应角相等 · 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 6. 旋转作图 步骤： - 第一步：确定旋转中心、旋转方向和旋转角 - 第二步：找出原图形的关键点（顶点、端点等） - 第三步：连接各关键点与旋转中心 - 第四步：按旋转方向和角度，作出各关键点的对应点（利用对应点到旋转中心距离相等、夹角等于旋转角） - 第五步：按原图形顺序连接各对应点，得到旋转后的图形 作对应点的方法： - 以旋转中心为顶点，以中心与关键点的连线为一边，作角等于旋转角 - 在角的另一边上截取线段等于中心到关键点的距离，截点即为对应点 7. 旋转对称图形 · 定义： 一个图形绕某一定点旋转一定角度（小于 ）后能与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形 · 常见图形： 正三角形（旋转 重合）、正方形（旋转 重合）、正五边形（旋转 重合）、圆（旋转任意角度重合） · 正 边形旋转 后与自身重合 8. 旋转与全等三角形 · 旋转前后图形全等，常产生全等三角形 · 共顶点的两个等腰三角形（等边、等腰直角）旋转后常构造全等（手拉手模型） · 旋转是添加辅助线的重要思路：当有公共顶点且有相等线段时，可考虑旋转构造全等 9. 旋转解题的常见模型 · 等边三角形中的旋转： 将三角形绕顶点旋转 ，构造新的等边三角形和全等三角形 · 正方形中的旋转： 绕顶点旋转 ，转移线段 · 等腰直角三角形中的旋转： 绕直角顶点旋转 · 核心思想： 通过旋转将分散的线段集中，把不规则图形转化为规则图形 10. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 11. 中心对称与旋转的关系 · 中心对称是旋转的特殊情况：旋转角为 的旋转 · 旋转角可以是任意角，中心对称的旋转角固定为 · 中心对称不需要区分顺、逆时针（旋转 顺逆结果相同） 12. 中心对称的性质 · 性质1： 关于中心对称的两个图形是全等形 · 性质2： 关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 · 性质3： 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 13. 中心对称的判定 · 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 · 即：对应点连线共点且被该点平分 中心对称 14. 中心对称作图 作一个图形关于某点的中心对称图形： - 第一步：确定对称中心 - 第二步：找出原图形的关键点 - 第三步：连接各关键点与 并延长（即作关键点与 的连线） - 第四步：在延长线上截取对应点，使 为关键点和对应点的中点（即关键点与对应点到 距离相等） - 第五步：按原图形顺序连接各对应点 作对称中心的方法： - 方法1： 连接两组对应点，两条连线的交点即为对称中心 - 方法2： 连接一组对应点，取其中点即为对称中心 15. 中心对称图形 · 定义： 把一个图形绕某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 16. 常见的中心对称图形 · 线段： 对称中心是线段中点 · 平行四边形： 对称中心是对角线交点 · 矩形、菱形、正方形： 都是中心对称图形，对称中心为对角线交点 · 圆： 对称中心是圆心 · 正偶数边形： 是中心对称图形（如正方形、正六边形） · 正奇数边形： 不是中心对称图形（如正三角形、正五边形） 17. 轴对称与中心对称的区别 · 轴对称： 沿一条直线翻转 （翻折）重合，对称轴是直线 · 中心对称： 绕一个点旋转 重合，对称中心是点 · 一个图形可同时是轴对称图形和中心对称图形（如矩形、正方形、圆） 18. 关于原点对称的坐标规律 · 点 关于原点 的对称点为 （横、纵坐标都取相反数） · 对比： · 关于 轴对称：（纵坐标取反） · 关于 轴对称：（横坐标取反） · 关于原点对称：（都取反） 19. 中心对称的应用 · 平分线段： 对称中心是对应点连线的中点 · 图形设计： 利用中心对称设计图案 · 坐标系中求对称点坐标： 横纵坐标都变号 · 几何证明： 利用中心对称的性质证明线段相等、平行、点共线等 题型01 根据旋转的性质求解 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 解题梳理 解题核心： 紧扣旋转三性质——距离相等、旋转角相等、图形全等。 性质要点： - 对应点到旋转中心距离相等 - 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角（处处相等） - 旋转前后图形全等（对应边相等、对应角相等） 解题步骤： - 确定旋转中心、旋转方向、旋转角 - 找准对应点、对应边、对应角 - 利用”距离相等”求线段，利用”旋转角相等”求角度 常见考法： 求旋转角大小、对应线段长度、旋转后点的位置。 易错提醒： 旋转角是对应点与中心连线的夹角，不是对应边的夹角（二者相等但要找准）；对应关系找错。 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接，延长交于点M，延长交于点M，证明垂直平分得．由勾股定理得，再求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 【变式1-3】（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 【答案】35 【分析】根据旋转的性质得到旋转角，再用减去，即可求出的度数． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ． 【变式1-4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 题型02 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 解题梳理 解题核心： 旋转前后图形全等，对应线段、对应角相等。 证明思路： - 第一步：说明两个图形的旋转关系（绕哪个点、方向、角度） - 第二步：由旋转性质得两图形全等 - 第三步：由全等得对应线段相等、对应角相等 常用结论： - 旋转前后对应线段相等 - 旋转前后对应角相等 - 对应点到旋转中心距离相等 - 对应点与中心连线夹角相等（都等于旋转角） 书写规范： 先点明旋转关系，再写”由旋转的性质可知……“，最后得结论。 易错提醒： 必须先说明旋转关系才能用性质；对应元素要写对。 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1) 和是在同一条直线上，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 矩形是由矩形旋转得到的， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， ， 和是在同一条直线上； (2) 证明：由（1）得：，， ， ， ． 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，进而可得， 由等边对等角可得，进而可得，利用可证得，于是可得，即，进而可得，然后由即可得出结论； （2）由（1）得，，由等角对等边可得，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，利用矩形的性质及旋转的性质证明是解题的关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：； (3)在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵是的平分线， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)15°或30° 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）可证得，，从而，进而证得； （2）可证得从而，进而证得，从而得出； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意可分： ①当是以的等腰三角形时，则有：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当是以的等腰三角形时，如图所示： ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时，则， ∴， ∵，且点P在的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当或时，是等腰三角形； 故答案为：或． 【变式2-4】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接． (1)判断的形状为 ； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理． （1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论； （2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出结论． 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转90°到的位置， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）∵旋转， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型03 旋转中的规律性问题 【典例】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出前几次的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处， ， ∴， 第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， 第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第4次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第5次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， … 轴上为每3段一循环，即重复出现， ，，，，，…，这些点的横坐标依次为： 0，，，，，， 奇数次旋转（如第1、3、5…次）：点A落在x轴上，纵坐标为0，横坐标增加， 偶数次旋转（如第2、4、6…次）：点A不在x轴上，纵坐标为1，横坐标增加1， 每两次旋转为一个周期，每个周期内横坐标总增加，纵坐标在偶数次旋转后为1， ， 50次旋转包含25个完整周期， 每个周期横坐标增加，25个周期总增加：， 初始横坐标为0， 故第50次旋转后的横坐标为， 点​的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解，坐标与旋转规律问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 解题梳理 解题核心： 找出旋转周期，利用周期循环规律求解。 常见类型： - 图形多次旋转后求第 次的位置或坐标 - 旋转过程中点的运动轨迹（圆弧）长度 - 旋转若干次后与原图形重合 解题方法： - 计算旋转周期： 每次旋转角 = 循环周期次数 - 用 除以周期，看余数确定位置（余几就是第几个状态） - 整除时回到初始位置 点的运动路径： - 旋转时点的轨迹是以旋转中心为圆心、该点到中心距离为半径的圆弧 - 弧长 = 易错提醒： 周期计算错误；余数与状态对应错；弧长公式中旋转角换算错误。 【变式3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质等知识点，第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同是解题的关键． 通过观察发现第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，根据正方形的性质，再根据旋转2次（将正方形绕点O顺时针旋转），根据旋转的性质可得，然后根据坐标系即可解答． 【详解】解：如图：将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴每8次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，即将正方形绕点O顺时针旋转的D坐标相同， ∵正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为， ∴， 如图：将正方形绕点O顺时针旋转，此时，即， ∴第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选B． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，探索规律，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 第1、2、3、秒的坐标为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川德阳·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点A的对应点与点关于点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故选：D． 【变式3-4】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换．由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为8即可求出的值． 【详解】解：一段抛物线， 图象与轴交点坐标为：，， ， 将绕点旋转得， ， 抛物线， 且曲线的一个周期长为8， 在这种连续变换的图象上，且， ∴． 故选：A． 题型04 坐标系中的点坐标旋转问题 【典例】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 解题梳理 解题核心： 掌握特殊角度旋转的坐标变换规律。 绕原点旋转 （特殊规律）： - 点 绕原点顺时针旋转 - 点 绕原点逆时针旋转 绕原点旋转 （中心对称）： - 绕原点旋转 ： - 顺时针 = 逆时针 - 逆时针 = 顺时针 绕非原点的点旋转： - 先平移：将旋转中心平移到原点（坐标相减） - 再按上述规律变换 - 最后平移回去（加上旋转中心坐标） 解题技巧： 画图辅助，利用网格或全等三角形确定新位置；特殊角度（、）直接套规律。 易错提醒： 顺逆时针方向搞反；横纵坐标变换顺序错；绕非原点旋转忘记平移。 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）春节时人们爱用风车装饰景区，如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰直角三角形的斜边，且在x轴上，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，等腰直角三角形的相关性质，准确地掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．先找到边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点，再运用等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求得点B的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点为点C， ∵等腰直角三角形的斜边， ∴， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点为点C， ∴， ∵风车由两种等腰直角三角形拼成， ∴是等腰直角三角形，斜边， ∴， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C坐标为． 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·云南怒江·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-4】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 题型05 坐标系中的旋转作图问题 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求；点的坐标为； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，画出点的位置，进而写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 解题梳理 解题核心： 作每个关键点的对应点，再按顺序连接。 作图步骤： - 确定旋转中心、方向、旋转角 - 找出原图形关键点（顶点） - 对每个关键点作对应点： - 连接关键点与旋转中心 - 以中心为顶点作角等于旋转角 - 在角边上截取等长线段得对应点 - 按原图形顺序连接各对应点 网格中作图技巧： - 利用网格线作垂线、数格子确定对应点 - 旋转 时，可利用”横纵互换、符号定方向” - 旋转 时，对应点与原点、中心三点共线且中心为中点 注意事项： 对应点到中心距离必须相等；旋转角处处相等；连线用虚线，图形轮廓用实线。 易错提醒： 旋转方向画反；对应点距离截取不等；关键点遗漏。 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】如图，即为所求： ； 【分析】利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】略 【变式5-2】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出图形，写出点、的坐标； (2)连接，则______． 【答案】(1)如图，即为所求，， (2) 【分析】（1）根据旋转中心，旋转方向及角度找出点A、B的对应点、的位置，然后顺次连接即可，进而可直接得出点、的坐标； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由勾股定理得． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕原点O顺时针旋转所得到的． (2)求旋转过程中点C经过的路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)． 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换、弧长公式的应用，熟练掌握点绕原点旋转的坐标变换规则和弧长公式是解题的关键． （1）根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则（点旋转后变为），求出旋转后的对应点的坐标，再顺次连接得到． （2）点旋转过程中经过的路径是一段圆弧，先求原点到点的距离（即半径），再根据弧长公式计算路径长． 【详解】（1）解：点绕原点顺时针旋转90°得， 点绕原点顺时针旋转90°得， 点绕原点顺时针旋转90°得， 顺次连接，得到． （2）解：∵点到原点的距离为， ∴点经过的路径长：． 【变式5-4】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 【答案】(1)如图， (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 题型06 中心对称图形 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、它不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不合题意； D、它既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意 ． 解题梳理 解题核心： 绕一点旋转 能与自身重合即中心对称图形。 判断方法： - 将图形绕某点旋转 - 能与自身重合 是中心对称图形，该点为对称中心 - 不能重合 不是 常见图形归类： - 是中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 - 不是中心对称图形：角、等腰三角形、等边三角形、正奇数边形 - 既是轴对称又是中心对称：线段、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 中心对称与中心对称图形的区别： - 中心对称：两个图形之间的关系 - 中心对称图形：一个图形自身的特性 找对称中心： 连接两组对应点，交点即为对称中心（或一组对应点的中点）。 易错提醒： 正奇数边形不是中心对称图形；轴对称与中心对称判断标准混淆。 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，既是轴对称图形又是中心对称图形； B选项，是轴对称图形不是中心对称图形； C选项，是轴对称图形不是中心对称图形； D选项，是轴对称图形不是中心对称图形． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项是中心对称图形，符合题意； B. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 【变式6-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）古典园林的窗格不仅看上去美观，而且会用寓意、谐音来表达吉祥、愿望．下列窗格样式的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 【变式6-4】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义 ，轴对称图形：可以被一条直线分割成两个完全相同的部分的图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 逐项判断即可． 【详解】解：由定义可知，选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形； 选项B：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项D：是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：A 题型07 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 解题梳理 解题核心： 中心对称的两图形全等，对应点连线被对称中心平分。 性质要点： - 关于中心对称的两个图形全等 - 对应点连线经过对称中心且被其平分 - 对应线段平行（或共线）且相等 求长度： - 利用全等得对应线段相等 - 利用”中心平分对应点连线”得线段倍分关系 求角度： - 利用全等得对应角相等 - 对应线段平行时利用平行线性质（内错角、同旁内角） 求面积： - 中心对称的两图形面积相等 - 过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分 - 利用中心对称将不规则图形割补为规则图形求面积 易错提醒： 对应关系找错；忽略”过中心的直线平分中心对称图形面积”这一结论。 【变式7-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 【变式7-3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 【答案】4 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据对称性可知一定过点，由及等腰直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点和点关于点对称，连接，则一定过点， 且， ∵和是等腰直角三角形，为的中点， ∴， 由对称性知， ∴． 故答案为：4 ． 【变式7-4】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 题型08 坐标系中的中心对称问题 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 解题梳理 解题核心： 关于原点对称，横纵坐标都取反。 坐标规律： - 点 关于原点对称 - 关于 轴对称 （纵变） - 关于 轴对称 （横变） 常见考法： - 已知点坐标求关于原点的对称点：横纵都取反 - 已知对称关系求参数：对应坐标列方程 - 作关于原点对称的图形：各顶点取反后连接 - 关于非原点对称：中点公式——若 、 关于点 对称，则 ， 解题步骤： 确定对称中心 按规律求各对应点坐标 连接成图或列方程。 易错提醒： 与关于坐标轴对称的规律混淆；关于非原点对称时中点公式用错。 【变式8-1】（25-26九年级上·四川泸州·期末）已知点关于原点的对称点为Q，则______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的知识；根据中心对称的性质：点关于原点对称时，横坐标和纵坐标都互为相反数，求得b的值，从而完成求解． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，因此． 故答案为：． 【变式8-2】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）若点与点关于原点对称，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标．熟悉关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标的性质，建立关于纵坐标的一元一次方程并解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数， ∴，解得． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知、、． (1)在图中画出； (2)与关于原点对称，画出． 【答案】(1)如图： (2)如图： 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的绘制及关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数． （1）根据、、的坐标在坐标系中找点并顺次连接得到； （2）求出、、关于原点对称的点的坐标，再找点连接得到． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，找到点、、，顺次连接、、，得到； （2）解：∵关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数， ∴、、，在坐标系中找到点、、，顺次连接，得到． 【变式8-4】（25-26九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)先以原点、点和点为顶点作，再作出与关于原点对称的，并写出点、的坐标． (2)若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】(1) 如图，关于原点对称的即为所求， 点的坐标；点的坐标 (2)7 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及关于轴对称的点的坐标特征，熟知这些特征是解题的关键． （1）两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此求解即可； （2）两点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标；点的坐标； （2）∵点与点关于轴对称 ∴，， ∴． 题型09 线段问题(旋转综合题) 【典例】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在等腰和等腰中，，将绕点C逆时针旋转，连接，点O为线段的中点，连接，．    (1)如图1，当点B旋转到边上时，线段与线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (2)如图2，当点B旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)若，在绕点C逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) 解：，； 理由：当点旋转到边上时，点必在边上， ， 在中，点是的中点， ， ， 在中，点是的中点， ， ， ， 等腰，且， ， ， ； (2) 仍然成立， 证明：如图2，延长到点，使得，连接，，，     是的中点， ， ， ， ，， 和是等腰三角形，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，； (3)2或 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （3）分点在左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①当点在左侧时，如图3，    延长到点，使得，连接，，， 同（2）的方法得，， ，，， ， ， 在五边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， 过点作交的延长线于， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ②当点在右侧时，如图4，    同①的方法得，，， 连接，过点作于， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， ， 即：线段的长为2或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出是解本题的关键． 解题梳理 解题核心： 旋转转移线段，用全等或勾股定理求线段关系。 常见类型： 1. 求线段长度 - 旋转前后对应线段相等，实现线段转移 - 结合勾股定理、特殊三角形（等边、等腰直角）计算 2. 证明线段相等 - 由旋转全等直接得对应线段相等 - 或证明包含线段的两个三角形全等 3. 证明线段和差关系（截长补短思想） - 通过旋转将分散的线段集中到一个三角形中 - 典型：正方形内 ，旋转 证 4. 线段最值 - 旋转过程中确定点的轨迹（圆弧） - 利用”两点之间线段最短”或点到圆的距离求最值 解题步骤： 分析旋转关系 找对应线段 利用全等转移线段 集中到特殊三角形中计算。 易错提醒： 旋转后对应线段找错；线段和差关系未通过旋转集中。 【变式9-1】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】(1) 证明：由旋转的性质可知，； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵； ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． (2)①，证明： 如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； 由第一问可以知道，为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形 ∵,； ∴； ∴； 即，． ② (3)或 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，，，就足够说明和都是确定的，然后利用勾股定理求长和特殊角求长，的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． （3）解：如下图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； ∴； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 【变式9-2】（25-26九年级上·重庆云阳·阶段检测）小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 在中，，M是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)如图1，若点M是线段上的任意一点，判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E是延长线上的点，若点M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． (3)如图3，在中，，，，点P是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小． 【答案】(1) 结论：． 由旋转知，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 故答案为； (2) 解：（1）中结论仍然成立， 理由：由旋转知，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴； (3)线段长度的最小值为 【分析】（1）由旋转知，，进而得出，判断出，即可得出结论； （2）由旋转知，，进而得出，判断出，即可得出结论； （3）在的截取， 过点作于E，根据旋转得出，，可证，得出，要线段长度的最小，则线段长度最小，而点O为上定点，当时，最小，先求，再利用直角三角形性质求出，利用勾股定理求出，利用等腰直角三角形求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，在的截取， 过点作于E， 由旋转知，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 要线段长度的最小，则线段长度最小， 而点O为上定点，当时，最小， 在中，， 在中， ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴，， ∴， ∴ 即：线段长度的最小值为． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，构造出是解本题的关键． 【变式9-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E． (1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1) 解：如图即为所求． 解法一（利用作全等三角形）： 解法二（利用作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）： 解法三（利用作全等三角形）： (2) 解法一： 当时，无论取何值时，都有． 理由如下： ∵，， ∴始终在的外部． 连接，， ∵在中，，是的中点， ∴． ∴． ∵是的外角， ∴． 又∵，即， ∴． ∴． ∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点， ∴，，． 又∵点在上， ∴． ∴，即点在上． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 此时，． 解法二： ∵，， ∴始终在的外部． 连接，， ∵在中，，是的中点， ∴． ∴． ∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点， ∴，，． 又∵点在上， ∴． ∴．即点在上． ∴． ∴． 要使得无论取何值时，都有，只要使四边形是平行四边形． ∵， ∴要使四边形是平行四边形，只要使． 即要使． ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴． ∴要使， 只要使，即． ∴当时，无论取何值时，都有． 此时，． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可； （2）连接，，根据三角形的外角定理可得，则，再通过证明四边形是平行四边形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 【变式9-4】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) 证明：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； (2)6 (3) ，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证； （2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积； （3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 题型10 面积问题(旋转综合题) 【典例】（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，   四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 解题梳理 解题核心： 旋转前后图形全等（面积相等），用割补法转化面积。 常见类型： 1. 求旋转扫过的面积 - 线段旋转扫过扇形： - 图形旋转扫过的面积：转化为扇形面积 图形面积 2. 利用旋转求不规则图形面积 - 将图形某部分旋转，与其他部分拼成规则图形 - 旋转前后面积不变（全等），实现割补 3. 重叠面积问题 - 旋转过程中两图形重叠部分面积 - 画出临界位置，分段表示面积 解题步骤： 分析旋转前后面积关系 确定扇形或规则图形 用面积和差计算。 关键公式： 扇形面积 ；旋转全等保证面积相等。 易错提醒： 扫过区域的半径判断错（是点到旋转中心的距离）；面积和差关系搞反。 【变式10-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在平行四边形中，，，点到的距离为4，是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，________，当点在边上运动时，长的最小值为________； (2)求点到的距离（用含的代数式要表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】(1)4； (2)当时，点到的距离是；当时，点到的距离是； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，，当点恰好落在边上时，点与点重合，此时；当时，的长有最小值，此时长有最小值，连接，过点作于点，利用等面积法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当时，点在上，此时点到的距离是；②当时，点在上，过点、、作的垂线，垂足分别为、、，证明，根据相似三角形对应边成比例和勾股定理，求出，则，再证明，得到，即可得解； （3）分两种情况讨论：①当点在上时，如图，过点作于点，此时，利用勾股定理求出，得到，从而推出，则，即可求出重叠部分图形的面积；②当时，设交于点，交于点，此时，结合勾股定理，得到，从而得出，即可求出重叠部分图形的面积． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， 平行四边形， ， 点到的距离为4，， ， 当点恰好落在边上时，点与点重合， ； 由旋转的性质可知，， 若长最小，则长最小， 由垂线段最短可知，当时，的长有最小值，此时长有最小值， 如图，连接，过点作于点， ， ， ， 即长的最小值为； （2）解：① 当时，点在上，此时， 由旋转的性质可知，，， 即点到的距离是； ②当时，点在上，此时， 如图，过点、、作的垂线，垂足分别为、、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 点到的距离是； （3）解：①当点在上时，如图，过点作于点，则，此时， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，； ②当时，如图，设交于点，交于点，此时， 由①可知，，， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， 综上可知，关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式10-2】（25-26九年级·山西大同·阶段检测）综合与实践：如图1，已知在中，，，将正方形ADEF按如图1所示放置，点D，F分别在边AB和AC上，连接BF，CD，M是BF的中点，连接AM交CD于点N． 观察猜想： (1)判断线段CD与AM之间的关系，并说明理由； 探究证明： (2)将图1中的正方形ADEF绕点A顺时针旋转，点E恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段CD与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 结果运用： (3)在（2）中，连接MC，MD．若，，请直接写出四边形ADMC的面积． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)四边形ADMC的面积为 【分析】观察猜想：（1）根据正方形的性质证明，再结合直角三角形中斜边上的中线的性质和三角形内角和定理证明即可； 探究证明：（2）延长AM至点G使得，连接BG，FG，根据平行四边形的性质、正方形的性质和平行线的性质证明，得到，再结合三角形内角和定理证明即可； 结果运用：（3）过点D作于点H，将四边形ADMC的面积分为两个小三角形的面积进行计算，再根据勾股定理和一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∵四边形ADEF是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，M是BF的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上所述：； （2）成立，理由如下， 延长AM至点G使得，连接BG，FG， ∵M是BF的中点， ∴， 又∵， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴， ∵四边形ADEF是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：，； （3）过点D作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理的运用和一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确的作出辅助线并结合以上性质求解即可． 【变式10-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图在中，，，直线，点E是直线l上的一个动点，连接，将绕E逆时针旋转90°得到，连接交直线于点G． (1)如图，当点E与点A重合，点F在l上时，线段和线段的数量关系是___________； (2)如图，当点E在点A的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由； (3)连接，若，请直接写出面积大小． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3)6或12 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，在通过图形旋转的性质，可得，是等腰直角三角形，再证明，最后由，，运用等腰三角形三线合一的性质，证得． （2）连接，先证是等腰直角三角形，，再证，得到，，，四点共圆，从而证得，最后由，，运用等腰三角形三线合一的性质，证得． （3）分A点在E点右侧和A点在E点左侧，两种情况分别求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵将绕E逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形． ∵，即，， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． （2）解：（1）问中的关系仍然成立，理由如下， 如图1，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵直线， ∴． ∵将绕E逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：当A点在E点左侧时， 如图2，过G作于点M， ∵，直线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 由（2）可知， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴在中， ， 即， 解得，，， 经检验，当A点在E点左侧时，此时应舍去． ∵， ∴． 当A点在E点右侧时， 如图3，过G作于点M， 设， 同理可得，在中， ， 即， 解得，，， 经检验，当A点在E点右侧时，此时应舍去． ∵， ∴， 综上所述，面积是6或12． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形相关性质及判定，平面几何问题综合探究，难度较大． 【变式10-4】（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由； (2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由； (3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积． 【答案】(1)全等；理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证结论； （2）由（1）同理可证△ABE≌△ACD（SAS），得DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，从而得BE⊥CD； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，可证DE2＋CE2＝CD2，则∠CED＝90°，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，得CF＝CE＝2，EF＝，在Rt△ACF中，运用勾股定理求出AC的长，从而求出等边△ABC的面积． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠EAD−∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：DC⊥BE，DC＝BE，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAE＝∠BAC＋∠EAC，∠CAD＝∠EAD+∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE＋∠EBC＋∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠EBC＋∠ACB＝90°， ∴∠EAC＋∠DCB＝90°， ∴DC⊥BE； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，如图所示： ∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝4， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3，∠AED＝60°， ∵，， ∴， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝60°+90°=150°， 过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F， ∴CF＝CE＝2，EF＝， ∴， 在Rt△ACF中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是运用旋转将分散条件集中到一个三角形中进行求解． 题型11 角度问题(旋转综合题) 【典例】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知∠ABC=90°，BA=BC，在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180°）得△ADE． (1)若AE//BD如图（1），求旋转角∠BAD度数； (2)当旋转角为60°时，延长ED与BC交于点F，如图（2）．求证：AC平分∠DAF (3)点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°到AG，如图（3）示例，设AB=BC=，求CG长度最小值（用含式子表示） 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）由AE//BD，推出，得 为等腰直角三角形，即可得到答案． （2）由旋转60°可推出，再证△ABF △ADF，再推角，即可证出． （3）将AC绕点A逆时针旋转到AH，再证，可知G在GM上动，由点到直线垂线段最短可知，CG最小值为CF长． 【详解】（1）解：∵∠ABC=90°，BA=BC ∴ 由旋转可知AB=AD， 又∵AE//BD ∴ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ （2）证：由旋转可知 又∵ ∴ ∵ ∴ 在Rt△ABF和Rt△ADF中 ∴△ABF△ADF（HL） ∴ ∴ ∴= ∴AC平分∠DAF （3）解：如图，将AC绕点A逆时针旋转到AH，连接GH 过C作GH垂线，垂足为F 由旋转，易证 ∴ ∴ 过A作HG延长线垂线，垂足为M 可得三角形AMH为等腰直角三角形 ∵AB=a ∴AH=AC= ∴AM=a ∴AK= ， ∴ ∴CG长度最小值为． 【点睛】本题考查了图像旋转与三角形全等综合，还考查了瓜豆原理．瓜豆原理总结：两动点、两定值．两定值：主动点与定点距离和从动点与定点距离比值为定值；主动点与从动点分别和定点组成的线段夹角为定值．满足两定值时，两动点轨迹相同． 解题梳理 解题核心： 旋转角相等+全等对应角相等，结合三角形内角和计算。 常用结论： - 每对对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角 - 旋转前后对应角相等 - 对应线段的夹角等于旋转角（重要结论：两条对应边所在直线的夹角等于旋转角或其补角） 常见类型： 1. 求旋转角 - 找对应点与中心连线的夹角 - 或利用等腰三角形（对应点到中心距离相等构成等腰三角形）求角 2. 求旋转后图形中的角度 - 利用全等转移角 - 结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形性质计算 3. 旋转过程中角度不变问题 - 对应线段夹角恒等于旋转角 - 典型：手拉手模型中对应边夹角等于顶角（ 或 ） 解题步骤： 确定旋转角 找对应角 利用等腰三角形/内角和/全等推导。 易错提醒： 对应边夹角与旋转角的关系（相等或互补）判断错；等腰三角形中边角关系用错。 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 【变式11-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．    (1)求证：； (2)若，证明：直线与互相垂直． 【答案】(1) 证明：绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； (2) 绕点顺时针旋转得到， ，， 由（1）可知， ， 若，则， ， 四边形是菱形， ； ，将绕点顺时针旋转得到， ，即， ， 即直线与互相垂直． 【分析】（1）由绕点顺时针旋转得到，可得，，而，即得，可证，故AB； （2）根据绕点顺时针旋转得到，，可得，证明四边形是菱形，得到；又，进而推导出． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查三角形的旋转问题，涉及菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，证明． 【变式11-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知给定，其中，射线经过斜边的中点O． (1)以点B为旋转中心，将按顺时针旋转到（A与，C与分别是对应顶点），且点恰好落在射线上，请作出符合要求的．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）． (2)若，求旋转的角度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，再分别以、B为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点，连接、即可． （2）设，由旋转可得，，，则，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而可得，，，则，求出x的值，则可得，即得出答案． 【详解】（1）以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，再分别以、B为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点，连接、， 作图如下： 即为所求， 证明：根据作图方法可知：，，， 则有：， 则所作满足要求； （2）设， 由旋转可得，，， ∴， ∵，点O为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 解得， ∴， 即旋转的角度为． 【点睛】本题考查作图−旋转变换、直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【变式11-4】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在中，，，在中，，，点，分别在，边行，直角顶点重合在一起，将绕点逆时针旋转，设旋转角，其中． （1）当点落在上时，如图2： ①请直接写出的度数为______（用含的式子表示）； ②若，，求的长； （2）如图3，连接，，并延长交于点，请判断与的位置关系，并加以证明； （3）如图4，当与是两个相等钝角时，其他条件不变，即在与中，，，，，则的度数为______（用含或的式子表示）． 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）①由等腰直角三角形得，，故可求出； ②过点M作于点，设，则，由，得是等腰直角三角形，得出，即可求出x的值，由勾股定理即可得出答案； （2）设与相交于点，由旋转得，根据SAS证明，由全等三角形的性质得，由得即，故可证； （3）设与相交于点，同（2）得，故，即可求． 【详解】（1）①∵，都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ② 如图2，作于点， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2），证明如下： 如图3，设与相交于点， 由旋转可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴； （3）如图4， 设与相交于点，同（2）得， ∴， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点间的应用是解题的关键． 题型12 旋转问题与全等三角形的性质综合问题 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 【答案】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②； (2) 【分析】（1）①先证明，再证明，可得结论；②绕点按顺时针方向旋转得到，证明，再结合勾股定理可得答案； （2）将绕点逆时针旋转得，作于，连接， 进而可得，，，， ，证明，得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：①略 ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 解题梳理 解题核心： 旋转即全等，结合全等三角形性质解决综合证明与计算。 常见模型： 1. 手拉手模型（共顶点旋转） - 两个共顶点的等腰三角形（等边、等腰直角） - 旋转后产生一对全等三角形（SAS） - 结论：对应边相等，对应边夹角等于顶角 2. 半角模型 - 正方形中 （顶角的一半） - 将三角形旋转 ，证全等得线段和差关系 - 推广：等腰直角三角形中半角、等边三角形中半角 3. 旋转构造全等 - 图形中有公共顶点且有相等线段时，考虑旋转 - 旋转目的：把分散条件集中，构造全等三角形 - 旋转角的选择：等边三角形旋转 ，正方形旋转 ，等腰直角三角形旋转 解题步骤： - 第一步：观察图形中是否有共顶点的相等线段 - 第二步：确定旋转中心（公共顶点）和旋转角（特殊角） - 第三步：旋转后找到全等三角形 - 第四步：利用全等性质（对应边、对应角相等）推导结论 手拉手模型结论（必记）： - 双等边共顶点：全等，对应边相等且夹角 - 双等腰直角共顶点：全等，对应边相等且夹角 易错提醒： 旋转后全等的对应关系写错；半角模型中旋转方向和对应点找错；证明全等后未充分利用对应边/角相等。 【变式12-1】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接． (1)如图，当点恰好在上时，求的大小； (2)如图，若，点是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图，若点为中点，求证：、、三点共线．求的最大值． 【答案】(1) (2) 四边形是平行四边形，理由如下： 点是边中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，，， ，为等边三角形， ， ，，， ， ， ， 而， 四边形是平行四边形； (3) ①证明：如图，连接，，， 将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， 为中点， ， ， 而， 点、点、点、点四点共圆， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点三点共线； ②4 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可求解； （3）通过证明点、点、点、点四点共圆，点，点，点，点四点共圆，可得，，可得结论； 由直角三角形的性质可求，由圆中直径最大可求解． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，，， ， ； （2）解：略． （3）略． 解：在中，，，， ， 点、点、点、点四点共圆，， 是直径， 最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式12-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图1—图3所示，是直角三角形，，．点是射线上的一点，点是射线上的一点，且，把点绕点逆时针旋转落在点处，直线和直线相交于点． (1)当点与点重合时，点必然落在上，且点与点重合，如图2所示，请你直接写出此时线段与线段的数量关系及的大小． (2)当点在如图1所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？如果成立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由． (3)当点在如图3所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？请直接给出结论，不用说明理由． 【答案】(1)， (2) 成立，即仍有，． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∴． ∴，． (3) 结论仍成立，即，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵把点绕点逆时针旋转落在点处， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，点与点重合，且点与点重合（记作O），把点绕点逆时针旋转落在点处，直接可得，，而，即可得； （2）由，得，关键把点绕点逆时针旋转落在点处，得，，即知，故，可得，从而可得，，进而可证； （3）同（2）可证，． 【详解】（1）∵，点与点重合，且点与点重合（记作O），把点绕点逆时针旋转落在点处， ∴，， ∵， ∴，即， ∴线段与线段的数量关系为，； （2）略． （3）略． 【点睛】本题考查了几何变换综合应用，设计全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质，证明． 【变式12-3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______． 【答案】 （1）证明：如图，将绕点顺时针旋转到， ，，，， ， 点，点，点三点共线， ，， ， ， ， 又，， ， ， ； （2），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到， ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ； （3） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，可得结论； （2）由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，可得结论； （3）由旋转的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于， ，，，， 是等边三角形， ， ， ∴当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长， ，， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式12-4】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，△AMC是等腰三角形； (2)深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明； (3)再探究： 在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积； (4)拓展延伸： 在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)60°或15° (2) 证明：由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC， ∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）， ∴∠BAM=∠FAN， 在△ABM与△AFN中， ， ∴， ∴AM=AN， ∵AE=AC， ∴EM=CN， 在和中 ， ∴， ∴PE=PC， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵AE=AC， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线； (3) (4)能，∠α=30°或60° 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论； （4）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的性质可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数． 【详解】（1）当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴α=90°−30°=60°， 当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴α=15°， 综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； （2）略 （3）∵α=30°，∠B=60°， ∴∠AMB=90°， ∴△ABM是直角三角形， ∵AB=2， ∴BM==1，AM= ， ∴=AM•MB=1×=， ∵AE=AC=AB=2，AM=， ∴EM=， 在和中 ∴， 由（2）可知， ∴=， ∵AF•AE=×2×2=2， ∴△ABC与△AFE重叠的面积2−2×=； （4）如答题图1所示：当∠CNP=90°时． ∵∠CNP=90°， ∴∠ANF=90°． 又∵∠AFN=60°， ∴∠FAN=180°−60°−90°=30°． ∴∠α=30°． 如答题图2所示：当∠CPN=90°时． ∵∠C=30°，∠CPN=90°， ∴∠CNP=60°． ∴∠ANF=60°． 又∵∠F=60°， ∴∠FAN=60°． ∴∠α=60°． 综上所述，∠α=30°或60°． 【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意． 2．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别为、．若，当点、、、在同一条直线上时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 4．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）点和点关于原点对称．则值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点坐标关系求出m和n的值，再计算的值． 本题考查了原点对称，熟练掌握对称的意义是解题的关键． 【详解】解：点和点关于原点对称， 故， 解得， 故， 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，根据全等三角形的判定和性质得出，根据线段垂直平分线的判定定理得出垂直平分，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，如图： 根据题意可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 在中，，，， 故， 又∵， 即， 解得， 故． 故选：C． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，先由旋转性质得到相关线段及角度相等，进而由直角三角形全等的判定定理得到，，再由平行线的性质得到，等量代换确定，然后根据等腰三角形的判定与性质得出，最后由勾股定理及相关线段关系得到，表示出，代入对应线段长度计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点逆时针旋转得到，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ， 在中，， 由勾股定理可得， ， 则． 7．（25-26九年级上·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限， ∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限， ∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 8．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是____． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过点作于点，先根据中心对称图形的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵与关于点成中心对称，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离是， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和；由旋转的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和求出，即可求解；掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，旋转角为， ， ， 旋转角的度数为； 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； (3)在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，如图即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将的三个顶点A、B、C分别绕原点O顺时针旋转90°得到、、，顺次连接得到； （2）作的三个顶点A、B、C关于原点O中心对称的对称点D、E、F，顺次连接得到； （3）线段扫过的图形是扇形，根据扇形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段扫过的图形是圆心角为90°的扇形， ∵， ∴根据勾股定理得，，即扇形半径， 线段扫过的图形面积为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、中心对称图形、扇形面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 【答案】(1)B； (2) (3)3 【分析】（1）根据旋转的定义和正方形进行求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，进行求解即可； （3）根据解析（2）得出，，，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴旋转中心是点B，旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴， 即旋转角的度数是； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：根据解析（2）可得：，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 的长为3． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，将按顺时针方向绕点旋转得到（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出________°和________°； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)的度数为． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质即可得出，，再利用三角形内角和定理求得； （2）根据平行线的性质得出，据此计算得出结果即可． 【详解】（1）解：∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 14．（25-26九年级上·河南商丘·期末）【问题背景】如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，已知． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． (3)【迁移运用】如图，是等边三角形外一点，连接．若，，则的长为（   ） A．        B．        C．        D． 【答案】(1) 证明：∵旋转， ∴， ∴是等边三角形； (2) 证明：由①知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； (3)B 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，通过旋转构造特殊三角形，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，勾股定理求出，等量代换即可得出结果； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，交于点，交于点，交于点，先证明为等边三角形，得到，，勾股定理逆定理，得到，进而得到，三角形的内角和定理推出，进而推出，三线合一，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵等边三角形， ∴， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，交于点，交于点，交于点， 则：， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，； 故选B． 15．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)当点在线段上时，如图，求证：；小明同学是这样解答的：过点作，交于点，请你画出符合条件的图形，并帮助小明同学完成解答过程； (2)当点在的延长线上时，如图，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； (3)当点在的延长线上时，如图，直接写出线段，，之间的数量关系（不必证明）． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，交于点， 由旋转得，， ， ， 即， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． (2) ，证明： 如图，过点作，交的延长线于点． 由旋转得，， ， ， 即， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； (3) 【分析】（1）通过作交于，构造等腰直角三角形，再利用旋转的性质证明，从而将转化为，最后结合推导出线段关系． （2）作交的延长线于，构造等腰直角三角形，同理证明，将转化为，结合推导出线段关系． （3）作交的延长线于，构造等腰直角三角形，证明，将转化为，结合推导线段关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： 过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴， ∵绕点顺时针旋转得到 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴即． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握构造全等三角形的方法与等腰直角三角形的边长关系是解题的关键． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作于G，并反向延长交于H，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，设，则，根据三角形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过F作于G，并反向延长交于H， ∵正方形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，⋯⋯，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点旋转，得到， ∴ ， 则 同理可得， ……， 即 故选A 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 3．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为；；；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理的逆定理，由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故正确； 过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴，故错误； 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的直角三角形， ∴，故正确； ∴①②④⑤正确， 故选：． 4．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   点，点， ，则， 由旋转的性质可得， 第一次； 如图所示：   ， ，则由旋转的性质可得， 第二次， 如图所示：   ， ，则由旋转的性质可得， 第三次， 如图所示：   ， ，则由旋转性质可得， 第四次， … 数形结合，发现点的位置4次一个循环，， ∵， 的纵坐标与相同为，横坐标为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且． 给出以下四个结论：  ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】①根据旋转的性质证明为等腰直角三角形，即可得出结论； ①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“”证明，得出，，证明，根据勾股定理即可证明结论； ③根据，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，此时最小值即为的长，求出的长即可； ④根据，得出，表示出，即可求出最大值． 【详解】解：根据旋转可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确，符合题意； ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴点F总是在过点C与垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， i∴， 即的最小值为，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意； 综上分析可知，其中正确的是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据“”证明，是解题的关键． 6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 【答案】或或 【分析】进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ________（填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【分析】①根据菱形的性质，运用“”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线对称，可知最小为长；③先假设，而后逆推即可判断；④连接，根据两点之间线段最短可得，当点M落在的中点时，的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，过E点作，交的延长线于F，在中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 10．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰三角形，，边 在轴上，且．将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且，再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且……依此规律，点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，即可得出答案． 【详解】解：对于等腰三角形，过点作于点，如下图， ∵为等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴， 根据题意，， ……， 依次规律，可得； 由题意可知，等腰三角形每次旋转， ∴每旋转次即可旋转一周， 由，可知， 点将落在轴的正半轴上，即该点的横坐标为0， 其纵坐标， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形、含30度角的直角三角形、勾股定理以及点的坐标变化规律等知识，得出点坐标变化规律是解题关键． 11．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是________； (2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标是________； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________． 【答案】(1)见解析，的坐标为 (2)见解析，的坐标为 (3)旋转中心的坐标为 【分析】（1）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得，根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，画出，根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （3）分别连接，，，交于点．分别求出，函数解析式，联立方程组，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，的坐标为 （2）解：如图所示，即为所作，的坐标为； （3）解：连接，，，交于点，则点为旋转中心． 由（1）得， 由（2）得， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； 同理得直线的解析式为， 联立方程组得， 解得， ∴点的坐标为． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． (1)求证：． (2)用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点F，连接并延长与的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为 度．（用含α的代数式表示） 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 解：如图所示为所求： ①证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-角平分线，角平分线定义及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件，利用“”证明即可； （2）利用画角平分线的方法将题中所要求的角平分线及其他辅助线作出即可；①通过角平分线定义得出，再利用“”证明，得出，通过线段间的等量关系证明出最终结论；②根据题意得到，由于得到，进而得出，此时为等腰三角形，利用三角形内角和定理得到的表达式． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）在中，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点是点，使得点落在的内部． (1)如图1，过点作，交的延长线于点与交于点．当时，求证：； (2)在第（）问的基础上，求的长度； (3)如图2，取的中点，连接和，在旋转过程中，当最小时， ①求的最小值； ②请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵将绕点顺时针旋转到，点的对应点是点， ∴， ∴， 当时，，， ∵的延长线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 即； (2) (3)①；② 【分析】（）证明，得到，结合旋转的性质，运用角角边即可证明： （）由（1）的基础上得到，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； （）①由可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出进而即可求解；②过点作，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，即得，，再根据解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：①由旋转得，， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作，交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．（25-26九年级上·重庆大足·期末）在菱形中，对角线与交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若为延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接．所在直线交延长线于点，延长至点，使得为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1)40 (2) 解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分和， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴． (3) 【分析】（1）直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； （2）由旋转得到，，又菱形的性质得到，，，进而得到．连接，可证得，得到，，由，，得到，再证，从而有，得到，再在菱形中，求得，即可得证结论； （3）由勾股定理得，根据，可求出，根据，且的值随着的值增大而增大，得到当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值．过点B作于M，作于点N，由菱形的面积可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）略 （3）解：∵在菱形中，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∵，且的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值． 过点B作于M，作于点N， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴当有最小值时，有最小值， ∵由垂线段最短可知， ∴当点P与点N重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称图形的性质，垂线段最短等，熟练运用相关知识，掌握转化思想是解题的关键． 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）综合与实践 在数学活动课上，某兴趣小组用两张完全相同的长方形纸片（长）展开探究活动． (1)他们先将两张完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点与点重合，边与边共线，边与边在同一直线上．请写出图中一个的角___________； (2)如图2，他们继续将长方形绕点顺时针旋转后，边与边交于点，连接，若． ①求证：是等腰三角形； ②求的长； (3)从图2开始，他们将长方形绕点顺时针旋转一周，，当边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)（表示形式不唯一） (2) ①证明：由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵ 又， ∴， ∴，是等腰三角形； ② (3)或 【分析】本题考查“等腰三角形的判定”“全等三角形的性质与判定”“直角三角形边和角的性质”，通过两个完全相同的长方形，找到对应的角度和线段关系，从而利用30°角和中点得到所需角和线段的关系是解题关键． （1）根据完全相同的两个长方形，判断出图形中唯一的等腰直角三角形，即可得到45°角； （2）①利用角度关系，分别求出和的值，从而推出两角相等，利用等角对等边证明等腰三角形； ②利用①中得到的关系，推出，利用30°角所对直角边等于斜边一半得到的长，再利用勾股定理即可求解； （3）利用中点的条件，通过作垂线构造全等三角形，从而求出的值，再通过线段的和差计算即可求出，注意分类讨论不同位置下的情况，以免漏解． 【详解】（1）解：由题意，可知长方形与完全相同， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故可填：或，由于点A与点E重合，故也可填或，两者仅角的表示形式不同； （2）①略 ②解：由①，得，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： 第一种：经过线段的中点，如图所示，过点B作于点M， 由题意，可知长方形与完全相同， ∴，，， ∴， ∵点O是中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 又，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 第二种：的延长线经过线段的中点，如图所示，过点B作于点N， 同第一种情况，同理可得， ∴， ∴， 同第一种情况，同理可得， ∴， 综上，的长为或． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转章末重难点复习 19知识点+12题型+巩固训练+强化训练 1.理解旋转图形的定义与性质； 2.理解中心对称图形的定义与性质； 3.熟练利用旋转图形的性质求解与证明； 4.熟练利用中心对称的性质求解； 5.熟悉掌握平面直角坐标系中的旋转问题与中心对称问题； 6.掌握处理旋转综合问题（线段问题、角度问题、面积问题）； 7.熟练掌握旋转的性质与全等三角形的性质综合问题。 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2. 旋转三要素 · 旋转中心： 图形绕着转动的定点（可以在图形上、图形内或图形外） · 旋转方向： 顺时针或逆时针 · 旋转角： 转动的角度（对应点与旋转中心连线的夹角） · 三要素缺一不可，改变其中任何一个，旋转后的图形都会改变 3. 旋转的相关概念 · 对应点： 旋转后互相重合的点 · 对应线段： 旋转后互相重合的线段 · 对应角： 旋转后互相重合的角 4. 旋转的性质 · 性质1： 对应点到旋转中心的距离相等 · 性质2： 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（所有旋转角都相等） · 性质3： 旋转前、后的图形全等（对应线段相等、对应角相等） · 性质4： 图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度 · 性质5： 旋转中心是唯一不动的点 5. 旋转的特征 · 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 · 对应线段相等，对应角相等 · 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 6. 旋转作图 步骤： - 第一步：确定旋转中心、旋转方向和旋转角 - 第二步：找出原图形的关键点（顶点、端点等） - 第三步：连接各关键点与旋转中心 - 第四步：按旋转方向和角度，作出各关键点的对应点（利用对应点到旋转中心距离相等、夹角等于旋转角） - 第五步：按原图形顺序连接各对应点，得到旋转后的图形 作对应点的方法： - 以旋转中心为顶点，以中心与关键点的连线为一边，作角等于旋转角 - 在角的另一边上截取线段等于中心到关键点的距离，截点即为对应点 7. 旋转对称图形 · 定义： 一个图形绕某一定点旋转一定角度（小于 ）后能与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形 · 常见图形： 正三角形（旋转 重合）、正方形（旋转 重合）、正五边形（旋转 重合）、圆（旋转任意角度重合） · 正 边形旋转 后与自身重合 8. 旋转与全等三角形 · 旋转前后图形全等，常产生全等三角形 · 共顶点的两个等腰三角形（等边、等腰直角）旋转后常构造全等（手拉手模型） · 旋转是添加辅助线的重要思路：当有公共顶点且有相等线段时，可考虑旋转构造全等 9. 旋转解题的常见模型 · 等边三角形中的旋转： 将三角形绕顶点旋转 ，构造新的等边三角形和全等三角形 · 正方形中的旋转： 绕顶点旋转 ，转移线段 · 等腰直角三角形中的旋转： 绕直角顶点旋转 · 核心思想： 通过旋转将分散的线段集中，把不规则图形转化为规则图形 10. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 11. 中心对称与旋转的关系 · 中心对称是旋转的特殊情况：旋转角为 的旋转 · 旋转角可以是任意角，中心对称的旋转角固定为 · 中心对称不需要区分顺、逆时针（旋转 顺逆结果相同） 12. 中心对称的性质 · 性质1： 关于中心对称的两个图形是全等形 · 性质2： 关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 · 性质3： 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 13. 中心对称的判定 · 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 · 即：对应点连线共点且被该点平分 中心对称 14. 中心对称作图 作一个图形关于某点的中心对称图形： - 第一步：确定对称中心 - 第二步：找出原图形的关键点 - 第三步：连接各关键点与 并延长（即作关键点与 的连线） - 第四步：在延长线上截取对应点，使 为关键点和对应点的中点（即关键点与对应点到 距离相等） - 第五步：按原图形顺序连接各对应点 作对称中心的方法： - 方法1： 连接两组对应点，两条连线的交点即为对称中心 - 方法2： 连接一组对应点，取其中点即为对称中心 15. 中心对称图形 · 定义： 把一个图形绕某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 16. 常见的中心对称图形 · 线段： 对称中心是线段中点 · 平行四边形： 对称中心是对角线交点 · 矩形、菱形、正方形： 都是中心对称图形，对称中心为对角线交点 · 圆： 对称中心是圆心 · 正偶数边形： 是中心对称图形（如正方形、正六边形） · 正奇数边形： 不是中心对称图形（如正三角形、正五边形） 17. 轴对称与中心对称的区别 · 轴对称： 沿一条直线翻转 （翻折）重合，对称轴是直线 · 中心对称： 绕一个点旋转 重合，对称中心是点 · 一个图形可同时是轴对称图形和中心对称图形（如矩形、正方形、圆） 18. 关于原点对称的坐标规律 · 点 关于原点 的对称点为 （横、纵坐标都取相反数） · 对比： · 关于 轴对称：（纵坐标取反） · 关于 轴对称：（横坐标取反） · 关于原点对称：（都取反） 19. 中心对称的应用 · 平分线段： 对称中心是对应点连线的中点 · 图形设计： 利用中心对称设计图案 · 坐标系中求对称点坐标： 横纵坐标都变号 · 几何证明： 利用中心对称的性质证明线段相等、平行、点共线等 题型01 根据旋转的性质求解 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 紧扣旋转三性质——距离相等、旋转角相等、图形全等。 性质要点： - 对应点到旋转中心距离相等 - 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角（处处相等） - 旋转前后图形全等（对应边相等、对应角相等） 解题步骤： - 确定旋转中心、旋转方向、旋转角 - 找准对应点、对应边、对应角 - 利用”距离相等”求线段，利用”旋转角相等”求角度 常见考法： 求旋转角大小、对应线段长度、旋转后点的位置。 易错提醒： 旋转角是对应点与中心连线的夹角，不是对应边的夹角（二者相等但要找准）；对应关系找错。 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 【变式1-4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 题型02 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 解题梳理 解题核心： 旋转前后图形全等，对应线段、对应角相等。 证明思路： - 第一步：说明两个图形的旋转关系（绕哪个点、方向、角度） - 第二步：由旋转性质得两图形全等 - 第三步：由全等得对应线段相等、对应角相等 常用结论： - 旋转前后对应线段相等 - 旋转前后对应角相等 - 对应点到旋转中心距离相等 - 对应点与中心连线夹角相等（都等于旋转角） 书写规范： 先点明旋转关系，再写”由旋转的性质可知……“，最后得结论。 易错提醒： 必须先说明旋转关系才能用性质；对应元素要写对。 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：； (3)在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形． 【变式2-4】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接． (1)判断的形状为 ； (2)若，，，求的度数． 题型03 旋转中的规律性问题 【典例】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 找出旋转周期，利用周期循环规律求解。 常见类型： - 图形多次旋转后求第 次的位置或坐标 - 旋转过程中点的运动轨迹（圆弧）长度 - 旋转若干次后与原图形重合 解题方法： - 计算旋转周期： 每次旋转角 = 循环周期次数 - 用 除以周期，看余数确定位置（余几就是第几个状态） - 整除时回到初始位置 点的运动路径： - 旋转时点的轨迹是以旋转中心为圆心、该点到中心距离为半径的圆弧 - 弧长 = 易错提醒： 周期计算错误；余数与状态对应错；弧长公式中旋转角换算错误。 【变式3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川德阳·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 题型04 坐标系中的点坐标旋转问题 【典例】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 掌握特殊角度旋转的坐标变换规律。 绕原点旋转 （特殊规律）： - 点 绕原点顺时针旋转 - 点 绕原点逆时针旋转 绕原点旋转 （中心对称）： - 绕原点旋转 ： - 顺时针 = 逆时针 - 逆时针 = 顺时针 绕非原点的点旋转： - 先平移：将旋转中心平移到原点（坐标相减） - 再按上述规律变换 - 最后平移回去（加上旋转中心坐标） 解题技巧： 画图辅助，利用网格或全等三角形确定新位置；特殊角度（、）直接套规律。 易错提醒： 顺逆时针方向搞反；横纵坐标变换顺序错；绕非原点旋转忘记平移。 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）春节时人们爱用风车装饰景区，如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰直角三角形的斜边，且在x轴上，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·云南怒江·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【变式4-4】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 题型05 坐标系中的旋转作图问题 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 解题梳理 解题核心： 作每个关键点的对应点，再按顺序连接。 作图步骤： - 确定旋转中心、方向、旋转角 - 找出原图形关键点（顶点） - 对每个关键点作对应点： - 连接关键点与旋转中心 - 以中心为顶点作角等于旋转角 - 在角边上截取等长线段得对应点 - 按原图形顺序连接各对应点 网格中作图技巧： - 利用网格线作垂线、数格子确定对应点 - 旋转 时，可利用”横纵互换、符号定方向” - 旋转 时，对应点与原点、中心三点共线且中心为中点 注意事项： 对应点到中心距离必须相等；旋转角处处相等；连线用虚线，图形轮廓用实线。 易错提醒： 旋转方向画反；对应点距离截取不等；关键点遗漏。 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【变式5-2】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出图形，写出点、的坐标； (2)连接，则______． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕原点O顺时针旋转所得到的． (2)求旋转过程中点C经过的路径长． 【变式5-4】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 题型06 中心对称图形 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 绕一点旋转 能与自身重合即中心对称图形。 判断方法： - 将图形绕某点旋转 - 能与自身重合 是中心对称图形，该点为对称中心 - 不能重合 不是 常见图形归类： - 是中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 - 不是中心对称图形：角、等腰三角形、等边三角形、正奇数边形 - 既是轴对称又是中心对称：线段、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 中心对称与中心对称图形的区别： - 中心对称：两个图形之间的关系 - 中心对称图形：一个图形自身的特性 找对称中心： 连接两组对应点，交点即为对称中心（或一组对应点的中点）。 易错提醒： 正奇数边形不是中心对称图形；轴对称与中心对称判断标准混淆。 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）古典园林的窗格不仅看上去美观，而且会用寓意、谐音来表达吉祥、愿望．下列窗格样式的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型07 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 中心对称的两图形全等，对应点连线被对称中心平分。 性质要点： - 关于中心对称的两个图形全等 - 对应点连线经过对称中心且被其平分 - 对应线段平行（或共线）且相等 求长度： - 利用全等得对应线段相等 - 利用”中心平分对应点连线”得线段倍分关系 求角度： - 利用全等得对应角相等 - 对应线段平行时利用平行线性质（内错角、同旁内角） 求面积： - 中心对称的两图形面积相等 - 过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分 - 利用中心对称将不规则图形割补为规则图形求面积 易错提醒： 对应关系找错；忽略”过中心的直线平分中心对称图形面积”这一结论。 【变式7-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式7-2】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【变式7-3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 【变式7-4】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 题型08 坐标系中的中心对称问题 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 解题梳理 解题核心： 关于原点对称，横纵坐标都取反。 坐标规律： - 点 关于原点对称 - 关于 轴对称 （纵变） - 关于 轴对称 （横变） 常见考法： - 已知点坐标求关于原点的对称点：横纵都取反 - 已知对称关系求参数：对应坐标列方程 - 作关于原点对称的图形：各顶点取反后连接 - 关于非原点对称：中点公式——若 、 关于点 对称，则 ， 解题步骤： 确定对称中心 按规律求各对应点坐标 连接成图或列方程。 易错提醒： 与关于坐标轴对称的规律混淆；关于非原点对称时中点公式用错。 【变式8-1】（25-26九年级上·四川泸州·期末）已知点关于原点的对称点为Q，则______． 【变式8-2】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）若点与点关于原点对称，则的值是_______． 【变式8-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知、、． (1)在图中画出； (2)与关于原点对称，画出． 【变式8-4】（25-26九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)先以原点、点和点为顶点作，再作出与关于原点对称的，并写出点、的坐标． (2)若点与点关于轴对称，求的值． 题型09 线段问题(旋转综合题) 【典例】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在等腰和等腰中，，将绕点C逆时针旋转，连接，点O为线段的中点，连接，．    (1)如图1，当点B旋转到边上时，线段与线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (2)如图2，当点B旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)若，在绕点C逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 解题梳理 解题核心： 旋转转移线段，用全等或勾股定理求线段关系。 常见类型： 1. 求线段长度 - 旋转前后对应线段相等，实现线段转移 - 结合勾股定理、特殊三角形（等边、等腰直角）计算 2. 证明线段相等 - 由旋转全等直接得对应线段相等 - 或证明包含线段的两个三角形全等 3. 证明线段和差关系（截长补短思想） - 通过旋转将分散的线段集中到一个三角形中 - 典型：正方形内 ，旋转 证 4. 线段最值 - 旋转过程中确定点的轨迹（圆弧） - 利用”两点之间线段最短”或点到圆的距离求最值 解题步骤： 分析旋转关系 找对应线段 利用全等转移线段 集中到特殊三角形中计算。 易错提醒： 旋转后对应线段找错；线段和差关系未通过旋转集中。 【变式9-1】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【变式9-2】（25-26九年级上·重庆云阳·阶段检测）小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 在中，，M是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)如图1，若点M是线段上的任意一点，判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E是延长线上的点，若点M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． (3)如图3，在中，，，，点P是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小． 【变式9-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E． (1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由． 【变式9-4】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 题型10 面积问题(旋转综合题) 【典例】（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    解题梳理 解题核心： 旋转前后图形全等（面积相等），用割补法转化面积。 常见类型： 1. 求旋转扫过的面积 - 线段旋转扫过扇形： - 图形旋转扫过的面积：转化为扇形面积 图形面积 2. 利用旋转求不规则图形面积 - 将图形某部分旋转，与其他部分拼成规则图形 - 旋转前后面积不变（全等），实现割补 3. 重叠面积问题 - 旋转过程中两图形重叠部分面积 - 画出临界位置，分段表示面积 解题步骤： 分析旋转前后面积关系 确定扇形或规则图形 用面积和差计算。 关键公式： 扇形面积 ；旋转全等保证面积相等。 易错提醒： 扫过区域的半径判断错（是点到旋转中心的距离）；面积和差关系搞反。 【变式10-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在平行四边形中，，，点到的距离为4，是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，________，当点在边上运动时，长的最小值为________； (2)求点到的距离（用含的代数式要表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【变式10-2】（25-26九年级·山西大同·阶段检测）综合与实践：如图1，已知在中，，，将正方形ADEF按如图1所示放置，点D，F分别在边AB和AC上，连接BF，CD，M是BF的中点，连接AM交CD于点N． 观察猜想： (1)判断线段CD与AM之间的关系，并说明理由； 探究证明： (2)将图1中的正方形ADEF绕点A顺时针旋转，点E恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段CD与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 结果运用： (3)在（2）中，连接MC，MD．若，，请直接写出四边形ADMC的面积． 【变式10-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图在中，，，直线，点E是直线l上的一个动点，连接，将绕E逆时针旋转90°得到，连接交直线于点G． (1)如图，当点E与点A重合，点F在l上时，线段和线段的数量关系是___________； (2)如图，当点E在点A的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由； (3)连接，若，请直接写出面积大小． 【变式10-4】（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由； (2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由； (3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积． 题型11 角度问题(旋转综合题) 【典例】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知∠ABC=90°，BA=BC，在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180°）得△ADE． (1)若AE//BD如图（1），求旋转角∠BAD度数； (2)当旋转角为60°时，延长ED与BC交于点F，如图（2）．求证：AC平分∠DAF (3)点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°到AG，如图（3）示例，设AB=BC=，求CG长度最小值（用含式子表示） 解题梳理 解题核心： 旋转角相等+全等对应角相等，结合三角形内角和计算。 常用结论： - 每对对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角 - 旋转前后对应角相等 - 对应线段的夹角等于旋转角（重要结论：两条对应边所在直线的夹角等于旋转角或其补角） 常见类型： 1. 求旋转角 - 找对应点与中心连线的夹角 - 或利用等腰三角形（对应点到中心距离相等构成等腰三角形）求角 2. 求旋转后图形中的角度 - 利用全等转移角 - 结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形性质计算 3. 旋转过程中角度不变问题 - 对应线段夹角恒等于旋转角 - 典型：手拉手模型中对应边夹角等于顶角（ 或 ） 解题步骤： 确定旋转角 找对应角 利用等腰三角形/内角和/全等推导。 易错提醒： 对应边夹角与旋转角的关系（相等或互补）判断错；等腰三角形中边角关系用错。 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 _______； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【变式11-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．    (1)求证：； (2)若，证明：直线与互相垂直． 【变式11-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知给定，其中，射线经过斜边的中点O． (1)以点B为旋转中心，将按顺时针旋转到（A与，C与分别是对应顶点），且点恰好落在射线上，请作出符合要求的．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）． (2)若，求旋转的角度． 【变式11-4】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在中，，，在中，，，点，分别在，边行，直角顶点重合在一起，将绕点逆时针旋转，设旋转角，其中． （1）当点落在上时，如图2： ①请直接写出的度数为______（用含的式子表示）； ②若，，求的长； （2）如图3，连接，，并延长交于点，请判断与的位置关系，并加以证明； （3）如图4，当与是两个相等钝角时，其他条件不变，即在与中，，，，，则的度数为______（用含或的式子表示）． 题型12 旋转问题与全等三角形的性质综合问题 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 解题梳理 解题核心： 旋转即全等，结合全等三角形性质解决综合证明与计算。 常见模型： 1. 手拉手模型（共顶点旋转） - 两个共顶点的等腰三角形（等边、等腰直角） - 旋转后产生一对全等三角形（SAS） - 结论：对应边相等，对应边夹角等于顶角 2. 半角模型 - 正方形中 （顶角的一半） - 将三角形旋转 ，证全等得线段和差关系 - 推广：等腰直角三角形中半角、等边三角形中半角 3. 旋转构造全等 - 图形中有公共顶点且有相等线段时，考虑旋转 - 旋转目的：把分散条件集中，构造全等三角形 - 旋转角的选择：等边三角形旋转 ，正方形旋转 ，等腰直角三角形旋转 解题步骤： - 第一步：观察图形中是否有共顶点的相等线段 - 第二步：确定旋转中心（公共顶点）和旋转角（特殊角） - 第三步：旋转后找到全等三角形 - 第四步：利用全等性质（对应边、对应角相等）推导结论 手拉手模型结论（必记）： - 双等边共顶点：全等，对应边相等且夹角 - 双等腰直角共顶点：全等，对应边相等且夹角 易错提醒： 旋转后全等的对应关系写错；半角模型中旋转方向和对应点找错；证明全等后未充分利用对应边/角相等。 【变式12-1】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接． (1)如图，当点恰好在上时，求的大小； (2)如图，若，点是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图，若点为中点，求证：、、三点共线．求的最大值． 【变式12-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图1—图3所示，是直角三角形，，．点是射线上的一点，点是射线上的一点，且，把点绕点逆时针旋转落在点处，直线和直线相交于点． (1)当点与点重合时，点必然落在上，且点与点重合，如图2所示，请你直接写出此时线段与线段的数量关系及的大小． (2)当点在如图1所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？如果成立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由． (3)当点在如图3所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？请直接给出结论，不用说明理由． 【变式12-3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______． 【变式12-4】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，△AMC是等腰三角形； (2)深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明； (3)再探究： 在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积； (4)拓展延伸： 在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别为、．若，当点、、、在同一条直线上时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）点和点关于原点对称．则值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 7．（25-26九年级上·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 8．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 9．（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是____． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 11．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； (3)在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 12．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，将按顺时针方向绕点旋转得到（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出________°和________°； (2)若，求的度数． 14．（25-26九年级上·河南商丘·期末）【问题背景】如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，已知． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． (3)【迁移运用】如图，是等边三角形外一点，连接．若，，则的长为（   ） A．        B．        C．        D． 15．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)当点在线段上时，如图，求证：；小明同学是这样解答的：过点作，交于点，请你画出符合条件的图形，并帮助小明同学完成解答过程； (2)当点在的延长线上时，如图，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； (3)当点在的延长线上时，如图，直接写出线段，，之间的数量关系（不必证明）． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，⋯⋯，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为；；；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且． 给出以下四个结论：  ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 8．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 9．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ________（填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 10．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰三角形，，边 在轴上，且．将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且，再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且……依此规律，点的坐标为______． 11．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是________； (2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标是________； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． (1)求证：． (2)用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点F，连接并延长与的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为 度．（用含α的代数式表示） 13．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）在中，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点是点，使得点落在的内部． (1)如图1，过点作，交的延长线于点与交于点．当时，求证：； (2)在第（）问的基础上，求的长度； (3)如图2，取的中点，连接和，在旋转过程中，当最小时， ①求的最小值； ②请直接写出四边形的面积． 14．（25-26九年级上·重庆大足·期末）在菱形中，对角线与交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若为延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接．所在直线交延长线于点，延长至点，使得为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接，请直接写出的最大值． 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）综合与实践 在数学活动课上，某兴趣小组用两张完全相同的长方形纸片（长）展开探究活动． (1)他们先将两张完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点与点重合，边与边共线，边与边在同一直线上．请写出图中一个的角___________； (2)如图2，他们继续将长方形绕点顺时针旋转后，边与边交于点，连接，若． ①求证：是等腰三角形； ②求的长； (3)从图2开始，他们将长方形绕点顺时针旋转一周，，当边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，直接写出的长． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $