第二十六章 二次函数章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统梳理二次函数9大知识点，涵盖概念、解析式、图像性质等，用对比表格呈现三种解析式适用条件及顶点、对称轴公式，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于14类题型分层设计，典例结合变式训练，如用坐标法解决特殊三角形存在性问题，培养推理能力与模型意识，巩固与强化训练满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学。

第二十六章 二次函数章末重难点复习 9知识点+14题型+巩固训练+强化训练 1.理解二次函数的图像与性质，并熟练掌握待定系数法求二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）； 2.熟练掌握二次函数的图像与性质； 3.掌握抛物线的平移规律； 4.掌握根据图像判断系数及代数式符号； 5.掌握抛物线的对称变换； 6.掌握二次函数的实际应用（几何问题、营销问题、拱桥/抛体问题）； 7.掌握二次函数与几何问题综合（线段问题、周长问题、面积问题、角度问题）； 8.掌握二次函数与特殊三角形、特殊四边形的存在性问题。 1. 二次函数的概念 （1）定义： 形如 （、、 为常数，）的函数叫做二次函数。 （2）三个要点： - 关系式是整式 - 自变量最高次数为 2 - 二次项系数 （、 可为 0） （3）自变量取值范围： 一般为全体实数；实际问题中按实际意义确定。 （4）特殊形式： 、、。 2. 二次函数的解析式 （1）一般式：（） - 适用：已知任意三点坐标 - 对称轴： - 顶点： （2）顶点式：（） - 适用：已知顶点 或对称轴、最值 - 对称轴：，顶点： - 由一般式配方得到 （3）交点式：（） - 适用：已知与 轴两交点 、 - 对称轴： - 与 轴无交点时不能使用 （4）选择原则： 三点用一般式，顶点用顶点式，交点用交点式。 3. 二次函数的图像与性质 （1）图像： 抛物线。 （2）开口： - 开口向上， 开口向下 - 越大开口越小（图像越瘦） （3）顶点与对称轴： - 顶点 ，对称轴 - 顶点为最低点（最小值）， 顶点为最高点（最大值） （4）增减性： - ：对称轴左侧 随 增大而减小，右侧增大 - ：对称轴左侧 随 增大而增大，右侧减小 （5）与坐标轴交点： - 与 轴交于 ： 交正半轴， 交负半轴， 过原点 - 与 轴交点由 决定： 两个交点， 一个交点， 无交点 4. 抛物线的平移规律 （1）前提： 针对顶点式 ，平移时 不变。 （2）口诀：上加下减，左加右减 - 上移 个单位： - 下移 个单位： - 左移 个单位： - 右移 个单位： （3）本质： 平移即顶点 的平移，只关注顶点坐标变化即可；一般式先配方为顶点式再平移。 5. 二次函数与一元二次方程的联系 （1）核心关系： 抛物线 与 轴交点的横坐标，就是方程 的根。 （2）判别式与交点： - ：方程两不等实根，抛物线与 轴两个交点 - ：方程两相等实根，抛物线与 轴一个交点（顶点在 轴上） - ：方程无实根，抛物线与 轴无交点 （3）交点距离： 两交点 、 间距离 。 （4）与不等式的关系： - 的解集：抛物线在 轴上方部分对应的 范围 - 的解集：抛物线在 轴下方部分对应的 范围 - 且 时，函数值恒大于 0； 且 时恒小于 0 6. 根据图像判断系数及代数式符号 ： 开口向上 ，向下 。 ： 与 轴交正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 （左同右异）： - 对称轴在 轴左侧 、 同号 - 对称轴在 轴右侧 、 异号 - 对称轴为 轴 ： 两个交点 ，一个 ，无交点 。 代数式符号（特殊值代入）： - 看 时的函数值 - 看 时的函数值 - 看 时的函数值 - 比较对称轴 与 1 - 比较对称轴 与 -1 7. 抛物线的对称变换 （1）关于 轴对称（ 不变， 取反）： - 一般式： - 顶点式：，顶点 （2）关于 轴对称（ 不变， 取反）： - 一般式： - 顶点式：，顶点 （3）关于原点对称（、 都取反）： - 一般式： - 顶点式：顶点 ， 变号 （4）绕顶点旋转 180°： - ，顶点不变， 变号 8. 二次函数实际应用 （1）利润问题 - 总利润 =（售价 - 成本）× 销售量 - 设涨/降价 元，表示单件利润和销量，建函数求最大利润 （2）面积问题 - 设一边长 ，表示另一边长，建面积函数求最大面积 - 围栏问题注意靠墙一边不围 （3）拱桥/抛体问题 - 建立坐标系，设解析式，由已知点求函数，再求特定高度或宽度 （4）解题步骤： 设自变量 建函数关系式 确定自变量取值范围 求最值 检验实际意义。 （5）关键提醒： 最值不一定在顶点处——顶点在范围内取顶点，不在范围内取端点。 9. 二次函数与几何问题综合 （1）线段最值 - 设动点横坐标 ，用 表示线段长度，建函数求最值 - 水平线段长 = 横坐标之差，铅垂线段长 = 纵坐标之差，斜线段用距离公式 - 线段和最小用将军饮马模型（作对称点） （2）面积问题 - 铅垂高法： - 割补法：分割求和或大图形减周围小图形 - 建立面积关于 的二次函数求最值 （3）存在性问题 - 等腰三角形：分三种情况（哪两边相等），用距离平方列方程 - 直角三角形：分三种情况（哪个角为直角），用勾股定理逆定理 - 平行四边形：分三种情况（哪条为对角线），用中点坐标公式 - 矩形/菱形/正方形：先证平行四边形，再补特殊条件 （4）通用方法： - 坐标法：设点坐标，用坐标表示线段和面积 - 方程思想：几何条件转化为方程求解 - 分类讨论：存在性问题全面考虑各种情况 - 求出的解必须检验是否在指定范围内 题型01 二次函数的定义 【典例】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素， 是关键。 判断标准： - 关系式是整式 - 自变量最高次数为2 - 二次项系数 常见考法： - 判断函数是否为二次函数：三要素逐一检验 - 已知是二次函数求参数：令最高次数为2且 ，列方程与不等式联立 易错提醒： 只考虑次数为2而忽略 ；参数使 时退化为一次函数。 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】解：A、是反比例函数，该选项不符合题意； B、，是一次函数，该选项不符合题意； C、，右边不是整式，不是二次函数，该选项不符合题意； D、是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 题型02 待定系数法求二次函数的解析式 【典例】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 解题梳理 解题核心： 按已知条件选形式，待定系数法求解。 形式选择： - 已知任意三点 一般式 - 已知顶点/对称轴/最值 顶点式 - 已知与x轴两交点 交点式 解题步骤： 选设解析式 代入已知点列方程（组） 求系数 写解析式。 技巧： 利用对称性，已知一个交点和对称轴可求另一个交点；顶点式和交点式只需求一个 ，最简便。 易错提醒： 顶点式中 前是减号，顶点为 ；交点式无交点时不能用。 【变式2-1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．将点代入二次函数解析式，建立方程组求解b和c的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过两点， ∴将代入中得： ，解得：， ∴二次函数表达式为：， 故选：C． 【变式2-3】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 【变式2-4】（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 题型03 二次函数的图像与性质 【典例】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 解题梳理 解题核心： 从开口、对称轴、顶点、增减性、交点五方面分析。 性质要点： - 定开口方向与大小： 向上， 向下； 越大开口越小 - 对称轴 ，顶点 - 增减性以对称轴为界： 左减右增， 左增右减 - 与y轴交于 ，与x轴交点由 决定 常见考法： - 求顶点、对称轴、最值：公式法或配方法 - 比较函数值大小：看点到对称轴距离（ 越远越大， 越远越小） - 判断增减性：看自变量在对称轴哪一侧 易错提醒： 增减性必须以对称轴为分界；比较函数值注意 的符号。 【变式3-1】（2026·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 【变式3-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式3-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 【变式3-4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的横坐标范围，利用二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，二次项系数， ∴，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∵，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足， ∴． 题型04 一次函数与二次函数的图像综合问题 【典例】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意； 故选：A． 解题梳理 解题核心： 同一坐标系中公共系数符号必须一致。 解题方法： - 分别由两个函数图像判断各自系数符号 - 检查公共字母符号是否一致，矛盾的排除 - 验证交点位置是否合理 判断要点： - 一次函数 ： 看直线升降， 看与y轴交点 - 二次函数： 看开口， 看对称轴（左同右异）， 看y轴交点 - 求交点：联立方程组求解 易错提醒： 只看一个函数就下结论；忽略交点位置验证。 【变式4-1】（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上， 当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，图象交点位置，图象与坐标轴的交点，二次函数的对称轴的位置，解答即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故两个函数的交点为， 又， ∴交点位于x轴的上方， 由，得， 直线与x轴交于负半轴， 由抛物线得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴位于y轴的左侧， 故A， B，C都不符合题意；D一致，符合题意， 故选：D． 【变式4-3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A不正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故B不正确； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故C不正确； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D正确； 故选：D． 【变式4-4】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 题型05 二次函数的最值问题 【典例】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 解题梳理 解题核心： 先判断顶点是否在自变量范围内。 全体实数范围： - 最小值在顶点： - 最大值在顶点： 限定范围 ： - 对称轴在范围内：顶点取一个最值，离轴较远的端点取另一个 - 对称轴不在范围内：两个端点处取最值，按增减性判断大小 解题步骤： 求对称轴 判断是否在范围内 比较顶点与端点函数值 确定最值。 易错提醒： 不考虑范围直接认为顶点取最值；忘记计算端点值比较。 【变式5-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【答案】 2 小 0 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 【变式5-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，以及二次函数与一次函数综合，设，，通过比较函数和 的大小关系，确定的取值，并求其最大值，即可解题． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，，故； 又在时，函数随增大而增大，在时，函数随增大而减小， 当时，； 当时，． 当时，，故． 对于，在时，函数随增大而增大，当 趋近于 时， 趋近于 综上，的最大值为， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 【变式5-4】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点． (1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； (3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式求出m的值，即可求得抛物线的解析式； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标； （3）先求出再（2）的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出n的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， 得：， 解得， ∴． （2）解：， ∴，顶点的坐标为， ∵， ∴当时，的最大值为3， 此时点P的坐标为． （3）解：当时，， 当时，函数有最小值3， ∵时，函数的最小值是7， ∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 综上所述，或． 题型06 二次函数图象与各项系数符号 【典例】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 解题梳理 解题核心： 由图像特征逐一判断 、、、 及代数式符号。 判断方法： - ：开口方向（上正下负） - ：左同右异（对称轴在y轴左则 、 同号，右则异号），轴为y轴则 - ：与y轴交点（正半轴 ，负半轴 ，过原点 ） - ：与x轴交点数（两个 ，一个 ，无 ） 代数式符号（特殊值法）： - 看 的函数值； 看 - 看 - 比较对称轴与1； 比较对称轴与-1 易错提醒： 用”左同右异”判断；特殊值对应点位置要看准。 【变式6-1】（25-26九年级上·新疆哈密·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 【变式6-2】（2026·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 【变式6-3】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由抛物线的对称轴得到，即可判断③；由当和当时的函数值即可判定②；由抛物线的最大值即可判断④；由，得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象的开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与 轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，则， ∴， 故③正确； 当时，抛物线有最大值为，则， 当时，，则； 综上可知，，故②正确； 当时，抛物线有最大值为； 当时，抛物线， ，则，故④正确； ∵，， ∴，， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个． 【变式6-4】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 根据图象分别得出a、b、c的符号，即可判断①；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；在不等式两边同时加上c，再利用二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，当时，， ∵和两点关于对称轴对称， ∴当时，，即， ∴，故①正确； 由①得，，代入， 得， 由图象可知，当时，，即， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； 假设不等式成立，在不等式两边加c， 得， ∵不等式左侧为当时的函数值，右侧为时（为任意实数）的函数值， 又∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时的函数值为最大值，即恒成立， ∴成立，故④正确； 综上所述，正确的说法有4个． 故选：D． 题型07 二次函数的平移 【典例】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 解题梳理 解题核心： 不变，只变顶点；口诀”上加下减，左加右减”。 平移规律（顶点式 ）： - 上移 ：；下移 ： - 左移 ：（括号内加）；右移 ：（括号内减） 解题步骤： 一般式先配方为顶点式 按规律变换 、 写新解析式（需要时展开）。 逆向问题： 已知平移后解析式求原式，反向操作。 易错提醒： 左右平移是对 “左加右减”；一般式必须先配方。 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（    ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 通过表格数据确定和的顶点坐标，从而得出平移方式为向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 【详解】解：∵的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴顶点坐标平移到顶点坐标，横向从1到0向左平移1单位，纵向从3到5向上平移2单位． ∴平移方式为先向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选：A． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 【变式7-4】（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 题型08 二次函数与一元二次方程 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 解题梳理 解题核心： 与x轴交点横坐标即方程的根， 定交点个数。 对应关系： - ：两不等实根，两个交点 - ：两相等实根，一个交点 - ：无实根，无交点 常见考法： - 已知交点个数求参数：用 列不等式（注意 ） - 已知一个交点求另一个：利用对称性， - 两交点距离： - 解不等式：看抛物线在x轴上方（下方）对应的x范围 - 已知函数值求自变量：解方程 易错提醒： 求参数忘 ；不等式解集方向与 符号关系搞反。 【变式8-1】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 【变式8-2】（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 【变式8-4】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 题型09 二次函数的实际应用问题 【典例】（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 解题梳理 解题核心： 建二次函数模型，定自变量范围，求最值并检验。 常见类型： - 利润问题：总利润=（售价-成本）×销量，设涨/降价 元建函数 - 面积问题：设边长表示另一边，建面积函数 - 拱桥/抛体：建坐标系求解析式，再求特定值 解题步骤： 设自变量 建函数 定范围 求最值（顶点在范围内取顶点，否则取端点） 检验作答。 易错提醒： 忽略自变量实际范围；最值取在顶点但顶点不在范围内；单位不统一。 【变式9-1】（2026·湖北武汉·一模）某科学兴趣社团从地面竖直向上发射自制火箭，已知火箭离地面的高度h（m）满足关系式，其中t（s）是物体运动的时间，（）是火箭被发射时的速度，火箭被发射后离地面的最大高度为． (1)求的值； (2)已知实验楼的高度为，求火箭离地面的高度有两次与实验楼的高度相同的间隔时间； (3)为了更好观测火箭在空中姿态，兴趣小组决定起飞一架无人机进行拍摄，无人机以10（）的速度与火箭同时竖直上升，无人机飞到火箭的正上方，且与火箭的距离不超过时，才能清晰地拍摄，请直接写出无人机能清晰的拍摄到火箭的时间范围________． 【答案】(1)的值为40； (2) (3) 【分析】（1）由题意得顶点在，此时最大高度为，据此求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）由题意得，据此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点在，此时最大高度为， ∴， 解得（速度取正）， ∴的值为40； （2）解：由题意得， 解得，， ∴火箭离地面的高度有两次与实验楼的高度相同的间隔时间为； （3）解：由题意得，即， 整理得， 解不等式，得或； 解不等式，得； ∵， ∴． 【变式9-2】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键； （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， 故设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． （2）解：令，得， 解得，， ， 、两点之间的距离为． 【变式9-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）赣南得天独厚的自然环境，充足的阳光、适宜的温度、肥沃的土地，让赣南脐橙大放异彩，成为了中华名果．又到了脐橙成熟季，兴国县某脐橙基地为拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/箱(一箱)的精品脐橙，按销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/箱时，每天的销售利润为元； (3)销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为元/箱时，每天的销售利润为元 (3)销售单价定为元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用； （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）令，解方程，即可求解； （3）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为 由图可得： 解得： 该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售， ， ∴每天的销售利润为， 与的函数解析式为； （2）当时， 解得：（舍去） 答：销售单价定为元/箱时，每天的销售利润为元 （3）由(1)得与的函数解析式为， ， ，， 当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元/箱时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【变式9-4】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 设抛物线的解析式为：， 根据题意，得， 故，， 代入解析式，得，解得， ， 故抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则， 则 ， ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，函数有最大值，最大值为， 答：线段长度的最大值为． 题型10 二次函数与线段周长问题 【典例】（2026·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 解题梳理 解题核心： 设点坐标表示线段，建函数求最值；线段和最小用对称转化。 线段表示： - 水平线段长=横坐标之差 - 铅垂线段长=纵坐标之差 - 斜线段长=两点距离公式 常见类型： - 单线段最值：设参数 表示线段，建函数求最值 - 线段和最小（将军饮马）：作对称点，折线段化直线段，两点之间线段最短 - 周长最值：定长部分分离，只需求变动线段和的最值 解题步骤： 设动点坐标 表线段长 建函数或对称转化 求最值 检验范围。 易错提醒： 线段长忘加绝对值；将军饮马对称轴找错；忘记检验 范围。 【变式10-1】（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为；的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为：， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 【变式10-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）若抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和． (1)求此抛物线的解析式； (2)将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上的点D处，点Q是对称轴上一点，当的周长最小时，求Q点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—周长问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）顶点，抛物线的对称轴为直线，由平移的性质可得，代入抛物线解析式，求出点关于对称轴对称的点的坐标为，由轴对称的性质可得，从而可得的周长，当、、在同一直线上时，的周长最小，求出直线的解析式为，设，代入函数解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点，抛物线的对称轴为直线， ∵将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后得到点D， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵的周长最小， ∴点在直线上， 将代入可得， ∴． 【变式10-3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为，这个最小值为 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式10-4】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是二次函数的性质、相似三角形的判定和性质． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）解：设， 设直线表达式为， 将代入上式，得： ， 解得， ， 轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ， 此时． 题型11 二次函数与面积问题 【典例】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与面积等知识． （1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把，代入二次函数中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是． （2）求出A、B两点坐标，得到的长，再设，根据的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵当时，， 解得：，． ∴，． ∴． 设， ∵的面积为10， ∴， 解得：． 当时，， 解得：或2． ∴或． 当时，，方程无解． ∴或． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，割补法或铅垂高法表面积，建函数求最值。 常用方法： - 铅垂高法：（三边不”规矩”时优先用） - 割补法：分割为几个三角形/梯形求和，或大面积减小面积 - 一边在坐标轴上：直接以该边为底 解题步骤： 设动点坐标（参数 ） 表示面积 建面积关于 的二次函数 求最大值及对应 检验范围。 面积定值问题： 令面积函数等于定值，解方程求 （可能多解）。 易错提醒： 铅垂高与水平宽对应错；割补漏算或重复；面积表达式符号错。 【变式11-1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）过点P作轴于H，交于点Q，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：设直线的解析式为，代入B、C坐标得， 解得：，， ∴， 过点P作轴于点H，交于点Q，如图， 设，则， ∴， ∴ ∵， ∴时，最大，为27． 此时． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键． 【变式11-2】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，会利用待定系数法求函数解析式，能根据对称性求最短路径是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，即可求解； （3）把分解为，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （3）如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 【变式11-3】（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，其图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且对称轴为直线，过点，作直线． (1)求二次函数和直线的表达式； (2)利用图象求不等式的解集； (3)点是函数的图象上位于第四象限内的一动点，连接，，若面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1)二次函数表达式为，直线的表达式为； (2)或； (3)， 【分析】（1）利用二次函数的交点、对称轴及与轴交点的条件，列方程组求二次函数表达式；通过、两点坐标，用待定系数法求直线的表达式． （2）将不等式变形后，结合二次函数图象与轴的交点，确定不等式的解集． （3）设出点坐标，作辅助线将的面积转化为梯形与三角形面积的差，再通过二次函数的性质求面积最大值及对应点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数过、，对称轴为， ∴，解得， ∴二次函数表达式为， 设直线的表达式为， ∵过、， ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴的解集为二次函数图像在一次函数图像上方时对应的自变量的值， ∵二次函数与的交点为、， ∴不等式的解集为或； （3）解：设点（，因在第四象限），过作轴交于，则， ∴， ∴， ∴， ∵二次项系数，对称轴为， ∴当时，最大， 此时，即， 最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的表达式求解、一次函数的表达式求解、二次不等式的解集、二次函数的最值应用，熟练掌握待定系数法求函数表达式、结合函数图象分析问题的方法是解题的关键． 【变式11-4】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是，与y轴交于点D，且点D的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)面积的最大值时，点F是的中点，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)最大值为； (3)． 【分析】（1）把点，点．代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴交于点Q，得出直线的解析式为，进而得出，，点，表示出，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得，进而根据中点坐标公式得出，然后勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：把点，点代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图所示，作轴交于点Q， 设直线的解析式为：， 代入，． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵在抛物线上， ∴，点， ∴， ∴ ∴时，的面积最大，最大值为； （3）解：由（2）可得， 则， ∴， ∵F是的中点，． ∴，即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 题型12 二次函数与特殊三角形存在性问题 【典例】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，按特殊条件分类列方程。 等腰三角形（分三种）： - 、、 - 用距离平方列方程（避免根号） - 几何辅助：“两圆一线”（以两定点为圆心画圆+垂直平分线） 直角三角形（分三种）： - 、、 - 用勾股定理逆定理（两边平方和=第三边平方） - 几何辅助：“一圆两线”（以斜边为直径画圆+过端点作垂线） 解题步骤： 设坐标 表示三边平方 分三类列方程 求解 检验是否在抛物线上或指定范围。 易错提醒： 分类遗漏；求出的点不在范围未排除；距离忘平方。 【变式12-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 【变式12-2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 根据上述 5 个点描点连线绘制图形如下： (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）取点描点连线即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，其顶点为：， 抛物线和轴的交点坐标为，， 当时，，当时，， （2）解：∵，则或 ， ∴当时，， 当时，， 故答案为：； （3）解：存在，理由： ， ， 由点的坐标得，， 当时， 则，则，则点； 当或时， 同理可得：或， 则或， 即点或或， 综上，或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键． 【变式12-3】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形. (1)求该抛物线的解析式； (2)求正方形面积； (3)如图2、图3，连接，且与交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线上点，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)32 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值即可解答； （2）如图1：过点F作交于点R，设，则，可得，再由正方形的性质，列方程求得即可解答； （3）由题可知，，直线的解析式为，设，分两种情况讨论：①当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T，可证明，能求出，即可求；②当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点，可证明，能求出，则可求． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得，解得：， ∴，即． （2）解：如图1：过点F作交于点R， 设，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，解得：（舍）或， ∴， ∴， ∴， ∴正方形CFED的面积是32． （3）解：由题可知，， ∴直线的解析式为， 设， ①如图2，当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P点在抛物线上， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴； ②如图3，当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P点在抛物线上， ∴，解得：或， ∵， ∴， ∴． 综上，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，点P坐标为或． 【变式12-4】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为． (1)求二次函数的解析式； (2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式； (3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．，， 【分析】把点，代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式； 这是一个分段函数，分点在边上和点在边上两种情况求函数关系式； 分三种情况求解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的直角边． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：点，， ,， 四边形是矩形， ， 当时，点在上运动， 此时扫过的图形是， ， 当点运动到边上时，如下图所示， 此时扫过的图形是四边形， ， ， ； （3）解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 如下图所示，过点作轴于点，延长交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 设点的坐标为 则，， ， ， 整理得：， 解得:，， 当时，， 此时点的坐标为与点重合， 故应舍去， 当时， 此时点的坐标为； 当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 如下图所示， 点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 此时点的坐标为，与点重合， 故应舍去， 当时，， 此时点的坐标为； 如下图所示， 当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 过点作轴于点， 则， 又， 则， 在和中， ， ， ， ， 点的纵坐标为， 解方程， 整理得：， 解得：，， 当时，此时点与不能构成直角三角形， 故应舍去， 当时，对应的纵坐标为， 综上所述点的坐标为，，； 【点睛】本题是二次函数和动点问题的综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用． 题型13 二次函数与特殊四边形存在性问题 【典例】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)，；，；，． 【分析】把，代入，求出抛物线解析式为，然后通过配方即可求出顶点坐标； 分若点在上方，，若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同两种情况求解即可； 分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴； （2）解：若点在上方，， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同，此时点； 综上所述，点坐标为或或； （3）解：设，， 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 综上可得共三种情况，；，；，． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，用中点公式或边的关系分类列方程。 平行四边形： - 对角线互相平分 对角顶点横（纵）坐标之和相等 - 三个定点+一个动点：分三种情况讨论哪条为对角线 - 两个定点+两个动点：用中点公式或平移性质 矩形： 先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。 菱形： 先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。 正方形： 矩形基础上证邻边相等，或菱形基础上证直角（对角线垂直平分且相等）。 解题步骤： 设坐标 分情况定对角线 中点公式列方程（组） 求解 检验全部条件。 易错提醒： 对角线分类不全；点不在指定曲线上未排除；特殊四边形只验证一个条件。 【变式13-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点在何处时，的面积最大？求出面积的最大值及此时点的坐标； (3)是（1）中抛物线上一点，是直线上一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积能取的最大值，此时点坐标为 (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）由题意得，求的表达式为：；设点， 过点P作轴并延长交于点H，然后结合图形得出关于三角形面积的函数关系式求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，，解得：， ∴． （2）令中，得，， ∴； 设的表达式为：， 将，代入得， ， 解得：； ∴的表达式为：； 设点， 过点P作轴并延长交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴设的面积为S， ∴， ∴当时，的面积最大为，， ∴点坐标为； （3）存在，理由如下： 将代入中得， ①当为平行四边形的一条边时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ②当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：， ∴M、N的中点坐标为：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时点N的坐标为； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或． 【变式13-2】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)存在，或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值； （3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为，的最大值为； （3）解：存在．如图， 设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得， 或． 【变式13-3】（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 【变式13-4】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)，此时面积的最大值为； (3)点Q的坐标、、、． 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于，则，设点的横坐标为，分别表示出和，然后用含的解析式表示出，求这个一元二次解析式的最值，即可求解； （3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵经过点，点 ∴，解得 ∴抛物线的函数解析式为：． （2）解：设直线BC的解析式为，将，点代入得其解析式得， 解得 ∴直线BC的解析式为． 作交于E，如图， 设点D的横坐标为t，则， ∴ 所以当时，的面积最大值．此时，面积的最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为， 若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且， 设点D的横坐标为n，则 ①如图，过点作于点M，设直线l与x轴交于点N， 则，，， ∴， ∴， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，如图，此时由正方形性质可得： ，则或，则； 当时，则． ②如图，过点作于点M，设直线l与x轴交于点N，同理可证，≌， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，同上； 当时，，则； 综上，点Q的坐标、、、． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定的与性质、矩形的性质、二次函数的图像和性质等知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 题型14 二次函数的对称、翻折问题 【典例】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． （1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【详解】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，过点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点和的坐标分别为：,． 综上，，，的坐标分别为：,,． 解题梳理 解题核心： 掌握抛物线关于坐标轴、原点、定直线对称及图形翻折的变换规律。 1. 抛物线的对称变换（解析式变换） 关于x轴对称： - - 顶点式： 变号，顶点 关于y轴对称： - - 顶点式： 不变，顶点 关于原点对称： - - 顶点式： 变号，顶点 绕顶点旋转180°： - 顶点式 ，顶点不变， 变号 2. 关于定直线对称（如 、） · 关于直线 对称：顶点 ， 不变 · 关于直线 对称：顶点 ， 变号 · 方法：只变换顶点，开口方向按对称类型确定，写新顶点式 3. 几何图形翻折问题 · 翻折本质：轴对称变换，翻折前后图形全等 · 性质：对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线 · 解题步骤： 找折痕和对应点，标出等线、等角 设点坐标，利用对称点坐标关系（关于折痕对称）列方程 结合勾股定理或抛物线上点满足解析式联立求解 · 点 关于直线 的对称点为 ；关于 的对称点为 4. 两点关于对称轴对称的规律 · 抛物线上两点 、 函数值相等时，对称轴为 · 已知对称轴和一个交点（或等函数值点），可求另一个点： 解题技巧： - 解析式对称优先用顶点式，只变顶点和 的符号 - 图形翻折优先标等量，设坐标后用对称点公式 - 翻折后点是否落在抛物线上：代入解析式检验或列方程 【变式14-1】（25-26九年级上·广东江门·期末）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点记为C，将抛物线绕点A旋转后得到新抛物线，抛物线与x轴的另一交点为，顶点为，点D旋转后的对应点为． (1)如图1，当时，此时抛物线的顶点． ①求抛物线的解析式： ②作直线，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以为圆心，为直径的圆恰好经过点，请判断与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图2，当抛物线的顶点C恰好与点D重合，连接、、、得到的四边形能否成为矩形，若能，请求出a，c应满足的关系式，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①； ②与直线相切；理由如下： 对于， 令，则， ， 点D旋转后的对应点为， ， 由（1）知抛物线的对称轴与x轴交于点， 以为圆心，为直径的圆恰好经过点， ， ，， ， ， 判断与直线相切； (2)能， 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式，并求出A，B两点的坐标，再根据图形旋转的性质，求出，即可求得答案； ②先求出，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则抛物线的解析式可表示为，可求得，根据图形旋转的性质可证明四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形，此时可列方程，求得，即可进一步求得答案． 【详解】（1）解：①当时，此时抛物线的顶点， ， 令，则， 解得，， ，， ， 抛物线绕点A旋转后得到新抛物线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 其顶点坐标为， 抛物线的解析式为； ② 略 （2）解：当抛物线的顶点C恰好与点D重合， 则， 设，则， 抛物线的解析式可表示为， ， 抛物线绕点A旋转后得到新抛物线， ，且，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ， ， ， 化简整理，得， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，图形旋转的性质，求二次函数的解析式，切线的判定，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及切线的判定是关键． 【变式14-2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 【变式14-3】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向下平移a个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a的取值范围； (3)过点作y轴的垂线，以为对称轴将二次函数的图象位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）平移后直线的表达式为：联立①②并整理得：，则，即可求解； （3）若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，则点在y轴的负半轴，点在x轴的上方，进而求解． 【详解】（1）把代入， 得：， 解得：， 故二次函数的解析式为：①； （2）平移后直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 依题意得：， 解得：； （3）如图，设原抛物线交y轴于点，抛物线的顶点为， 根据图象折叠的对称性，则点N在和中垂线上， 设 由中点坐标公式得， 解得， ∴点， 同理可得，点， 若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，则点在y轴的负半轴，点D′在x轴的上方， 即且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象的折叠、一次函数的基本性质、解不等式等，解题的关键是数形结合思想的应用． 【变式14-4】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式； （2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为 （）． ②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且，求t的值． ③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③或 【分析】（1）根据点，且，求得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）设直线的解析式为，将点，代入， 得，解得，求得，作轴，交于点，设，则，，由，得即可求解； （3）①根据中心对称的特点得出的顶点坐标为，将绕点原点旋转后，的对称点坐标为，即可求得；②结合图像，分时，时，两种情况，当时，，，是方程的两个根，得，，，即可求解，进而可求得，同理可求的另一个值；③分两种情况：当点在上时，点关于直线的对称点， 当点在上时，点关于直线的对称点，结合题意列出不等式即可求解或． 【详解】解：（1）点， ， ， ， ，， 抛物线（）图象经过A，B，C三点， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点，代入， 得， 解得， ， 作轴，交于点， 设，则，， ， ； ， 四边形面积的最大值为； （3）①将图中的抛物线向下平移5个单位， 所得抛物线为， 顶点坐标为， 将绕原点旋转后，的对称点坐标为， 即为抛物线的顶点坐标，这时抛物线开口向上， 抛物线的解析式为，即； ②将，合起来得到的图象记为L，如下图， 当时，，，是方程的两个根， 此时，，， ，即， ， 把代入， 同理可求当时，； 综上所述，t的值为； ③当点在上时，点关于直线的对称点， ， ， ； 当点在上时，点关于直线的对称点， ， ， ； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、面积问题，二次函数图像的变换等，其中结合图形分类讨论是本题解题的关键． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数的顶点的横坐标为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，即横坐标为． 2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 5．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 8．（25-26九年级上·河南开封·期末）y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于． 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①错误． ②当时，， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，； 当时，， ∴函数图象总经过两个定点，，故②正确； ③当时，由得：， ， ∴． ∴，． ∴， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确． 故答案为：②③ 9．（25-26九年级上·山东青岛·期末）二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数时，，由此可得二次函数的对称轴为直线，则对应的的值为，故或，由此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时， 即对应的的值为， ∴在一元二次方程中，或 解得，， 故答案为：， 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【答案】(1) (2) (3)绿化带的面积最大时，边长为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据意义可知，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据的长不超过墙长，即可得到自变量x的取值范围； （2）将代入（1）中的解析式，解方程，即可求解； （3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 11．（25-26九年级上·广西河池·期末）掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 【答案】(1) (2) 解：该生得分为19分，理由如下： 在中，当时，则， 解得，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：函数的顶点的坐标为，且函数的图象经过点， 设函数解析式为， 则， 解得； ∴函数表达式为； （2）略 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为已知数）． (1)求该函数图象的对称轴（用含的代数式表示）． (2)与轴平行的直线交该函数图象于两点，且点的横坐标为，求线段的长． (3)若，点，在该函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 当时，，则， 此时， 即点到对称轴的距离更远， ∴； 当时，，则， 此时， 即点到对称轴的距离更远， ∴； 综上，． 【分析】（）根据解析式求出抛物线与轴的交点坐标，进而求出对称轴； （）根据对称性求出点的横坐标，进而即可求解； （）求出点和点到对称轴的距离，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴对称轴为直线； （2）解：设点的横坐标为， ∵对称轴为直线，点的横坐标为， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）略 13．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）《疯狂动物城》票房大卖，周边玩偶热销．某商店将每件进价为元的毛绒公仔按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种毛绒公仔单价每降低元，其销量可增加件． (1)若此商店经营该毛绒公仔一天要获利润元，则每件毛绒公仔应降价多少元？ (2)设后来该毛绒公仔每件降价元，此商店一天可获利润元．求出与之间的函数关系式，并求当取何值时，此商店获利润最大？ 【答案】(1)元或元 (2)，元 【分析】本题考查二次函数的应用，准确掌握题意以及列出关系式是解题的关键． （1）根据题意，设每件毛绒公仔应降价元，得出方程，解出该方程即可； （2）根据题意，得出与之间的函数关系式，将其转换为顶点式，可得利润最大时对应的取值． 【详解】（1）解：设每件毛绒公仔应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 答：每件商品应降价元或元． （2）解： ， ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为， 答：与之间的函数关系式为， 当取5时，此商店获利润最大． 14．（25-26九年级上·山西晋城·期末）综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1)，． (2)． (3)这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求得函数表达式，进而可求解； （2）令，解方程求得x值，进而可求解； （3）求解当或时，，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）解：令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）解：由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． 15．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于的二次函数的图象如图所示． (1)方程的两个根为______； (2)观察图象，当时，的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好经过点，记此时二次函数图象与轴的交点为，(点在点左侧)，顶点为，请写出的值，并求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)，的面积为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的平移变换，关键是利用二次函数的顶点式和图象对称性来求解． （1）根据二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用图象的对称性找到两个交点的横坐标； （2）先求出二次函数的解析式，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，确定的取值范围； （3）根据平移规律得到平移后的函数解析式，代入已知点求出的值，再求出新函数与轴的交点和顶点坐标，最后计算三角形面积． 【详解】（1）解：由二次函数图象可知，对称轴为，与轴的一个交点为， 根据对称性，另一个交点为， 因此方程的两个根为，； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入得，解得， ∴函数解析式为． 当时，；当时，；当时，．∴当时，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：将二次函数图象向上平移个单位后，解析式为． 将点代入得，解得． 此时解析式为． 令，则，解得，， ∴，，． ∵顶点的坐标为， ∴的面积为． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有2个交点时，则的取值范围是或者．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 对于①，求出函数与坐标轴的交点坐标即可判断；对于②和③，根据函数图象判断即可；对于④，根据函数的对称轴即可判断；对于⑤，由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，再结合图象即可判断． 【详解】解：对于①，， 令，则， ． 令，即， 解得或， ，， ①正确，符合题意； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误，不符合题意； 对于③， 函数的图象与轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为直线， 当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确，符合题意； 对于④：函数图象的对称轴为直线，而， 若在函数图象上，则不一定在函数图象上，故④错误，不符合题意； 对于⑤：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， 把代入中得，，解得； 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， 把代入中得，，解得； 根据函数图象，当时，直线与函数的图象有2个交点． 当时，， ， 当直线与函数的图象只有一个交点时，直线与函数恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得， 结合图象可知，当时，直线与函数的图象有2个交点． 综上所述，当直线与函数的图象有2个交点时，的取值范围为或，故⑤正确，符合题意． 综上所述，正确的结论有①③⑤． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线对称轴、函数的最值、抛物线与直线交点个数、等边三角形边与高的关系等知识点逐一判断即可． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，即：①正确； ∵图象有最低点， ∴当时，最小； 当时，； ∴， 即：，即：②错误； ∵图象开口向上，与轴有两个交点， ∴直线与图象有两个交点即：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴即：， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∵在的右侧， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴，即：④正确； 综上：①③④正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，关键是知识点的灵活应用． 4．（25-26九年级上·福建·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求的范围是（ ） 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，又由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为，从而可得抛物线的函数表达式为，将代入，求出或，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，进而可以判断得解． 【详解】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选∶C． 5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据抛物线的顶点坐标，写出顶点式，再将代入求出，从而可得出抛物线的解析式，再求出抛物线与轴的另一个交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线的部分图象如图所示，顶点， ∴抛物线的解析式为， ∵与轴右侧交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 取，则， 解得：，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，根据交点确定不等式的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知，是二次函数上的两点， ①若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______ ②当且时，都有，则a的取值范围为______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征． 【详解】解：①二次函数的图象与轴只有一个交点， ， 即， 是二次函数， ， ，解得， 故答案为：； ②，，，是该函数图象上的两点， ，， ， ， ， ， ， 要让对所有的情况成立， 需保证取最小值4时，不等式仍成立， 即：， 解此不等式：， ， 结合二次函数的符号： 若，则，不满足不等式； 若，则， ∴， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线（m为常数）相交于三个不同的点，设，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据A、B关于对称轴对称，可知，由直线（m为常数）相交于三个不同的点，可得，进而求出t的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为，顶点． ∴当时函数有最小值为2，． ∵一次函数（）， ∴当时，有最大值3，当时． ∵抛物线和射线与直线（m为常数）相交于三个不同的点， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的对称性质，一次函数的增减性质，二次函数与直线交点，一次函数与直线交点，函数值的取值范围，是解答本题的关键． 9．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与四边形综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，先求得点和点的坐标，再分类讨论，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，这三种情况，分别解答即可． 【详解】解：令， 解得， 点A在点B左侧， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 设，， 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)，的长度为4 (2)点的坐标为 (3)①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； （2）解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； （3）①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 12．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 13．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知关于的二次函数，（实数为常数）． (1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4或 (3) 【分析】（1）由二次函数的图像经过点得到，由对称轴为直线得到即可解答； （2）分①当时，即，②当时，即，③当时，即三种情况分别根据二次函数的性质求最小值并列方程求解即可； （3）分别求出的最小值，的最大值，由题意得到求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， ∴函数的表达式为，对称轴为直线， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当时，即，在内，y随着x的增大而增大， 当时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（不合题意舍去）； ②当时，即，在内， 当时，二次函数最小值为12， ∴，解得（舍）（舍）； ③当时，即，在内，y随着x的增大而减小， ∴时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（舍）或． 综上，的值为4或． （3）解：由（1）得：， 当时，则时，的最小值为1， ∵， ∴当时，则时，的最大值为， ∵，时，始终满足， ∴，解得：． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 14．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)能，或 (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 【答案】(1)顶点为， (2)m的值是1或3 (3)或 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； （2）解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； （3）解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ； ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数章末重难点复习 9知识点+14题型+巩固训练+强化训练 1.理解二次函数的图像与性质，并熟练掌握待定系数法求二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）； 2.熟练掌握二次函数的图像与性质； 3.掌握抛物线的平移规律； 4.掌握根据图像判断系数及代数式符号； 5.掌握抛物线的对称变换； 6.掌握二次函数的实际应用（几何问题、营销问题、拱桥/抛体问题）； 7.掌握二次函数与几何问题综合（线段问题、周长问题、面积问题、角度问题）； 8.掌握二次函数与特殊三角形、特殊四边形的存在性问题。 1. 二次函数的概念 （1）定义： 形如 （、、 为常数，）的函数叫做二次函数。 （2）三个要点： - 关系式是整式 - 自变量最高次数为 2 - 二次项系数 （、 可为 0） （3）自变量取值范围： 一般为全体实数；实际问题中按实际意义确定。 （4）特殊形式： 、、。 2. 二次函数的解析式 （1）一般式：（） - 适用：已知任意三点坐标 - 对称轴： - 顶点： （2）顶点式：（） - 适用：已知顶点 或对称轴、最值 - 对称轴：，顶点： - 由一般式配方得到 （3）交点式：（） - 适用：已知与 轴两交点 、 - 对称轴： - 与 轴无交点时不能使用 （4）选择原则： 三点用一般式，顶点用顶点式，交点用交点式。 3. 二次函数的图像与性质 （1）图像： 抛物线。 （2）开口： - 开口向上， 开口向下 - 越大开口越小（图像越瘦） （3）顶点与对称轴： - 顶点 ，对称轴 - 顶点为最低点（最小值）， 顶点为最高点（最大值） （4）增减性： - ：对称轴左侧 随 增大而减小，右侧增大 - ：对称轴左侧 随 增大而增大，右侧减小 （5）与坐标轴交点： - 与 轴交于 ： 交正半轴， 交负半轴， 过原点 - 与 轴交点由 决定： 两个交点， 一个交点， 无交点 4. 抛物线的平移规律 （1）前提： 针对顶点式 ，平移时 不变。 （2）口诀：上加下减，左加右减 - 上移 个单位： - 下移 个单位： - 左移 个单位： - 右移 个单位： （3）本质： 平移即顶点 的平移，只关注顶点坐标变化即可；一般式先配方为顶点式再平移。 5. 二次函数与一元二次方程的联系 （1）核心关系： 抛物线 与 轴交点的横坐标，就是方程 的根。 （2）判别式与交点： - ：方程两不等实根，抛物线与 轴两个交点 - ：方程两相等实根，抛物线与 轴一个交点（顶点在 轴上） - ：方程无实根，抛物线与 轴无交点 （3）交点距离： 两交点 、 间距离 。 （4）与不等式的关系： - 的解集：抛物线在 轴上方部分对应的 范围 - 的解集：抛物线在 轴下方部分对应的 范围 - 且 时，函数值恒大于 0； 且 时恒小于 0 6. 根据图像判断系数及代数式符号 ： 开口向上 ，向下 。 ： 与 轴交正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 （左同右异）： - 对称轴在 轴左侧 、 同号 - 对称轴在 轴右侧 、 异号 - 对称轴为 轴 ： 两个交点 ，一个 ，无交点 。 代数式符号（特殊值代入）： - 看 时的函数值 - 看 时的函数值 - 看 时的函数值 - 比较对称轴 与 1 - 比较对称轴 与 -1 7. 抛物线的对称变换 （1）关于 轴对称（ 不变， 取反）： - 一般式： - 顶点式：，顶点 （2）关于 轴对称（ 不变， 取反）： - 一般式： - 顶点式：，顶点 （3）关于原点对称（、 都取反）： - 一般式： - 顶点式：顶点 ， 变号 （4）绕顶点旋转 180°： - ，顶点不变， 变号 8. 二次函数实际应用 （1）利润问题 - 总利润 =（售价 - 成本）× 销售量 - 设涨/降价 元，表示单件利润和销量，建函数求最大利润 （2）面积问题 - 设一边长 ，表示另一边长，建面积函数求最大面积 - 围栏问题注意靠墙一边不围 （3）拱桥/抛体问题 - 建立坐标系，设解析式，由已知点求函数，再求特定高度或宽度 （4）解题步骤： 设自变量 建函数关系式 确定自变量取值范围 求最值 检验实际意义。 （5）关键提醒： 最值不一定在顶点处——顶点在范围内取顶点，不在范围内取端点。 9. 二次函数与几何问题综合 （1）线段最值 - 设动点横坐标 ，用 表示线段长度，建函数求最值 - 水平线段长 = 横坐标之差，铅垂线段长 = 纵坐标之差，斜线段用距离公式 - 线段和最小用将军饮马模型（作对称点） （2）面积问题 - 铅垂高法： - 割补法：分割求和或大图形减周围小图形 - 建立面积关于 的二次函数求最值 （3）存在性问题 - 等腰三角形：分三种情况（哪两边相等），用距离平方列方程 - 直角三角形：分三种情况（哪个角为直角），用勾股定理逆定理 - 平行四边形：分三种情况（哪条为对角线），用中点坐标公式 - 矩形/菱形/正方形：先证平行四边形，再补特殊条件 （4）通用方法： - 坐标法：设点坐标，用坐标表示线段和面积 - 方程思想：几何条件转化为方程求解 - 分类讨论：存在性问题全面考虑各种情况 - 求出的解必须检验是否在指定范围内 题型01 二次函数的定义 【典例】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素， 是关键。 判断标准： - 关系式是整式 - 自变量最高次数为2 - 二次项系数 常见考法： - 判断函数是否为二次函数：三要素逐一检验 - 已知是二次函数求参数：令最高次数为2且 ，列方程与不等式联立 易错提醒： 只考虑次数为2而忽略 ；参数使 时退化为一次函数。 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 题型02 待定系数法求二次函数的解析式 【典例】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 按已知条件选形式，待定系数法求解。 形式选择： - 已知任意三点 一般式 - 已知顶点/对称轴/最值 顶点式 - 已知与x轴两交点 交点式 解题步骤： 选设解析式 代入已知点列方程（组） 求系数 写解析式。 技巧： 利用对称性，已知一个交点和对称轴可求另一个交点；顶点式和交点式只需求一个 ，最简便。 易错提醒： 顶点式中 前是减号，顶点为 ；交点式无交点时不能用。 【变式2-1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【变式2-4】（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 题型03 二次函数的图像与性质 【典例】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 解题梳理 解题核心： 从开口、对称轴、顶点、增减性、交点五方面分析。 性质要点： - 定开口方向与大小： 向上， 向下； 越大开口越小 - 对称轴 ，顶点 - 增减性以对称轴为界： 左减右增， 左增右减 - 与y轴交于 ，与x轴交点由 决定 常见考法： - 求顶点、对称轴、最值：公式法或配方法 - 比较函数值大小：看点到对称轴距离（ 越远越大， 越远越小） - 判断增减性：看自变量在对称轴哪一侧 易错提醒： 增减性必须以对称轴为分界；比较函数值注意 的符号。 【变式3-1】（2026·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【变式3-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【变式3-4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 题型04 一次函数与二次函数的图像综合问题 【典例】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 同一坐标系中公共系数符号必须一致。 解题方法： - 分别由两个函数图像判断各自系数符号 - 检查公共字母符号是否一致，矛盾的排除 - 验证交点位置是否合理 判断要点： - 一次函数 ： 看直线升降， 看与y轴交点 - 二次函数： 看开口， 看对称轴（左同右异）， 看y轴交点 - 求交点：联立方程组求解 易错提醒： 只看一个函数就下结论；忽略交点位置验证。 【变式4-1】（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型05 二次函数的最值问题 【典例】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 解题梳理 解题核心： 先判断顶点是否在自变量范围内。 全体实数范围： - 最小值在顶点： - 最大值在顶点： 限定范围 ： - 对称轴在范围内：顶点取一个最值，离轴较远的端点取另一个 - 对称轴不在范围内：两个端点处取最值，按增减性判断大小 解题步骤： 求对称轴 判断是否在范围内 比较顶点与端点函数值 确定最值。 易错提醒： 不考虑范围直接认为顶点取最值；忘记计算端点值比较。 【变式5-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【变式5-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【变式5-4】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点． (1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； (3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 题型06 二次函数图象与各项系数符号 【典例】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解题梳理 解题核心： 由图像特征逐一判断 、、、 及代数式符号。 判断方法： - ：开口方向（上正下负） - ：左同右异（对称轴在y轴左则 、 同号，右则异号），轴为y轴则 - ：与y轴交点（正半轴 ，负半轴 ，过原点 ） - ：与x轴交点数（两个 ，一个 ，无 ） 代数式符号（特殊值法）： - 看 的函数值； 看 - 看 - 比较对称轴与1； 比较对称轴与-1 易错提醒： 用”左同右异”判断；特殊值对应点位置要看准。 【变式6-1】（25-26九年级上·新疆哈密·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【变式6-2】（2026·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式6-4】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 二次函数的平移 【典例】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 解题梳理 解题核心： 不变，只变顶点；口诀”上加下减，左加右减”。 平移规律（顶点式 ）： - 上移 ：；下移 ： - 左移 ：（括号内加）；右移 ：（括号内减） 解题步骤： 一般式先配方为顶点式 按规律变换 、 写新解析式（需要时展开）。 逆向问题： 已知平移后解析式求原式，反向操作。 易错提醒： 左右平移是对 “左加右减”；一般式必须先配方。 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（    ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【变式7-4】（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 题型08 二次函数与一元二次方程 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 解题梳理 解题核心： 与x轴交点横坐标即方程的根， 定交点个数。 对应关系： - ：两不等实根，两个交点 - ：两相等实根，一个交点 - ：无实根，无交点 常见考法： - 已知交点个数求参数：用 列不等式（注意 ） - 已知一个交点求另一个：利用对称性， - 两交点距离： - 解不等式：看抛物线在x轴上方（下方）对应的x范围 - 已知函数值求自变量：解方程 易错提醒： 求参数忘 ；不等式解集方向与 符号关系搞反。 【变式8-1】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【变式8-2】（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【变式8-4】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 题型09 二次函数的实际应用问题 【典例】（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 解题梳理 解题核心： 建二次函数模型，定自变量范围，求最值并检验。 常见类型： - 利润问题：总利润=（售价-成本）×销量，设涨/降价 元建函数 - 面积问题：设边长表示另一边，建面积函数 - 拱桥/抛体：建坐标系求解析式，再求特定值 解题步骤： 设自变量 建函数 定范围 求最值（顶点在范围内取顶点，否则取端点） 检验作答。 易错提醒： 忽略自变量实际范围；最值取在顶点但顶点不在范围内；单位不统一。 【变式9-1】（2026·湖北武汉·一模）某科学兴趣社团从地面竖直向上发射自制火箭，已知火箭离地面的高度h（m）满足关系式，其中t（s）是物体运动的时间，（）是火箭被发射时的速度，火箭被发射后离地面的最大高度为． (1)求的值； (2)已知实验楼的高度为，求火箭离地面的高度有两次与实验楼的高度相同的间隔时间； (3)为了更好观测火箭在空中姿态，兴趣小组决定起飞一架无人机进行拍摄，无人机以10（）的速度与火箭同时竖直上升，无人机飞到火箭的正上方，且与火箭的距离不超过时，才能清晰地拍摄，请直接写出无人机能清晰的拍摄到火箭的时间范围________． 【变式9-2】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【变式9-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）赣南得天独厚的自然环境，充足的阳光、适宜的温度、肥沃的土地，让赣南脐橙大放异彩，成为了中华名果．又到了脐橙成熟季，兴国县某脐橙基地为拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/箱(一箱)的精品脐橙，按销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/箱时，每天的销售利润为元； (3)销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式9-4】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 题型10 二次函数与线段周长问题 【典例】（2026·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 解题梳理 解题核心： 设点坐标表示线段，建函数求最值；线段和最小用对称转化。 线段表示： - 水平线段长=横坐标之差 - 铅垂线段长=纵坐标之差 - 斜线段长=两点距离公式 常见类型： - 单线段最值：设参数 表示线段，建函数求最值 - 线段和最小（将军饮马）：作对称点，折线段化直线段，两点之间线段最短 - 周长最值：定长部分分离，只需求变动线段和的最值 解题步骤： 设动点坐标 表线段长 建函数或对称转化 求最值 检验范围。 易错提醒： 线段长忘加绝对值；将军饮马对称轴找错；忘记检验 范围。 【变式10-1】（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【变式10-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）若抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和． (1)求此抛物线的解析式； (2)将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上的点D处，点Q是对称轴上一点，当的周长最小时，求Q点的坐标． 【变式10-3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【变式10-4】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； 题型11 二次函数与面积问题 【典例】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，割补法或铅垂高法表面积，建函数求最值。 常用方法： - 铅垂高法：（三边不”规矩”时优先用） - 割补法：分割为几个三角形/梯形求和，或大面积减小面积 - 一边在坐标轴上：直接以该边为底 解题步骤： 设动点坐标（参数 ） 表示面积 建面积关于 的二次函数 求最大值及对应 检验范围。 面积定值问题： 令面积函数等于定值，解方程求 （可能多解）。 易错提醒： 铅垂高与水平宽对应错；割补漏算或重复；面积表达式符号错。 【变式11-1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式11-2】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【变式11-3】（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，其图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且对称轴为直线，过点，作直线． (1)求二次函数和直线的表达式； (2)利用图象求不等式的解集； (3)点是函数的图象上位于第四象限内的一动点，连接，，若面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【变式11-4】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是，与y轴交于点D，且点D的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)面积的最大值时，点F是的中点，直接写出的值． 题型12 二次函数与特殊三角形存在性问题 【典例】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，按特殊条件分类列方程。 等腰三角形（分三种）： - 、、 - 用距离平方列方程（避免根号） - 几何辅助：“两圆一线”（以两定点为圆心画圆+垂直平分线） 直角三角形（分三种）： - 、、 - 用勾股定理逆定理（两边平方和=第三边平方） - 几何辅助：“一圆两线”（以斜边为直径画圆+过端点作垂线） 解题步骤： 设坐标 表示三边平方 分三类列方程 求解 检验是否在抛物线上或指定范围。 易错提醒： 分类遗漏；求出的点不在范围未排除；距离忘平方。 【变式12-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形. (1)求该抛物线的解析式； (2)求正方形面积； (3)如图2、图3，连接，且与交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线上点，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 【变式12-4】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为． (1)求二次函数的解析式； (2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式； (3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13 二次函数与特殊四边形存在性问题 【典例】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，用中点公式或边的关系分类列方程。 平行四边形： - 对角线互相平分 对角顶点横（纵）坐标之和相等 - 三个定点+一个动点：分三种情况讨论哪条为对角线 - 两个定点+两个动点：用中点公式或平移性质 矩形： 先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。 菱形： 先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。 正方形： 矩形基础上证邻边相等，或菱形基础上证直角（对角线垂直平分且相等）。 解题步骤： 设坐标 分情况定对角线 中点公式列方程（组） 求解 检验全部条件。 易错提醒： 对角线分类不全；点不在指定曲线上未排除；特殊四边形只验证一个条件。 【变式13-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点在何处时，的面积最大？求出面积的最大值及此时点的坐标； (3)是（1）中抛物线上一点，是直线上一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-2】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【变式13-4】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 题型14 二次函数的对称、翻折问题 【典例】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 解题梳理 解题核心： 掌握抛物线关于坐标轴、原点、定直线对称及图形翻折的变换规律。 1. 抛物线的对称变换（解析式变换） 关于x轴对称： - - 顶点式： 变号，顶点 关于y轴对称： - - 顶点式： 不变，顶点 关于原点对称： - - 顶点式： 变号，顶点 绕顶点旋转180°： - 顶点式 ，顶点不变， 变号 2. 关于定直线对称（如 、） · 关于直线 对称：顶点 ， 不变 · 关于直线 对称：顶点 ， 变号 · 方法：只变换顶点，开口方向按对称类型确定，写新顶点式 3. 几何图形翻折问题 · 翻折本质：轴对称变换，翻折前后图形全等 · 性质：对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线 · 解题步骤： 找折痕和对应点，标出等线、等角 设点坐标，利用对称点坐标关系（关于折痕对称）列方程 结合勾股定理或抛物线上点满足解析式联立求解 · 点 关于直线 的对称点为 ；关于 的对称点为 4. 两点关于对称轴对称的规律 · 抛物线上两点 、 函数值相等时，对称轴为 · 已知对称轴和一个交点（或等函数值点），可求另一个点： 解题技巧： - 解析式对称优先用顶点式，只变顶点和 的符号 - 图形翻折优先标等量，设坐标后用对称点公式 - 翻折后点是否落在抛物线上：代入解析式检验或列方程 【变式14-1】（25-26九年级上·广东江门·期末）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点记为C，将抛物线绕点A旋转后得到新抛物线，抛物线与x轴的另一交点为，顶点为，点D旋转后的对应点为． (1)如图1，当时，此时抛物线的顶点． ①求抛物线的解析式： ②作直线，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以为圆心，为直径的圆恰好经过点，请判断与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图2，当抛物线的顶点C恰好与点D重合，连接、、、得到的四边形能否成为矩形，若能，请求出a，c应满足的关系式，若不能，请说明理由． 【变式14-2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【变式14-3】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向下平移a个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a的取值范围； (3)过点作y轴的垂线，以为对称轴将二次函数的图象位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，直接写出m的取值范围． 【变式14-4】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式； （2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为 （）． ②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且，求t的值． ③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数的顶点的横坐标为（     ） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 5．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 8．（25-26九年级上·河南开封·期末）y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期末）二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 11．（25-26九年级上·广西河池·期末）掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为已知数）． (1)求该函数图象的对称轴（用含的代数式表示）． (2)与轴平行的直线交该函数图象于两点，且点的横坐标为，求线段的长． (3)若，点，在该函数图象上，求证：． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）《疯狂动物城》票房大卖，周边玩偶热销．某商店将每件进价为元的毛绒公仔按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种毛绒公仔单价每降低元，其销量可增加件． (1)若此商店经营该毛绒公仔一天要获利润元，则每件毛绒公仔应降价多少元？ (2)设后来该毛绒公仔每件降价元，此商店一天可获利润元．求出与之间的函数关系式，并求当取何值时，此商店获利润最大？ 14．（25-26九年级上·山西晋城·期末）综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 15．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于的二次函数的图象如图所示． (1)方程的两个根为______； (2)观察图象，当时，的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好经过点，记此时二次函数图象与轴的交点为，(点在点左侧)，顶点为，请写出的值，并求的面积． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 2．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有2个交点时，则的取值范围是或者．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②③④ 3．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 4．（25-26九年级上·福建·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求的范围是（ ） 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为______． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知，是二次函数上的两点， ①若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______ ②当且时，都有，则a的取值范围为______ 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线（m为常数）相交于三个不同的点，设，则t的取值范围是______． 9．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 10．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 12．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 13．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知关于的二次函数，（实数为常数）． (1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围． 14．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $