第06讲 二次函数最值问题 复习讲义+重难点专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数最值问题核心知识点，系统梳理一般式顶点公式、全体实数范围最值规律、自变量受限区间最值（含对称轴与区间位置关系判断）及实际应用题最值规则，构建从基础公式到综合应用的递进式学习支架。 资料特色在于通过6个易错辨析（如区间最值误用顶点）培养学生严谨推理意识，6类典例（含几何面积、销售利润应用题）发展模型意识与应用能力。课中助力教师分层教学，课后可通过口诀（如“区间包含顶点，顶点端点比大小”）及针对性练习帮助学生查漏补缺。

第06讲 二次函数最值问题 （核心知识+6易错辨析+6典例精讲） 【知识点01】二次函数最值核心公式（一般式） 对于二次函数 ，通过配方可得顶点式： 对称轴公式： 顶点坐标： 【知识点02】 全体实数范围内的最值规律 当a＞0（开口向上）：抛物线有最低点，无最大值；当时， 当a＜0（开口向下）：抛物线有最高点，无最小值；当时， 【知识点03】自变量受限区间最值（考试高频考点） 当自变量取值范围为闭区间 时，最值不一定在顶点，核心判断依据：对称轴与区间的位置关系。 情况1：对称轴在区间内（）：顶点取一个最值，另一个最值对比区间两个端点函数值 情况2：对称轴在区间左侧（）：函数在区间内单调变化，最值仅在区间两个端点取得 情况3：对称轴在区间右侧（）：函数在区间内单调变化，最值仅在区间两个端点取得 万能口诀：区间包含顶点，顶点端点比大小；顶点脱离区间，最值全看两端点。 【知识点04】实际应用题最值规则 几何、销售等实际问题中，自变量受现实条件约束（边长、销量、售价均为正数），必须优先确定自变量取值范围，禁止直接套用顶点公式求最值。 常见易错点 错误做法 标准正确做法 混淆最值类型 不判断a的正负，直接将顶点纵坐标当作最大值 a＞0取最小值，a＜0取最大值，开口方向优先判断 区间最值乱用顶点 给定x取值区间，直接代入顶点求最值 先判断对称轴是否在区间内，不在区间则只比较端点值 实际问题忽略取值范围 列出函数式后，直接用顶点作为最终最值 先根据实际意义确定x范围，顶点超范围则取端点最值 区间求值不完整 只计算一个端点值，随意对比得出最值 区间两端点必须全部计算，再与顶点值对比筛选 审题目标混淆 题目求x的最值，误求y的最值 审题标注关键词，区分自变量最值与函数值最值 公式记忆错误 对称轴记为，遗漏负号 严格牢记对称轴公式： 【题型一】全体实数范围求最值（基础题） 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛物线 的最小值为__________． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 3．二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 5．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 6．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数图象经过点． (1)求的值； (2)若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． (3)在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【题型二】固定闭区间最值（中考高频） 8．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 10．（2026·天津河北·二模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． (1)若，，，求抛物线顶点的坐标； (2)已知点，，连接，． 当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； 若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 11．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 12．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）我们规定：关于x的多项式，因式分解后，若有一个一次因式，则一次函数叫做函数的“一次因式函数”，若有一个二次因式，则二次函数叫做它的“二次因式函数”，依此类推． 例如：，则函数与分别是函数的“一次因式函数”和“二次因式函数”． (1)已知函数与都是二次函数的“一次因式函数”，则　　　，　　　，　　　　； (2)已知函数有两个“一次因式函数”与，且对任意的，当时，求的取值范围； (3)已知正整数a，b满足不等式，且，若关于x的函数（t为常数）有个“一次因式函数”，而另一个因式函数在取值范围：上有最小值为，求m，t的值． 【题型三】动态最值（拔高题） 13．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 14．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 16．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值． 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 【题型四】几何面积最值应用题 19．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 20．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 21．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 22．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)问题发现：如图1，在中，，于点，，．求的面积； (2)问题探究：如图2，在正方形中，，，分别是边，上的两点，将正方形沿折叠，点恰好落在边上的中点处，求的长度； (3)问题解决：如图3，在矩形中，，分别是边，上的两点，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，，分别是边，上的两点，四边形沿折叠，点恰好也落在对角线上的点处．已知米，米，求四边形面积的最大值． 23．（25-26八年级下·山东聊城·期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整． (1)若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式； (2)求上述函数表达式中，自变量x的取值范围； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 求m的值； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象； (5)结合图象可得，当________时，矩形的面积最大． 【题型五】销售利润最值应用题（压轴小问必考） 24．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 25．（2026·河南周口·一模）某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27．（22-23九年级上·云南昭通·期末）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 28．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 29．（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【题型六】二次函数与几何综合最值（压轴题） 30．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（b为常数）经过点， (1)求b的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于点B，点C（B在C的左边），求的值． (3)点，是抛物线上的两点，且，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），求图象G上任意两点纵坐标之差的最大值． 31．（25-26九年级上·吉林通化·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），且点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C 的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的值． 32．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某数学兴趣小组遇到了这样一个问题：给定两个函数，任取自变量的一个值，当时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这两个函数为原函数的伴随函数，例如：一次函数的伴随函数为． (1)根据上述问题情境请写出函数的伴随函数：； (2)如图，给出了函数的图象，请在同一坐标系中画出它的伴随函数的图象（作图时请注意自变量的取值范围）； (3)当时，请直接写出二次函数的伴随函数的最大值和最小值． 33．（25-26九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标； (2)当时，的取值范围是________； (3)抛物线上有一点，点的横坐标为； ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 34．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 35．（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的图象经过点B，且与的另一个交点E的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直线与、分别交于点F，H，与直线交于点G． ①求证：在此范围内不论t为何值，总有线段被点G平分； ②若，求线段的长度； (3)定义：由与组成的函数称为“拼接函数”，当时，的最小值为，最大值为，求的值及对应t的取值范围． 1. 两大解题场景 无自变量限制（全体实数）：最值唯一，仅在顶点取得，由a的正负决定最值类型 有自变量区间限制：优先判断对称轴位置，顶点可用则对比顶点与端点，顶点不可用则只看端点 2. 标准解题流程 求对称轴→判区间位置→算对应函数值→对比定最值 3. 高频失分警示 切勿忽略开口方向判断，盲目套用顶点公式 区间最值绝不默认顶点为最值 实际应用题必须写自变量取值范围，这是解题得分关键 一、单选题 1．（26-27九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 3．（2025九年级上·湖北黄冈·竞赛）设k为实数，且方程的两实根为a、b，则的最小值为（     ） A．0 B．8 C．12.25 D．18 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．二次函数的最小值是___________． 6．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线，则的最大值为_____． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 8．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．        14．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 15．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次函数最值问题 （核心知识+6易错辨析+6典例精讲） 【知识点01】二次函数最值核心公式（一般式） 对于二次函数 ，通过配方可得顶点式： 对称轴公式： 顶点坐标： 【知识点02】 全体实数范围内的最值规律 当a＞0（开口向上）：抛物线有最低点，无最大值；当时， 当a＜0（开口向下）：抛物线有最高点，无最小值；当时， 【知识点03】自变量受限区间最值（考试高频考点） 当自变量取值范围为闭区间 时，最值不一定在顶点，核心判断依据：对称轴与区间的位置关系。 情况1：对称轴在区间内（）：顶点取一个最值，另一个最值对比区间两个端点函数值 情况2：对称轴在区间左侧（）：函数在区间内单调变化，最值仅在区间两个端点取得 情况3：对称轴在区间右侧（）：函数在区间内单调变化，最值仅在区间两个端点取得 万能口诀：区间包含顶点，顶点端点比大小；顶点脱离区间，最值全看两端点。 【知识点04】实际应用题最值规则 几何、销售等实际问题中，自变量受现实条件约束（边长、销量、售价均为正数），必须优先确定自变量取值范围，禁止直接套用顶点公式求最值。 常见易错点 错误做法 标准正确做法 混淆最值类型 不判断a的正负，直接将顶点纵坐标当作最大值 a＞0取最小值，a＜0取最大值，开口方向优先判断 区间最值乱用顶点 给定x取值区间，直接代入顶点求最值 先判断对称轴是否在区间内，不在区间则只比较端点值 实际问题忽略取值范围 列出函数式后，直接用顶点作为最终最值 先根据实际意义确定x范围，顶点超范围则取端点最值 区间求值不完整 只计算一个端点值，随意对比得出最值 区间两端点必须全部计算，再与顶点值对比筛选 审题目标混淆 题目求x的最值，误求y的最值 审题标注关键词，区分自变量最值与函数值最值 公式记忆错误 对称轴记为，遗漏负号 严格牢记对称轴公式： 【题型一】全体实数范围求最值（基础题） 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛物线 的最小值为__________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 将二次函数化为顶点式，二次函数开口向上，最小值在顶点处取得，进而作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数开口向上，最小值为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【答案】 2 小 0 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 3．二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据开口向上的二次函数的增减性，按对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，计算不同情况下的最小值，结合已知条件筛选出符合要求的的值即可． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵，的取值范围是， ∴分情况讨论： 若，解得，与已知条件矛盾，舍去此情况； 若，解不等式得， 又，则， 此时函数最小值为顶点纵坐标，不符合最小值为的条件，舍去此情况； 若，解得，符合的要求， 此时整个区间都在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧随增大而减小， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 【答案】5 【知识点】比较一次函数值的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了新定义，以及二次函数与一次函数综合，设，，通过比较函数和 的大小关系，确定的取值，并求其最大值，即可解题． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，，故； 又在时，函数随增大而增大，在时，函数随增大而减小， 当时，； 当时，． 当时，，故． 对于，在时，函数随增大而增大，当 趋近于 时， 趋近于 综上，的最大值为， 故答案为：． 5．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 6．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数图象经过点． (1)求的值； (2)若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． (3)在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图像及性质： （1）用待定系数法； （2）根据对称轴公式以及函数的单调性确定的取值范围； （3）将函数化为顶点式，得到最小值相等的等式，求出，代入得表达式． 【详解】（1）解：把代入， 得． （2）解：， 抛物线的开口向上， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大， ， ． （3）解： 二次函数的最小值为， 解得：，（舍）； ， 二次函数的表达式为． 【题型二】固定闭区间最值（中考高频） 8．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 10．（2026·天津河北·二模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． (1)若，，，求抛物线顶点的坐标； (2)已知点，，连接，． 当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； 若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)；； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，，代入解析式，化为顶点式后可得抛物线顶点的坐标； （2）先说明点在抛物线的对称轴上，求出，根据求出，设抛物线解析式为，把代入求解即可；设对称轴交轴于点，取点关于轴的对称点，则，证明，求出，抛物线解析式为，把代入求出抛物线解析式，然后根据的最大值与最小值的差为，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 可得：， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图所示， ， ， 点在的垂直平分线上， 抛物线与轴交于点，两点， 、两点关于对称轴对称， 点在抛物线的对称轴上． ，， ， ， ， ， ，即， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ； 轴，点为抛物线顶点， 点在抛物线的对称轴上， 如图所示，设对称轴交轴于点，取点关于轴的对称点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 当时，则在取得最大值，取得最小值， 的最大值与最小值的差为， ， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，则在取得最大值，取得最小值，， 符合题意； ，， 和时，对应的值相等， 当时，则在取得最大值，取得最小值，， 符合题意； 当时，则在取得最大值，取得最小值， 的最大值与最小值的差为， ， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 综上可知，的取值范围是． 11．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 12．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）我们规定：关于x的多项式，因式分解后，若有一个一次因式，则一次函数叫做函数的“一次因式函数”，若有一个二次因式，则二次函数叫做它的“二次因式函数”，依此类推． 例如：，则函数与分别是函数的“一次因式函数”和“二次因式函数”． (1)已知函数与都是二次函数的“一次因式函数”，则　　　，　　　，　　　　； (2)已知函数有两个“一次因式函数”与，且对任意的，当时，求的取值范围； (3)已知正整数a，b满足不等式，且，若关于x的函数（t为常数）有个“一次因式函数”，而另一个因式函数在取值范围：上有最小值为，求m，t的值． 【答案】(1)2，1， (2) (3)， 【知识点】因式分解的应用、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了多项式的因式分解以及二次函数的性质，掌握多项式的因式分解以及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可以得到，展开后对比系数即可求出； （2）先对进行因式分解，得到其“一次因式函数”，再根据确定，的表达式，即可求出的取值范围； （3）由，可得，分情况讨论即可得出m，t的值． 【详解】（1）解：函数与都是二次函数的“一次因式函数”， ， ， 解得：． 故答案为：2，1，． （2）解：，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ， 都为正整数， ， ， ， ． ∴由题意得：在有最小值， ①当即时，当，随x的增大而增大， 当时，，得：， 此时，，符合题意； ②当即时，在抛物线顶点取得最小值， ， 解得：（舍去）， ③当即时，当，随x的增大而减小 ， 当时，，得：（舍去）， 综上，，． 【题型三】动态最值（拔高题） 13．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 【答案】23 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，据此可解． 【详解】解：，，， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得，． 14．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数对称性求最短路径、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 16．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）把代入可求出b，求出点C的坐标，再把点A和点C的坐标代入可求出a，c的值； （2）平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为，则，求出，得出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得，即该直线解析式为， 当时，可得，即， ∵C是的中点， ∴点， ∵二次函数的图象经过点A，C， ∴ 解得， ∴抛物线； （2）解：由题意得，平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为， 则，即， ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴当时，k取最大值，最大值为． 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2) ①解：线段的中点落在直线上．理由： 点，点， ∴，， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点． ∴中点为． ∴线段的中点落在直线上． ②； (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）①由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解；由①可得的表达式，由二次函数的图象和性质，即可得当时，的取值范围； （3）根据题意可得的表达式，由二次函数的图象和性质可得当时，，利用图象法，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由已知可得过点， ∴． （2）解：若，则． ①略 ②， 当时，， ∴． ∴的范围是． （3）解：， ∴当时，， 利用图象法可得，当时，或． 【题型四】几何面积最值应用题 19．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 20．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 21．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；自变量的取值范围是； (2)当时，种植月季的面积最大，最大面积为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标，从而得到自变量x的取值范围； （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：； （2）解：由（1）知，， ∴当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 22．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)问题发现：如图1，在中，，于点，，．求的面积； (2)问题探究：如图2，在正方形中，，，分别是边，上的两点，将正方形沿折叠，点恰好落在边上的中点处，求的长度； (3)问题解决：如图3，在矩形中，，分别是边，上的两点，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，，分别是边，上的两点，四边形沿折叠，点恰好也落在对角线上的点处．已知米，米，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可； （3）连接，根据折叠的性质以及矩形的性质，先证明,设，，则，，根据勾股定理可得得出，根据三角形的面积公式求得四边形面积，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴的面积 （2）解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 设，则 ∵折叠， ∴， ∴， ∴ 设，，则，， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∴ ∴四边形面积 当时，取得最大值，最大值为（平方米） 23．（25-26八年级下·山东聊城·期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整． (1)若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式； (2)求上述函数表达式中，自变量x的取值范围； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 求m的值； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象； (5)结合图象可得，当________时，矩形的面积最大． 【答案】(1) (2)自变量x的取值范围是 (3) (4) 函数图象如图所示： ； (5)2 【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），矩形的面积长宽，即可列出函数表达式； （2）根据矩形的边长为正数，列出不等式，即可得出答案； （3）把代入解析式计算即可； （4）根据表格中的坐标描点画图即可； （5）结合图象可得时，y有最大值． 【详解】（1）解：∵矩形的周长为8，面积为y，矩形的一边长为x， ∴； （2）解：根据题意，且， ∴且， ∴自变量x的取值范围是； （3）解：把代入得： ， ∴； （4）略 （5）解：根据函数图象，当时，y有最大值，即时，矩形的面积最大． 【题型五】销售利润最值应用题（压轴小问必考） 24．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 25．（2026·河南周口·一模）某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利润涨价后销售每件获得的利润涨价后的销售量，据此列出函数关系式即可求解； （2）对称轴为直线，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为42和43，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元． 27．（22-23九年级上·云南昭通·期末）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1) (2)①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设该景区游客人数的月平均增长率为，则三月份的游客为万人，四月份的游客为万 人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙三种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案； ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 28．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润 (2)当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 29．（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【答案】(1)甲型号新能源汽车每辆进价为万元，乙型号新能源汽车每辆进价为万元 (2)乙种型号新能源汽车定价为万元时，月销售获取的利润最大 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组和二次函数的性质是解本题的关键． （1）根据题意，建立二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意，得出利润与定价的关系，将该关系式转化为顶点式，即可得出利润最大时对应的定价． 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【题型六】二次函数与几何综合最值（压轴题） 30．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（b为常数）经过点， (1)求b的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于点B，点C（B在C的左边），求的值． (3)点，是抛物线上的两点，且，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），求图象G上任意两点纵坐标之差的最大值． 【答案】(1) (2)6 (3)60 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，得，从而可求出的值； （3）分点Q在点P左边和右边两种情况，分别求出各种情况的最大值，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴； （2）解：把代入得， 解得或， 如图所示， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； （3）解：当点Q在点P左边时，图象G不含抛物线的顶点，并且图象G在对称轴的左边， ∴Q为图象G上的最高点，P为图象G上的最低点， ∴图象G上的最大值为，最小值为， ∵， ∴，，， ∵， ∴时，的最大值， 当点Q在点P右边时，图象G含抛物线的顶点， ∴Q为图象G上的最高点，顶点为图象G上的最低点， ∴图象G上的最大值为，最小值为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴时，的最大值， ∵， ∴图象G上任意两点纵坐标之差的最大值为60． 31．（25-26九年级上·吉林通化·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），且点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C 的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据已知条件将点A，B代入抛物线解析式中，得到一个二元一次方程组可求出b，c的值，进而得到抛物线解析式．再令，求出对应的y值，得到点C的坐标； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，因为，所以抛物线开口向下，在顶点处取得最大值9，再分别计算当和时y的值，比较大小后确定y的取值范围即可； （3）先根据抛物线顶点式确定其顶点坐标，再求出时x的值，然后分三种情况讨论：①当时，最大值为顶点纵坐标9，最小值为5，满足最大值与最小值的差为4；②当时，最大值小于9，最小值为5，不存在最大值与最小值的差为4；③当时，最大值为5，最小值为，根据最大值与最小值的差为4列出方程求解，舍去不符合条件的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，两点， 将点A，点B的坐标分别代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． 抛物线与y轴交于点C， 当时，得， ∴点C的坐标为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点为， 又∵， ∴当时，y的最大值为9， 当，则， 当，则， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，， 解得：，， 此时有三种情况讨论： ①当时，图象G的最大值为9，最小值为5， ∴图象G的最大值与最小值的差为4； ②当时，图象G的最大值为，最小值为5， ∴不存在图象G的最大值与最小值的差为4； ③当时，图象G的最大值为5，最小值为， ∴， 解得：，（负值舍去）， 综上所述，当或时，图象G的最大值与最小值的差为4． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解、函数值的取值范围以及根据函数最值求参数的值，涉及利用抛物线与x轴交点坐标求抛物线解析式，二次函数的顶点坐标公式，根据二次函数的性质求函数在给定区间内的最值等． 32．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某数学兴趣小组遇到了这样一个问题：给定两个函数，任取自变量的一个值，当时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这两个函数为原函数的伴随函数，例如：一次函数的伴随函数为． (1)根据上述问题情境请写出函数的伴随函数：； (2)如图，给出了函数的图象，请在同一坐标系中画出它的伴随函数的图象（作图时请注意自变量的取值范围）； (3)当时，请直接写出二次函数的伴随函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)图象如下： (3)最大值为，最小值为 【知识点】用描点法画函数图象、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查新定义的函数，描点法画函数图象，二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据伴随函数的定义即可解答； （2）运用描点法画出图象即可； （3）先求出伴随函数，再分别求出当时与时，对应的伴随函数的函数值的范围，即可解答． 【详解】（1）解：函数的伴随函数：． 故答案为：， （2）解：列表 x … 0 1 2 3 … … 5 2 0 3 8 … （3）解：当时，二次函数的伴随函数为，即 ∵当时，函数中，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴； ∵当时，函数中，当时，y有最大值，为， 又抛物线开口向下，离对称轴越近的点相应的函数值越大， 当时，， 当时，， ∴， 综上所述，函数满足，即最大值为，最小值为． 33．（25-26九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标； (2)当时，的取值范围是________； (3)抛物线上有一点，点的横坐标为； ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）把点代入求出，得到抛物线的解析式，配方得抛物线的顶点坐标即可； （2）求出，时的值，而抛物线的顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性解答即可； （3）求出，， 由题意得，①当在对称轴直线左侧 (包括在对称轴直线上)，即时，图象的最高点为+2m+3)， 最低点为， 可得 ；当在对称轴直线右侧，即时，图象的最高点为顶点， 最低点为， 求出即可；②由点的横坐标为， 点， 可知矩形的中心在直线上，根据，矩形中心在直线上，对称轴为直线， ，分类画出图形， 即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为 ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：在 中，令得，令时， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，的取值范围是； 故答案为：； （3）解：在中，令得 ， 解得或， ， 由题意得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ①当在对称轴直线左侧(包括在对称轴直线上)，即时，图象的最高点为 ，最低点为， ； 当在对称轴直线右侧，即时，图象的最高点为顶点，最低点为， ， ； ②∵点的横坐标为，点，而以为对角线的矩形的中心是的中点， ∴矩形的中心在直线上， 当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 当时，矩形不存在； 当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 当时，矩形不存在； 当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 当时，矩形不存在； 当，即，如图： 此时矩形与抛物线有个交点； 综上所述，当矩形与抛物线有个交点时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，矩形性质及应用，二次函数的最大 (小)值等问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． 34．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点坐标为； (2)， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； ②先求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，用t表示出，，根据求出t值，即可求解； （2）根据题意，抛物线的解析式可写为，则点的坐标为，点的坐标为，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，即可确定当的最小值时，点M的位置，根据勾股定理求出c的值，进而求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①， 抛物线 ， 抛物线 与轴相交于点， ，解得 ， 抛物线的解析式为． 顶点坐标为 ； ②对于， 令 ，得 ，令 ，得 或 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 如图，设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 轴于点，交于点， 设点的坐标为， 点的坐标为， ，， ， ， 解得，(舍去)， 当时，， 点的坐标为． （2）解：抛物线与轴相交于点， ，又， ， 抛物线的解析式为， 直线与抛物线相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，易得点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形为平行四边形， ， 又∵的长为是定值， 当满足条件的点落在上时，的最小值为，即取得最小值， 的最小值为， 在中，，， ， 解得，(舍去)， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式为， 当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为． 35．（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的图象经过点B，且与的另一个交点E的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直线与、分别交于点F，H，与直线交于点G． ①求证：在此范围内不论t为何值，总有线段被点G平分； ②若，求线段的长度； (3)定义：由与组成的函数称为“拼接函数”，当时，的最小值为，最大值为，求的值及对应t的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②12 (3)； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法求出的解析式，然后求出点E的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）①待定系数法求出直线的解析式为，结合题意得出，，，则，，即可得证； ②根据两点间距离公式求出，则，，即可求解； （3）画出“拼接函数”的图象，然后数学结合求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，， ∴， 解得， ∴， ∵点E在抛物线上，且点E的横坐标为， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∵抛物线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）①证明：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， ∵直线与、分别交于点F，H，与直线交于点G， ∴，，， ∴，， ∴，即线段被点G平分； ②∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； （3）解：由题意知：， 其图象如图所示， 由图象可知，当时，取最大值，此时， ∴， 解得， ∴的最小值为， 当时，， 解得， 当时，， 解得（负值舍去）， 观察函数图象知：当，即时，的最小值为，最大值为． 1. 两大解题场景 无自变量限制（全体实数）：最值唯一，仅在顶点取得，由a的正负决定最值类型 有自变量区间限制：优先判断对称轴位置，顶点可用则对比顶点与端点，顶点不可用则只看端点 2. 标准解题流程 求对称轴→判区间位置→算对应函数值→对比定最值 3. 高频失分警示 切勿忽略开口方向判断，盲目套用顶点公式 区间最值绝不默认顶点为最值 实际应用题必须写自变量取值范围，这是解题得分关键 一、单选题 1．（26-27九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 2．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 3．（2025九年级上·湖北黄冈·竞赛）设k为实数，且方程的两实根为a、b，则的最小值为（     ） A．0 B．8 C．12.25 D．18 【答案】B 【分析】本题先根据方程有两个实根，利用判别式求出k的取值范围，再将所求代数式展开变形，结合根与系数的关系化为关于k的二次函数，最后根据二次函数性质求出给定范围内的最小值即可． 【详解】解：∵方程有两个实根， ∴判别式， 化简得， 因式分解得， 解得或， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ，   将，代入上式得： 原式 ， 而是开口向上的二次函数，对称轴为直线， ∵k的取值范围为或，两个范围内离对称轴最近的点分别为和， 当时，， 当时，， ∵， ∴ 的最小值为． 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 二、填空题 5．二次函数的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数解析式的特点可知，当时取得最小值，即可解答． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为， 则当时，二次函数的最小值是． 6．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线，则的最大值为_____． 【答案】4 【分析】先求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵二次项系数， ∴当时，有最大值为4． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 8．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 三、解答题 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为和 (3)符合 【分析】（1）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， 当时，有最大值， ∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和； （3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和． 由（1）知， 该方案围成面积最大时符合墙长要求． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  14．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 15．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）先求出顶点的坐标，则，设点的坐标为，则，，再分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；根据勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ，解得． 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点． 设直线的解析式为，由题意，得 ，解得， 直线的解析式为：． 设点坐标为，则点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：在轴上存在点，能够使得是直角三角形．理由如下： ， 顶点的坐标为， ， ． 设点的坐标为， ，， 分三种情况进行讨论： ①当为直角顶点时，如图3①， 由勾股定理，得， 即， 解得， 点的坐标为； ②当为直角顶点时，如图3②， 由勾股定理，得， 即， 解得， 点的坐标为； ③当为直角顶点时，如图3③， 由勾股定理，得， 即， 解得或， 点的坐标为或； 综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 16．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $