第二十九章 圆 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 圆 九上暑假预习讲义 学习目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念，掌握点与圆的位置关系. 2.掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决有关圆的证明与计算问题. 3.理解圆心角、弧、弦之间的关系定理，能进行相关的推理与计算. 4.掌握圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角定理进行角度计算与证明. 5.理解圆内接四边形的性质，能运用该性质进行角度计算. 6.掌握直线与圆的位置关系，理解切线的判定定理、性质定理及切线长定理. 7.了解圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）. 8.掌握弧长与扇形面积的计算公式，能解决与圆锥侧面展开图相关的计算问题. 知识点一、圆的基本概念 1.圆的定义 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点叫做圆心，线 段叫做半径. 以点为圆心的圆，记作，读作“圆”. 2.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最长的弦.如图，AB，AC是弦，AC是直径. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.以 A，B为端点的弧记作，读作“弧AB”. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等）. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.点与圆的位置关系 设的半径为，点到圆心的距离为，则：  点在圆外  点在圆上  点在圆内 【例1】下列说法中正确的是（　　） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【变式1】已知⊙O的半径为5，则⊙O中弦AB的长度不可能是（　　） A．1 B．5 C．10 D．11 知识点二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： 在中，是直径，于点， ，，. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 在中，是直径，且不是直径， ，，. 【例2】在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝16cm，CD＝4cm，求圆形工件的半径. 【变式2】如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，求OE长. 知识点三、圆心角、弧、弦之间的关系 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：  在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.  在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 【例3】如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，求∠ACO的度数. 【变式3】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，求∠ACO的度数. 知识点四、圆周角定理 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何语言： ∵是所对的圆周角，是所对的圆心角 ∴ 圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径. 【例4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC．若△AOC为等边三角形，求∠ABC的度数． 【变式4】如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A、C在直径同侧，若∠D＝30°，AB＝AC，求∠BAC的大小． 知识点五、圆内接四边形 定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 性质：圆内接四边形的对角互补. 几何语言： 在圆内接四边形中， ，. 【例5】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝120°，求∠CDE的度数． 【变式5】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠A＝100°，则∠C的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 知识点六、弧长和扇形面积 1.弧长公式 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长. 2.扇形面积公式 在半径为的圆中，圆心角为的扇形面积（为扇形的弧长）. 3.圆锥的侧面积与全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的底面半径为，母线长为，则：  圆锥的侧面积  圆锥的全面积 【例6】如图，点A，B，C在⊙O上，且AB为直径．若AB＝6，∠B＝60°，求的长． 【例7】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，以AB为半径画弧，交BC延长线于点D，求阴影部分的面积． 【变式6】若一个圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为24cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式7】如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 综合测评 1．下列说法正确的是（　　） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝AD，∠AOD＝70°，则∠BCO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 4．如图，AC是⊙O的直径，∠ADB＝37°，则∠BAC＝（　　） A．67° B．60° C．53° D．45° 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠ADB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 6．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若∠A＝70°，则的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 7．一个扇形的圆心角是60°，半径是6cm，那么这个扇形的面积是（　　） A．3πcm2 B．πcm2 C．6πcm2 D．9πcm2 8．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线l为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 　 　 cm． 10．已知⊙O的直径为6，若点P到点O的距离为4，则点P在⊙O　 　 ．（填“内”“外”或“上”） 11．如图，在⊙O中，直径AB经过CD中点E，已知CD长度为8，BE长度为2，⊙O半径是　 　 ． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC等于 　 　 度． 13．如图，某传送带的转动轮的半径为12cm．假设皮带、转动轮和物品A之间没有打滑，且BC足够长，若转动轮转动10°，则传送带上的物品A被传送　 　 cm（结果保留π）． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以AC为直径的半圆O分别交AB，BC于点D，E，若AB＝18，则图中的长为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝8．以点A为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝2，∠BAC＝30°．在图中作弦AD＝1，则∠CAD＝　 　 ． 17．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（﹣3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r　 　 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 满足　 　 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r　 　 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r　 　 时，圆O与坐标轴有4个交点． 18．如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，连接BO，CO． （1）求∠BOC的度数； （2）若AB＝6，求⊙O的半径． 19．如图，已知AB为半圆O的直径，AB＝20cm，∠ABC＝45°，C为弧AB的中点，ABD是扇形，求阴影部分的面积．（提示：半圆弧的中点到圆心的连线垂直于半圆弧所对的直径） 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求的长． 21．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E． （1）求证：AD＝BD； （2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O的半径． 22．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）． （1）求证：△POD≌△ABO； （2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 【例1】 解：A、直径是弦，但半径不是弦，说法错误，不符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，说法正确，符合题意； C、弦不一定是直径，说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】 解：∵已知⊙O的半径为5， ∴5×2＝10，即圆的直径长为10， ∵弦AB的长度满足0＜AB≤10， ∴AB的长度不可能为11， 故选：D． 【例2】 解：∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴直线CD经过圆心， 如图，设圆心为O，连接OB． ∵AB＝16cm，CD＝4cm， ∴， ∴OD2+BD2＝OB2，即（OB﹣4）2+82＝OB2， 解得OB＝10； 故圆形工件的半径为10cm． 【变式2】 解：∵直径AB⊥CD， ∴CE＝CD＝×2＝1， ∵OC＝OB＝2， ∴OE＝＝． 【例3】 解：如图，连接OA． ∵，∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∴∠ACO+∠CAO＝180°﹣∠AOC＝96°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠ACO＝×96°＝48°． 【变式3】 解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO＝（180°﹣∠AOC）＝×（180°﹣84°）＝48°， 【例4】 解：∵△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵， ∴若△AOC为等边三角形，则． 【变式4】 解：∵点A、B、C、D在⊙O上，点A、C在直径同侧，∠D＝30°， ∴∠C＝∠D＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣2∠C＝180°﹣60°＝120°． 【例5】 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝120°， ∴∠B＝∠AOC＝60°， ∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠CDE＝∠B＝60°． 【变式5】 解：∵A，B，C，D是⊙O上的四点， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝100°， ∴∠C＝80°． 故选：C． 【例6】 解：如图，连接OC， ∵∠B＝60°， 由圆周角定理，可知∠AOC＝2∠B＝120°， ∴＝＝2π， 则的长为2π． 【例7】 解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝， ∴tan∠B＝＝＝， ∴∠B＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2， ∴阴影部分的面积＝﹣××＝π﹣． 【变式6】 解：设该圆锥侧面展开图的圆心角度数为n°， 底面圆周长 C＝2πr＝2π×3＝6π，侧面展开图的弧长为． ∴，解得n＝45． ∴该圆锥侧面展开图的圆心角度数为45°， 故选：B． 【变式7】 解：∵∠ACB＝30°． ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∵⊙O的半径为1， ∴图中阴影部分的面积为＝． 故选：A． 综合测评 1．解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，所以A选项错误，不符合题意； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，所以B选项错误，不符合题意； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故圆既是轴对称图形又是中心对称图形，所以C选项正确，符合题意； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，所以D选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴BC＝AC＝AB＝×16＝8， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6， 故选：D． 3．解：∵AC＝AD，∠AOD＝70° ∴∠AOC＝∠AOD＝70°， ∴∠ABC＝，∠AOC＝35°， ∵OB＝OC， ∴， 故选：B． 4．解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝∠ADB＝37°， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝53°， 故选：C． 5．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°， ∵AB＝BC， ∴， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB， ∴． 故选：C． 6．解：连接BE，如图， ∵以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E， ∴∠BEC＝90°， ∴∠AEB＝90°，∠A＝70°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝20°， ∵∠ABE是所对的圆周角， ∴的度数为2∠ABE＝40°， 故选：C． 7．解：因为r＝6cm，n＝60°， 根据扇形的面积公式S＝进得： S＝＝6π（cm2）． 故选：C． 8．解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则根据题意列式得：， 解得l＝6． 则圆锥的母线l为6， 故选：B． 9．解：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm， ∴⊙O的半径为8cm． 故答案为：8． 10．解：∵⊙O的直径为6，点P到点O的距离为4， ∴⊙O的半径r＝3，d＝4， ∴d＞r， ∴点P在⊙O外． 故答案为：外 11．解：连接OD，设OD＝OB＝r， ∵CD＝8，点E是CD的中点，BE＝2， ∴， 由勾股定理得OD2＝OE2+ED2， 则r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 故答案为：5． 12．解：∵BE∥AD，∠BEC＝50°， ∴∠D＝∠BEC＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． 13．解：∵传送带上的物品A被传送的距离是转动轮转动的弧长， ∴转动轮转动10°，传送带上的物品A被传送的距离＝＝（cm）． 故答案为：． 14．解：如图，连接OE， ∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∵OE＝OC， ∴∠C＝∠OEC＝70°， ∴∠COE＝40°， ∴的长为＝2π． 故答案为：2π． 15．解：根据题意可知S阴影＝S扇形ACE+S△ADE﹣（S△ABC+S扇形ABD） ＝S扇形ACE﹣S扇形ABD ＝ ＝16π﹣4π ＝12π． 故答案为：12π． 16．解：∵AB是⊙O的直径，AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝1， 当弦AD＝1，且点D与点C在AB同侧时，连接OD， ∵OD＝OA＝AD＝1， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠OAD＝60°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝∠OAD﹣∠BAC＝30°； 当弦AD′＝1，且点D′与点C在AB异侧时，连接OD′， ∵OD′＝OA＝AD′＝1， ∴△AOD′是等边三角形， ∴∠OAD′＝60°， ∴∠CAD′＝∠OAD′+∠BAC＝90°， 故答案为：30°或90°． 17．解：（1）根据题意，知圆和y轴相切，则r＝3； （2）根据题意，知圆和y轴相交，和x轴相离，则3＜r＜4； （3）根据题意，知直线和x轴相切或与坐标轴有公共交点，即原点，则r＝4或5； （4）根据题意，知直线和x轴相交，则r＞4且r≠5． 18．解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵， ∴∠BOC＝120°； （2）过点O作OD⊥BC于点D，则∠BDO＝∠CDO＝90°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝6， ∴， ∵OB＝OC，OD⊥BC， ∴∠BOD＝60°， ∴∠OBD＝30°， ∴， 在Rt△BDO中，BD2+OD2＝OB2， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴若AB＝6，则⊙O的半径为． 19．解：连接AC， ∵C为弧AB的中点，AB＝20cm， ∴OB＝OC＝10cm， 依题意，∠ABC＝45°，OC⊥AB，OC＝OB＝OA， ∴． ∴S阴影＝S扇形ABD﹣S△ABC＝． 20．（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是圆O的直径， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC． 又∵AB＝AC， ∴AE是边BC上的中线， ∴BE＝CE； （2）解：连接OD， ∵AB＝6， ∴AO＝3． 又∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠OAD＝∠ODA＝54°， ∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°， ∴的长为：． 21．（1）证明：连接CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB， ∵AC＝BC， ∴AD＝BD． （2）连接OD． ∵弦DF⊥BC，BC为直径，DF＝8， ∴． ∵AD＝BD，AB＝10， ∴． 由勾股定理得到：BE＝＝3， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3． 由勾股定理得到：OD2＝DE2+OE2， ∴r2＝（r﹣3）2+42， ∴， ∴⊙O的半径为． 22．（1）证明：连接PB， ∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分， ∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°， ∵PA＝PB， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB＝PA，∠BAO＝60°， ∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD， 在△POD和△ABO中， ∴△POD≌△ABO（ASA）； （2）解：由（1）得△POD≌△ABO， ∴∠PDO＝∠AOB， ∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°， ∴∠PDO＝30°， ∴OP＝OD•tan30°＝3×＝， ∴点P的坐标为：（﹣，0） ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为：y＝x+3． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $