30.1直线与圆 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦直线与圆的位置关系及切线相关知识，先系统梳理相离、相切、相交三种位置关系的定义及判定（d与r关系），再延伸切线的性质（垂直半径等）、判定（过半径外端且垂直）、切线长定理（切线长相等、平分夹角），构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以知识点配典型练习题设计，通过动态旋转问题（如等边三角形中圆的旋转）培养几何直观，切线性质证明题提升推理能力，多样化题型助力学生用数学语言表达关系。课中辅助教师教学，课后答案解析帮助学生查漏补缺。

人教版（2024）九年级上册30.1直线与圆 【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d=r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 1.（2024秋•宿城区校级月考）如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD=11，CD=6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 2.（2024秋•渝中区校级月考）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则⊙O与直线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 3.（2025秋•宿豫区校级月考）若⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是 ______． 【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2024•枣阳市模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 2.（2025春•高新区校级月考）如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm,则PA的长是（　　） A．6cm B．3cm C．24cm D．12cm 3.（2025•浦东新区校级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于______． 4.（2025•西宁一模）如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P=80°，则∠ACB的度数为 ______． 【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2015•孟津县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DH⊥AB于点H，交BE于点G，有下列结论：①BD=CD；②DF是⊙O的切线；③∠DAC=∠BDH；④BM=2DG．其中，成立的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 1.（2013•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 2.（2018秋•武进区校级期末）如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，则∠CPD=______． 3.（2008•南充）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=8cm,C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED的周长是______cm. 人教版（2024）九年级上册30.1直线与圆 (参考答案) 【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d=r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 1.（2024秋•宿城区校级月考）如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD=11，CD=6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】C 【分析】延长CO交⊙O于点，先根据OD=11，CD=6得出OC=5，故CE=6，再根据△ABC是等边三角形可知BC=AC，BC＞CD，根据直线与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：延长CO交⊙O于点， ∵OD=11，CD=6， ∴OC=5， ∴CE=6． ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，BC＞CD， ∴在旋转过程中⊙O与BC边只有一个公共点时有两次，与AB边有一次，与AC边有2次． ∴⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现5次． 故选：C． 2.（2024秋•渝中区校级月考）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则⊙O与直线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d＜r,②直线l和⊙O相切⇔d=r,③直线l和⊙O相离⇔d＞r.圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．据此解答． 【解答】解：已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离为2， ∵2＜3， ∴直线与圆的位置关系为相交． 故选：B． 3.（2025秋•宿豫区校级月考）若⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是 ______． 【答案】相交． 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相交． 【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2，小于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相交． 故答案为：相交． 【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2024•枣阳市模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【答案】D 【分析】连接OD，先利用圆内接四边形的性质得∠BAD=60°，再利用等腰三角形的性质得∠ODA=∠OAD=60°，由切线的性质可得∠ODP=90°，然后利用互余计算∠ADP的度数． 【解答】解：连接OD，如图， ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD=180°-120°=60°， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD=60°， ∵PD为切线， ∴OD⊥PD， ∴∠ODP=90°， ∴∠ADP=90°-60°=30°． 故选：D． 2.（2025春•高新区校级月考）如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm,则PA的长是（　　） A．6cm B．3cm C．24cm D．12cm 【答案】A 【分析】由切线长定理得PA=PB，AD=CD，BE=CE，而△PDE的周长是12cm,可推导出PA+PB=PD+DE+PE=12cm,所以2PA=12cm,求得PA=6cm,于是得到问题的答案． 【解答】解：∵射线PA，PB切⊙O于点A，B， ∴PA=PB， ∵直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E， ∴AD=CD，BE=CE， ∵△PDE的周长是12cm, ∴PA+PB=PD+AD+BE+PE=PD+CD+CE+PE=PD+DE+PE=12cm, ∴2PA=12cm, ∴PA=6cm, 故选：A． 3.（2025•浦东新区校级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于______． 【答案】2cm 【分析】过C点作CD⊥AB于D，如图，利用切线的性质得即CD=2，再证明∠B=45°，则可判断△CDB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算BC的长． 【解答】解：过C点作CD⊥AB于D，如图， ∵⊙C与AB相切， ∴CD为⊙C的半径，即CD=2， ∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠B=45°， ∴△CDB为等腰直角三角形， ∴BC=CD=2（cm）． 故答案为2cm. 4.（2025•西宁一模）如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P=80°，则∠ACB的度数为 ______． 【答案】50°． 【分析】连接OA，OB，根据切线的性质，四边形的内角和，求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理，求出∠ACB的度数即可． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=100°， ∴； 故答案为：50°． 【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2015•孟津县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DH⊥AB于点H，交BE于点G，有下列结论：①BD=CD；②DF是⊙O的切线；③∠DAC=∠BDH；④BM=2DG．其中，成立的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①利用直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可判断； ②根据垂径定理可以证得OD⊥BE，然后证明DF∥BE，即可证得：DF⊥OD，则依据切线的判定定理可以证得； ③利用DH是直角三角形的斜边上的高线，则∠DAB=∠BDH，结合∠BAD=∠DAC即可证得； ④根据等角对等边，可以证得DG=BG，DG=GM即可求证． 【解答】解：①∵AB为直径， ∴∠BDA=90°，即AD⊥BC， 又∵AB=AC， ∴BD=DC，∠BAD=∠DAE， 故①正确； ②连接OD． ∵∠BAD=∠DAE， ∴=， ∴OD⊥BE， ∵AB是直径， ∴BE⊥AC 又∵DF⊥AC， ∴BE∥DF， ∴DF⊥OD， ∴DF是切线．故②正确； ③∵直角△ABD中，DH⊥AB， ∴∠DAB=∠BDH， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴∠DAC=∠BDH． 故③正确； ④∵∠DBE=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）， ∠BDH=∠DAC（已证）， ∴∠DBE=∠BDH ∴DG=BG， ∵∠BDH+∠HDA=∠DBE+∠DMB=90°， ∴∠GDM=∠DMG ∴DG=GM ∴DG=GM=BG=BM， ∴BM=2DG． 故④正确． 故选：D． 【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 1.（2013•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【解答】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（6，0）、B（0，6）， ∴OA=OB=6， ∴AB=6 ∴OP=AB=3， ∵OQ=2， ∴PQ==， 故选：D． 2.（2018秋•武进区校级期末）如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，则∠CPD=______． 【答案】60° 【分析】根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案． 【解答】解：∵PA=6，⊙O的半径为2， ∴PB=PA-AB=6-4=2， ∴OP=4， ∵PC、PD切⊙O于点C、D． ∴∠OPC=∠OPD， ∴CO⊥PC， ∴sin∠OPC==， ∴∠OPC=30°， ∴∠CPD=60°， 故答案为：60°． 3.（2008•南充）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=8cm,C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED的周长是______cm. 【答案】16 【分析】根据切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB，整理即可求得△PED的周长． 【解答】解：由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB； 所以△PED的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm. 学科网（北京）股份有限公司 $