学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷01（新教材浙教版，范围：九年级上册第1～2章）

**基本信息** 聚焦二次函数与概率核心内容，融合杯子设计、智能发球桌等生活科技情境，梯度设题考查抽象能力与模型意识，适配九年级9月学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、概率计算|以交通信号灯概率（题2）、二次函数图象应用（题5）考查基础与直观想象| |填空题|6/18|抛物线顶点、平移、事件概率|结合“活力课间”运动选择（题14）体现应用意识| |解答题|8/72|二次函数综合、概率应用、实际问题|以矩形苗圃面积（题18）、抛物线形音响（题24）考查建模与推理能力，分层设计基础（题17配方）与创新应用（题24探究a与L关系）|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自已的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B]IC][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 13. 15 16. 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 8m A E 19.(8分) 20.(8分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22. (10分) (1) (2) 个合格零件/件 抽查四个厂家零件数的百分比 800 630 600 A 470 35% 400 370 0 B 200 C 20% 0 20% C D厂家 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) B 77777771777777 C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮20秒，绿灯亮35秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（     ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 3．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 5．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 6．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 12．抛物线的顶点坐标是______． 13．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 14．年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 15．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 16．图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20题每题8分，21~24题每题10分。 17．（8分）已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（8分）用18m长的篱笆（虚线部分）围成两面靠墙的矩形苗圃．其中一面墙长8m，另一面墙的使用不受限制． (1)设矩形的长为xm，矩形的面积为，求y与x的函数关系式； (2)x为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 19．（8分）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 20．（8分）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 21．（10分）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 22．（10分）为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 23．（10分）在平面直角坐标系中，有抛物线（为实数）． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)点为该抛物线的顶点，点是否在的图象上？请说明理由． (3)设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值． 24．（10分）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） （1） ； 。 （2） 。 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮20秒，绿灯亮35秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（     ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 3．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 5．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 第5题图 第7题图 6．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 12．抛物线的顶点坐标是______． 13．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 14．年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 15．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 16．图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20题每题8分，21~24题每题10分。 17．（8分）已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（8分）用18m长的篱笆（虚线部分）围成两面靠墙的矩形苗圃．其中一面墙长8m，另一面墙的使用不受限制． (1)设矩形的长为xm，矩形的面积为，求y与x的函数关系式； (2)x为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 19．（8分）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 20．（8分）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 21．（10分）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 22．（10分）为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 23．（10分）在平面直角坐标系中，有抛物线（为实数）． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)点为该抛物线的顶点，点是否在的图象上？请说明理由． (3)设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值． 24．（10分）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮20秒，绿灯亮35秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（     ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 【答案】A 【详解】解：∵每分钟总时长为秒，红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒， ∴看到红灯的可能性为， 看到绿灯的可能性为， 看到黄灯的可能性为， ∵， ∴看到绿灯的可能性最大． 3．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 4．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， ∵四种颜色的球出现的概率分别为： 白球：， 红球：， 黄球：， 黑球：， ∴该种球的颜色最有可能是黄球． 5．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 6．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 7．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 8．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线图象只过三个象限， 当时，则经过第一、二、三象限， 抛物线与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上或x轴上方， ，即 解得； 当时，则， 抛物线与y轴交点在x轴上方， 此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 的取值范围为． 9．已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得抛物线的对称轴为直线． 点，关于对称轴对称， ． ， ． ， 抛物线开口向上， 点与对称轴的距离越大，函数值越大， 当时，在这个给定的范围内， 故函数在处取得最小值． ， 函数在处取得最大值． ， ． ． ． 10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 【答案】 【详解】解：∵总共有，，，，五个数，即共有种等可能的抽取结果， ∵无限不循环小数是无理数， ∴这五个数中，无理数为和，共个， ∴抽到无理数的概率为． 12．抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 14．年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有1种， 根据概率公式可得：． 15．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 【答案】 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， ∴，顶点， 设， 把代入得： ， ∴， 即：， 当时， ， 解得：（舍）， ∴， ∵从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米， ∴设段抛物线解析式为：， 把代入得：（舍）， ∴， 当时，， 即：， 令与球网的交点为，作于，连接， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20题每题8分，21~24题每题10分。 17．已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：． （2）略 18．用18m长的篱笆（虚线部分）围成两面靠墙的矩形苗圃．其中一面墙长8m，另一面墙的使用不受限制． (1)设矩形的长为xm，矩形的面积为，求y与x的函数关系式； (2)x为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)时，矩形苗圃的面积最大，最大面积为 【详解】（1）解：设矩形的长为x m，矩形的面积为． y与x的函数关系式为： （2）∵一面墙长8m， ∴， 解这个不等式组得，．     二次函数的图象开口向下，对称轴为， 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为80． 即，当时，矩形苗圃的面积最大．最大面积为． 19．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 20．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)满足条件的点D的坐标为或或 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为．        在中， 当时，则， 解得， （2）如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E． ∵当时，， ．        当时，， 当时，， 解得或， ∴点D的坐标为． 当点D在x轴下方时，， 解得或， ∴点D的坐标为或． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或 21．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 22．为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 【答案】(1)500； (2)380； (3)合格率排在前两名的是C、D两个厂家 (4) 【详解】（1）解：D厂的零件比例为， D厂的零件数为（件）； D厂家对应的圆心角为； （2）解：C厂的零件数（件）， C厂的合格零件数为（件）， 补全条形统计图略 （3）解：A厂家合格率为， B厂家合格率为， C厂家合格率为， D厂家合格率为， 合格率排在前两名的是C、D两个厂家； （4）解：根据题意画树形图如下： 共有12种情况，选中C、D的有2种，则（选中C、D）． 23．在平面直角坐标系中，有抛物线（为实数）． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)点为该抛物线的顶点，点是否在的图象上？请说明理由． (3)设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1)1 (2)在，理由见解析 (3)或 【详解】（1）由题意可得：， 解得； （2）， ， 当时，，所以点在的图象上； （3）， ①当时，即时，在内随着的增大而减小， 则最大值，最小值， ， ； ②当，且时，即， 则， 即， （舍去）； ③当，且时，即， 则， （舍去）， ④当时，即时，在内随着的增大而增大， 则， ， 综上，或． 24．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B C C A C C 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20题每题8分，21~24题每题10分。 17．【详解】（1）(4分）解：． （2）(4分）图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 18．【详解】（1）(4分）解：设矩形的长为x m，矩形的面积为． y与x的函数关系式为： （2）(4分）∵一面墙长8m， ∴， 解这个不等式组得，．     二次函数的图象开口向下，对称轴为， 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为80． 即，当时，矩形苗圃的面积最大．最大面积为． 19．【详解】（1）(3分）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②(3分）转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）(2分）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 20．（1）(4分）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为．        在中， 当时，则， 解得， （2）(4分）如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E． ∵当时，， ．        当时，， 当时，， 解得或， ∴点D的坐标为． 当点D在x轴下方时，， 解得或， ∴点D的坐标为或． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或 21．【详解】（1）(3分）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）(3分）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）(4分）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 22．【详解】（1）(2分）解：D厂的零件比例为， D厂的零件数为（件）； D厂家对应的圆心角为； （2）(2分）解：C厂的零件数（件）， C厂的合格零件数为（件）， 补全条形统计图略 （3）(3分）解：A厂家合格率为， B厂家合格率为， C厂家合格率为， D厂家合格率为， 合格率排在前两名的是C、D两个厂家； （4）(3分）解：根据题意画树形图如下： 共有12种情况，选中C、D的有2种，则（选中C、D）． 23．【详解】（1）(2分）由题意可得：， 解得； （2）(4分）， ， 当时，，所以点在的图象上； （3）(4分）， ①当时，即时，在内随着的增大而减小， 则最大值，最小值， ， ； ②当，且时，即， 则， 即， （舍去）； ③当，且时，即， 则， （舍去）， ④当时，即时，在内随着的增大而增大， 则， ， 综上，或． 24．【详解】（1）(3分）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）(3分）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）(4分）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $