精品解析：浙江省杭州市中泰中学2022-2023学年九年级上学期学生学习能力检测数学试卷

中泰中学第一学期学生学习能力检测 九年级数学试题卷 考生须知: 1.本试卷满分120分， 考试时间100分钟． 2.答题前， 在答题纸上写上姓名、学校、座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A. y=1+x2 B. y=（2x+1）2 C. y=（x﹣1）2 D. y=2x2 3. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 4. 若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）. A. 在⊙P内 B. 在⊙P上 C. 在⊙P外 D. 无法确定 5. 一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球．则下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出的4个球中至少有一个球是白球 B. 摸出的4个球中至少有一个球是黑球 C. 摸出的4个球中至少有两个球是黑球 D. 摸出的4个球中至少有两个球 6. 如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是　　 A. B. C. 2 D. 7. 已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 当时，函数的最小值为1，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 或2 9. 如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（ ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 抛物线y＝x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为_________. 12. 一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为，则袋中白球的个数是 _____． 13. 二次函数+n的图象如图,则反比例函数y=的图象经过第___象限. 14. 点、、是上不同的三点，已知，则____度． 15. 如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 16. ①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 三、解答题（共7小题，满分66分） 17. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于__________； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 18. 按要求解答问题： （1）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； （2）在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 19. 如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）若，，求PE的长． 20. 已知二次函数． （1）若该图象过点，求c的值并求图象的顶点坐标； （2）若二次函数的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值． 21. 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端点B的4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度． 22. 将矩形绕点顺时针旋转度（），得到矩形． （1）如图1，当点在上时，与交于点，求证： ①； ②、、在同一条直线上； （2）当时，求的大小． 23. 已知点M为二次函数图象的顶点，直线与轴、轴交于两点． （1）如图1，若二次函数的图象也过点， ①求抛物线的解析式； ②若，根据图象直接写出x的范围； （2）判断顶点M是否在直线上，并说明理由； （3）如图2，点A的坐标为点M在内，若点都在二次函数图象上，试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中泰中学第一学期学生学习能力检测 九年级数学试题卷 考生须知: 1.本试卷满分120分， 考试时间100分钟． 2.答题前， 在答题纸上写上姓名、学校、座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 2. 与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A. y=1+x2 B. y=（2x+1）2 C. y=（x﹣1）2 D. y=2x2 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同． 【详解】y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单． 3. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 4. 若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）. A. 在⊙P内 B. 在⊙P上 C. 在⊙P外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由勾股定理得: ， ∵圆O的半径为13， ∴点O在圆P上． 故选B． 考点：1．点与圆的位置关系；2．坐标与图形的性质． 5. 一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球．则下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出的4个球中至少有一个球是白球 B. 摸出的4个球中至少有一个球是黑球 C. 摸出的4个球中至少有两个球是黑球 D. 摸出的4个球中至少有两个球 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：必然事件就是一定发生的事件，因此， A、是随机事件，故A选项错误； B、是必然事件，故B选项正确； C、是随机事件，故C选项错误； D、是随机事件，故D选项错误． 故选B． 考点：必然事件． 6. 如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是　　 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示： 点O为外接圆圆心，则AO为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选A． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键． 7. 已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理计算． 【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3， ∴DE=OD-OE=5-3=2cm， ∴点D是圆上到AB距离为2cm的点， ∵OE=3cm＞2cm， ∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点， 则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm， 即GF到AB的距离为2cm， ∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点， 故选C． 【点睛】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个． 8. 当时，函数的最小值为1，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 9. 如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 10. 如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（ ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的对称性得：，列不等式可得结论； ②将顶点坐标代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断． 【详解】解：①如图1，设抛物线与轴的交点为和（在的右侧）， 则， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴时，随的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴； 故③错误； ④由图可知：抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线也开口向下，且过原点，如图2所示， 当时，， ， ∴，， ∴当时，， 即当时，； 故④正确； 其中正确结论是：①②④，3个． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 抛物线y＝x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为_________. 【答案】（0，3） 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把x=0代入y=x2+2x+3得y=3， 所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,3). 故答案为(0,3). 【点睛】考查抛物线与轴的交点坐标，解题的关键是掌握轴的交点的坐标特征. 12. 一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为，则袋中白球的个数是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】设袋中白球的个数为x个，利用概率白球数量球的总数量，列方程即可解答． 【详解】解：设袋中白球的个数为x个， 根据概率白球数量球的总数量，可得方程， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了已知概率求数量，熟练地用未知量表示出颜色是白色的概率是解题的关键． 13. 二次函数+n的图象如图,则反比例函数y=的图象经过第___象限. 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出反比例函数y的图象经过一、三象限． 【详解】∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴mn＞0，∴反比例函数y的图象经过第一、三象限． 故答案为一、三． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和反比例函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出m、n的符号． 14. 点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【答案】140或60 【解析】 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点在优弧上时， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 15. 如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，，，根据矩形的性质得，，，证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，设，，则，在中，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用勾股定理进行计算可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， ， ∴或（舍去）， ∴． 16. ①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 【答案】 ①. 2 ②. 1或 【解析】 【分析】①根据抛物线平移的上加下减法则，可直接得到平移单位； ②联立抛物线与直线的解析式，转化为一元二次方程在上只有一个解的问题，分判别式为0（相切）和只有一个根在内两种情况讨论，求解得到的取值范围． 【详解】① 原抛物线解析式为，平移后抛物线解析式为，根据抛物线平移“上加下减”的规律，可得向上平移了个单位； ② 联立抛物线与直线的解析式得： ， 消去整理得： ， 问题转化为在上只有一个解， 情况一：当，方程有两个相等的实数根，抛物线与直线相切， 此时： ，解得，此时方程的根为，满足，故符合题意； 情况二：当，方程有两个不相等的实数根，同时方程有且只有一个根在内： ， ， 解得， ①当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 解得； ②当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 此时，无解， 综上，的取值范围是或． 三、解答题（共7小题，满分66分） 17. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于__________； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接解答即可； （2）依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 解：有4个开关，只有闭合D开关时小灯泡发光， ∴任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种， ∴小灯泡发光的概率是． 18. 按要求解答问题： （1）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； （2）在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 【答案】（1） 即为所求； （2）． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，过作于，根据，可得，在等腰三角形中根据三角函数值即可解得答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：连接，过作于，如图： ， ， ，， ， 在中，， ， ， 的半径为． 19. 如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）若，，求PE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可解决问题； （2）证明，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ． 是直径， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）， ． ， ， ． 是直径， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键． 20. 已知二次函数． （1）若该图象过点，求c的值并求图象的顶点坐标； （2）若二次函数的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值． 【答案】（1），顶点坐标 （2）或0 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数图象与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点代入解析式，即可求出c的值，将二次函数化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）二次函数的图象与坐标轴有2个交点，其中一个交点是与y轴的交点，因此分两种情况求解，即二次函数图象与x轴只有一个交点，或二次函数图象与x轴、y轴的交点重合，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与坐标轴有2个交点， ∴当二次函数图象与x轴只有一个交点时， ∴， 解得； 当二次函数图象与x轴、y轴的交点重合时，即二次函数图象过原点， ∴； 综上所述，或0． 21. 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端点B的4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度． 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）设该圆弧所在圆的半径为r，圆心为O，连接，求出，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图所示，连接，过作交延长线于Q，求出，由（1）得，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理得，则． 【小问1详解】 解：设该圆弧所在圆的半径为r，圆心为O，连接， 由题意得，三点共线，且 ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴该圆弧所在圆的半径为米； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过作交延长线于Q， 由题意可得，， ∴， 由（1）得， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴桥墩高度为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 将矩形绕点顺时针旋转度（），得到矩形． （1）如图1，当点在上时，与交于点，求证： ①； ②、、在同一条直线上； （2）当时，求的大小． 【答案】（1）证明：①∵， ∴， ∵四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ②如图，连接． ∵四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、、在同一条直线上． （2）或 【解析】 【分析】（1）①欲证明，只要证明即可； ②连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； （2）当时，点在的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据，即可得到旋转角的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，点在的垂直平分线上， 分两种情况讨论， ①如图，当点在右侧时，取的中点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角； ②如图，当点在左侧时，取的中点，连接交于点， 同理可得：是等边三角形， ∴， ∴旋转角． 综上所述，或． 23. 已知点M为二次函数图象的顶点，直线与轴、轴交于两点． （1）如图1，若二次函数的图象也过点， ①求抛物线的解析式； ②若，根据图象直接写出x的范围； （2）判断顶点M是否在直线上，并说明理由； （3）如图2，点A的坐标为点M在内，若点都在二次函数图象上，试比较与的大小． 【答案】（1）①；② （2）在，见解析 （3）当时，；当时，；当， 【解析】 【分析】（1）①求出点B的坐标，代入二次函数解析式求出b的值即可；②根据①的解析式求出A点坐标，再根据图象得出结论； （2）由抛物线解析式求出顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解； （3）根据抛物线的顶点在的内部，确定b的取值范围，由于抛物线的对称轴为，再根据点，点的横坐标与对称轴的距离和抛物线的增减性进行判断． 【小问1详解】 解：①直线分别交y轴于点B， 当时，， 因此， 把点代入二次函数关系式得：， 解得： ∴二次函数解析式为； ②由①知，二次函数解析式为， 当时，， 解得 ， 由图象，得当时， x的取值范围是； 【小问2详解】 点M在直线上，理由： ∵点M为二次函数图象的顶点， ∴M的坐标是, 把代入， 得， 故答案为：点M在直线上； 【小问3详解】 二次函数图象的顶点在内部， ， 解得：， 由抛物线的对称轴为， ①当时，点，根据抛物线的对称性和增减性可得：， ②当时，点，根据抛物线的对称性和增减性可得： ， ③当时，点，根据抛物线的对称性和增减性可得：， 故答案为：当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查二次函数与不等式（组）之间的关系、二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $