精品解析：浙江省宁波市兴宁中学2022—2023学年上学期期初九年级数学学情调研数学试卷

2022学年第一学期期初初三数学学情调研数学试卷 一.选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列手机应用软件的图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋中装有 7个只有颜色，不同的球，其中3个红球，2个蓝球和2个黄球．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的图象如图所示．已知点，，三点都在该图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 7. 已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ） A. R至少 B. R至多 C. R至少 D. R至多 8. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 9. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（ ） A. 0，4 B. 1，5 C. 1， D. ，5 10. 如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为．则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 当_________时，式子在实数范围内有意义． 12. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 13. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为_____． 14. 如图，的周长为28，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若，则PQ的长是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为_________． 16. 斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 三.解答题（本题有8小题，共80分） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）计算：． 18. 在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）的三个顶点都在格点上． ①在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； ②在图2中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． （2）如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由． 19. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长． 20. 甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 甲 a 7 7 乙 7 b c （1）_______________； _______________； _______________； （2）填空：（填“甲”或“乙”）． ①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_______________； ②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_______________； 21. 已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 22. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 23. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与端点B，C重合），连接DE．过点A作DE的垂线，分别交DE，DC于点F，H．延长AF到点G，使得FG=AF，连接DG，CG． （1）求证：△ADH≌△DCE； （2）①若∠ADE=60°，则∠AGC=______； ②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出∠AGC与∠ADE之间的关系，若不改变，请说明理由； （3）如图2，若BE=EC=，求DF与CG的长． 24. 已知是的直径，点、点是上的两个点，连接，，点，点分别是半径，的中点，连接，，，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点是上一点，连接，，，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第一学期期初初三数学学情调研数学试卷 一.选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列手机应用软件的图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质进行分析即可； 【详解】不是中心对称图形； 不是中心对称图形； 是中心对称图形； 不是中心对称图形； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的知识点应用，准确判断是解题的关键． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可． 【详解】解：A．=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B．=，被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C．被开方数含分母，不是最简二次根式， 故选项不符合题意； D．是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是二元二次方程，故B不符合题意； C、是分式方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 4. 一个不透明的袋中装有 7个只有颜色，不同的球，其中3个红球，2个蓝球和2个黄球．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用红球的数量除以所有球的数量即可求得红球的概率． 【详解】∵袋子中共有7个球，其中红球有3个， ∴摸出一个球是红球的概率是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 5. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，得出，再由旋转性质和三角形的外角性质可知． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转性质可知：， 故选：B． 6. 抛物线的图象如图所示．已知点，，三点都在该图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，可判断y2>y1>y3． 【详解】由二次函数y=a(x+3)2+k可知对称轴为x=−3，根据二次函数图象的对称性可知， 与对称， ∵点，， )在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵-4>-5>-6.5， ∴y2>y1>y3， 故选C. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性. 7. 已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ） A. R至少 B. R至多 C. R至少 D. R至多 【答案】A 【解析】 【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式． 8. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，连接OB， ∵是的内接三角形， ∴OB垂直平分AC， ∴，， 又∵， ∴， ∴, 又∵AD=8， ∴AO=4， ∴， 解得：， ∴． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（ ） A. 0，4 B. 1，5 C. 1， D. ，5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，再整理得到一元二次方程，结合的非负性验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 10. 如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为．则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用正方形的性质，求出，利用折叠的性质，得到；根据角的数量关系，等角对等边，可得；，求出；利用线段的数量关系，求出，最后根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴点，在上， 由折叠可得，， ∴， ∵ ∴， ∴； 同理，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴菱形的面积为：． 二.填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 当_________时，式子在实数范围内有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数满足 ， 解得． 12. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 【答案】30% 【解析】 【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x=0.3=30%， 故答案为：30%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 14. 如图，的周长为28，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若，则PQ的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的判定和性质得到BA=BE，AQ=EQ，CA=CD，AP=DP，求出DE=8，再利用三角形中位线定理得出结果． 【详解】解：∵BQ平分∠ABC， ∴∠ABQ=∠EBQ， 又∵BQ⊥AE， ∴∠BAQ+∠ABQ=90°，∠EBQ+∠BEQ=90°， ∴∠BAQ=∠BEQ， ∴BA=BE， ∴AQ=EQ， 同理CA=CD，AP=DP， ∴PQ为△ADE的中位线， ∴PQ= ， 又∵AB+AC=28-BC=18， 即BE+CD=18， ∴DE=BE+CD-BC=8, ∴PQ=， 故答案为4． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，利用三线合一得到中点是解决问题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】可设，则，由，根据矩形得出，可证，求出，又B在反比例函数图象上，即可得知k值． 【详解】解：可设，交于M， 则， ∴， ∵四边形与四边形均为矩形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 则， 又B在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质和全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质和全等三角形的性质和判定，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键． 16. 斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出，，设第一次反弹后的抛物线的解析式 得，设第二次反弹后的抛物线的解析式，得，得出即可． 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 三.解答题（本题有8小题，共80分） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解： ． 18. 在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）的三个顶点都在格点上． ①在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； ②在图2中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． （2）如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①以点C为对称中心，画出图形即可；②根据旋转的性质，即可画出； （2）根据中心对称图形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ①如图1，即为所求； ②如图2，即为所求； 【小问2详解】 如图3，即为画出直线． 【点睛】本题主要考查了作图﹣旋转变换，中心对称图形的性质等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 19. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长． 【答案】（1）解题过程见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和DE＝BF可得EC=AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结果； （2）根据□AFCE是菱形可得四边相等，根据勾股定理可得出结果； 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，AB∥DC， 又∵DE＝BF， ∴EC=AF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）∵□AFCE是菱形， ∴AF=FC=CE=AE，设菱形的边长为x， ∵AB＝6，BC＝2， ∴， 在Rt△CBF中， ， 即， 整理得：， ∴． 故菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及菱形的性质知识点，准确应用性质是解题的关键． 20. 甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 甲 a 7 7 乙 7 b c （1）_______________； _______________； _______________； （2）填空：（填“甲”或“乙”）． ①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_______________； ②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_______________； 【答案】（1）7，7.5，8 （2）乙，乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义分别计算即可解决问题； （2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲． 【小问1详解】 解： a＝（5+6×2+7×4+8×2+9）＝7（环）， b＝（7+8）＝7.5（环）， 乙队员参加射击训练出现3次8环，出现次数最多，所以c＝8； 故答案为：7，7.5，8； 【小问2详解】 解：由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲． ①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是：乙； ②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙； 故答案为：乙，乙． 【点睛】此题考查了条形统计图、折线统计图、平均数、中位数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【详解】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6， 则 　① BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， 则 　② ②－①得： 把代入①得：（舍） ∴BC＝2a＝3． 【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键． 22. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； 【小问3详解】 解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 23. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与端点B，C重合），连接DE．过点A作DE的垂线，分别交DE，DC于点F，H．延长AF到点G，使得FG=AF，连接DG，CG． （1）求证：△ADH≌△DCE； （2）①若∠ADE=60°，则∠AGC=______； ②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出∠AGC与∠ADE之间的关系，若不改变，请说明理由； （3）如图2，若BE=EC=，求DF与CG的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）①45；②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数不会发生改变，理由见解答； （3）DF=2，CG=2． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和ASA证明△ADH≌△DCE即可； （2）①先根据DF是AG的垂直平分线可得AD=DG=CD，由等腰三角形的性质和正方形的性质可得∠DGA=30°，∠DGC=75°，最后由角的和与差可得结论； ②将∠ADE=60°换成∠ADE=α，同理可得∠AGC=45°； （3）如图2，过点C作CM⊥AG于M，先证明△CMG是等腰直角三角形，根据三角形全等和勾股定理可得：AH=5，由面积法可得DF=2，证明△DFH≌△CMH（AAS），可得CM=DF=2，最后由勾股定理可得CG的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠ADF+∠CDE=90°， ∵DE⊥AH， ∴∠AFD=∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠CDE=∠DAF， 在△ADH和△DCE中， ， ∴△ADH≌△DCE（ASA）； 【小问2详解】 解：①∵∠ADE=60°，∠AFD=90°， ∴∠DAF=30°， ∵AF=FG，DF⊥AG， ∴AD=DG=CD， ∴∠DGH=∠DAF=30°， ∴∠ADG=120°， ∴∠CDG=120°-90°=30°， ∵CD=DG， ∴∠DCG=∠DGC==75°， ∴∠AGC=∠DGC-∠DGA=75°-30°=45°； 故答案为：45； ②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数不会发生改变，理由如下： 设∠ADE=α，则∠DAF=∠DGF=90°-α， 由①知：AD=DG=CD， ∴∠FDG=∠ADF=α，∠CDG=2α-90°， ∴∠DCG=∠DGC==135°-α， ∴∠AGC=∠DGC-∠DGA=135°-α-（90°-α）=45°； 【小问3详解】 解：如图2，过点C作CM⊥AG于M， ∵∠AGC=45°，∠CMG=90°， ∴△CMG是等腰直角三角形， ∴MG=CM， ∵BE=EC=，∴CD=BC=AD=2， 由（1）知：△ADH≌△DCE， ∴DH=CE=CH=， ∴AH==5， ∵S△ADH=•AD•DH=•AH•DF， ∴×2=5DF， ∴DF=2， ∵∠DFH=∠CMH=90°，∠DHF=∠CHM，DH=CH， ∴△DFH≌△CMH（AAS）， ∴CM=DF=2， ∴CM=MG=2， ∴CG=2． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形全等解决问题． 24. 已知是的直径，点、点是上的两个点，连接，，点，点分别是半径，的中点，连接，，，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点是上一点，连接，，，，若，，求的长． 【答案】（1）证明：，点，点分别是半径，的中点， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）证明，则，即可证明； （3）连接，过点作于，在上截取，连接，证明，从而得到是等边三角形，设，，由，求出，在中，，在中，，再推导出，，从而得到，即可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点作于，在上截取，连接， ， ， ， 、关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $