学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（江苏南通专用，测试范围：新教材人教版八上第13～15章）

**基本信息** 聚焦三角形全等与性质，通过动态动点探究（如第8题E点运动与全等）、尺规作图（如20题作对称三角形）考查几何直观与推理能力，适配八年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|等腰三角形周长（1）、SSA全等条件（3）、动点全等分类（8）|结合图形动态考查空间观念| |填空题|8/30|尺规作图依据（13，SSS）、垂直平分线与周长最小值（16）|渗透数学抽象与模型意识| |解答题|8/90|等边三角形性质探究（24）、动态等腰三角形综合（26）|注重推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．等腰三角形两条边的长度分别为4和9，则此三角形的周长为（   ） A．22 B．17 C．不确定 D．17或22 2．如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 4．在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 6．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 7．如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 9．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，，若平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11．图中的两个三角形全等，则等于______． 12．如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 13．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 14．如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是____________． 15．如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 16．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 17．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 18．如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 3、 解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19．如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 20．如图，在的正方形网格中，，，为小正方形的顶点，为网格线所在直线，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)作关于直线对称的三角形； (2)作交于点E，且； (3)作关于对称的线段． 21．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 22．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 23．如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 24．如图，是等边三角形，是上一点，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 25．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 26．在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点在线段上，时，那么________； (2)设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．等腰三角形两条边的长度分别为4和9，则此三角形的周长为（   ） A．22 B．17 C．不确定 D．17或22 2．如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 4．在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 6．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 7．如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 9．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，，若平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11．图中的两个三角形全等，则等于______． 12．如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 13．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 14．如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是____________． 15．如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 16．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 17．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 18．如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 3、 解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19．如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 20．如图，在的正方形网格中，，，为小正方形的顶点，为网格线所在直线，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)作关于直线对称的三角形； (2)作交于点E，且； (3)作关于对称的线段． 21．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 22．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 23．如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 24．如图，是等边三角形，是上一点，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 25．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 26．在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点在线段上，时，那么________； (2)设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D D B 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11.50°/50度 12.4 13,SSS/边边边 14.BD=AC(答案不唯一) 15.4 16.8 17.2 18.(ach) 三、解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19.【详解】∠AEB=∠CFD,理由如下： :点E,F是线段BD上的点，BF=DE, .BF-EF=DE-EF,即BE=DF,…2分 在△ABE和△CDF中， AB=CD ∠B=∠D BE=DF' 、△ABE≌ACDF(SAS) …8分 ∴.∠AEB=∠CFD .…10分 20.【详解】(1) 答案第1页（共2页） 如图所示， △AB,C 即为所求： M …4分 B (2)解：如图所示，在格点上取点P,连接AP,BP,根据格点可知，AP⊥BP,得到Rt△ABP, AP=6,BP=3,∠APB=90° 在格点上取点D,连接CQ,得CQ=3,取格点R,连接CR,QR,交AB于点E,得QR=6,∠CQR=90°， △CQR 是直角三角形， Rt△ABP≌Rt△RCQ(SAS) .∠CRQ=∠BAP,CR=AB .'∠BAP+∠ABP=90° ,∠CRO+∠ABP=90°，即CR⊥AB, ∴点R即为所求点D的位置，且CD=AB: M …8分 (3)如图所示，C,E,为所求作的线段。 答案第2页（共2页） M …10分 B 21.如图，△ABC即为所求， a B …10分 M 22.【详解】(1)解：点C和点P关于OA对称， ∠AOC=∠AOP, 点P关于OB对称点是D, ∠BOD=LBOP, ∠AOB=a. ∴.∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP4∠BOD =2(∠AOP+∠BOP) =2∠AOB =2×55° =110°；…5分 (2)解：点C和点P关于OA对称， .CM=PM, 点P关于OB对称点是D, .DN PN, :CD=4, .CM+MN+DN =4, .PM+MN+PN=4, 即△PMN的周长为4. 答案第3页（共2页） 故答案为：4…10分 23.(I)证明：，AD⊥BC于点D, ∴.△ABD和aCDG都是直角三角形， .BE=CE, .∠B=∠GCD ∴LBAG=∠CGD=∠AGE. .AE=GE, .△AEG为等腰三角形；5分 (2)解：如图，作EH⊥AD,垂足为点H, H B D G为CE中点， .'.EG=CG. 在△EHG和△CDG中， 「∠EHG=∠CDG ∠EGH=∠CGD EG=CG △EHG≌△CDG(AAS) ..HG=GD .AE=EG,EH⊥AD, .AH=HG=GD DG=5, .AG=10 ……10分 24.(1)解：BC∥AD 理由：△ABC是等边三角形，E是AC上一点， ∠BAE=∠ACB,AB=AC, 在△ABE和△ACD中， 答案第4页（共2页） AB=AC ∠ABE=∠ACD BE=CD '△ABE≌△ACD(SAS) ∴.∠BAE=∠CAD .∠ACB=∠CAD, ∴.BC∥AD …6分 (2)解：BC=2AD」 理白：：∠ABE-∠ABC, ·BE平分∠ABC, :△ABC是等边三角形， AE=CE」 .BC=AC=2AE」 由(1)得△ABE≌△ACD. ∴.AE=AD, .∴.BC=2AD .…12分 25.(I)证明：：点P在∠AOB的平分线上， .∠EOP=∠FOP, ∠OFP=∠OEP,OP=OP, △OFP≌AOEP(AAS) .PF=PE;…4分 (2)①证明：过点P作OA,OB,CD的垂线，垂足分别为I,G,H, 答案第5页（共2页） B D A ,点P在∠AOB的平分线上， ..PG=PI, ,DP平分∠CDB, .PG=PH, .PH=PI, .CP平分∠ACD:…9分 ②由(1)得△OFP≌△OEP, ..OF =OE .'∠OFC=∠OED,∠FOC=∠EOD. △FOC≌AEOD(ASA) ∴.OD=OC,DE=CF, .PF=PE, .PD=PC, ∴.OP是线段CD的垂直平分线， 点H恰好是OP与CD的交点， .CD=2 S.rcD=2 1 ×CDxPH=2 .21 ∴.PH=2, ∴.PH=PI=2, 即点P到射线OA的距离为2.…14分 26.【详解】(1)解：：∠DAE=∠BAC=90° .∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC 即∠BAD=∠CAE 答案第6页（共2页） 又：AD=AE,AB=AC :△BAD2aCAE(SAS) ∴.∠B=∠ACE=∠ACB=45° .∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°…4分 (2)①，∠DAE=∠BAC=a, ∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC 即∠BAD=∠CAE 又，AD=AE,AB=AC :aBMD≌aCAE(SAS) AB=AC :∠B=∠4CB=1809-a=∠4CE 2 :∠DCE=∠4CE+∠ACB=2x180°-a=180°-a 2 B+a=180°…9分 ② .∠DAE=∠BAC=a, ∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC 即∠BAD=∠CAE 又AD=AE,AB=AC :△BAD≌aCAE(SAS) .∴.∠ABD=∠ACE .·AB=AC 答案第7页（共2页） :∠ABC=∠ACB=180°-a=∠ACE 2 .'∠ABD+∠ABC=180 ∴.∠ACE+∠ABC=180° B+180°-a） 180°-=180° 2 2 .B=.…14分 答案第8页（共2页） 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 ◆ 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 13. 14 15. 16. 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) a 22.(10分) O M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A E G B C D 24.(12分) A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B D A 26.(10分) B4 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．等腰三角形两条边的长度分别为4和9，则此三角形的周长为（   ） A．22 B．17 C．不确定 D．17或22 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，分两种情况：若4为腰长，9为底边长；若9为腰长；分别利用三角形三边关系判断，再结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：若4为腰长，9为底边长，由于，两边之和不大于第三边，则三角形不存在； 若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，故这个三角形的周长为． 故选：A． 2．如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长至，使，然后利用边角边证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，遇中线，加倍延构造出全等三角形是解题的关键． 3．如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等，所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等， 故选：D． 4．在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定逐项判断可求解． 【详解】解：A、若，且，由“”可证，故选项A不符合题意； B、若，且，由“”可证，故选项B不符合题意； C、若，且，无法证明，故选项C符合题意； D、若，且，由“”可证，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【答案】D 【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 6．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 7．如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 8．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 9．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，，若平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，由题意可得，即可判断①；证明，即可判断②；由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，推导出，即可判断③；求得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 10．如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，连接，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11．图中的两个三角形全等，则等于______． 【答案】/50度 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图： ，，， ． 故答案为：． 12．如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 【答案】4 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 13．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 【答案】/边边边 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和基本作图，熟练掌握全等三角形判定定理是解此题的关键． 从作图可知，，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：从作图可知，， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 14．如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，添加已知条件，利用“”证明即可． 【详解】解：添加已知条件， 则在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据两三角形全等需满足，则，根据路程除以速度即可得到答案． 【详解】解：∵欲使 则需 ∴点A的运动时间是，点Q的运动时间是， 则当时，，又 ∴ 故答案为：4 16．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 17．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 18．如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点A作于点F，过点C作于点G，证明，由全等三角形的性质得出．得出、，由等腰直角三角形的性质可得出，即；再根据求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于点F，过点C作于点G， ∴． 又∵， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19．如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】 ，理由如下： ∵点是线段上的点，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】略 20．如图，在的正方形网格中，，，为小正方形的顶点，为网格线所在直线，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)作关于直线对称的三角形； (2)作交于点E，且； (3)作关于对称的线段． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示， (3) 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据网格特点，作，，得到，由角的和差关系即可求解； （3）根据轴对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）解：在格点上取点，连接，根据格点可知，，得到，， 在格点上取点，连接，得，取格点，连接，交于点,得，是直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴点即为所求点的位置，且； （3）略 21．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 【答案】 如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图——作三角形，包括作一个角等于已知角，作一个角等于已知角的2倍，作一条线段等于已知线段，解题的关键是熟练掌握角和线段的作法． 在射线上作，再以点为顶点，作，即可得出． 【详解】略 22．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 23．如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24．如图，是等边三角形，是上一点，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) 解：， 理由：是等边三角形，是上一点， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴． (2) 解：， 理由：， 平分， 是等边三角形， ， ， 由（1）得≌， ， ． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，而，，可根据“”证明，得，则，所以． （2）由，证明平分，因为是等边三角形，所以，则，由全等三角形的性质得，所以． 此题重点考查等边三角形的性质、平行线的判定等知识，证明是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。 25．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1) 证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) ①证明：过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 26．在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点在线段上，时，那么________； (2)设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1) (2) ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【详解】（1）解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ （2）①略 ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $