八年级数学上学期9月学情自测（新教材苏科版第1章～第2章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学9月学情自测，聚焦苏科版八年级上册第1-2章，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合传统文化情境与新定义探究，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|无理数判断、三角形高的作法、平方根性质|结合尺规作图情境考查几何直观| |填空题|10/20|全等三角形判定、数轴与实数、三角形中线性质|设计规律探究题（如第5题）培养数学思维| |解答题|11/88|实数运算、三角形全等证明、倍长中线法|融入“立表测影”传统文化（23题），创设“旋补三角形”新定义问题（27题）提升创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 题号 1 2 心 4 5 o 答案 B D B A A 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.> 8.HL 9.2w3+11+25 10.3 11.2b 12.4 13.3 14.2 15.-43 16.4或12 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共 88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 【详解】(1)解： V25-27+(-3)月 =5-3+9 =11.3分 (2)解：2(x+°-8=0 :2(x+1=8 :(x+)=4 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则x+1=2, 1=1x2=-3 解得 7分 18.(1)证明：：AB=AC, .∠B=∠C :在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠B=∠C BD=CE' △ABD≌△ACE(SAS) 3分 (2)解：△ADE是等边三角形，理由如下： :AD⊥AC, .∠DAC=90° .∠BAC=120°. .∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°， ,△ABD≌△ACE」 .AD=AE,∠EAC=∠BAD=30°， ∴.∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-30°=60°， ∴.△ADE是等边三角形.7分 19. 【详解】(1)解：，一个正数的两个平方根是2a+1和2-3a, .2a+1+2-3a=0, 解得a=3; .a+2b-3的立方根是2， ∴.a+2b-3=2, 解得b=4, 答：a,b值分别为3,4；.4分 (2)解：.a=3,b=4 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :V20+b-6=2x3+4-6=2 答：2a+b-6的算术平方根为2.8分 20」 【详解】(I)解：由题意得，AB=2, ”点表示5 B ，点所表示的实数为”， :m=-V2+2 ;2分 (2)解：由图可知，-1<m<1, .m+1>0,m-1<0. :m++m-=m+1+1-m=2 ;5分 (3)解：Bc+d与+9互为相反数， ∴3c+d+Vd+9=0 又3c+d≥0，va+9≥0 .3c+d=0,d+9=0 解得d=-9,c=3, .cd=3×(-9)=-27 .Cd的立方根为-3.8分 21. 【详解】(1)解：设魔方的棱长为x, 则x3=8, 解得x=2; .这个魔方的棱长为2；2分 (2)解：棱长为2， .每个小立方体的边长都是1， 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴正方形ABCD的面积为：2 4=2,即a2=2 ABCD ,正方形 的边长a=V2 ;5分 (3):正方形ABCD的边长为V2,点D与1重合， 点在数轴上表示的数为： 1+V2 8分 22. √9=3 【详解】(1)解： 是有理数， √5 是无理数， 当输入x的值为9时，输出)=5 ;2分 (2) 1 解：输入x的值可能是3，理由如下： ,运算无意义，即输入的数没有算术平方根， 输入的数为负数， 1 输入x的值可能是3：5分 (3)解：当第一次取算术平方根后输出的结果为√2时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为√2时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴.输入的数为2=4， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为√2时，则输入的数为42=16，…， .输入的数可以为2或4.8分 23 【详解】(1)证明：，AM平分∠BAC,MD⊥AC,MB⊥AB, ∴.DM=BM(角平分线的性质)， 在Rt△ABM和Rt△ADM中， 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM=AM BM=DM, RteABM≌Rt△ADM(HL) 2分 ①AMBD (2) 是等边三角形， .∠BAD=60° .∠C=90°-∠BAD=30°. :AM平分∠BAC, :∠BAM=∠CAM=)∠BAD=30°， 21 .∠CAM=∠C. .MA=MC, .点M在线段AC的垂直平分线上；5分 ②，Rt△ABM ∠BAM=30° 在 中， .AM=2BM=4(米)， 由①知MC=AM=4(米)， .BC=BM+MC=6(米)， 日影BC的长为6米.8分 24. 【10层.56-层-图 2n+1n (n+1)2n+1(n是正整数，且n≥1)； ,17648 1-81819:2分 8944 ②根据①中规律可得：当n=44时， 202545, 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 89 =1x2x3x44 23445 45.5分 写.… 5 255 ,,2m+1_m+1 1+ m2 m(m是正整数，且m≥2)； 最后一项中2025=452,2×45+1=91，符合规律， +x+7 91 2025 34546 一×一X一×…× 234 45 =23.8分 25. 【详解】(1)解：①：(a-6)°+3a-2b-2=0 .a-6=0,3a-2b-2=0 .a=6,b=8;2分 ②：=6，b=8,点P从点A出发，沿折线AC-CB-BA以每秒4个单位的速度向终点A运动， “点P运动到点C所需时间为8÷4=2秒，运动到点B所需时间为 6+8)+4=3.5秒 ∴当2<t<3,此时点P在边BC上， .CP=4t-8, 点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动， 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C=t, .P0=4t-8-=3t-8 ∠ACB=90°S△MPm=2 sP0-AC=b-8x8=2, 解得上—号或t=。:5分 (2)解：AP=4BPSe=18 .S.woS.4pO=4.5, S480=18+4.5=22.5 ,AQ为BC边上的中线， .S,Ac=S.400=22.5,S.Ac=2S.m0=45,S.cp=2S.m=9 S..cn-5.c-.cn=36 设4Q 的面积为，则3m=5m-Se=18-r .S,ACD=S.APC-S.PD4=36-18+x=18+x S.ACD.=S.APD.=AD S.ace S.aPe AO, 18+x18-x .22.5=18,解得x=2, .△PQD的面积为28分 26」 【详解】(I)解：在△ABC中，D是BC的中点， :BD=CD, 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE=AD,∠ADC=∠EDB, :',△ADC2△EDB(SAS) ..BE=AC=10, AB=6, ∴.10-6<AE<10+6, 即4<AE<16, DE AD, .AE =2AD, .4<2AD<16, .2<AD<8:3分 (2)如图，延长ED至点H,使ED=HD,连接BH, Bh D 点为的中点， 图2 .D BC :BD=CD, ED=HD,∠CDE=∠BDH, ∴△CDE≌△BDH(SAS) .BH=CE=20,∠DBH=∠DCE=90°， ∠ABD=90°， ∴.∠ABD+∠DBH=90°+90°=180°， ∴.A,B,H三点共线 .AH=AB+BH=AB+CE=8+20=28. ∠ADE=90°， AD⊥EH, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ED HD ∴AD为线段EH的垂直平分线， .AE=AH=28:6分 (3)如图，延长AF至点H,使AF=HF,连接BH, 0 点为 的中点， R .F BC .:BF=CF, 在△BFH和△CFA中， BF=CF ∠BFH=∠CFA HF=AF ∴.△BFH≌ACFA(SAS) .∠ACF=∠HBF,BH=AC, :AC∥BH AC=AE, :.BH=AE, :AC∥BH, .∠HBA+∠CAB=180°， ∠DAB=∠CAE=90°， ∴.∠DAE+∠CAB=180°， .∠DAE=∠ABH, 在△ABH和△DAE中， AD=AB ∠DAE=∠ABH AE=BH 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△DAE≌△ABH(SAS) :DE AH=2AF=4, DG=3, .GE=DE-DG=4-3=1.9分 27. 【详解】(1)①解：，AB旋转得到AB,AC旋转得到AC', :AB=AB',AC=AC', :△ABC为等边三角形， .AB=AC=BC,∠BAC=60°， :AB'=AC,∠B4C=360°-(a+B)-60°=360°-180°-60°=120° .∠AB'D=30° ,AD是△ABC的“旋补中线”， .AD平分∠B'AC,AD⊥B'C, A4D=4B=8C.n3分 2 2 ②与①同理可得，AB=AB',AC=AC, .∠BAC=90°，a+B=180°， ∠BAC'=∠B'AC'=360°-(a+β)-90°=360°-180°-90°=90° AB=AB,AC=AC',∠BAC=∠BAC', △ABC≌△AB'C'(SAS) .BC=B'C', ,AD是△ABC的“旋补中线”，∠B'AC'=90°， A4A0=8C=8C=5.n6分 2 2 (②)猜想AD=BC 2 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图，延长AD至点E使得AD=DE,连接，B'E,C'E, B- D 0 :AD是△AB'C的中线， .B'D=C'D. .DE=AD,∠B'DE=∠CDA, △B'DE≌AC'DA(SAS) ∴.B'E=AC'=AC,∠B'ED=∠C'AD, .BE∥AC, .∠B'AC'+∠AB'E=180°， .a+B=180° .∠B'AC'+∠BAC=180°， .∠BAC=∠AB'E」 在△CAB和△EBA中， AB=AB ∠BAC=∠AB'E AC=B'E △CAB≌AEB'A(SAS) :AE=BC, 2.4D-Bc .9分 11/11学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版八年级上册第1章~第2章 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.有下列实数：7,9，-2,25：123，其中无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（) B 3.下列判断：①10的平方根是0： 5与6 为相反数：③-2+0+1=0 则+y=1 @0.1 的算术平方根是0.01.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=6,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点D, 交AC于点耳；分别以点D、B为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P, 作射线AF,交BC于点G;以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点H,连接GH,则△CGH 的周长为() 118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.9 C.11 D.14 按此规律，若 0分=a8a,为正整数，则o-产 .6 的值为() A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 6.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线，AD与BE交于点O,AD与BC 交于点P,BE与CD交于点Q,连结PO.以下六个结论：①AD=BE;②∠AOE=120°：③DE=DP: ④OA=OB+OC;⑤△PCO是等边三角形：⑥OC平分∠BCD.其中正确的结论有() A.①②④⑤ B.①②⑤⑥ C.③④⑤⑥ D.①②④⑥ 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） V3+1 5-1 7.比较大小： 3 3,(填“<”“>”或“=”) 8.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明△ACB≌△BDA,全等的依据是 (用字母表示) D 9.如图，在数制上，点®是线段4C的中点，4,8表示的数是和5，则点C表示的数是 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B -105 10.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为6m,则 M.C 两点间的距离是 km 11.若a,b,c是△ABC的三边的长，化简a+b-c+|a-b-c日 12,已知（m-2+n+5=0,则2m-12n的立方根是 13.在△ABC中，AB=AC,O为BC上任意一点，OM L AB,ON⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为M、 N、H,连接A0.已知OM=2,CH=5,则ON的长为. H M B 14.如图，△ABC中，AC=7Cm,BC=10cm,AB边的垂直平分线DE与△ABC的外角∠BCG的角平分线交 于点E,过点E作EH⊥AC,垂足为H,则CH=cm. B 15.将、5、5、4、…按如图方式排列若规定八表示第*排从左向右第》个数，若V2028 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在(a, ,则a-b 的值为 1 第1排 432 第2排 √56万8 第3排 654丽2而0→第4排 ←一…第5排 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12,D为BC上一点，连接AD,过点A作 AE⊥AD,取AE=AD,连接BE交AC于F.当△AEF为等腰三角形时，CD=一 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共 88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.计算、求x的值： 0①2-27+(-3 (2)2(6x+1}-8=0 18.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE (I)求证：△ABD≌AACE: (2)若∠BAC=120°，且AD⊥AC,试判断△ADE的形状，并说明理由. 19.已知一个正数x的两个平方根分别是2a+1和2-3a,a+2b-3的立方根是2. (1)求a,b的值： (2)求2a+b-6的算术平方根. 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图， 一只蚂蚁从点4沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点”，点表示V5, A ,设点”所表示的实 数为m. A B 0 (1)实数m的值是 (2)化简： m+1+m-1= (3)若在数轴上有 D两点分别表示实数sd,且Bc+d与a+9互为相反数，求cd的立方根」 C, 21.如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8. 0 图① 图② (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半，求正方形ABCD的边长 a. (3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点D与1重合，那么点A在数轴上表示的数为· 22.如图，这是一个数值转换器 取算术平方根 是无理数 输出x 输出y 是有理数 (1)当输入x的值为9时，输出y= (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”.请你判断输入x的 51 值可能是哪一个数据？并说明理由.备选数据：4,7，一3 (3)小明输入了某个x的值后得到了√2，请你写出2个不同的x值. 23.【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此 判断季节或时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长(BC的长)，某 一节气，光线AM平分∠BAC,D为AC上一点，连接MD,BD. 化来调定节气 的 (I)若MD⊥AC,下面是小明证明△ABM≌△ADM的过程，依据I是 依据2是 证明：：AM平分∠BAC,MD⊥AC，,MB⊥AB,∴.DM=BM(依据I) [AM=AM 在Rt△ABM和Rt△ADM中，BM=DM,Rt△ABM≌Rt△ADM(依据2) (2)若△ABD为等边三角形. ① M AC 说明点“在线段的垂直平分线上； ② 己知日影BM的长为米，求日影BC的长. 2 BC 24.阅读素材： 小.写-.6是-北 (1)初步探究： ①填空： ②计算： g石 89 2025: (2)迁移应用：计算： 25.如图1，在△ABC中，a、b、C分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A出发，沿折线 618 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 AC-CB-BA CB 以每秒4个单位的速度向终点“运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向 终点B运动.设点Q的运动时间为t秒 D 图1 图2 ()若∠ACB=90°.(a-6)+3a-2b-2=0 ①a=_,b=-: @当21<3时.若5m=2. ,求的值： (2)如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D,若AQ为BC边上的中线，AP=4BP, SAAPQ =18 请直接写出aPOD 的面积 26.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、 “中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和 所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法 称为“倍长中线法”. E D B D D B F C 图1 图2 图3 (1)【问题解决】如图1，在△ABC中，AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值 范围.小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长AD至点E,使DE=AD,连接 BE),请结合小明做的辅助线，直接写出AD的取值范围一： (2)【类比运用】如图2，∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=8,CE=20,求AE的 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长 (3)【拓展探究】如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接DE, BC,点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.若AF=2,DG=3,请直接写出GE的长 度 27.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转(0°<a<180°)得到AB,把AC绕 点A逆时针旋转B得到AC',连接B'C.当Q+B=180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”， △AB'C'边BC'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心” B D D B B 图1 图2 图3 【特例感知】 (I)在图2，图3中，△AB'C是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”. ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为 ②如图3，当∠BAC=90°，BC=10时，则AD长为 【猜想论证】 (2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明： 818 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1章~第2章 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先计算算术平方根，然后根据无理数的定义即可求解 【详解】解：， ∵ 、、均为有理数，、均为无理数， ∴ 无理数共有2个 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 3．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 4．如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 5．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. 8．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 9．如图，在数轴上，点是线段的中点，，表示的数是和，则点表示的数是______． 【答案】/ 【详解】解：∵点是线段的中点，，表示的数是和， ∴， ∴点表示的数是． 10．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_____． 【答案】 【详解】解：公路，互相垂直， ， 是公路的中点， ， ， ， ，两点间的距离为． 11．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 12．已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 13．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 【答案】 【分析】过点E作的垂线，垂足记为F，因为是的角平分线，根据角平分线的性质，所以可推出，且可证明，得到．因为是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，所以，结合已得的，可证明，得到．设的长度为x，用含x的式子分别表示和的长度，结合建立方程，求解得到的长度． 【详解】连接、，过作于． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分，，， ∴，且 在和中：， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴． 设，则，是的延长线， ∴； 又， ∴， 解得， 即． 15．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为________． 【答案】 【分析】观察图形可知，第排有个数，且第排最大的被开方数为．当为奇数时，从左向右被开方数递增；当为偶数时，从左向右被开方数递减．先通过估算平方数确定所在的行数，再根据偶数行的排列规律计算列数，最后代入求值． 【详解】解：由图可知，第排有个数，第排有个数，，第排有个数 前排共有个数 所以第排最大的被开方数为 因为，且 所以位于第排，即 因为为偶数，由图可知偶数排从左向右被开方数递减第排第个数为即 所以 所以． 16．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 【答案】或 【分析】分两种情形：当时，如图，过点作于，证明，可得结论；当时，如图，点与重合，此时． 【详解】解：当时，如图，过点作于． ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 在和中， ， ， ， ， ； 当时，如图，点与重合，此时． 综上所述，满足条件的的长度为或． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算、求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先运算立方根，算术平方根，乘方，再运算加减法，即可作答． （2）先移项，方程两边同时除以2，最后开平方，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 则， 解得，． 18．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 19．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 21．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2； （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：． 22．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 23．【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质， (2)∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【分析】（1）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （2）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， 在和中， ， ∴； （2）解：略； 在中，， ∴（米）， 由知（米）， ∴（米）， ∴日影的长为米． 24．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 25．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 26．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答； （3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的中点， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 27．我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转（ ）得到，把绕点A逆时针旋转 得到，连接．当 时，我们称是 的“旋补三角形”，边上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心” 【特例感知】 (1)在图2，图3中，是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”． ①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系为_________； ②如图3，当 ， 时，则 长为_________． 【猜想论证】 (2)在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明； 【答案】(1)① ；②5； (2)猜想 ． 证明：如图，延长 至点 使得，连接, ， ∵ 是的中线， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴ ， ∴ ． 【分析】（1）①根据直角三角形中， 角所对的直角边为斜边的一半即可完成求解． ②证明，根据全等三角形的性质得到，然后根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半即可完成求解． （2）延长 至点 使得，连接 ，证明 ，得到，，进而得到，根据全等三角形的性质得到 ，即可得到答案． 本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）①解：∵ 旋转得到， 旋转得到， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ， ∴， ， ∴， ∵ 是 的“旋补中线”， ∴ 平分，， ∴． ②与①同理可得，， ∵ ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 是 的“旋补中线”， ， ∴． （2）略 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $