专题01 数轴中动点的七大题型（题型专练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦数轴动点问题，通过七大题型构建“题型-方法-变式”训练体系，提炼分类讨论、规律探究等核心策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单动点(分类讨论)|4题|距离中点优先三种位置，检验t范围|数轴距离公式→分类讨论思想→结果合理性验证| |单动点(变化规律)|4题|分组找周期，区分奇偶次运动|循环规律→数形结合→归纳推理| |双动点问题|4题|含t式表示位置，分相遇前后折返讨论|动点坐标表示→绝对值方程→分段函数思想| |折叠问题|4题|折叠对称性质，中点公式应用|轴对称性质→数轴中点计算→空间观念| |年龄差问题|4题|年龄差恒定，转化为数轴两点距离|实际问题→数学建模→模型意识| |新定义问题|4题|定义翻译为式子，严格套用|阅读理解→符号转化→创新意识| |多个动点问题|4题|含t式表多位置，化简判断定值|多变量表示→代数化简→推理能力|

专题01 数轴中动点的七大题型 （题型突破·举一反三） 题型 1·单动点问题(分类讨论) 题型 2·单动点问题(变化规律) 题型 3·双动点问题 题型 4·动点中的折叠问题 题型 5·利用数轴上动点解决年龄差问题 题型 6·新定义问题 题型 7·多个动点问题 ▌题型01 单动点问题(分类讨论) 看到距离、中点关系，优先考虑动点的三种位置；求出t后，检验动点是否还在线段运动范围内，舍去不合理解。 【典例1】为数轴上表示的点，将点沿数轴平移个单位到点，则点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式1-1】数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 【变式1-2】点A在数轴上表示1，把点A沿数轴平移4个单位到点B，则点B所表示的数是（　　） A． B． C．5 D．或5 【变式1-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移4个单位长度得到点B．则点B表示的数是__________． ▌题型02 单动点问题(变化规律) 分组找循环周期，找出每一组结束对应的数；注意区分奇数、偶数次运动；不要硬算每一步。 【典例2】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式2-1】边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【变式2-3】如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 ▌题型03 双动点问题 两个点全部先用含t式子表示；相距问题：|P-Q|=距离；追及：位置相等列等式；注意：相遇前、相遇后、到达端点折返分段讨论。 【典例3】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式3-1】如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【变式3-2】已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为． (1)求A、B两点间的距离； (2)若点C在点A的左侧，且，求点C表示的数； (3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，经过多少秒后，P、Q两点相遇？ 【变式3-3】如下图，A，B为数轴上的两个点，点A表示的数为，点B表示的数为90． (1)请写出与A，B两点距离相等的点M表示的数． (2)一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．经过多长时间，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ ▌题型04 动点中的折叠问题 【典例4】如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【变式4-1】在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（到8）的一条线段，如图，其中点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为1.5，小周先将纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合，经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是______． 【变式4-2】一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【变式4-3】在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且，点C向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动7个单位长度到达点B．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是______． ▌题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题 核心：年龄差恒定不变；把两个人年龄看作数轴上两个点，年龄差就是两点距离，“回到过去、去到未来” 对应点向左、向右平移。 【典例5】（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄． 【变式5-1】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【变式5-2】如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为___________cm． (2)图中点A所表示的数是___________，点B所表示的数是___________． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【变式5-3】根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)【知识再现】在数轴上有A，B两点，A表示的数是，B表示的数是3，如图1所示，之间的距离是________； (2)【知识迁移】如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为15；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为________？ (3)【知识应用】请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生，你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求奶奶现在多少岁了？ (4)【拓展应用】小慧妹妹的体重比小慧少，小慧哥哥的体重比小慧多，小慧妹妹的体重和小慧哥哥的体重比是，求出小慧的体重． ▌题型06 新定义问题 读懂题目给出的定义，把定义翻译成式子；严格套用定义，不要带入固有认知。 【典例6】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【变式6-1】综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【变式6-2】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 【变式6-3】对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． ▌题型07 多个动点问题 全部点用含t代数式表示；分别写出各个距离表达式；判断定值问题：化简代数式，看t是否消去 【典例7】如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【变式7-1】已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【变式7-2】在数轴上，点分别表示数，且．记 (1)求的值； (2)如图，点分别从两点同时出发，都沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为4秒，分别写出点P、点Q、点C所表示的数． 【变式7-4】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数轴中动点的七大题型 （题型突破·举一反三） 题型 1·单动点问题(分类讨论) 题型 2·单动点问题(变化规律) 题型 3·双动点问题 题型 4·动点中的折叠问题 题型 5·利用数轴上动点解决年龄差问题 题型 6·新定义问题 题型 7·多个动点问题 ▌题型01 单动点问题(分类讨论) 看到距离、中点关系，优先考虑动点的三种位置；求出t后，检验动点是否还在线段运动范围内，舍去不合理解。 【典例1】为数轴上表示的点，将点沿数轴平移个单位到点，则点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减运算，一般地：点在数轴上平移，向左平移几个单位，则用该点表示的数减几，即得平移后点表示的数；向右平移几个单位，则用该点表示的数加几，即得平移后点表示的数．分向左平移或向右平移两种情况讨论计算即可求解． 【详解】解：若点向左平移个单位，点表示的数是， 若点向右平移个单位，点表示的数是， 点表示的数为或． 故选：D． 【变式1-1】数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为；当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为，解答即可. 本题考查了数轴上的平移，有理数加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解：向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为； 当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为. 故选：D. 【变式1-2】点A在数轴上表示1，把点A沿数轴平移4个单位到点B，则点B所表示的数是（　　） A． B． C．5 D．或5 【答案】D 【分析】考查用数轴上的点表示有理数，利用数形结合思想和分类讨论思想在解决问题是解题的关键． 【详解】解点A在数轴上表示1，从点A沿数轴向左平移4个单位到点B，B点所表示的实数是，从点A沿数轴向右平移4个单位到点B，B点所表示的实数是． 故选D． 【变式1-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移4个单位长度得到点B．则点B表示的数是__________． 【答案】2或 【分析】应用数轴上点的意义分类进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将点A在数轴上向右平移4个单位得到点B，则点B表示的数是； 将点A在数轴上向左平移4个单位得到点B，则点B表示的数是； 则点B表示的数是2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点的意义进行求解是解决本题的关键． ▌题型02 单动点问题(变化规律) 分组找循环周期，找出每一组结束对应的数；注意区分奇数、偶数次运动；不要硬算每一步。 【典例2】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 【变式2-1】边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故选：． 【变式2-2】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式2-3】如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． ▌题型03 双动点问题 两个点全部先用含t式子表示；相距问题：|P-Q|=距离；追及：位置相等列等式；注意：相遇前、相遇后、到达端点折返分段讨论。 【典例3】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式3-1】如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 【变式3-2】已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为． (1)求A、B两点间的距离； (2)若点C在点A的左侧，且，求点C表示的数； (3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，经过多少秒后，P、Q两点相遇？ 【答案】(1)10 (2) (3)2秒 【分析】此题考查数轴上点之间的距离． （1）由数轴上点之间的距离即可解答； （2）由数轴上点之间的距离即可解答； （3）根据路程公式即可解答． 【详解】（1）解：， 则A、B两点间的距离为； （2）解：点C在点A的左侧，且， 点C表示的数为； （3）解：（秒）， 故经过秒后，P、Q两点相遇． 【变式3-3】如下图，A，B为数轴上的两个点，点A表示的数为，点B表示的数为90． (1)请写出与A，B两点距离相等的点M表示的数． (2)一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．经过多长时间，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 【答案】(1)与A，B两点距离相等的点M表示的数为40 (2)经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）根据中点公式列式计算，即可得答案； （2）分类讨论，两只蚂蚁相遇前相距35个单位长度和两只蚂蚁相遇后继续运动而相距35个单位长度，由此列式计算即可． 【详解】（1）解：点A在原点左侧，距原点10个单位长度，点B在原点右侧，距原点90个单位长度， 故A、B两点之间的距离为个单位长度， ， 由题图可知，与A，B两点距离相等的点M表示的数为40． （2）当相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，； 当相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，． 综上所述，经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． ▌题型04 动点中的折叠问题 【典例4】如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 【变式4-1】在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（到8）的一条线段，如图，其中点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为1.5，小周先将纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合，经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的应用、线段中点的有关计算，先求出第一次对折的折痕点为3，再根据将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合可求出第二次的折痕点，由此即可得出答案，理解题意，灵活运用所学知识点是解此题的关键． 【详解】解：折痕点为对应点所连线段的中点， 第一次对折的折痕点为：， 再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合， 第二次对折的折痕点为：， 经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是：或 故答案为：或． 【变式4-2】一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【答案】或1或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， ∵到4的距离是6， ， ， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或． 故答案为：或1或． 【变式4-3】在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且，点C向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动7个单位长度到达点B．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是______． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴．根据各点的数值，移动情况、折叠性质求值即可． 【详解】解：点C对应的有理数为c，， 点C向左移动2个单位长度到达A点，则A点表示的数为， 再向右移动7个单位长度到达点B，则点B表示的数为4， 将数轴折叠，使得点A与点B重合，与点C重合的点记， 则， 点B表示的数为4，则点表示的数为2． 故答案为：2． ▌题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题 核心：年龄差恒定不变；把两个人年龄看作数轴上两个点，年龄差就是两点距离，“回到过去、去到未来” 对应点向左、向右平移。 【典例5】（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄． 【答案】（1）（2）小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁 【分析】本题考查数轴的应用，灵活运用数轴的几何意义是解题关键． （1）将木棒两次移动的距离转化为数轴上从到的总跨度，再根据该跨度等于倍木棒长度，从而计算出木棒长； （2）将年龄变化转化为数轴上从到的总跨度，该跨度等于倍年龄差，先求出年龄差，再据此算出小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上到，到，到距离相等，且都等于木棒长度， 故． 答：木棒的长为． （2）解：设点表示小明的年龄，点表示爷爷年龄，两人的年龄差为岁， 根据题意可得，当向左移动，点对应的数为， 当向右移动，点对应的数为， 故两人的年龄差为（岁）， 则点对应数即小明的年龄为（岁）， 点对应数即爷爷的年龄为（岁）． 答：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁． 【变式5-1】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【变式5-2】如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为___________cm． (2)图中点A所表示的数是___________，点B所表示的数是___________． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)爷爷现在的年龄是75岁． 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是， 则此木棒长为． 故答案为：5； （2）解：图中点A所表示的数为，点B所表示的数为． 故答案为：10，15； （3）解：如图：    借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为（岁）． 故爷爷现在的年龄是75岁． 【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒），而后转化为数轴上求点表示数的问题． 【变式5-3】根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)【知识再现】在数轴上有A，B两点，A表示的数是，B表示的数是3，如图1所示，之间的距离是________； (2)【知识迁移】如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为15；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为________？ (3)【知识应用】请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生，你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求奶奶现在多少岁了？ (4)【拓展应用】小慧妹妹的体重比小慧少，小慧哥哥的体重比小慧多，小慧妹妹的体重和小慧哥哥的体重比是，求出小慧的体重． 【答案】(1)5； (2)6； (3)67； (4)． 【分析】本题考查数轴的性质，利用数轴上点的距离列出表达式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离方法进行计算即可； （2）根据题意可知，数和数之间包含的距离，列方程计算即可； （3）根据题意得，妙妙和奶奶的年龄差为：岁，再计算奶奶现在的年龄即可； （4）设小慧的体重为，则小慧的妹妹体重为，小慧哥哥的体重为，因为妹妹与哥哥的体重比为，所以哥哥体重比妹妹体重多了3份，计算出每一份所代表的体重，再计算小慧的体重即可． 【详解】（1）解：根据题意得，A表示的数是，B表示的数是3， 则之间的距离为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，，即， 则， 故答案为：； （3）解：把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为119， 把B移动到A时，此时点A向左移动后，所对应的点C表示的数为， 妙妙和奶奶的年龄差为：（岁） 所以奶奶现在的年龄：（岁）， 答：奶奶现在岁； （4）解：如图， 设小慧的体重为，则小慧的妹妹体重为，小慧哥哥的体重为， 则哥哥比妹妹体重重， 因为妹妹与哥哥的体重比为，所以哥哥体重比妹妹体重多了3份， 故每一份为：， 所以小慧妹妹的体重为， 则小慧的体重为， 答：小慧的体重为． ▌题型06 新定义问题 读懂题目给出的定义，把定义翻译成式子；严格套用定义，不要带入固有认知。 【典例6】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【变式6-1】综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． 【变式6-2】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2) 或0或6；30或48或21． 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄清题中关于“祁美点”定义，按照定义表示线段倍数关系，分类讨论是解题的关键． （1）设M点表示的数是x，由题意可得或，求出符合题意的x的值即可； （2）设点P表示的数是x，由题意可得或，求出符合条件的x的值即可； 设点P表示的数是x，分三种情况讨论：当P点是点A，B的“祁美点”；当A点是P，B的“祁美点”；当B点是A，P的“祁美点”；列方程，求出P点表示的数即可得到答案． 【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”， 或， 设M点表示的数是x，点M在A，B之间，， ∴或 解得：或 点M表示一个负数， 点M表示的数为； （2） 点P是点A，B的“祁美点”， 或， 设点P表示的数是x，由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的左侧， 或或， 故答案为：或0或6； 设点P表示的数是x， 当点P是点A，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， ， 当A点是P，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 当B点是A，P的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 或； 综上：点P表示的数是30或48或21． 【变式6-3】对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 【答案】(1) ①证明：∵点M关于线段的“内差距”， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点； ②或 (2)或 【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键． （1）①由可得，进而可得；②先根据“外差距”的定义求出，进而可得，再根据，求出，分和两种情况，分别计算即可； （2）根据，可得，根据，可得，进而可得或4，或，分点Q在点A右侧与左侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：①略 ②∵点N关于线段的“外差距”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M关于线段的“内差距”为， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，m的值为或； （2）解：∵点Q关于线段的“外差距”， ∴， ∵原点O关于线段的“内差距”为，， ∴， ∴或， ∴或4， ∴或， 当点Q在点A右侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或4， ∴点Q表示的数为9或17， 当点Q在点A左侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或 ∴点Q表示的数为或， 综上所述，点Q表示的数为或. ▌题型07 多个动点问题 全部点用含t代数式表示；分别写出各个距离表达式；判断定值问题：化简代数式，看t是否消去 【典例7】如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【变式7-1】已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 【变式7-2】在数轴上，点分别表示数，且．记 (1)求的值； (2)如图，点分别从两点同时出发，都沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为4秒，分别写出点P、点Q、点C所表示的数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上点的表示． （1）根据非负数的性质求出、的值，利用两点间的距离公式求出； （2）根据路程速度时间分别用含的式子分别写出点、点、点所表示的数． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：点，分别从，两点同时出发，都沿数轴向右运动，点的速度是每秒4个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，点从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度， 运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 【变式7-4】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1； ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数轴中动点的七大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 单动点问题(分类讨论) 看到距离、中点关系，优先考虑动点的三种位置；求出t后，检验动点是否还在线段运动范围内，舍去不合理解。 【典例1】 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减运算，一般地：点在数轴上平移，向左平移几个单位，则用该点表示的数减几，即得平移后点表示的数；向右平移几个单位，则用该点表示的数加几，即得平移后点表示的数．分向左平移或向右平移两种情况讨论计算即可求解． 【详解】解：若点向左平移个单位，点表示的数是， 若点向右平移个单位，点表示的数是， 点表示的数为或． 故选：D． 【变式1-1】 【答案】D 【分析】向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为；当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为，解答即可. 本题考查了数轴上的平移，有理数加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解：向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为； 当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为. 故选：D. 【变式1-2】 【答案】D 【分析】考查用数轴上的点表示有理数，利用数形结合思想和分类讨论思想在解决问题是解题的关键． 【详解】解点A在数轴上表示1，从点A沿数轴向左平移4个单位到点B，B点所表示的实数是，从点A沿数轴向右平移4个单位到点B，B点所表示的实数是． 故选D． 【变式1-3】 【答案】2或 【分析】应用数轴上点的意义分类进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将点A在数轴上向右平移4个单位得到点B，则点B表示的数是； 将点A在数轴上向左平移4个单位得到点B，则点B表示的数是； 则点B表示的数是2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点的意义进行求解是解决本题的关键． ▌题型02 单动点问题(变化规律) 分组找循环周期，找出每一组结束对应的数；注意区分奇数、偶数次运动；不要硬算每一步。 【典例2】 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 【变式2-1】 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故选：． 【变式2-2】 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式2-3】 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． ▌题型03 双动点问题 两个点全部先用含t式子表示；相距问题：|P-Q|=距离；追及：位置相等列等式；注意：相遇前、相遇后、到达端点折返分段讨论。 【典例3】 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式3-1】 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 【变式3-2】 【答案】(1)10 (2) (3)2秒 【分析】此题考查数轴上点之间的距离． （1）由数轴上点之间的距离即可解答； （2）由数轴上点之间的距离即可解答； （3）根据路程公式即可解答． 【详解】（1）解：， 则A、B两点间的距离为； （2）解：点C在点A的左侧，且， 点C表示的数为； （3）解：（秒）， 故经过秒后，P、Q两点相遇． 【变式3-3】 【答案】(1)与A，B两点距离相等的点M表示的数为40 (2)经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）根据中点公式列式计算，即可得答案； （2）分类讨论，两只蚂蚁相遇前相距35个单位长度和两只蚂蚁相遇后继续运动而相距35个单位长度，由此列式计算即可． 【详解】（1）解：点A在原点左侧，距原点10个单位长度，点B在原点右侧，距原点90个单位长度， 故A、B两点之间的距离为个单位长度， ， 由题图可知，与A，B两点距离相等的点M表示的数为40． （2）当相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，； 当相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，． 综上所述，经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． ▌题型04 动点中的折叠问题 【典例4】 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 【变式4-1】 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的应用、线段中点的有关计算，先求出第一次对折的折痕点为3，再根据将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合可求出第二次的折痕点，由此即可得出答案，理解题意，灵活运用所学知识点是解此题的关键． 【详解】解：折痕点为对应点所连线段的中点， 第一次对折的折痕点为：， 再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合， 第二次对折的折痕点为：， 经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是：或 故答案为：或． 【变式4-2】 【答案】或1或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， ∵到4的距离是6， ， ， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或． 故答案为：或1或． 【变式4-3】 【答案】2 【分析】本题考查了数轴．根据各点的数值，移动情况、折叠性质求值即可． 【详解】解：点C对应的有理数为c，， 点C向左移动2个单位长度到达A点，则A点表示的数为， 再向右移动7个单位长度到达点B，则点B表示的数为4， 将数轴折叠，使得点A与点B重合，与点C重合的点记， 则， 点B表示的数为4，则点表示的数为2． 故答案为：2． ▌题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题 核心：年龄差恒定不变；把两个人年龄看作数轴上两个点，年龄差就是两点距离，“回到过去、去到未来” 对应点向左、向右平移。 【典例5】 【答案】（1）（2）小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁 【分析】本题考查数轴的应用，灵活运用数轴的几何意义是解题关键． （1）将木棒两次移动的距离转化为数轴上从到的总跨度，再根据该跨度等于倍木棒长度，从而计算出木棒长； （2）将年龄变化转化为数轴上从到的总跨度，该跨度等于倍年龄差，先求出年龄差，再据此算出小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上到，到，到距离相等，且都等于木棒长度， 故． 答：木棒的长为． （2）解：设点表示小明的年龄，点表示爷爷年龄，两人的年龄差为岁， 根据题意可得，当向左移动，点对应的数为， 当向右移动，点对应的数为， 故两人的年龄差为（岁）， 则点对应数即小明的年龄为（岁）， 点对应数即爷爷的年龄为（岁）． 答：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁． 【变式5-1】 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【变式5-2】 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)爷爷现在的年龄是75岁． 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是， 则此木棒长为． 故答案为：5； （2）解：图中点A所表示的数为，点B所表示的数为． 故答案为：10，15； （3）解：如图：    借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为（岁）． 故爷爷现在的年龄是75岁． 【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒），而后转化为数轴上求点表示数的问题． 【变式5-3】 【答案】(1)5； (2)6； (3)67； (4)． 【分析】本题考查数轴的性质，利用数轴上点的距离列出表达式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离方法进行计算即可； （2）根据题意可知，数和数之间包含的距离，列方程计算即可； （3）根据题意得，妙妙和奶奶的年龄差为：岁，再计算奶奶现在的年龄即可； （4）设小慧的体重为，则小慧的妹妹体重为，小慧哥哥的体重为，因为妹妹与哥哥的体重比为，所以哥哥体重比妹妹体重多了3份，计算出每一份所代表的体重，再计算小慧的体重即可． 【详解】（1）解：根据题意得，A表示的数是，B表示的数是3， 则之间的距离为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，，即， 则， 故答案为：； （3）解：把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为119， 把B移动到A时，此时点A向左移动后，所对应的点C表示的数为， 妙妙和奶奶的年龄差为：（岁） 所以奶奶现在的年龄：（岁）， 答：奶奶现在岁； （4）解：如图， 设小慧的体重为，则小慧的妹妹体重为，小慧哥哥的体重为， 则哥哥比妹妹体重重， 因为妹妹与哥哥的体重比为，所以哥哥体重比妹妹体重多了3份， 故每一份为：， 所以小慧妹妹的体重为， 则小慧的体重为， 答：小慧的体重为． ▌题型06 新定义问题 读懂题目给出的定义，把定义翻译成式子；严格套用定义，不要带入固有认知。 【典例6】 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【变式6-1】 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． 【变式6-2】 【答案】(1)； (2) 或0或6；30或48或21． 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄清题中关于“祁美点”定义，按照定义表示线段倍数关系，分类讨论是解题的关键． （1）设M点表示的数是x，由题意可得或，求出符合题意的x的值即可； （2）设点P表示的数是x，由题意可得或，求出符合条件的x的值即可； 设点P表示的数是x，分三种情况讨论：当P点是点A，B的“祁美点”；当A点是P，B的“祁美点”；当B点是A，P的“祁美点”；列方程，求出P点表示的数即可得到答案． 【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”， 或， 设M点表示的数是x，点M在A，B之间，， ∴或 解得：或 点M表示一个负数， 点M表示的数为； （2） 点P是点A，B的“祁美点”， 或， 设点P表示的数是x，由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的左侧， 或或， 故答案为：或0或6； 设点P表示的数是x， 当点P是点A，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， ， 当A点是P，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 当B点是A，P的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 或； 综上：点P表示的数是30或48或21． 【变式6-3】 【答案】(1) ①证明：∵点M关于线段的“内差距”， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点； ②或 (2)或 【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键． （1）①由可得，进而可得；②先根据“外差距”的定义求出，进而可得，再根据，求出，分和两种情况，分别计算即可； （2）根据，可得，根据，可得，进而可得或4，或，分点Q在点A右侧与左侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：①略 ②∵点N关于线段的“外差距”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M关于线段的“内差距”为， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，m的值为或； （2）解：∵点Q关于线段的“外差距”， ∴， ∵原点O关于线段的“内差距”为，， ∴， ∴或， ∴或4， ∴或， 当点Q在点A右侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或4， ∴点Q表示的数为9或17， 当点Q在点A左侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或 ∴点Q表示的数为或， 综上所述，点Q表示的数为或. ▌题型07 多个动点问题 全部点用含t代数式表示；分别写出各个距离表达式；判断定值问题：化简代数式，看t是否消去 【典例7】 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【变式7-1】 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 【变式7-2】 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上点的表示． （1）根据非负数的性质求出、的值，利用两点间的距离公式求出； （2）根据路程速度时间分别用含的式子分别写出点、点、点所表示的数． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：点，分别从，两点同时出发，都沿数轴向右运动，点的速度是每秒4个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，点从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度， 运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 【变式7-4】 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1； ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $