专题02 相反数﹑绝对值的六大题型（题型专练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦相反数与绝对值核心考点，通过六大题型构建“概念应用-性质探究-综合拓展”递进式训练体系，提炼针对性解题方法，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相反数的应用|1典例+3变式|分组找循环周期，区分奇偶次运动|从相反数概念出发，结合数轴应用| |绝对值的几何意义|1典例+3变式|用含t式子表示点，分段讨论相距与追及|衔接数轴，体现几何直观与空间观念| |绝对值非负性|1典例+3变式|利用非负性质列方程求解|深化代数性质，培养推理意识| |绝对值的其他应用|1典例+3变式|年龄差转化为数轴两点距离，平移分析|联系实际情境，发展模型意识| |根据绝对值性质化简|1典例+3变式|翻译定义，严格套用化简|综合概念与性质，提升运算能力| |有理数大小比较|1典例+3变式|用含t代数式表示点，判断定值|延伸应用，强化数学语言表达|

专题02 相反数﹑绝对值六大题型 （题型突破·举一反三） 题型 1·相反数的应用 题型 2·绝对值的几何意义 题型3·绝对值非负性 题型 4·绝对值的其他应用 题型 5·根据绝对值的性质化简绝对值 题型 6·有理数大小比较 ▌题型01 相反数的应用 分组找循环周期，找出每一组结束对应的数；注意区分奇数、偶数次运动；不要硬算每一步。 【典例1】如图，数轴上点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点A表示的数是（    ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【变式1-1】若m，n互为相反数，则___． 【变式1-2】如果和的结果互为相反数，则的结果是___________. 【变式1-3】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． ▌题型02 绝对值的几何意义 两个点全部先用含t式子表示；相距问题：|P-Q|=距离；追及：位置相等列等式；注意：相遇前、相遇后、到达端点折返分段讨论。 【典例2】数轴上的点到表示的点的距离是10，那么点表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．13或 【变式2-1】若，，且，则的值是（    ） A．2或 B．6或 C．2或6 D．2或 【变式2-2】利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-3】若，则满足条件的整数x的值有____个． ▌题型03 绝对值非负性 【典例3】成立时，______． 【变式3-1】若，那么的值是_______ 【变式3-2】已知，则________． 【变式3-3】若与互为相反数，则______． ▌题型04 绝对值的其他应用 核心：年龄差恒定不变；把两个人年龄看作数轴上两个点，年龄差就是两点距离，“回到过去、去到未来” 对应点向左、向右平移。 【典例4】先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____． （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____． 【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____． 【拓展】（5）的最小值是____． 【变式4-1】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【变式4-2】式子取最小值时，__________，最小值为__________． 【变式4-3】【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． ▌题型05 根据绝对值的性质化简绝对值 读懂题目给出的定义，把定义翻译成式子；严格套用定义，不要带入固有认知。 【典例5】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（　　） A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b 【变式5-3】若abc>0，化简结果是（    ） A．0或2 B．0或2 C．0或4 D．0或 ▌题型06 有理数大小比较 全部点用含t代数式表示；分别写出各个距离表达式；判断定值问题：化简代数式，看t是否消去 【典例6】比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【变式6-1】在，0，2，5这四个数中，最小的数是________． 【变式6-2】化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 【变式6-3】比较大小：________．(填“”“”或“”) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相反数﹑绝对值六大题型 （题型突破·举一反三） 题型 1·相反数的应用 题型 2·绝对值的几何意义 题型3·绝对值非负性 题型 4·绝对值的其他应用 题型 5·根据绝对值的性质化简绝对值 题型 6·有理数大小比较 ▌题型01 相反数的应用 分组找循环周期，找出每一组结束对应的数；注意区分奇数、偶数次运动；不要硬算每一步。 【典例1】如图，数轴上点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点A表示的数是（    ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】根据数轴上点A，B表示的数互为相反数，可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数互为相反数， ∴可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ， ∵AB＝4， ∴ ，解得： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式1-1】若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 【变式1-2】如果和的结果互为相反数，则的结果是___________. 【答案】 1 【分析】本题考查相反数，非负性以及代数式求值．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，以及非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．根据互为相反数的两数之和为0，以及非负数的和为0，每个非负数均为0，求出，进而即可求出的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． ▌题型02 绝对值的几何意义 两个点全部先用含t式子表示；相距问题：|P-Q|=距离；追及：位置相等列等式；注意：相遇前、相遇后、到达端点折返分段讨论。 【典例2】数轴上的点到表示的点的距离是10，那么点表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．13或 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是解决本题的关键． 利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点表示，点到点的距离为10， ∴，即． ∴或． ∴或． 故选：C． 【变式2-1】若，，且，则的值是（    ） A．2或 B．6或 C．2或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，绝对值的非负性，由可知，再结合，，确定和的可能取值，再计算的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴或， 故选：C． 【变式2-2】利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴理解表示与在数轴上对应点的距离． 利用绝对值的几何意义，将转化为数轴上x与1对应点的距离小于3，确定x的取值范围，再找出其中的整数个数． 【详解】解：根据绝对值的几何意义得， 表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离． 因为， 所以x对应的点与1对应的点之间的距离小于3． 在数轴上，1左边与1距离3个单位的数是，右边与1距离个单位的数是， 所以x的取值范围是． 在范围内的整数有、0、1、2、3，共5个． 故选：C． 【变式2-3】若，则满足条件的整数x的值有____个． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【详解】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 ▌题型03 绝对值非负性 【典例3】成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 【变式3-1】若，那么的值是_______ 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值．根据绝对值和平方的非负性，它们的和为零时，每个部分都必须为零，进而求得，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 且 ， 解得：，， ∴. 故答案为：． 【变式3-2】已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方项的非负性，根据非负数的性质，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：已知 ， 则 且 ， ， 即， 解得 ， ， 即， 解得 ， 则， 所以， 故答案为． 【变式3-3】若与互为相反数，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质和有理数的加法运算，正确得出的值是解题关键． 直接利用绝对值的性质得出的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数，互为相反数的两个数的和为零， ∴， 解得 ∴ 故答案为： ▌题型04 绝对值的其他应用 核心：年龄差恒定不变；把两个人年龄看作数轴上两个点，年龄差就是两点距离，“回到过去、去到未来” 对应点向左、向右平移。 【典例4】先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____． （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____． 【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____． 【拓展】（5）的最小值是____． 【答案】（），或；（），；（）；（）；（）． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，解题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （）根据绝对值的意义即可求解； （）由，，得或，或，当，时，，两点间有最大距离；当，时，，两点间有最小距离； （）当，则有，然后求出整数点的值，再相加即可； （）当时，距离和有最小值，再利用两点之间的距离即可求解； （）当时，距离和有最小值，再利用两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（）数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示数和的两点之间的距离是，则有， ∴或， 故答案为：，或； （）∵，， ∴或，或， ∴当，时，，两点间有最大距离， 当，时，，两点间有最小距离， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴符合条件的整数点的值为，，，，，，，， ∴点表示的数的和是， 故答案为：； （）由表示与，的距离之和， 当时，距离和有最小值， 故答案为：； （）当时，距离和有最小值，为 ， 故答案为：． 【变式4-1】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解： ，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 【变式4-2】式子取最小值时，__________，最小值为__________． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得， 若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3； 故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 【变式4-3】【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 ▌题型05 根据绝对值的性质化简绝对值 读懂题目给出的定义，把定义翻译成式子；严格套用定义，不要带入固有认知。 【典例5】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，减去一个数等于加上这个数的相反数得到，根据负数的绝对值是它相反数推出． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的减法，绝对值等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的数的特征，减法法则，绝对值的代数意义． 【变式5-1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴，得；，，，根据绝对值的性质，即可． 【详解】∵且，， ∴；； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是掌握一个负数的绝对值是它的相反数，绝对值的几何意义． 【变式5-2】已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（　　） A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b 【答案】A 【分析】结合数轴知b<-1<0<a<1，据此判断出b-a< 0， a+2b< 0，-a-b> 0，再利用绝对值的性质去绝对值符号、合并即可得出答案． 【详解】由数轴知b<-1<0<a<1， ∴b- a< 0，a+2b< 0，-a-b> 0， 则原式= a-b+a+2b-a- b= a， 故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴，解题的关键是结合数轴判断出b- a、a+ 2b、-a - b与0的大小． 【变式5-3】若abc>0，化简结果是（    ） A．0或2 B．0或2 C．0或4 D．0或 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：∵abc＞0， ∴a，b，c中全是正的或一正两负， ①当a，b，c均大于0， 原式=1+1+1+1=4， ②a，b，c中只有一个大于0，不妨设a＞0，则b＜0，c＜0， 原式=1-1-1+1=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，解决本题的关键是根据绝对值的性质，进行分类讨论． ▌题型06 有理数大小比较 全部点用含t代数式表示；分别写出各个距离表达式；判断定值问题：化简代数式，看t是否消去 【典例6】比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查两个负数的大小比较，解题思路为根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，再通过比较绝对值的大小得到原数的大小关系． 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 【变式6-1】在，0，2，5这四个数中，最小的数是________． 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，0大于一切负数，对给出的四个数进行比较，即可得到最小的数． 【详解】解：对四个数按从小到大排列可得因此四个数中最小的数是． 【变式6-2】化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 【答案】 / 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值；根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较绝对值的大小，再得到结果． 【详解】解： ， ∴， ∴； ，， ∴， ∴． 【变式6-3】比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了负数的大小比较，关键是掌握“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”这一规则，先将分数通分，再比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，，，， ∴根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，得， 即； 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相反数﹑绝对值六大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 相反数的应用 分组找循环周期，找出每一组结束对应的数；注意区分奇数、偶数次运动；不要硬算每一步。 【典例1】 【答案】D 【分析】根据数轴上点A，B表示的数互为相反数，可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数互为相反数， ∴可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ， ∵AB＝4， ∴ ，解得： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 【变式1-2】 【答案】 1 【分析】本题考查相反数，非负性以及代数式求值．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，以及非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．根据互为相反数的两数之和为0，以及非负数的和为0，每个非负数均为0，求出，进而即可求出的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． ▌题型02 绝对值的几何意义 两个点全部先用含t式子表示；相距问题：|P-Q|=距离；追及：位置相等列等式；注意：相遇前、相遇后、到达端点折返分段讨论。 【典例2】 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是解决本题的关键． 利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点表示，点到点的距离为10， ∴，即． ∴或． ∴或． 故选：C． 【变式2-1】 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，绝对值的非负性，由可知，再结合，，确定和的可能取值，再计算的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴或， 故选：C． 【变式2-2】 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴理解表示与在数轴上对应点的距离． 利用绝对值的几何意义，将转化为数轴上x与1对应点的距离小于3，确定x的取值范围，再找出其中的整数个数． 【详解】解：根据绝对值的几何意义得， 表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离． 因为， 所以x对应的点与1对应的点之间的距离小于3． 在数轴上，1左边与1距离3个单位的数是，右边与1距离个单位的数是， 所以x的取值范围是． 在范围内的整数有、0、1、2、3，共5个． 故选：C． 【变式2-3】 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【详解】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 ▌题型03 绝对值非负性 【典例3】 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 【变式3-1】 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值．根据绝对值和平方的非负性，它们的和为零时，每个部分都必须为零，进而求得，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 且 ， 解得：，， ∴. 故答案为：． 【变式3-2】 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方项的非负性，根据非负数的性质，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：已知 ， 则 且 ， ， 即， 解得 ， ， 即， 解得 ， 则， 所以， 故答案为． 【变式3-3】 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质和有理数的加法运算，正确得出的值是解题关键． 直接利用绝对值的性质得出的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数，互为相反数的两个数的和为零， ∴， 解得 ∴ 故答案为： ▌题型04 绝对值的其他应用 核心：年龄差恒定不变；把两个人年龄看作数轴上两个点，年龄差就是两点距离，“回到过去、去到未来” 对应点向左、向右平移。 【典例4】 【答案】（），或；（），；（）；（）；（）． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，解题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （）根据绝对值的意义即可求解； （）由，，得或，或，当，时，，两点间有最大距离；当，时，，两点间有最小距离； （）当，则有，然后求出整数点的值，再相加即可； （）当时，距离和有最小值，再利用两点之间的距离即可求解； （）当时，距离和有最小值，再利用两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（）数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示数和的两点之间的距离是，则有， ∴或， 故答案为：，或； （）∵，， ∴或，或， ∴当，时，，两点间有最大距离， 当，时，，两点间有最小距离， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴符合条件的整数点的值为，，，，，，，， ∴点表示的数的和是， 故答案为：； （）由表示与，的距离之和， 当时，距离和有最小值， 故答案为：； （）当时，距离和有最小值，为 ， 故答案为：． 【变式4-1】 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解： ，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 【变式4-2】 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得， 若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3； 故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 【变式4-3】 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 ▌题型05 根据绝对值的性质化简绝对值 读懂题目给出的定义，把定义翻译成式子；严格套用定义，不要带入固有认知。 【典例5】 【答案】B 【分析】根据，，减去一个数等于加上这个数的相反数得到，根据负数的绝对值是它相反数推出． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的减法，绝对值等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的数的特征，减法法则，绝对值的代数意义． 【变式5-1】 【答案】B 【分析】根据数轴，得；，，，根据绝对值的性质，即可． 【详解】∵且，， ∴；； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是掌握一个负数的绝对值是它的相反数，绝对值的几何意义． 【变式5-2】 【答案】A 【分析】结合数轴知b<-1<0<a<1，据此判断出b-a< 0， a+2b< 0，-a-b> 0，再利用绝对值的性质去绝对值符号、合并即可得出答案． 【详解】由数轴知b<-1<0<a<1， ∴b- a< 0，a+2b< 0，-a-b> 0， 则原式= a-b+a+2b-a- b= a， 故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴，解题的关键是结合数轴判断出b- a、a+ 2b、-a - b与0的大小． 【变式5-3】 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：∵abc＞0， ∴a，b，c中全是正的或一正两负， ①当a，b，c均大于0， 原式=1+1+1+1=4， ②a，b，c中只有一个大于0，不妨设a＞0，则b＜0，c＜0， 原式=1-1-1+1=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，解决本题的关键是根据绝对值的性质，进行分类讨论． ▌题型06 有理数大小比较 全部点用含t代数式表示；分别写出各个距离表达式；判断定值问题：化简代数式，看t是否消去 【典例6】 【答案】 【分析】本题考查两个负数的大小比较，解题思路为根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，再通过比较绝对值的大小得到原数的大小关系． 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 【变式6-1】 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，0大于一切负数，对给出的四个数进行比较，即可得到最小的数． 【详解】解：对四个数按从小到大排列可得因此四个数中最小的数是． 【变式6-2】 【答案】 / 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值；根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较绝对值的大小，再得到结果． 【详解】解： ， ∴， ∴； ，， ∴， ∴． 【变式6-3】 【答案】 【分析】本题考查了负数的大小比较，关键是掌握“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”这一规则，先将分数通分，再比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，，，， ∴根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，得， 即； 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $