专项01 数轴、相反数、绝对值综合（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以数轴为核心载体，通过11类题型系统整合相反数、绝对值知识，提炼口诀化解题技巧与步骤化思维模型，培养几何直观与运算能力，构建从概念到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴应用|4题型（1典例+3变式）|整点覆盖口诀、平移“右加左减”法则、规律探究周期化|从数轴三要素到点的表示、移动、规律，形成几何直观认知链| |相反数|2题型（1典例+3变式）|定义双重表征（代数/几何）、符号化简“负号奇偶”口诀|从概念本质到性质应用，强化抽象能力与推理意识| |绝对值|3题型（1典例+3变式）|非负性核心、代数分段法则、应用“绝对值最小”模型|基于数轴距离定义，延伸至计算、非负性及实际应用，体现模型意识| |大小比较|1题型（1典例+3变式）|数轴法、正负规则、负数绝对值比较法|综合数轴与绝对值知识，形成系统化比较策略|

专项01 数轴、相反数、绝对值综合 （题型突破·举一反三） 题型01 用数轴上的点表示有理数 题型02 数轴上整点覆盖问题 题型03 数轴上点的平移 题型04 数轴上的规律探究 题型05 化简多重符号 题型06 相反数的定义与性质 题型07 相反数的应用 题型08 绝对值的非负性 题型09 求一个数的绝对值 题型10 绝对值的应用 题型11 有理数的大小比较 ▌题型01 用数轴上的点表示有理数 1. 数轴三要素：原点（0）、正方向（一般向右）、单位长度，三者缺一不可。 2. 对应关系：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点；数轴上的点不都代表有理数。 3. 正负分布：原点左侧：负数；原点右侧：正数；原点：数字0，既不是正数也不是负数。 4. 距离定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值。 5. 大小规则：数轴上右边的数永远大于左边的数。 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【答案】如图即为所求． 【变式1-1】（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小． ，1，，3.5，，0 【变式1-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【变式1-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． ▌题型02 数轴上整点覆盖问题 一、解题步骤 1. 区分端点是否为整数； 2. 算出线段总长； 3. 判断最多/最少覆盖； 4. 代入对应公式计算。 二、速记口诀 两端整数加一，两端不取去一；一端整数中间数；给长度求最值，最多加一最少取整。 【典例2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式2-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． ▌题型03 数轴上点的平移 一、基础知识点 1. 数轴规定：向右为正方向，向左为负方向。 2. 平移含义：数轴上的点左右移动，对应数字变大或变小。 3. 核心法则：右加左减 ◦ 向右移动 n 个单位：原数 +n ◦ 向左移动 n 个单位：原数 - n 4. 两类必考题型： ① 已知起点、移动方向距离，求终点数字； ② 已知终点、移动过程，反向求起点（逆向平移）。 【典例3】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【变式3-1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）数轴上点A、B、C的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点______，将点C向右移动6个单位长度得到点D，则点D表示的有理数是：______；将点D向左移动100个单位长度至点M，则点M表示的有理数是______； (2)在数轴上标出点T、H，其中点T、H分别表示有理数和1.5； (3)将，0，，1.5这四个数用“”号连接的结果是____________． 【变式3-2】（20-21七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ． (2)将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ． (3)将点B移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ． 【变式3-3】（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； ▌题型04 数轴上的规律探究 【典例4】（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式4-1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【变式4-2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 ▌题型05 化简多重符号 记忆口诀： 正号全丢掉，只数负号多少；负号偶数为正数，负号奇数变负号；几层括号不用慌，数完负号出答案。 【典例5】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京大兴·期中）化简：______． 【变式5-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简下列各数： (1)    ； (2)． ▌题型06 相反数的定义与性质 基础定义 1. 代数定义：只有符号不同的两个数，互为相反数。 2. 几何定义：数轴上位于原点两侧，到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。 3. 特殊：0 的相反数是 0（唯一相反数等于自身的数）。 4. 符号表示：a 的相反数记作 -a； -a 不一定是负数，a 可正、可负、可为0。 【典例6】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 【变式6-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【变式6-2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【变式6-3】（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为__________． ▌题型07 相反数的应用 【典例7】（2022·河北石家庄·一模）若a，b互为相反数，则（1）______；（2）当，则______． 【详解】∵a，b互为相反数，则（1）0， 故答案为：0． （2）∵，则0-a= -()=， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）绝对值大于3且小于5的所有整数的和是_____． 【变式7-2】（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 【变式7-3】（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为_____________． ▌题型08 绝对值的非负性 一、基础知识点 1. 绝对值定义：数轴上数a到原点的距离，记作|a|。 2. 非负性核心：距离不可能为负，因此 任意有理数的绝对值一定是正数或0，不可能是负数。 3. 特殊：|a|=0，只有0的绝对值等于0。 【典例8】（22-23七年级上·陕西西安·阶段检测）已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 【变式8-1】（22-23七年级上·山东潍坊·期中）（1）若，n的相反数是3，求m，n的值； （2）若，求． 【变式8-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【变式8-3】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有___________(填序号) ▌题型09 求一个数的绝对值 1. 几何定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，距离不会为负。 2. 代数分段法则（核心公式） 3. 关键结论：任何数的绝对值一定是非负数： 【典例9】（23-24六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 【变式9-1】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【变式9-2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【变式9-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． ▌题型10 绝对值的应用 【典例10】（2026·江苏无锡·二模）比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 【变式10-1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【变式10-2】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）若是实数，则的最小值为___． 【变式10-3】（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为__________． 编 号 体重情况 ▌题型11 有理数的大小比较 1. 数轴法：数轴上右边的数总大于左边的数。 2. 正负基本规则：正数＞0，0＞负数，正数＞负数。 3. 负数专属规则：两个负数比较，绝对值大的反而小。 【典例11】（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）用“”、“”或“”填空． ________，________ 【详解】解：∵，， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得 ； ∵， ∴． 【变式11-1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【变式11-2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）比较大小：（用“>”、“<”或“=”填空）． (1)2______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______0 (6)_______0 (7)如果，，则a_____b 【变式11-3】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）用“>”、“<”、“=”号填空 （1）__________1； （2）_____； （3）___________； （4）___________； （5）___________； （6）___________3.14． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 数轴、相反数、绝对值综合 （题型突破·举一反三） ▌题型01 用数轴上的点表示有理数 【典例1】 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 【变式1-1】 【答案】 ， 【详解】解：用数轴表示如下： ∴各数从小到大顺序排列为： 【变式1-2】 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 【变式1-3】 【答案】(1)数轴表示如图： (2) 【详解】（1）略 （2）解：由数轴可得，． ▌题型02 数轴上整点覆盖问题 【典例2】 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式2-1】 【答案】D 【分析】考查了数轴，理解整数的概念，能够结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解答本题的关键．结合数轴，知道墨迹盖住的范围有两部分，即大于小于，大于小于，写出其中的整数即可． 【详解】解：结合数轴得，第一部分盖住的整数有：，，，，， 第二部分盖住的整数有：，，，， 两部分一共盖住个整数， 故选：D． 【变式2-2】 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 【变式2-3】 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． ▌题型03 数轴上点的平移 【典例3】 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【变式3-1】 【答案】(1)A；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上平移计算，数轴比较数的大小． （1）根据数轴的意义，确定点；根据左减右加计算即可解答； （2）根据数的大小和符号两个方面去解答即可； （3）根据数轴上越靠近右边的数越大比较解答即可． 【详解】（1）解：表示有理数的点是点A， ∵点对应的有理数为1， ∴将点向右移动6个单位长度得到点，则点表示的有理数是； ∴将点向左移动100个单位长度得到点，则点表示的有理数是； 故答案为：A；；； （2）解：如图，点T，H即为所求； （3）解：将，，，这四个数用“”号连接的结果是． 故答案为：． 【变式3-2】 【答案】(1)，，3 (2)0 (3)或1 【分析】本题考查的是数轴上点所表示的数，数轴上点的平移，掌握平移规律：左减右加，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上点位置，确定相应的数值即可； （2）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行求解即可； （3）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：从数轴看，点A、B、C三点分别为：，，3， 故答案为：，，3； （2）解：将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是：， 故答案为：0； （3）解：将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 将点B向右移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 故答案为：或1． 【变式3-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； ▌题型04 数轴上的规律探究 【典例4】 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式4-1】 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式4-2】 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式4-3】 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． ▌题型05 化简多重符号 【典例5】 【答案】 【详解】解：． 【变式5-1】 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】 【答案】 【分析】本题主要考查多重符号的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键．根据多重符号的化简法则，负号的个数按照“奇负偶正”化简即可． 【详解】有三个负号， 化简结果为负， ． 故答案为：． 【变式5-3】 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型06 相反数的定义与性质 【典例6】 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 【变式6-1】 【答案】 / 【详解】解：（1）的相反数是； （2）的相反数是； （3）的相反数是． 【变式6-2】 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 【变式6-3】 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． ▌题型07 相反数的应用 【典例7】 【答案】 0 / 【分析】根据相反数的性质计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，则（1）0， 故答案为：0． （2）∵，则0-a= -()=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【变式7-1】 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和， ， 故答案为：． 【变式7-2】 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 【变式7-3】 【答案】2 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． ▌题型08 绝对值的非负性 【典例8】 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 【变式8-1】 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离）和相反数的定义（是只有符号不同的两个数互为相反数）求解即可； （2）根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∵n的相反数是3， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， 故． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性和相反数的定义，准确的计算是解决本题的关键． 【变式8-2】 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【变式8-3】 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键；因此此题可根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】解：对于说法①，由不是正数，得，即，所以a为非负数，说法正确； 对于说法②，由，得，又，故，从而，所以，说法正确； 对于说法③，，，故相等，说法正确； 对于说法④，由，得，所以x为非正数，原说法错误； 故答案为①②③． ▌题型09 求一个数的绝对值 【典例9】 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 【变式9-1】 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． 【变式9-2】 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式9-3】 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ▌题型10 绝对值的应用 【典例10】 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 【变式10-1】 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 【变式10-2】 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 【变式10-3】 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． ▌题型11 有理数的大小比较 【典例11】 【答案】 【分析】对于两个负数，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行比较，对于含绝对值的式子，先化简绝对值再比较大小． 【详解】解：∵，， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得 ； ∵， ∴． 【变式11-1】 【答案】 【分析】先对需要化简的数进行化简，再根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：（1），，且， ； （2），， ； （3）， ． 【变式11-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的规则． （1）利用“正数大于负数”直接比较． （2）先求绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较． （3）先通分，再求绝对值，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较． （4）先化简两个数，再根据“负数小于正数”比较． （5）先计算式子的值，再根据“负数小于0”比较． （6）根据“任何数乘以0都得0”直接判断． （7）先判断两个数的符号，再根据“负数小于正数”比较． 【详解】（1）∵正数大于负数， ∴， 故答案为：； （2），． ∵， 根据“两个负数，绝对值大的反而小”， ∴， 故答案为：； （3）． ，． ∵， ∴． 故答案为：； （4），． ∵负数小于正数， ∴． 故答案为：； （5） 负数小于0， ∴． 故答案为：； （6）因为任何数乘以0都得0， 所以， 即 故答案为：； （7）a中有3个负数相乘，结果为负，即，是负数． b中有2个负数相乘，结果为正，即，是正数． 负数小于正数，所以． 故答案为：； 【变式11-3】 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， （1）根据正数大于负数，可得答案； （2）根据正数大于负数，可得答案； （3）先化简多重符号，再比较大小即可； （4）根据负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案； （5）根据负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案； （6）根据正数大于负数，可得答案． 【详解】解：（1）1； （2）； （3），， ； （4）， ； （5）， ； （6）3.14． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 数轴、相反数、绝对值综合 （题型突破·举一反三） 题型01 用数轴上的点表示有理数 题型02 数轴上整点覆盖问题 题型03 数轴上点的平移 题型04 数轴上的规律探究 题型05 化简多重符号 题型06 相反数的定义与性质 题型07 相反数的应用 题型08 绝对值的非负性 题型09 求一个数的绝对值 题型10 绝对值的应用 题型11 有理数的大小比较 ▌题型01 用数轴上的点表示有理数 1. 数轴三要素：原点（0）、正方向（一般向右）、单位长度，三者缺一不可。 2. 对应关系：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点；数轴上的点不都代表有理数。 3. 正负分布：原点左侧：负数；原点右侧：正数；原点：数字0，既不是正数也不是负数。 4. 距离定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值。 5. 大小规则：数轴上右边的数永远大于左边的数。 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 【变式1-1】（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小． ，1，，3.5，，0 【答案】 ， 【详解】解：用数轴表示如下： ∴各数从小到大顺序排列为： 【变式1-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 【变式1-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 【答案】(1)数轴表示如图： (2) 【详解】（1）略 （2）解：由数轴可得，． ▌题型02 数轴上整点覆盖问题 一、解题步骤 1. 区分端点是否为整数； 2. 算出线段总长； 3. 判断最多/最少覆盖； 4. 代入对应公式计算。 二、速记口诀 两端整数加一，两端不取去一；一端整数中间数；给长度求最值，最多加一最少取整。 【典例2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式2-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了数轴，理解整数的概念，能够结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解答本题的关键．结合数轴，知道墨迹盖住的范围有两部分，即大于小于，大于小于，写出其中的整数即可． 【详解】解：结合数轴得，第一部分盖住的整数有：，，，，， 第二部分盖住的整数有：，，，， 两部分一共盖住个整数， 故选：D． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． ▌题型03 数轴上点的平移 一、基础知识点 1. 数轴规定：向右为正方向，向左为负方向。 2. 平移含义：数轴上的点左右移动，对应数字变大或变小。 3. 核心法则：右加左减 ◦ 向右移动 n 个单位：原数 +n ◦ 向左移动 n 个单位：原数 - n 4. 两类必考题型： ① 已知起点、移动方向距离，求终点数字； ② 已知终点、移动过程，反向求起点（逆向平移）。 【典例3】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【变式3-1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）数轴上点A、B、C的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点______，将点C向右移动6个单位长度得到点D，则点D表示的有理数是：______；将点D向左移动100个单位长度至点M，则点M表示的有理数是______； (2)在数轴上标出点T、H，其中点T、H分别表示有理数和1.5； (3)将，0，，1.5这四个数用“”号连接的结果是____________． 【答案】(1)A；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上平移计算，数轴比较数的大小． （1）根据数轴的意义，确定点；根据左减右加计算即可解答； （2）根据数的大小和符号两个方面去解答即可； （3）根据数轴上越靠近右边的数越大比较解答即可． 【详解】（1）解：表示有理数的点是点A， ∵点对应的有理数为1， ∴将点向右移动6个单位长度得到点，则点表示的有理数是； ∴将点向左移动100个单位长度得到点，则点表示的有理数是； 故答案为：A；；； （2）解：如图，点T，H即为所求； （3）解：将，，，这四个数用“”号连接的结果是． 故答案为：． 【变式3-2】（20-21七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ． (2)将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ． (3)将点B移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ． 【答案】(1)，，3 (2)0 (3)或1 【分析】本题考查的是数轴上点所表示的数，数轴上点的平移，掌握平移规律：左减右加，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上点位置，确定相应的数值即可； （2）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行求解即可； （3）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：从数轴看，点A、B、C三点分别为：，，3， 故答案为：，，3； （2）解：将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是：， 故答案为：0； （3）解：将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 将点B向右移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 故答案为：或1． 【变式3-3】（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； ▌题型04 数轴上的规律探究 【典例4】（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式4-1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式4-2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． ▌题型05 化简多重符号 记忆口诀： 正号全丢掉，只数负号多少；负号偶数为正数，负号奇数变负号；几层括号不用慌，数完负号出答案。 【典例5】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京大兴·期中）化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查多重符号的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键．根据多重符号的化简法则，负号的个数按照“奇负偶正”化简即可． 【详解】有三个负号， 化简结果为负， ． 故答案为：． 【变式5-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型06 相反数的定义与性质 基础定义 1. 代数定义：只有符号不同的两个数，互为相反数。 2. 几何定义：数轴上位于原点两侧，到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。 3. 特殊：0 的相反数是 0（唯一相反数等于自身的数）。 4. 符号表示：a 的相反数记作 -a； -a 不一定是负数，a 可正、可负、可为0。 【典例6】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 【变式6-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【答案】 / 【详解】解：（1）的相反数是； （2）的相反数是； （3）的相反数是． 【变式6-2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 【变式6-3】（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． ▌题型07 相反数的应用 【典例7】（2022·河北石家庄·一模）若a，b互为相反数，则（1）______；（2）当，则______． 【答案】 0 / 【分析】根据相反数的性质计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，则（1）0， 故答案为：0． （2）∵，则0-a= -()=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【变式7-1】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）绝对值大于3且小于5的所有整数的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和， ， 故答案为：． 【变式7-2】（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 【变式7-3】（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． ▌题型08 绝对值的非负性 一、基础知识点 1. 绝对值定义：数轴上数a到原点的距离，记作|a|。 2. 非负性核心：距离不可能为负，因此 任意有理数的绝对值一定是正数或0，不可能是负数。 3. 特殊：|a|=0，只有0的绝对值等于0。 【典例8】（22-23七年级上·陕西西安·阶段检测）已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 【变式8-1】（22-23七年级上·山东潍坊·期中）（1）若，n的相反数是3，求m，n的值； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离）和相反数的定义（是只有符号不同的两个数互为相反数）求解即可； （2）根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∵n的相反数是3， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， 故． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性和相反数的定义，准确的计算是解决本题的关键． 【变式8-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有___________(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键；因此此题可根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】解：对于说法①，由不是正数，得，即，所以a为非负数，说法正确； 对于说法②，由，得，又，故，从而，所以，说法正确； 对于说法③，，，故相等，说法正确； 对于说法④，由，得，所以x为非正数，原说法错误； 故答案为①②③． ▌题型09 求一个数的绝对值 1. 几何定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，距离不会为负。 2. 代数分段法则（核心公式） 3. 关键结论：任何数的绝对值一定是非负数： 【典例9】（23-24六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 【变式9-1】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． 【变式9-2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式9-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ▌题型10 绝对值的应用 【典例10】（2026·江苏无锡·二模）比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 【变式10-1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 【变式10-2】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）若是实数，则的最小值为___． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为__________． 编 号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． ▌题型11 有理数的大小比较 1. 数轴法：数轴上右边的数总大于左边的数。 2. 正负基本规则：正数＞0，0＞负数，正数＞负数。 3. 负数专属规则：两个负数比较，绝对值大的反而小。 【典例11】（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）用“”、“”或“”填空． ________，________ 【答案】 【分析】对于两个负数，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行比较，对于含绝对值的式子，先化简绝对值再比较大小． 【详解】解：∵，， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得 ； ∵， ∴． 【变式11-1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【答案】 【分析】先对需要化简的数进行化简，再根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：（1），，且， ； （2），， ； （3）， ． 【变式11-2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）比较大小：（用“>”、“<”或“=”填空）． (1)2______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______0 (6)_______0 (7)如果，，则a_____b 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的规则． （1）利用“正数大于负数”直接比较． （2）先求绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较． （3）先通分，再求绝对值，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较． （4）先化简两个数，再根据“负数小于正数”比较． （5）先计算式子的值，再根据“负数小于0”比较． （6）根据“任何数乘以0都得0”直接判断． （7）先判断两个数的符号，再根据“负数小于正数”比较． 【详解】（1）∵正数大于负数， ∴， 故答案为：； （2），． ∵， 根据“两个负数，绝对值大的反而小”， ∴， 故答案为：； （3）． ，． ∵， ∴． 故答案为：； （4），． ∵负数小于正数， ∴． 故答案为：； （5） 负数小于0， ∴． 故答案为：； （6）因为任何数乘以0都得0， 所以， 即 故答案为：； （7）a中有3个负数相乘，结果为负，即，是负数． b中有2个负数相乘，结果为正，即，是正数． 负数小于正数，所以． 故答案为：； 【变式11-3】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）用“>”、“<”、“=”号填空 （1）__________1； （2）_____； （3）___________； （4）___________； （5）___________； （6）___________3.14． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， （1）根据正数大于负数，可得答案； （2）根据正数大于负数，可得答案； （3）先化简多重符号，再比较大小即可； （4）根据负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案； （5）根据负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案； （6）根据正数大于负数，可得答案． 【详解】解：（1）1； （2）； （3），， ； （4）， ； （5）， ； （6）3.14． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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