2026年中考数学复习专题训练4 费马点与加权费马点问题

**基本信息** 聚焦费马点及加权费马点问题，通过15道题覆盖直角三角形、菱形等多图形，以旋转转化为核心，构建从基础到综合的题型体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础费马点|8题（如练习1-4）|含特殊角（30°/60°）的三角形、四边形中PA+PB+PC最小值|以旋转60°构造等边三角形为核心，利用两点之间线段最短转化线段和| |加权费马点|4题（如练习5、7）|含系数（√3/2等）的线段和最值|通过三角函数或相似转化加权线段，延续旋转转化思想| |综合应用|3题（如练习11、15）|结合折叠、旋转证明的动态问题|整合图形性质与费马点原理，体现知识迁移与逻辑推理|

专题训练4 费马点及加权费马点问题（共15题） 【练习1】(含特殊角的直角三角形中费马点问题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°,AB=2.若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC 的最小值为 。 【练习2】（含特殊角的菱形(等腰三角形)中费马点问题）如 图 ，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,AB=4, 连接BD, 点 P是 BD上的一个动点，连接PA,PC,则 PA+PB+PC 的最小值是 。 【练习3】(含特殊角的三角形中费马点问题）如图，ΔABC 中，∠ABC = 30° , AB = 4，BC = 5，P 是 ΔABC 内部的任意一点，连接 PA，PB，PC，则PA + PB + PC 的最小值为 ． 【练习4】（正方形中费马点问题）如图，点P 在边长为 2 的正方形ABCD 内，连结PA、PB、PC，则PA + PB + PC 的最小值为 . 【练习5】(等边三角形中的加权费马点问题）在等边三角形ABC 中，边长为4，P 为三角形ABC 内部一点，求AP + BP + PC 的最小值． 【练习6】(含特殊角的菱形(等腰三角形)中费马点问题）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示，若∠a=30°, 则对角线BD上的动点P到A,B,C 三点距离之和的最小值是 。 【练习7】(含特殊角的三角形中加权费马点问题）在 △ABC 中，BC 为 4 ，AC = ，∠ACB = 45 ° , P 为三角形 ABC 内部一点，求 AP + BP + PC 的最小值． 【练习8】(等边三角形中费马点问题）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点,已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中， 当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若点P是边长为6的等边三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= . 【练习9】(有特殊角的三角形中加权费马点问题）在 △ABC 中，BC 为 6，AC = 4，∠ACB = 30° , P 为 △ABC 内部一点，求AP + BP PC 的最小值 (求 3 AP + BP + 5PC 的最小值)． 【练习10】(已知边长的三角形中费马点问题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC 是锐角(或直角)三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足∠APB= ∠BPC=∠CPA=120° . (例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点).若AB=AC=,BC=,P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ; 若AB=,BC=2,AC=4,P 为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= 。 【练习11】(直角三角形中费马点问题）如图 ，在Rt△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC,点D是BC边上一动点，连接AD,把 AD绕点A 逆时针旋转90°,得到AE,连接CE 、DE. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AB=,DE=时，求BD的长； (3)在点D 运动的过程中，线段AD上存在一点P, 使PA+PB+PC 的值最小，设AP的长为m,直接写出PA+PB+PC的最小值(用含m 的式子表示) 备用图 【练习12】(含特殊角的菱形(等腰三角形)中费马点问题）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°,对角线AC平分∠BAD,点P是△ABC 内一点，连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于 。 【练习13】(矩形中与折叠有关的加权费马点问题）如图，矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 是 AB 的中点，点F 是BC 边上一动点．将 ABEF 沿着EF 翻折，使得点B 落在点B′ 处，若点P 是矩形内一动点，连接PB、PC、PD，则PB′ + PC + PD 的最小值为 ． 【练习14】(含特殊角的三角形中费马点问题）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔 ·德 · 费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A 、B 、C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BDE,连接PD,可得△BPD为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC 的最小值与线段AE的长度相等。 【解决问题】如图2,在直角三角形ABC 内部有一动点P,∠BAC=90°, ∠ACB=30°,连接PA,PB,PC,若 AB=3,求 PA+PB+PC的最小值 。 【练习15】(三角形中与旋转有关的费马点问题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点) 当 ΔABC 的三个内角均小于 120° 时， 如图 1，将 ΔAPC 绕点 C 顺时针旋转 60° 得到 △A′P′C，连接PP′， 由 PC = P ′ C，∠PCP′ = 60° ,可知 ΔPCP′ 为 三角形，故 PP′ = PC，又 P′A′ = PA，故 PA + PB + PC = P′A′ +PB + PP′ ≥ A′B， 由 可知，当B，P，P′，A′ 在同一条直线上时，PA + PB + PC 取最小值，如图 2，最小值为 A′B，此时的P 点为该三角形的“费马点”， 且有 ∠APC = ∠BPC = ∠APB = ； 已知当 ΔABC 有一个内角大于或等于 120° 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若 ∠BAC ≥ 120° ,则该三角形的“费马点”为 点． (2)如图 4，在 ΔABC 中，三个内角均小于 120° ,且 AC = 3，BC = 4，∠ACB = 30° ,已知点P 为 ΔABC 的“费马点”，求PA + PB + PC 的值； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练4 费马点及加权费马点问题（共15题） 【练习1】(含特殊角的直角三角形中费马点问题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°,AB=2.若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC 的最小值为 。 答案： 【练习2】（含特殊角的菱形(等腰三角形)中费马点问题）如 图 ，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,AB=4, 连接BD, 点 P是 BD上的一个动点，连接PA,PC,则 PA+PB+PC 的最小值是 。 答案： 【练习3】(含特殊角的三角形中费马点问题）如图，ΔABC 中，∠ABC = 30° , AB = 4，BC = 5，P 是 ΔABC 内部的任意一点，连接 PA，PB，PC，则PA + PB + PC 的最小值为 ． 答案： 【练习4】（正方形中费马点问题）如图，点P 在边长为 2 的正方形ABCD 内，连结PA、PB、PC，则PA + PB + PC 的最小值为 . 答案： 【练习5】(等边三角形中的加权费马点问题）在等边三角形ABC 中，边长为4，P 为三角形ABC 内部一点，求AP + BP + PC 的最小值． 答案： 【练习6】(含特殊角的菱形(等腰三角形)中费马点问题）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示，若∠a=30°, 则对角线BD上的动点P到A,B,C 三点距离之和的最小值是 。 答案： 【练习7】(含特殊角的三角形中加权费马点问题）在 △ABC 中，BC 为 4 ，AC = ，∠ACB = 45 ° , P 为三角形 ABC 内部一点，求 AP + BP + PC 的最小值． 答案： 【练习8】(等边三角形中费马点问题）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点,已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中， 当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若点P是边长为6的等边三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= . 答案： 【练习9】(有特殊角的三角形中加权费马点问题）在 △ABC 中，BC 为 6，AC = 4，∠ACB = 30° , P 为 △ABC 内部一点，求AP + BP PC 的最小值 (求 3 AP + BP + 5PC 的最小值)． 答案： 【练习10】(已知边长的三角形中费马点问题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC 是锐角(或直角)三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足∠APB= ∠BPC=∠CPA=120° . (例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点).若AB=AC=,BC=,P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ; 若AB=,BC=2,AC=4,P 为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= 。 答案：5， 【练习11】(直角三角形中费马点问题）如图 ，在Rt△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC,点D是BC边上一动点，连接AD,把 AD绕点A 逆时针旋转90°,得到AE,连接CE 、DE. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AB=2√2,DE=时，求BD的长； (3)在点D 运动的过程中，线段AD上存在一点P, 使PA+PB+PC 的值最小，设AP的长为m,直接写出PA+PB+PC的最小值(用含m 的式子表示) 备用图 答案：（1）证明略 （2） BD=1或3； （3） 【练习12】(含特殊角的菱形(等腰三角形)中费马点问题）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°,对角线AC平分∠BAD,点P是△ABC 内一点，连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于 。 答案： 【练习13】(矩形中与折叠有关的加权费马点问题）如图，矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 是 AB 的中点，点F 是BC 边上一动点．将 ABEF 沿着EF 翻折，使得点B 落在点B′ 处，若点P 是矩形内一动点，连接PB、PC、PD，则PB′ + PC + PD 的最小值为 ． 答案： 【练习14】(含特殊角的三角形中费马点问题）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔 ·德 · 费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A 、B 、C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BDE,连接PD,可得△BPD为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC 的最小值与线段AE的长度相等。 【解决问题】如图2,在直角三角形ABC 内部有一动点P,∠BAC=90°, ∠ACB=30°,连接PA,PB,PC,若 AB=3,求 PA+PB+PC的最小值 。 答案： 【练习15】(三角形中与旋转有关的费马点问题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点) 当 ΔABC 的三个内角均小于 120° 时， 如图 1，将 ΔAPC 绕点 C 顺时针旋转 60° 得到 △A′P′C，连接PP′， 由 PC = P ′ C，∠PCP′ = 60° ,可知 ΔPCP′ 为 三角形，故 PP′ = PC，又 P′A′ = PA，故 PA + PB + PC = P′A′ +PB + PP′ ≥ A′B， 由 可知，当B，P，P′，A′ 在同一条直线上时，PA + PB + PC 取最小值，如图 2，最小值为 A′B，此时的P 点为该三角形的“费马点”， 且有 ∠APC = ∠BPC = ∠APB = ； 已知当 ΔABC 有一个内角大于或等于 120° 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若 ∠BAC ≥ 120° ,则该三角形的“费马点”为 点． (2)如图 4，在 ΔABC 中，三个内角均小于 120° ,且 AC = 3，BC = 4，∠ACB = 30° ,已知点P 为 ΔABC 的“费马点”，求PA + PB + PC 的值； 答案：（1）等边；两点之间线段最短；120°；A （2）5 学科网（北京）股份有限公司 $