25.3实际问题与一元二次方程（分层作业，11大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 三级分层设计，覆盖一元二次方程应用全场景，从基础建模到动态几何综合，适配新授课分层教学需求 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|传播、增长率、握手问题|基础题型为主，强化等量关系建模，培养模型意识与运算能力| |B组|图形、营销、工程等综合应用|多情境题型设计，结合实际问题提升推理意识与应用意识| |C组|动态几何问题|动点与面积综合题，发展空间观念与创新意识|

分层作业 25.3 实际问题与一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 传播问题(一元二次方程的应用) 题型02 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型03 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） B组 能力进阶 题型01 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型02 数字问题(一元二次方程的应用) 题型03 营销问题(一元二次方程的应用) 题型04 工程问题(一元二次方程的应用) 题型05 行程问题(一元二次方程的应用) 题型06 图表信息题(一元二次方程的应用) 题型07 其他问题(一元二次方程的应用) C组 思维拔高 题型 动态几何问题(一元二次方程的应用) 传播问题(一元二次方程的应用)题型01 1．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北·月考）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 3．2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 5．（25-26九年级上·甘肃·月考）有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 增长率问题(一元二次方程的应用)题型02 1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）电影《南京照相馆》讲述了南京大屠杀期间，一群普通百姓在照相馆避难时意外发现日军暴行罪证，并冒险保存和传递底片以揭露历史真相的动人故事，年月日首映，一上映就获得全国人民的追捧．据某平台统计，该电影上映后，第一天的票房收入约亿元，到了第三天，累计票房收入达亿元，求开始上映到第三天票房的日平均增长率．若设票房的日平均增长率，则符合题意的方程是________． 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）题型03 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了10场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东江门·月考）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有_____个队参赛． 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)题型01 1．（2025·辽宁锦州·三模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（    ） A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用木栏围成，木栏长，当长为_________米时，鸡场的面积为 5．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为___________． 数字问题(一元二次方程的应用)题型02 1．（25-26八年级·山东淄博·期中）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 3．已知正实数a，b，c满足．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·联考）小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 营销问题(一元二次方程的应用)题型03 1．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（    ） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）福鼎市是国内栀子原料林面积最大、总产量最多的药用栀子产区和栀子果交易集散地．黄栀子鲜果收购价为每千克16元，按每千克元销售，每天可售出5000千克．为提升销量，收购商考虑采取降价措施，当售价每千克降低元时，_____，为了实现平均每天2600元的销售利润，则每千克黄栀子鲜果的售价应定为多少元？设每千克黄栀子鲜果的售价为元，可列出符合题意的方程为，根据已有信息，题中横线部分缺失的条件是（    ） A．每天销量可增加15000千克 B．每天销量可增加1500千克 C．每天销量可增加150千克 D．每天销量可增加15千克 4．（24-25九年级上·北京·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 ________． 5．随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为_____元． 工程问题(一元二次方程的应用)题型04 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 2．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资. 2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2. （1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？ （2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数. 4．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 5．阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 行程问题(一元二次方程的应用)题型05 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 3．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 4．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 5．（24-25九年级上·湖南·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 图表信息题(一元二次方程的应用)题型06 1．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 2．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 3．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 5．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 其他问题(一元二次方程的应用)题型07 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2．2022年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现组有支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）某校生物兴趣小组在一次研究植物生长结构的实践活动中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物共有_________个小分支． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了_______行． 动态几何问题(一元二次方程的应用)题型 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 2．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 3．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为__________． 5．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.3 实际问题与一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 传播问题(一元二次方程的应用) 题型02 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型03 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） B组 能力进阶 题型01 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型02 数字问题(一元二次方程的应用) 题型03 营销问题(一元二次方程的应用) 题型04 工程问题(一元二次方程的应用) 题型05 行程问题(一元二次方程的应用) 题型06 图表信息题(一元二次方程的应用) 题型07 其他问题(一元二次方程的应用) C组 思维拔高 题型 动态几何问题(一元二次方程的应用) 传播问题(一元二次方程的应用)题型01 1．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖北·月考）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 3．2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据转发规则，从小昆开始，第一轮他邀请x人，第二轮第一轮被邀请的x人每人再邀请x人，故两轮后总人数为小昆自己、第一轮被邀请者和第二轮被邀请者之和，即，据此列方程． 【详解】解：设每人转发x人， ∵第一轮后人数为（小昆及第一轮被邀请者）， ∵第二轮新增人数为（第一轮被邀请者每人邀请x人）， ∴两轮后总人数为， ∴方程为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·甘肃·月考）有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意两轮传染后患流感的人数为总共患流感的人数．先列出一轮传染后患流感的人数，再根据一轮后患流感的人数写出二轮传染的人数的代数式，两者相加等于64即可． 【详解】解：设每轮传染中一个人平均传染x个人，则一轮传染后患流感的人数为， 则二轮传染后患流感的人数为： 故答案为：． 增长率问题(一元二次方程的应用)题型02 1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 设该厂八、九月份平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由八、九两月共生产146万个列出方程即可． 【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，． 故选：D． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长率规律列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次为人次， 可列方程为． 4．（2025·江苏南通·一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系，是解题的关键．根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为： ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）电影《南京照相馆》讲述了南京大屠杀期间，一群普通百姓在照相馆避难时意外发现日军暴行罪证，并冒险保存和传递底片以揭露历史真相的动人故事，年月日首映，一上映就获得全国人民的追捧．据某平台统计，该电影上映后，第一天的票房收入约亿元，到了第三天，累计票房收入达亿元，求开始上映到第三天票房的日平均增长率．若设票房的日平均增长率，则符合题意的方程是________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设票房的日平均增长率，根据题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设票房的日平均增长率， 根据题意得，， 故答案为：． 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）题型03 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了10场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这次参加比赛的球队个数为个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了10场比赛”，列出关于的一元二次方程，解之即可．正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为个， 根据题意得：， 解得：（舍去），（舍去）， 即这次参加比赛的球队个数为5个， 故选：B． 2．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 3．（25-26九年级上·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系列方程．若设参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛，则总比赛场数为，即可列出方程． 【详解】解：∵参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 又∵总场数为， ∴可列方程为 ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东江门·月考）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有_____个队参赛． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛． 故答案为：8． 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)题型01 1．（2025·辽宁锦州·三模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 2．如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（    ） A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m 【答案】D 【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程． 【详解】解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m， 根据题意得：π（x+5）2=2πx2， 解得，x=5+5或x=5﹣5（不合题意，舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的面积计算及一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 4．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用木栏围成，木栏长，当长为_________米时，鸡场的面积为 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程与几何面积的计算，根据题意，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：设，则， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 5．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为___________． 【答案】x（16-2x）=30 【分析】先根据篱笆的总长求出生物园的长，再根据长方形的面积公式即可得． 【详解】由题意得：生物园的长为 则由长方形的面积公式得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确求出生物园的长是解题关键． 数字问题(一元二次方程的应用)题型02 1．（25-26八年级·山东淄博·期中）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程． 【详解】解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为， ∴根据题意，可得方程． 2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 【答案】D 【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），根据两数之积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1）， 根据题意得：x（x+1）＝12， 解得：x1＝3，x2＝﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．已知正实数a，b，c满足．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意及不等式性质即可判断①；结合不等式性质即可判断②；根据题意得出a，c之间共有个或个整数，分三种情况：当时，当时，当时，分别根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵正实数a，b，c满足（均不为整数）， ∴，故①正确； ②， ∴， ∴a，c之间共有个或个整数，故②错误； ∵若（k为正整数），，， ∴当时， a，c之间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，， b，c之间的个整数为，，，， ， 或． 当a、c上有个整数，，无整数解． 当时，a、c间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，，， ， 或， 当，a、c间有个整数时， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，，， b，c之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ，故③错误； 故选：B． 4．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【答案】23 【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·联考）小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即； 故答案为． 营销问题(一元二次方程的应用)题型03 1．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【详解】解：设每件服装降价x元，根据题意，得： （44-x）（20+5x）=1600， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（    ） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据小安的设元方法和小溪的设元方法结合题意可依次排除选项． 【详解】解：A、按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； B、按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； C、按小安的设元方法，应列方程为，故原说法错误； D、按小溪的设元方法，应列方程为，故原说法正确； 故选D． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）福鼎市是国内栀子原料林面积最大、总产量最多的药用栀子产区和栀子果交易集散地．黄栀子鲜果收购价为每千克16元，按每千克元销售，每天可售出5000千克．为提升销量，收购商考虑采取降价措施，当售价每千克降低元时，_____，为了实现平均每天2600元的销售利润，则每千克黄栀子鲜果的售价应定为多少元？设每千克黄栀子鲜果的售价为元，可列出符合题意的方程为，根据已有信息，题中横线部分缺失的条件是（    ） A．每天销量可增加15000千克 B．每天销量可增加1500千克 C．每天销量可增加150千克 D．每天销量可增加15千克 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，结合方程即可得到答案． 【详解】解：设每千克黄栀子鲜果的售价为元， 可列出符合题意的方程为， 由知降价额，再由即可得到当售价每千克降低元时，每天销量可增加1500千克， 故选：B． 4．（24-25九年级上·北京·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 ________． 【答案】20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则销售量为件，再由利润单价利润销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 由题意得，， 整理得：或， ∵要扩大销售量，增加盈利， ∴应该降价20元， 故答案为：20元． 5．随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为_____元． 【答案】55 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件售价应定为x元， 根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， 答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为55元． 故答案为：55． 工程问题(一元二次方程的应用)题型04 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 2．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 3．某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资. 2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2. （1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？ （2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数. 【答案】（1）36；（2）35亿元；（3）50% 【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案． （2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案． （3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得． 【详解】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）； （2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元， 根据题意，得：， 解得：， ∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元； （3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元， 设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y， 由题意，得：20（1﹣y）2=5， 解得：y1=0.5，y2=1.5（舍） 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键. 4．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 5．阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【分析】（1）根据题意，由公式来计算等差数列的和，即可得到答案； （2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ，，， ∵， ∴； （2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 1200x+×400＝25200， 整理得：（x﹣9）（x+14）＝0， ∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）． ∴2009+9-1=2017； 答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题． 行程问题(一元二次方程的应用)题型05 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 2．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 3．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 4．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 图表信息题(一元二次方程的应用)题型06 1．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 2．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 3．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 5．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】 （1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）略 （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 其他问题(一元二次方程的应用)题型07 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次打折后的售价为元，则第二次打折后的售价为元，据此列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．2022年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现组有支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．利用小组内比赛的总场数球队支数球队支数，即可得到关于的一元二次方程，得到答案． 【详解】解：根据题意：小组内比赛的总场数球队支数球队支数， 即． 故选C． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）某校生物兴趣小组在一次研究植物生长结构的实践活动中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物共有_________个小分支． 【答案】49 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可． 【详解】设这种植物每个支干长出x个小分支，则 即 解得：（舍去） 这种植物共有个小分支． 故答案为： 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了_______行． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据“增加的人数变化后的方阵人数-原方阵人数”列出方程求解． 设增加了行，根据人数变化关系列方程，求解符合实际意义的解． 【详解】解：设增加了行，因为增加的行数．列数相同，所以增加后方阵为行列． 原方阵人数为人，加入30人后总人数为人， 因此列方程：， 解得或（行数不能为负，舍去）， 故增加了3行． 故答案为：3． 动态几何问题(一元二次方程的应用)题型 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 2．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 3．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 4．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为__________． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意分在的左侧和右侧，分类讨论，分别画出图形，设，根据的面积是10，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在矩形中，，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 当在点的左侧时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 如图，当在点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 当点在的右侧时，不合题意； 综上所述，或, 故答案为：2或． 5．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $