精品解析：河北省衡水市第二中学2027届高三上学期开学检测数学试题

高三年级开学检测 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值不等式及一元二次不等式求出集合，，结合集合的交集运算求解即可. 【详解】或，， 所以． 2. 设等比数列的前三项依次为，则它的第四项是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出公比，再应用等比数列通项公式计算求解. 【详解】设等比数列公比为， ． 故选：A. 3. 设在可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极限的定义求解． 【详解】， 故选：D． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以 ． 5. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决. 【详解】因为， 所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：C 7. 已知等差数列的公差为，前项和为．若，，则下列结论中不正确的是（ ） A. 的图象是关于的开口向上的抛物线上的一些点 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法求出首项和公差后求出判断A，计算后判断BD，根据等差数列的性质可判断C. 【详解】由得解得 对于A，的图象是关于的开口向上的抛物线上的一些点，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，数列是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 8. 若函数在区间上恰有条对称轴，则正整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用转化与化归的思想，将函数化归为函数，结合函数的图象即可解决问题． 【详解】 因为且，所以，即， 因为函数在区间上恰有条对称轴，由函数的图象可知，化简得， 所以正整数的取值集合为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数，复合函数的导数公式及导数的四则运算法则分别对各选项求导即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故错误； 因为，故D正确． 10. 已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，得， 所以， 令， 解得， 令得，A正确， 令得，C正确， 令得，D正确. 11. 已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列，公比为3 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意构造可得，即，据此可判断A；由等比数列的通项公式可得B；由B可得，然后求和即可判断C；由，结合等比数列求和公式即可判断D． 【详解】因为，所以， 令，则， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，故A正确； 由A可知，所以，所以，故B正确； 由B可知，所以， 所以数列的前项和为，故C错误； 因为， 所以数列的前项和为 ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是___________． 【答案】 【解析】 【详解】命题“”的否定为：“”． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式求解． 【详解】 14. 当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式可变形为；构造函数，根据导数与单调性的关系进一步转化为；参变分离得到，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】当，时，不等式恒成立可化为当，时，恒成立， 即当，时，恒成立． 设，则恒成立，所以函数单调递增， 所以，即． 设函数，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，解得. 故的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为，集合，，. （1）求； （2）若是的子集，求实数的取值范围； （3）若集合的真子集有且仅有个，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得集合，再根据补集定义直接在实数集中求补集，得出答案； （2）需分集合为空集和不为空集两种情况讨论，利用子集的定义列出端点满足的不等式组，求解后再求并集即可； （3）根据集合有且仅有个真子集可知恰好有3个元素（由得），结合补集范围和为整数集得出这三个整数只能为、、，从而建立不等式，解出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以或. 【小问2详解】 当，即时，，故，符合题意； 当，即时，，此时，不符合题意； 当，即时， 要使得，需使，解得． 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题可知，集合有且仅有个元素，则集合中的元素为、、， 所以，解得，故实数的取值范围是． 16. 已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数. (Ⅰ)求的表达式; (Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. 【答案】； 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导，由已知得，根据奇函数的定义建立方程，解之可求得函数的解析式； (Ⅱ)由(Ⅰ)得，求导，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求出在区间上的最大值和最小值. 【详解】解：(Ⅰ)由题意得，因此， 因为函数是奇函数，所以，即对任意实数x，有， 从而，解得因此的解析式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)得所以令解得， 则当或时，，从而在区间，上是减函数， 当时，，从而在区间上是增函数， 所以在区间上的最大值为而， 因此在区间上的最小值. 17. 已知函数（）的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数的最小值，并求取得最小值时的取值集合． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等公式化简函数式，再代入最小正周期公式，求出得出解析式； （2）通过整体代换法，令相位落在正弦函数的单调递增区间内，解不等式求出的范围即得答案； （3）根据正弦函数有界性，直接令，求出最小值为，并解方程得到的取值集合. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为， 所以，所以， 所以． 【小问2详解】 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为 【小问3详解】 因为，所以， 当时，， 此时，即， 所以取得最小值时的取值集合为． 18. 已知满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）已知数列的前项和为，证明：. 【答案】（1），两边同时乘以得， 令， ，变形得， 又， ， ， ，明显有， 数列为等比数列； （2）由（1）得， 则， 所以， 两式相减得： ， ，明显， . 【解析】 【分析】（1）将递推式变形为，然后令，利用待定系数法求出，进而可得，根据数列通项公式可得结论； （2）利用错位相减法求出，然后观察可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）若函数在单调增，求实数a的取值范围： （2）当时，，求实数a的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知：对恒成立， 令，， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）函数在某区间单调递增，可通过其导数在该区间大于等于0恒成立来求解参数范围； （2）要根据函数在给定区间的取值情况确定参数值，需结合函数的单调性等性质进行分析； （3）证明不等式需要利用前面得到的函数性质以及一些常见的放缩技巧变形，结合裂项求和即可. 【小问1详解】 据题意：，， 则当时，，则在单调减，所以， 由于在单调增，则恒成立，即，故． 【小问2详解】 下面证明：当时，恒成立，此时， 由（1）知，当时，，符合； 当时：，， ，则在单调增，由于， ，则存在使，则，即在单调减，，即在单调增，又，，所以对恒成立，即在单调减，故．、 综上，． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，经常将第一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级开学检测 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设等比数列的前三项依次为，则它的第四项是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设在可导，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 已知等差数列的公差为，前项和为．若，，则下列结论中不正确的是（ ） A. 的图象是关于的开口向上的抛物线上的一些点 B. C. 数列是等差数列 D. 8. 若函数在区间上恰有条对称轴，则正整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列，公比为3 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是___________． 13. 已知，则___________． 14. 当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为，集合，，. （1）求； （2）若是的子集，求实数的取值范围； （3）若集合的真子集有且仅有个，求实数的取值范围． 16. 已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数. (Ⅰ)求的表达式; (Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. 17. 已知函数（）的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数的最小值，并求取得最小值时的取值集合． 18. 已知满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）已知数列的前项和为，证明：. 19. 已知函数，． （1）若函数在单调增，求实数a的取值范围： （2）当时，，求实数a的值； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $