河北省沧州市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学参考答案及解析 GS01 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D C B C B D C ABD BCD AD 1.A【解析】因为a+3i=i(b-2i)=2+bi,所以a=2,b=3,故选A 2.D【解析】令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>0>c>d,此时a-b=1,c-d=1,a-b=c-d, 故A错误；此时ac=一2，bd=-2,ac=bd,故B错误；此时a=),b2=1,a<,故C错误；因为a> 6>0>c>d,所以<名→后>台，由不等式的同向相加性质可知1+台<a+后，故D正确放选D 3.C【解析】首先从4个人中选出2个人作为一组，有C种选法，再将这一组与其余2人排到3场主题讲 座中，有A种排法，故不同安排方案有C·A=36种.故选C. 4.B【解析】由x2-6x+5=(x-1)(x-5)≤0，解得1≤x≤5，则A=[1,5],由“x∈A”是“x∈B”的充分 条件，可得A∈B,又B-{xx2-mx+4>0},故x2-mx十4≥0在[1,5]上恒成立，即m≤x+4在[1， 5止恒成立，而x+≥22·-4，当且仅当x=1,即x一2时等号成立，放m≤4，即实数m的取值 范围为(-∞，4].故选B. 5.C【解析】因为a,b为单位向量，所以a=|b|=1. 12a+b=3两边平方，可得2a十b?=4a+4a·b+b12=3,解得a·b=一2 而1a-b1=a-b2=1a-2a·b+1b=12-2x(-2)+12=3, 1a+2b1=√a+2b=√1a+4a…b+4b=√12+4X(-2）+4×12=3, a-b).a+26)=1a1+ab-2b1=+(》-2x1=-是 设向量a-b与a十2b的夹角为0,0∈[0，]，则cos0=（a-b）:(a+2b) ab1·a+26V3x32,所以0- 3 即向量a-b与a+2b的夹角为故选C 6.B【解析】直线l被圆x2十y2=1截得的弦长为√2，则 1 0T4sm2.号即cos0+4sim0-2 3c0s02 结合cos20+sin0=1,可得sin20= ,所以cos0 sin 0 士2， 设直线！的斜率为6则=一号=±号放选B 高三数学参考答案第1页（共8页） 7.D【解析】如图，在平面ABC内，过点O作DE∥AC,分别交AB,BC于点D,E,分别取B1C1,A1B1的 中点K,L,则当点M∈KL时，有OM/平面ACC1A1. B 证明如下：由K,L分别为B1C1,A1B1的中点得KL∥A1C1, 又由于在正三棱台ABC-A1B1C1中，DE∥AC,A1C1∥AC, 所以KLDE,所以D,E,K,L四点共面， 又因为2AC=3A,C,点0为重心，所以CE-}BC=3×B,C-BC=CK=1, 又由正三棱台ABC-A1B,C的性质知CE/C1K, 故四边形CEKC1为平行四边形，故EKCC1, 因为EK中平面ACC1A1,CC1C平面ACC1A1,所以EK平面ACC1A1, 同理得DE/平面ACC1A1, 因为DE∩EK=E,DE,EKC平面DEKL,所以平面DEKL/平面ACC1A1, 所以当点M∈KL时，OMC平面DEKL,所以OM平面ACC1A1， 在梯形DEKL中，有KL=方AC,=1,DE=号AC=2,DL=EK=AA=2, 所以四边形DEKL是上、下底长分别为1和2，腰长为2的等腰梯形， 由等腰梯形性质得该等樱梯形的高为，2-(，-。 29 所以0=0一《四-(-2原0M长成伦家位德为侣，，益盗 8.C【解析】对于A,令x=y=0,得f(0)=0,故A正确； 对于B,令y=-x,得f(x)十f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),∴.f(x)在(-1,1)上是奇函数， 故B正确； 对于C,任取x1,x2∈（-1,1)，且-1<x1<x2<1,则-x2∈(-1,1)， -f,)=f+-=原》 -1<x1<x2<1,∴1-1xz>0,212<0. 1-x1x2 又瓷1中110十-0-1二 1-x1x2 1一x1x2 .当x∈(0,1)时，f(x)<0,f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数. 当xe(-10时，f)>0f(）>0,即f)f>0,即f>f,fx)在 (-1,1)上单调递减，故C错误； 高三数学参考答案第2页（共8页） 对于D,:fx+1)+f(1z)>0,且f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数， fx+1>-f已)=f(是) -1<x+1<1, :f(x)的定义域为-1,1且在(-1,1D上单调递减，-1<号 <x-1<1解得-2<x<-2, +1 .不等式的解集为（一2，一√2），故D正确.故选C. 9.ABD【解析】将该组数据按从小到大顺序排列：8,10,20,30,38,38. 对于A,极差为38一8=30，故A正确； 对于B,平均数为8+10+20+30+38+38=24，故B正确， 6 对于C,方差为日[8-20+10-20+20-20P+(30-202+(8-20+8-20门-售故C错误： 对于D,上四分位数为75%分位数，因为6×75%=4.5，所以上四分位数为第5个数据，即为38，故D正确. 故选ABD. 10,BCD【解】设该函数的最小正周期为T,则有T-无-晋-()>w=1,即fx)=Aanx十p, 由函数的图象可知晋十g=乏+kxk∈D,即g=5+xk∈2)，又0<g<,所以p=子，所以fx)= Atan(+）, 由图象可知f(0)=Atan弩=23→A=2,故A错误； 对于B.1x)=2ax+）,令x+晋-经k∈D,解得红=吾+经ck∈0， 即了)图象的对称中心为(-吾+，o∈，B正确； 1头3 对于C,f(8)=2tan(8+5)=2an(年+）=2X, 3 =2X =4十2√3，故C正确； -tanan 对于D,当f(x)≤0时，f(x)+|f(x)|=f(x)-f(x)=0,此时f(x)+|f(x)|≥43无解， 当fx)=2an(c+）>0时，有&n<x+子<受+xeD, 由fx)+f)1=2f(x)=4tan(c+）≥43，可得a(x+)≥3， 则写十k≤x十子<受十kπ便∈刀，解得kx≤x<晋+x便∈D, 故不等式fx)+f(x)≥43的解集为k,答+mh∈D,D正确故选BCD, 高三数学参考答案第3页（共8页） 11.AD【解析】对于A,由2f(x)十f'(x)=2得2f(0)+f'(0)=2,又f(0)=0,所以f'(0)=2,所以曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=2x,A正确； 由于[e2f(x)-e2x]'=2e2xf(x)+e2xf'(x)-2e2=e2r[2f(x)+f'(x)-2]=0,所以e24f(x)-e2x= Cc为常数，则f)又f0)==0,解得c=-1,所以r)=e e2x· 对于B,F(r)=efr)F(-xe。=一F(x),且F(x)定义为R,放F()月 e ef(x)为奇函数，B错误； 对于C由ec)是0可得产f)-3<0,又了)-，放e产-4长0解得<h2,放心 错误； 对于D,易知函数)一-1-二为单调递增而数，而函数)一：0)产的图象为开口向上，且对 称轴为x=a的抛物线，在同一直角坐标系中，作出函数y=f(x)与y=(x一a)2的图象，如图所示，易 知方程f(x1)=(x一a)2的一个根为x1,设另一个根为x2',由图可知x1十x2'=2a,且x1<a<x2'< x2,所以x1十x2>2a,D正确.故选AD. y=(x-a)2 y=f(x) O 1x2 x=a 12【塔刻5 【解析】由题意，得 =6+c'即a=ac十，又=且0<6<1，则e+e-1=0,解得e-52 \b2=ac, 2 即精过的离心率为5.1放答案为5 2 1 3n1 13.【答案】 4 (4n21n≥2 【解折1因为S.+2T.=1a∈N).所以+2T,=1m≥2n∈N).即1.+27.。=T.1n≥2 a∈N.),即只。-2a≥2wEN,所以层是公差为2的等差数列 1 1 为$+2T=1,即3S1,解得S3所以元-5，=3，所以73+(m一D×2=2十 所以T.-2中7所以S.=1-2T.- 1 2n+1' 2n-12(n-1)-1_4 当n≥2时，a.=Sn-Sa-1-2n+12(n-1)+14n2-1' 高三数学参考答案第4页（共8页） 1 3n=1, 当n=1时，a1=S1=3,不符合上式，所以a。= 4 (4n2-1,n≥2. 3n=1, 故答案为 4 (4n2-1n≥2. 14【省累停wa) 【解析】由正弦定理及c=2 acos A,得sinC=2 sin Acos A=sin2A,A,C∈(0，π)， 所以C=2A或C+2A=π，而A十B+C=π，且a>b,即A>B, 0<A+C=3A<π， 所以C=2A,且 B=π-3A<A, 即<A<行， 4 .'.sin B+sin A=sin 3A+sin A=sin Acos 2A+cos Asin 2A+sin A =sin A(1-2sin2A)+2cos2Asin A+sin A=sin A-2sin3A+2(1-sin2A)sin A+sin A =-4sin3A+4sin A, 令=smA∈经，》则f)=-+, 所以)=-12+4=一12(-号》<0则fe)在号9）)上单调递减。 所以了<图）=-4x图)'+4x2-)>慢》=-4x）°+4x- 则si血B十snA的取值范围为停，2) 故答案为停2) 15.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意可得1+d=3b1,1+4d=9b1, 獬得d=2,b1=1,…2分 所以等差数列{an}的通项公式为an=a1十(n一1)d=1十(n一1)X2=2n-1,…4分 等比数列{bn}的通项公式为bn=b1·q”-1=1X3”-1=3”一1.…6分 (2)由(1)知cm=am十bn=2n-1+3-1(n∈N*), 则数列{cn}的前2n项和为S2m=c1十c2十…十c2n=(a1十b1)+(a2十b2)+…十(an十b2m)=(a1十 a2十…十a2%)十(b1十b2十…十b2n)，…8分 其中a4十a4十十a-2%.a十a2）=1[1+2X2m-1]=4n,…10分 2 6:+b+…+ba=61·13）_1…(1-9)_9-1 2, …12分 1-3 1-3 因此S。=+己，即数列的前2n项和为+ 13分 高三数学参考答案第5页（共8页） 16.【解】(1)抛物线y2=4√2x的焦点坐标为（√2,0），.双曲线的半焦距c=√2， b 双曲线E的渐近线方程为x士y=0,∴. =l,…2分 又c2=a2十b2,a=b=1,…3分 .双曲线E的方程为x2一y2=1.…4分 (2)易知直线L斜率存在，设直线l的方程为y=k(x一2)(k≠0，k≠士1)，…5分 y=k(x-2), 联立 消去y,可得(1一k2)x2+4k2x-1-4k2=0,…7分 z2-y2=1, 1+4k2 设M4yNz,)则工t经20，z 7-2②，…8分 又M=3P,可得2-x1=3(x2-2)③，… …10分 -4-2k2 由①③可得x24,1=3m …12分 代入②，化简可得3k2=15,解得k=士√5，… 14分 则直线L的方程为y=士√5(x一2)…。 …15分 17.【解】(1)记红球为1号球，黄球为2号球，绿球为3号球，记事件A:,B:分别表示第一次、第二次取到 i号球，i=1,2,3, 则PA,=3PA,)=P(A,)=,又P(B,A)=,P(B:A,)=号，P(BA,=号， 2 …2分 由全概率公式知PCB,)=习P(APB,A)含×号+×号×2-品， 9 、5 所以学生甲第二次抽到红球的概率为20： .9 …4分 (2)由题意知，学生甲抽球两次总得分X的可能取值为2,3,4,5,6， 则PX-2》-PA,P(B,1A)名X日-子， …5分 PX=3)=PAP(B:1A,+PA:PBA:）2×+}xg-8, …7分 P(X-4-P(A)P(BIA.)+P(A)P(B.IA)+P(AP(BA)-xx 5 11 40 …9分 1×2121 PX=5)=PA,)P(B,A,)+PA,)P(B,lA)=4×号+4×号=5，.1分 高三数学参考答案第6页（共8页） P(X=6)=PA,P(B,A,)=子×号-易 5=20 12分 所以X的分布列为 4 5 6 9 40 40 5 20 …13分 所以rx)-2x片+3x品+4x结+5x号+6X品-8 …15分 18.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,ADC平面ABCD,则PA⊥AD, 又AB⊥AD,AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 又PBC平面PAB,所以AD⊥PB,…2分 由AB=AP,E为PB的中点，得AE⊥PB,又AE∩AD=A,AE,ADC平面ADE, 所以PB⊥平面ADE.…4分 (2)(i)由(1)知，直线AB,AD,AP两两垂直， 以点A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图所示： G D 过点C作CF⊥AD于点F,由CD=√2，∠CDA=45°，得CF=DF=1,…6分 设AB=t(0<t<3),则P(0,0,t),B(t,0,0),D(0,6-t,0),C(1,5-t,0), 所以P万=(0,6-t,一t),CD=(-1,1,0),…8分 n·PD=(6-t)y-tz=0 设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则 .CD=-z+y=0, 令y=t,得n=(t,t,6-t),…10分 由PB⊥平面ADE,得平面ADE的一个法向量为PB=(t,0,一t),…11分 依题意，得|cos(n,PB=n·P官 lt2-t(6-t)川 √3 nPB +t2+(6-t)+(-t)26' 整理得72-44+60=0，解得1=2(-0舍去)， 所以线段AB的长为2…13分 (ii)显然AB⊥平面PAD,而AGC平面PAD,则AB⊥AG,又BG=2AG, 所以(2AG)2=AG2+2,解得AG=23 3 …15分 因此点G的的连是以点A为周心，2为半径的圆的宁， …16分 所以点G的轨迹的长度为}x×23_3, 2πX3=3元 17分 高三数学参考答案第7页（共8页） 19.【解】(1)由题可知f'(x)=x-sinx, 令g(x)=x-sinx,则g'(x)=1-cosx≥0， 故g(x)在R上单调递增，又g(0)=0,… …2分 所以当x≥0时，g(x)≥g(0)=0,即f'(x)≥0，f(x)在[0，+∞)上单调递增； 当x<0时，g(x)<g(0)=0,即f'(x)<0,f(x)在(-o∞，0)上单调递减.…3分 2对任意之1，都有z+Dnz≥axD成立，即Imx)今0成立 令t(x)=lnx-a(x-1)】 x+1x≥1， 则t'(x)=1-ax+1)-a(x-1D_12a (x+1)2-2ax (x+1)2 x(x十1)2x(x+1)2, …5分 令h(x)=(x+1)2-2a.x=x2+(2-2a)x+1, 当a-1≤1，即a≤2时，h(x)在[1，+∞)上单调递增，故h(x)≥h(1)=4-2a≥0， 即t'(x)≥0，t(x)在[1，十∞)上单调递增，则t(x)≥t(1)=0,满足条件.…7分 当a-1>1,即a>2时，h(1)=4-2a<0, 所以存在xo>1,使得x∈(1，xo)时，h(x)<0,即t'(x)<0,t(x)在(1，xo)上单调递减， 故此时t(x)<t(们)=0，不满足条件.…9分 综上，实数a的取值范围是(-∞，]. …10分 3)证明：要证：当-1<<1时，xn}+os≥1+2x,只需证：当-1<a<1时，xn 1十x十 c0sx-1-2x2≥0. 令m(x)=xnH+cosx-1-是，-1a<1. 有m(-2）=(-x)加千十6os(-z）-1一号（-x=m),故函数m)为属函数12分 因此只需要考虑0≤x<1时的情况， 庙可知，f)22+cosx一1在0，+∞上单调递增，则f)≥f0)=0,即c0sx≥1之 …14分 由(2)可知，当a=2时，对任意x≥1，有(x+1D1nx≥2(x-1),即1nx≥2x, x十1， 由0e1,得≥1，则h 11一x 1十x+1 =2x,…16分 1-x 此时m(x)=zh+cosz-1-2≥2r2+1-号x）-1-=2≥0，得证 …17分 高三数学参考答案第8页（共8页）绝密★启用前 高三数学 GS01 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 1.已知i是虚数单位，若实数a,b满足a十3i=i(b一2i),则 A.a=2,b=3 B.a=-2,b=3 C.a=2,b=-3 D.a=-2,b=-3 2.设a>b>0>c>d,则下列不等式恒成立的是 A.a-b<c-d B.ac<bd C.ab Dd+6<a+8 3.2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书 馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能 参加一个讲座，则不同的安排方案种数为 A.12 B.24 C.36 D.60 4.已知集合A={xx2-6.x+5≤0}，B={x|x2-mx+4≥0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条 件，则实数m的取值范围为 A.[5,+o∞) B.(-o∞，4] C.[4,5] D.(-∞，4]U[5,+∞) 5.已知单位向量a,b满足|2a+b|=√3，则向量a一b与a+2b的夹角为 A君 B等 c n晋 6.已知直线l:xcos0+2ysin0一1=0被圆x2十y2=1截得的弦长为√2，则直线l的斜率为 A士司 R号 C 2 D.土√2 7.在正三棱台ABC-A1B1C1中，2AC=3A1C1=6,AA1=2,点O为△ABC的重心，点M为棱 台的底面A1B1C1上（包括边界）一点，若直线OM平面ACC1A1,则OM长的取值范围为 A. C.[1,2] 高三数学第1页（共4页） 8.已知函数f(x)的定义域为（一1,1），对任意的x,y∈（一1,1），都有f(x)+f(y)= f什)，且当：∈0,1时f)<0.则下列说法错误的是 A.f(0)=0 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在(-1,1)上单调递增 D不等式f+1)十/（已）>0的解集为(-2，-2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知一组样本数据：20,8,30,10,38,38，下列对这组数据的分析，其中正确的是 A.极差是30 B.平均数是24 C.方差是11 D.上四分位数是38 l0.函数f(x)=Atan(wx十9)(w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，则 23 5π 6 6 A.A=2√3 B函数fx)图象的对称中心为-+经，0)(k∈Z刀 c.r() =4+23 D.不等式fx)+lfx)≥4,3的解集为kx,否+kx)∈Z刀 11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对于任意实数x,都有2f(x)+f'(x)=2,且 f(0)=0,则 A.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x B.函数F(x)=ef(x)为偶函数 C.不等式ef(x)-3<0的解集为(0.1n2) D.若方程f(x)一(x一a)2=0有两个根x1,x2(x1<x2),则x1十x2>2a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2,.已知椭圆C:无十1(a>6>0)的右焦点为F(c,0,若=ac,则椭圆C的离心率为 13.若数列{an}的前n项和为Sm,数列{Sm}的前n项之积为Tm,满足Sm十2Tm=1(n∈N+),则 a= 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c=2 acos A,且a>b,则sinB+ sinA的取值范围为 高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知等差数列{an}的首项为1，等比数列{bn的公比为3，且a2=b2,a5=b3. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=am十bn(n∈N*),求数列{cn}的前2项和. 6.C本小N题满分15分已知双曲线E:片片1>0.6>0)的右焦点F与抛物线v三42x的 焦点重合，且双曲线E的渐近线方程为x士y=0. (1)求双曲线E的方程； (2)已知直线l过点P(2,0)且与双曲线E交于M,N两点，若MP=3PN,求直线l的方程. 17.(本小题满分15分)某学校组织游戏活动，准备了红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内 装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有 两个红球，两个黄球.要求学生第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球 同色的盒子中，第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球， (1)求学生甲第二次抽到红球的概率； (2)若抽到红球获得1积分、抽到黄球获得2积分、抽到绿球获得3积分，记学生甲两次抽球 所获得积分的总和为X,求随机变量X的分布列与期望. 高三数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB=AP,AB⊥AD,E 为PB的中点 (1)求证：PB⊥平面ADE; (2)四边形ABCD中，∠CDA=45°，CD=√2，AB+AD=6,AB<AD,若平面ADE与平面 PCD所成的角的余弦值为3 6 (ⅰ)求线段AB的长； (iⅱ)设G为△PAD内（含边界）的一点，且GB=2GA,求满足条件的所有点G组成的轨 迹的长度. 19（本小题满分17分)1)已知函数f()=2x2+c0sE-1,判商断函数fx)的单调性： (2)若对任意x≥1，都有(x十1)nx≥a(x一1)成立，求实数a的取值范围； （3)当-11时，证明xln}出+cos≥1+ 高三数学第4页（共4页）