精品解析：河北省衡水市桃城区2026届高三上学期暑假开学考试数学试题

高三暑假开学考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则集合的真子集共有（ ） A 1个 B. 3个 C. 5个 D. 7个 3. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为（ ） A B. C. D. 4. 已知在上单调递减，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 5. 已知向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 7. 过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 10. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ） A. 该堑堵的体积为108 B. 平面 C. 该堑堵外接球的表面积为 D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 11. 已知数列满足，其中，则（ ） A. B. 为等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列前99项和大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线：的准线方程为_____. 13. 已知，则_____. 14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表： 观看情况 全程观看 部分观看 没有观看 男性人数 9 4 女性人数 18 4 （1）求出表中x，y的值； （2）从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率； （3）根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关? 单位：人 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 女性 合计 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 设的内角的对边分别是，已知，且. （1）求角C； （2）若D为的中点，求线段长的取值范围. 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，，与交于点O，平面平面，，，. （1）证明：平面. （2）若点到平面的距离为6，且，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. （1）求的标准方程. （2）设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）设无穷数列，请探究是否存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三暑假开学考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【详解】因为，所以它的共轭复数是，故C正确. 故选：C. 2. 已知集合，，，则集合的真子集共有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 5个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】先求两个集合的交集，再求其真子集的个数. 【详解】因为，所以P的真子集有：，，，共3个. 故选：B. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用投影向量的公式，即可求得本题答案. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：A. 4. 已知在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，显然满足条件；当时，由特点分析求解. 【详解】当时，显然在上单调递减； 当时，由在R上单调递减，得恒成立， 所以，解得. 综上，. 故选：D. 5. 已知向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的坐标运算及数量积的运算律求得，进而利用数量积的夹角公式求得，利用向量夹角范围求解即可. 【详解】因为，所以， 所以.又因为，所以， 则， 又，故，的夹角为120°. 故选：C 6. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 7. 过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用题给渐近线方程得出，设点，根据双曲线的性质结合直线过原点得出点坐标，由双曲线性质得出右顶点坐标，从而列出斜率之积表达式，结合双曲线方程化简得出，从而得出答案. 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，所以， 设点，因为直线过原点，则， 又因为双曲线的右顶点为， 则①， 又因为在双曲线上，则，所以②， ②代入①化简可得. 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可比较，再由指数函数的单调性可得， 再由对数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】因为为增函数，所以. 因为为减函数，所以，则. 又为减函数，所以， 故，即. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；根据函数的对称性求解判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，，错误； 对于B，中，则最小正周期为，正确； 对于C，函数的对称轴为， 令，解得， 则函数图象的对称轴为，令得，错误； 对于D，令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令得，所以是图象的一个对称中心，正确． 故选：BD 10. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ） A. 该堑堵的体积为108 B. 平面 C. 该堑堵外接球的表面积为 D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用棱柱体积公式求解判断A；利用直线与直线相交判断B；利用补体法求得该堑堵的外接球半径，进而求出外接球的表面积判断C；延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，利用几何关系得，即可判断D. 【详解】由题意该堑堵的体积为，故A正确； 因为直线与直线相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 该堑堵可以放置在边长为6的正方体中， 该堑堵的外接球和正方体的外接球为同一个外接球， 所以该堑堵的外接球半径为， 所以外接球的表面积为，故C正确； 延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接， 由可知，由可得， 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，故D正确. 11. 已知数列满足，其中，则（ ） A. B. 为等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前99项和大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用递推式关系求得判断A，结合已知递推式利用等差数列的定义判断B，利用选项B求出，然后利用等差数列求和公式求解即可判断C，先求得，结合利用裂项相消法求和即可判断D. 【详解】对于A，由题意，数列满足，可得，故A错误； 对于B，因为，所以为常数，且， 所以数列为首项为，公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由选项B可知，所以，所以， 所以数列的前项和为，故C正确； 对于D，由可知，所以， 因对都有，所以， 所以数列的前99项和，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线：的准线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由给定的抛物线方程直接求出准线方程即可. 【详解】抛物线标准方程为，所以C的准线方程为. 故答案为：. 13. 已知，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”. 【答案】 【解析】 【分析】根据这5个数至少取集合中3个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，按照取自集合中元素个数进行分类，结合排列组合的知识求解即可. 【详解】因，，， 则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字， 且为最大的数，为最小的数， ①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种； ②取4个数：共有种； ③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种； 故共有个“九曲正弦数”. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表： 观看情况 全程观看 部分观看 没有观看 男性人数 9 4 女性人数 18 4 （1）求出表中x，y的值； （2）从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率； （3）根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关? 单位：人 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 女性 合计 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1），. （2） （3）表格见解析，无关. 【解析】 【分析】（1）根据男女人数各为25人，即可求出表中x，y的值； （2）利用古典概型即可求解； （3）填写列表，计算卡方，与比较，得到结论. 【小问1详解】 由题意得，解得， ，解得. 【小问2详解】 由（1）知没有观看的人数为7，男4女3，设男生编号为a，b，c，d，女生编号为1，2，3. 从7人中抽2人，所有可能的结果为 ，，，a1，a2，a3，，，b1，b2，b3，，c1，c2，c3，d1，d2，d3，12，13，23，共21种， 恰好男女各1人的结果为a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3，共12种. 所以从没有观看的人中随机抽取2人，恰好男女各1人的概率. 【小问3详解】 完整列联表如下 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 12 13 25 女性 18 7 25 合计 30 20 50 零假设为：是否全程观看与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即是否全程观看与性别无关. 16. 设的内角的对边分别是，已知，且. （1）求角C； （2）若D为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将正弦差转化为边长差，建立关于边的方程，再结合余弦定理求解； （2）利用向量法，结合三角形三边关系和余弦定理，确定中线长度的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 所以. 又，所以， 所以，即 由，得， 则，解得，即线段长的取值范围是. 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，，与交于点O，平面平面，，，. （1）证明：平面. （2）若点到平面的距离为6，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，易证平面，再证四边形为平行四边形，得，得证； （2）以为原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为，分别为，的中点，所以，. 又因为，， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，从而平面. 【小问2详解】 如图，连接，，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，可得， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为，易知为锐角， 所以，即二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. （1）求的标准方程. （2）设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）;（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（i）设，利用推得，与椭圆方程联立，求出点，利用两点间距离公式计算即得；（ii）依题设直线的方程为：，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由化简可推得，即得或，代入直线方程分别检验，即得直线经过定点. 【小问1详解】 由题意，，解得， 则的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设，由（1）可得，因， 则，由可得， 代入，整理得：，解得（不合题意，舍去）或， 故得，则. （ii）因，直线的斜率不能为0，可设其方程为：， 代入，整理得：， 则， 设，则（*）， 则，化简得， 因，代入整理得：， 将（*）代入，可得，去分母可得： ， 化简得：，解得或. 当时，直线的方程为，直线经过定点， 此时由解得，则， 因，符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点，该点恰与点重合，不合题意，舍去. 故直线过定点. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）设无穷数列，请探究是否存在，使得. 【答案】（1）； （2）； （3）存在. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形给定的恒成立不等式，利用导数结合单调性求出范围. （3）利用导数求出函数在的值域，再按分类探讨，结合二倍角的余弦公式确定的通项，进而推理判断得解. 【小问1详解】 函数，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 不等式，令， 依题意，在上恒成立，且，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递减，， 当，即时，，函数在上单调递减， 则，函数在上单调递减，， 因此不等式在内恒成立，于是； 当时，，函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，，于是函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 由于，则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则． 当时，而，由二次函数性质得，与矛盾； 当时，记，则， 以此类推得，不妨设， 倒推得，只要存在，使得，且， 同时（因为）,又函数值域包含的部分区间， 因此存在，使得，进而通过递推关系使得， 所以存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $