专题微课 指数、对数函数图象与性质的综合应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数、对数函数图象与性质的综合应用，通过建构知识体系梳理基础，再以图象应用、解不等式比较大小、创新问题为题型，搭建从基础到综合的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是融通学科素养，运用数形结合、分类讨论思想，结合高考真题（如2024天津高考比较大小题）和创新题（如有界函数问题），提升数学运算和逻辑推理素养。思维建模总结方法，配合训练检测，学生能掌握解题策略，教师教学更系统高效。

专题微课　 指数、对数函数图象与性质的综合应用 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 (1)通过指数、对数运算性质的学习与运用,重点提升数学运算素养. (2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养. (3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用,重点提升数学运算和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图,图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质,为研究函数的性质提供了形象的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的重要工具. (2)常见的分类讨论有两种:一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时,要确定它的单调性需要讨论;二是含参数的不等式、方程,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需要分类讨论. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　指数、对数函数的图象及应用 题型(二)　解不等式、比较大小问题 题型(三)　函数的创新应用问题 4 课时检测 题型(一)　 指数、对数函数的图象及应用 01 [例1]　已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是(　 ) √ 解析:函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A、B;若0<a<1,则f(x)=ax是减函数,此时g(x)=loga是减函数,C、D都不满足;若a>1,则f(x)=ax是增函数,此时g(x)=loga是增函数,C满足. |思|维|建|模| 　　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换. 1.当0<x≤时,4x<logax,则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C.(1,) D.(,2) 针对训练 √ 解析:易知0<a<1,则函数y=4x与y=logax的图象大致 如图所示,只需满足loga>=2即可,解得a>. 所以<a<1.故选B. 题型(二)　解不等式、比较大小问题 02 [例2]　(2024·天津高考)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析：由函数y=4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c=log4.20.2<0，故b>a>c，故选B. √ [例3]　设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) √ 解析:由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当0<a<1时,函数y=logax 在(0,+∞)上单调递减,得a2x-2ax-2>1,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)·(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0<a<1,所以x<loga3.故选C. |思|维|建|模| 　　方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根;比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决. 针对训练 2.若0<x<y<1,则 (　 ) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< √ 解析:对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0<x<y<1,故3x<3y,A错误;对于B,根据底数a对对数函数y=logax的影响:当0<a<1时,在x∈(1,+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1,所以logx3>logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x<log4y,C正确;对于D,函数y=在R上单调递减,故>,D错误. 3.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是________.  (-∞,1] 解析:因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1,+∞)时,恒有f(x)≥0,所以有2x-b≥1在x∈[1,+∞)时恒成立,即2x≥b+1在x∈[1,+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b+1成立即可,解得b≤1. 题型(三)　函数的创新应用问题 03 [例4]　定义在D上的函数f(x)，如果满足对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数g(x)=lo. (1)若函数g(x)为奇函数，求实数a的值; 解：因为函数g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)，即=-， 所以=，解得a=±1.当a=1时，不合题意，故a=-1. (2)在(1)的条件下，求函数g(x)在区间上的所有上界构成的集合. 解：由(1)知g(x)==，令t=1+，因为t=1+在(1，+∞)上单调递减，而y=t在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可知g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以函数g(x)在区间上单调递增， 故g(x)max=g(3)==2=-1，g(x)min=g==4=-2， 所以g(x)在区间上的值域为[-2，-1]，所以|g(x)|≤2. 故函数g(x)在区间上的所有上界构成的集合为[2，+∞). 4.双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数.它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数sinh x=，双曲余弦函数cosh x=. (1)求cosh2x-sinh2x的值; 针对训练 解：由题意得cosh2x-sinh2x =- = ==1，所以cosh2x-sinh2x的值为1. (2)求函数y=cosh2x+sinh2x+cosh x在R上的值域. 解：由(1)可知cosh2x-sinh2x=1，则cosh2x+sinh2x+cosh x=2cosh2x-1+cosh x. 令t=cosh x，则t=≥=1，当且仅当x=0时取等号， 可得g(t)=2t2-1+t，t≥1. 又函数g(t)在[1，+∞)上单调递增，故g(t)≥g(2)=2，故g(t)的值域为[2，+∞)，即y=cosh2x+sinh2x+cosh x在R上的值域为[2，+∞). 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (　 ) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的，过定点(1，1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位长度得到的.过定点(0，2).故只有C项中的图象符合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.已知a=40.6，b=log38，c=ln 2，则 (　 ) A.c<a<b B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 解析：因为a=40.6>40.5=2，所以a>2.因为log33<log38<log39， 所以1<b<2.因为ln 1<ln 2<ln e，所以0<c<1.所以c<b<a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.已知0<a<1，则方程a|x|=|logax|的实根个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.与a的值有关 解析：设y1=a|x|，y2=|logax|，分别作出它们的图象， 如图.由图可知，有两个交点，故方程a|x|=|logax|有 两个实根.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则 (　 ) A.3y<2x<5z B.2x<3y<5z C.3y<5z<2x D.5z<2x<3y 解析：令2x=3y=5z=k(k>1)，则x=log2k，y=log3k，z=log5k. ∴=·=>1，则2x>3y，=·=<1， 则2x<5z.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知定义在R上的函数f(x)=e-x-mex(m∈R)是奇函数，设a=f(log32)，b=f(log53)，c=-f，则有(　 ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即f(0)= e-0-me0=0，解得m=1.所以f(x)=e-x-ex，所以f(x)在R上单调递减. 又因为log323<log39=log533>log525=，所以b<c<a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点，则 (　　) A.log2 < 　B.log2 > C.log2 <x1+x2 　D.log2 >x1+x2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点， 所以y1=，y2=，且x1≠x2，则≠， 所以y1+y2=+>2=2，即> >0， 所以log2>log2=，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)已知logb3>loga3>0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.> B.< C.log2(a-b)>0 D.2a-b>1 解析：logb3>loga3>0，由换底公式，有0<log3b<log3a，解得a>b>1，∴<，A错误;函数f(x)=为减函数，∴<，B正确;a-b>0，但a-b>1不一定成立， 不能得到log2(a-b)>0，C错误;2a-b>20=1，D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 8.若m=log56·log67·log78·log89·log910，则m的取值范围是 (　 ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析：依题意，m=log56····=log510.而对数函数y=log5x在(0，+∞)上单调递增，又5<10<25，所以log55<log510< log525，即1<m<2.所以m的取值范围是(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.已知4-a=2a，b=log95+log23，5a+12a=13c，则 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：显然函数f(a)=4-a-2a在R上单调递减，f>0，f<0，则1<a<2; 又b=log95+log23>log94+log23=log32+log23=log32+>2，则b>2;由5a+12a=13c，得+=13c-a，而函数y=+在R上单调递减，则13c-a=+>+=1，因此c-a>0，即c>a，又1<a<2， 则17<5a+12a<52+122=132，即17<13c<132，因此c<2<b，所以a<c<b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0，甲写错了常数b，得到的根为x=-2或x=log2，乙写错了常数c，得到的根为x=0或x=1，则原方程所有根的和是___.  1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设t=2x，由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0，则t2+ct+b=0.对于甲，由于甲写错常数b，则常数c是正确的，由根与系数的关系可得-c=2-2+ =，即c=-;对于乙，由于乙写错了常数c，则常数b是正确的，由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0，解得t=或t=4，即2x=或2x=4，解得x=-1或2.所以原方程所有根的和是-1+2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知a>1，b>1，且ab=e2，则aln b的最大值为___.  解析：∵ab=e2，a>1，b>1，∴ln a>0，ln b>0，两边取对数得ln(ab)= ln a+ln b=ln e2=2，设t=aln b，两边取对数得ln t=ln aln b≤ =1，当且仅当即a=b=e时，等号成立，∴t≤e， 即aln b的最大值为e. e 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称，则f(x2-2x-8)的单调递增区间为_________.  解析：由已知，得f(x)=ln x，所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4. (4，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)设函数f(x)=log2(2x)·log2. (1)解方程f(x)+6=0;(3分) 解：f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2 -3log2x-4.由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0，解得log2x=1或log2x=2. 所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设不等式≤43x-2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域.(7分) 解：由≤43x-2得≤26x-4，即x2+x≤6x-4，解得1≤x≤4，即M={x|1≤x≤4}. 又f(x)=(log2x)2-3log2x-4，令t=log2x，所以0≤t≤2，则g(t)=t2-3t-4= -为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2， 所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=(log2x-2). (1)当x∈[2，4]时，求该函数的取值范围;(4分) 解：f(x)=(2log4x-2)，令t=log4x，因为x∈[2，4]，所以t∈， 所以y=(2t-2)=2t2-3t+1=2-.因为t∈， 所以y∈，所以当x∈[2，4]时，该函数的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 解：令t=log4x，则f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立，即2t2-3t+1 ≥mt对任意t∈[1，2]恒成立，所以m≤2t+-3对任意t∈[1，2]恒成立.由对勾函数的单调性可知，g(t)=2t+-3在[1，2]上单调递增， 所以m≤g(1)=0.故实数m的取值范围为(-∞，0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)我们知道当a>0时，am+n=am·an对一切m，n∈R恒成立， 某同学在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式21+1=21+21，带着好奇，他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究. (1)当m=2时，求n的值;(3分) 解：当m=2时，22+n=22+2n，即3·2n=4，所以n=log2 . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当m≤0时，求证：n是不存在的;(5分) 解：证明：设t=2m，因为m≤0，所以t=2m∈(0，1]. 又t·2n=t+2n， 当m=0时，t=1，t·2n=t+2n不成立;当m≠0时，t<1，由t·2n=t+2n 可得2n=. 因为2n>0，t>0，t-1<0，所以2n=不成立.综上所述，当m≤0时，n是不存在的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求证：只有一对正整数对(m，n)使得等式成立.(7分) 解：证明：由2m+n=2m+2n可得2n=. 当m，n均为正整数时，等号左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂， 所以2m-1=1，即m=1时符合题意，此时n=1. 所以只有一对正整数对(1，1)使得等式成立. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $