4.3.3 对数函数性质的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数性质的应用，涵盖解对数不等式、对数型函数单调性及综合问题。通过复习对数函数基础性质导入，以例1求定义域、解不等式为支架，衔接前后知识，逐步深化应用。 其亮点是“思维建模”总结方法，如解对数不等式的3种类型、单调性的步骤化求法，培养数学思维。结合叶广泥除甲醛等实例，用数学眼光观察现实，提升应用意识。习题讲评式教学助学生构建知识体系，教师可直接使用提升效率，学生通过实例和方法总结提升解题能力。

对数函数性质的应用　 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 第3课时 课时目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质,会解简单的对数不等式.　 2.会求对数型函数的单调性、值域等问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　解对数不等式 题型(二)　对数型函数的单调性问题 题型(三)　对数函数性质的综合 4 课时检测 题型(一)　解对数不等式 01 [例1]　已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0,且a≠1). (1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的定义域; 解:由解得1<x<3. ∴函数φ(x)的定义域为{x|1<x<3}. (2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围. 解:不等式f(x)≤g(x),即为loga(x-1)≤loga(6-2x), ①当a>1时,不等式等价于 解得1<x≤; ②当0<a<1时,不等式等价于 解得≤x<3. 综上可得,当a>1时,不等式的解集为; 当0<a<1时,不等式的解集为. |思|维|建|模| 常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解; (3)形如logax>logbx的不等式,可利用图象求解. 解:∵loga>1=logaa>0,∴0<a<1. ∴函数y=logax是减函数.∴<a<1. 即实数a的取值范围是. 针对训练 1.已知loga>1,求实数a的取值范围. 解:∵函数y=log0.7x在(0,+∞)上为减函数, ∴log0.7(2x)<log0.7(x-1)可化为 解得x>1. ∴实数x的取值范围是(1,+∞). 2.已知log0.7(2x)<log0.7(x-1),求实数x的取值范围. 题型(二)　 对数型函数的单调性问题 02 [例2]　(多选)关于函数f(x)=log0.4(-x2+3x+4),下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)的定义域为(-1,4) B.f(x)的最大值为2 C.f(x)的最小值为-2 D.f(x)的单调递增区间为 √ √ √ 解析:令-x2+3x+4>0,得-1<x<4,即函数f(x)=log0.4(-x2+3x+4)的定义域为(-1,4),故A正确;∵-x2+3x+4=-+,∴-x2+3x+4∈, ∴f(x)=log0.4(-x2+3x+4)∈[-2,+∞),故B错误,C正确;令t=-x2+3x+4,则其在内单调递增,在内单调递减,又y=log0.4t在(0,+∞)上单调递减,由复合函数的单调性得f(x)=log0.4(-x2+3x+4)的单调递增区间为,故D正确. |思|维|建|模| 　　形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间;g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. 针对训练 3.函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.(1,+∞) B.(0,1) C. D.(3,+∞) √ 解析:∵a>0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数.∴若函数f(x)为增函数, 则f(x)=logau必为增函数.∴a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即a>3. 题型(三)　对数函数性质的综合 03 [例3]　已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0,求x的取值范围; 解:∵x+1>0,∴x>-1.函数f(x)的定义域为(-1,+∞). ∵f(x)>0,即log2(x+1)-2>0, ∴log2(x+1)>2.∴x+1>4. ∴x>3.∴x的取值范围是(3,+∞). 解:∵x∈(-1,3],∴x+1∈(0,4]. ∴log2(x+1)∈(-∞,2]. ∴log2(x+1)-2∈(-∞,0]. ∴f(x)的值域为(-∞,0]. (2)若x∈(-1,3],求f(x)的值域. |思|维|建|模| (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解; (2)判断函数的奇偶性,一定要先求函数的定义域,再研究f(x)与f(-x)的关系. 针对训练 4.已知函数f(x)=lo(4-x)-lo(4+x). (1)求函数f(x)的定义域; 解:由得-4<x<4,所以函数f(x)的定义域为(-4,4). 解:函数f(x)为奇函数.证明如下:因为函数f(x)的定义域为(-4,4),所以定义域关于原点对称. 因为f(-x)=lo(4+x)-lo(4-x)=-=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性; 解:由f(x)<0,得lo(4-x)-lo(4+x)<0, 所以lo(4-x)<lo(4+x),因为y=lox在定义域内为减函数, 所以解得-4<x<0. 所以不等式f(x)<0的解集为(-4,0). (3)求不等式f(x)<0的解集. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是 (　 ) A.(-∞，7] B.(2，7] C.[7，+∞) D.(2，+∞) 解析：由lg(2x-4)≤1，得0<2x-4≤10，即2<x≤7，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.(多选)若loga2<logb2<0，则下列结论正确的是 (　 ) A.0<b<1 B.0<a<1 C.a>b D.b>a>1 解析：因为loga2<0，logb2<0，所以0<a<1，0<b<1.又loga2<logb2， 所以a>b. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影.经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q=2log2 ，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m的值为(　 ) A.2 B.2log2 C.160 D.6 解析：由题意，得8=2log2 ，所以log2 =4.所以24=. 所以m=24×10=160. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.函数f(x)=log3(x2+1)的值域为 (　 ) A.(0，+∞) B.[0，+∞) C.(1，+∞) D.[1，+∞) 解析：令u=x2+1，则u≥1，又y=log3u在[1，+∞)上单调递增， 所以log3(x2+1)≥log31=0，故函数f(x)的值域为[0，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)如果函数f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减，那么 (　 ) A.f(x)在(1，+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由|x-1|>0，得函数y=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1| =则g(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，D正确;因为f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减，所以a>1，所以f(x)= loga|x-1|在(1，+∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误;又f(-x)= loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x)，所以C错误.故选A、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.(多选)已知函数f(x)=lo(-x2+2x+3)，则下列说法正确的是(　 ) A.在(-1，1)内单调递减 B.在(1，3)内单调递增 C.函数定义域为(-1，3) D.函数的单调递增区间为(1，+∞) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令-x2+2x+3>0，解得x∈(-1，3).即函数f(x)的定义域为(-1，3)，故C选项正确，结合定义域可知D选项错误.令t=-x2+2x+3，则y=lot，根据对数函数的单调性知，y关于t单调递减，而函数t=-x2+2x+3在(-1，1)内单调递增，在(1，3)内单调递减;由复合函数单调性可知，原函数在(-1，1)内单调递减，在(1，3)内单调递增，故A、B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　 ) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若函数f(x)在R上单调递增，则需满足 解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)函数f(x)=log2(1+2x)的单调递增区间是___________.  解析：易知函数f(x)的定义域为，因为函数y=log2x和y=1+2x都是增函数，所以f(x)的单调递增区间是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)设0<a<1，函数f(x)=loga(2ax-2)，则使得f(x)<0的x的取值范围为___________.  解析：由于y=logax(0<a<1)在(0，+∞)上为减函数，且f(x)<0， 所以2ax-2>1，即ax>.由0<a<1，可得x<loga. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=____，b=_____.  解析：因为函数f(x)为奇函数，所以其定义域关于原点对称.由a+≠ 0可得，(1-x)(a+1-ax)≠0，所以x==-1，解得a=-，即函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，再由f(0)=0可得，b=ln 2.即f(x)= ln+ln 2=ln，在定义域内满足f(-x)=-f(x)，符合题意. -　 ln 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为_________.  解析：由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，即f(0)+f(1)=a，即1+a+loga2=a.∴loga2=-1.解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)已知函数y=(log2x-2)，2≤x≤8. (1)令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围;(4分) 解：y=(t-2)(t-1)=t2-t+1， ∵2≤x≤8，∴1=log22≤log2x≤log28=3，即t的取值范围为[1，3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求该函数的值域.(6分) 解：由(1)得y=-，1≤t≤3，当t=时，ymin=-; 当t=3时，ymax=1，∴-≤y≤1. 即函数的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. 解：∵a>0且a≠1，设t(x)=3-ax，则t(x)=3-ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0，2]时，3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0，∴a<. 又∵a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<， ∴实数a的取值范围为(0，1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2. (1)求实数a的取值范围;(3分) 解：∵22a+1>25a-2，∴2a+1>5a-2，即3a<3. ∴a<1，即0<a<1.∴实数a的取值范围是(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求不等式loga(3x+1)<loga(7-5x)的解集;(3分) 解：由(1)得，0<a<1，∵loga(3x+1)<loga(7-5x)， ∴即解得<x<. 即不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若函数y=loga(2x-1)在区间[1，3]上有最小值为-2，求实数a的值.(4分) 解：∵0<a<1，∴函数y=loga(2x-1)在区间[1，3]上单调递减. ∴当x=3时，y有最小值为-2. 即loga5=-2，∴a-2==5，解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=log2x，g(x)=x2-4x+4. (1)求函数y=f(g(x))的解析式及定义域;(4分) 解：y=f(g(x))=log2(x2-4x+4)，由x2-4x+4>0，解得x≠2， 故函数y=f(g(x))的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)解不等式f(g(x))≤1.(6分) 解：由(1)知，log2(x2-4x+4)≤1， 因为y=log2x在(0，+∞)上单调递增，且1=log22，所以0<x2-4x+4≤2， 解得2-≤x<2或2<x≤2+. 所以不等式f(g(x))≤1的解集为[2-，2)∪(2，2+ ]. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $