第4章 §3 对数函数 3.3 第1课时 对数函数y=logax的图象和性质(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦对数函数图象与性质，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、定点、单调性比较|单选1-4题直接考查概念，如定义域求解、图象过定点| |中档|图象识别、大小比较、参数范围|多选8-9题结合分类讨论，如对数函数最值与图象共存问题| |提升|综合应用、恒成立问题|解答题14-16题涉及定义域与不等式融合，如含参对数函数恒成立求范围|

3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1课时　对数函数y=logax的图象和性质 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.函数f(x)=loga(a>0且a≠1)的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|x≠1} B.{x|x>1} C.{x|x<1} D.{x|x≤1} 2.函数g(x)=loga(x+4)+1 (其中a>0且a≠1)的图象过定点 (　 ) A.(-3,1) B.(2,1) C.(-3,0) D.(3,1) 3.下列各式中不成立的是 (　 ) A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log0.50.6 C.0.75-0.1<0.750.1 D.lg 1.6>lg 1.4 4.[2024·江苏镇江高一期末] 若函数f(x)=lg x+x的定义域为,则其值域为 (　 ) A. B. C. D.[-9,11] 5.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的大致图象如图,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 (　 ) A B C D 6.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 7.若loga(a2+1)>loga(2a)>0,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B. C. D.(1,+∞) 8.(多选题)已知函数y=logax(a>0且a≠1)在区间[a,3a]上的最大值与最小值的差为2,则a的值可能为 (　 ) A. B.3 C. D. 9.(多选题)已知a>0,且a≠1,则函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一平面直角坐标系中的图象不可能是 (　 ) A B C D 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.[2024·天津五十四中高一月考] 函数y=的定义域是　　　　.  11.2(log0.5x)2-7log0.5x+3≤0的解集是　　　　.  12.已知f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围为　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)比较大小: (1)log0.13与log0.1π; (2)log45与log65; (3)3log45与2log23; (4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0且a≠1). 14.(10分)已知函数f(x)=loga(x+1)+loga(4-x)(0<a<1). (1)求f(x)的定义域; (2)若f(t)≤loga(3t),求实数t的取值范围. 15.(5分)已知实数x,y满足log2x+e-y<log2y+e-x,则下列结论一定正确的是 (　 ) A.x>y B.ln|x-y|<0 C.ln|x-y+1|>0 D.ln|y-x+1|>0 16.(15分)已知函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)(a>0且a≠1).若f(x)≤1在[a+3,a+4]上恒成立,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1课时　对数函数y=logax的图象和性质 1.C　[解析] 由>0得x<1,所以f(x)的定义域为{x|x<1}.故选C. 2.A　[解析] 令x+4=1,得x=-3,∴g(x)=loga(x+4)+1的图象过定点(-3,1).故选A. 3.C　[解析] 由指数函数的性质可知,函数y=0.75x为减函数.又因为-0.1<0.1,所以0.75-0.1>0.750.1.故选C. 4.A　[解析] 因为函数f(x)=lg x+x的定义域为,且y=lg x,y=x在内单调递增,所以f(x)在内单调递增,可知f(x)在内的最小值为f=-,最大值为f(10)=11,所以f(x)的值域为.故选A. 5.C　[解析] 根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得0<a<1,0<b<1.则y=a-x=在R上为增函数,B,D不符合题意.将函数y=a-x(0<a<1)的图象向下平移b个单位长度,可得函数g(x)=a-x-b的图象,A不符合题意,C符合题意.故选C. 6.B　[解析] 由已知可得=2a,=log3b,=log2c,在同一个平面直角坐标系中作出y=(x>0),y=2x,y=log2x,y=log3x的图象,如图所示.易知y=2x,y=log3x,y=log2x的图象与y=(x>0)的图象交点的横坐标分别为a,b,c,由图可得b>c>a,故选B. 7.D　[解析] 由题可知a>0且a≠1,∵a2+1-2a=(a-1)2>0,∴a2+1>2a>0,∵loga(a2+1)>loga(2a)>0=loga1,∴y=logax是增函数,∴a>1.故选D. 8.AD　[解析] 当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以loga(3a)-logaa=2,即loga3=2,所以a=.当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,所以logaa-loga(3a)=2,即loga=2,所以a=.故选AD. 9.ABD　[解析] 对于A,由指数函数和对数函数的图象知a>1,而由一次函数的图象知a<1,两者矛盾,故A不符合;对于B,因为函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,而B中图象显然均不关于直线y=x对称,所以B不符合;对于C,当0<a<1时,y=logax,y=ax在定义域内都是减函数,y=x+a在定义域内是增函数且其图象与y轴交点的纵坐标大于0且小于1,故C符合;对于D,由指数函数和对数函数的图象知0<a<1,而由一次函数的图象知a>1,两者矛盾,故D不符合.故选ABD. 10.　[解析] 要使函数y=有意义,需满足可得-<x≤,故函数的定义域为. 11.　[解析] ∵2(log0.5x)2-7log0.5x+3≤0,∴≤log0.5x≤3,即log0.5≤log0.5x≤log0.5,解得≤x≤. 12.　[解析] ∵f(x)=在R上是增函数,∴解得≤a<5,即a∈. 13.解:(1)因为函数y=log0.1x是减函数,且π>3, 所以log0.13>log0.1π. (2)方法一:因为函数y=log4x和y=log6x都是增函数,所以log45>log44=1,log65<log66=1.所以log45>log65. 方法二:在同一平面直角坐标系中画出y=log4x和y=log6x的图象,如图所示,由图可知log45>log65. (3)因为3log45=log453=log4125==log2125=log2,2log23=log232=log29,且函数y=log2x是增函数,>9, 所以log2>log29,即3log45>2log23. (4)因为a+2<a+3,所以当a>1时,loga(a+2)<loga(a+3);当0<a<1时,loga(a+2)>loga(a+3). 14.解:(1)根据题意,要使函数f(x)=loga(x+1)+loga(4-x)(0<a<1)有意义,需满足解得-1<x<4,所以函数f(x)的定义域为(-1,4). (2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-1,4),且函数f(x)=loga[(x+1)(4-x)](0<a<1), 由f(t)≤loga(3t),可得解得0<t≤2,所以实数t的取值范围为(0,2]. 15.D　[解析] 由题知x>0,y>0,∵log2x+e-y<log2y+e-x,∴log2x-e-x<log2y-e-y,∵f(x)=log2x-e-x在(0,+∞)上是增函数,∴x<y,则y-x+1>1,∴ln|y-x+1|>0,故选D. 16.解: f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)=loga[(x-2a)(x-3a)]≤1=logaa.由得x>3a,则f(x)的定义域为(3a,+∞).由题意得a+3-3a>0,解得a<.当0<a<1时,(x-2a)(x-3a)≥a当x∈[a+3,a+4]时恒成立,函数y=(x-2a)(x-3a)的图象开口向上,对称轴为直线x=,易知<a+3,故函数y=(x-2a)(x-3a)在[a+3,a+4]上单调递增,所以(a+3-2a)(a+3-3a)≥a,解得a≥或a≤,故0<a<1.当1<a<时,(x-2a)(x-3a)≤a当x∈[a+3,a+4]时恒成立,函数y=(x-2a)(x-3a)的图象开口向上,对称轴为直线x=,易知<a+3,故y=(x-2a)(x-3a)在[a+3,a+4]上单调递增,故(a+4-2a)(a+4-3a)≤a,解得≤a≤(*), 因为>,所以(*)与1<a<矛盾,所以1<a<不满足题意. 综上所述,a∈(0,1). 学科网（北京）股份有限公司 $